专题04平面内的两条直线易错必刷题型专项选练(20大题型共计60道题)2025-2026学年湘教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平面内两条直线的高频易错题型，通过典题特征分析与易错点梳理，构建从概念识别到性质应用的递进式训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-4（12题）|强调“同一平面内”前提，明确对顶角“反向延长线”核心特征|从位置关系到对顶角定义与性质，构建概念认知基础| |平行公理与判定性质|题型5-13（27题）|区分“性质”（平行得角）与“判定”（角得平行），掌握辅助线构造技巧|三线八角识别→平行公理应用→性质与判定综合推理，形成逻辑链条| |垂直与距离|题型14-17（12题）|紧扣“垂线段最短”本质，明确距离是“垂线段长度”|垂直判定→点到直线距离→平行线间距离，深化空间观念| |平移应用|题型18-20（9题）|利用平移性质转化线段与面积问题，规范作图步骤|平移性质→实际问题建模→作图应用，发展应用意识|

专题04平面内的两条直线易错必刷题型专项选练 本专题汇总平面内的两条直线全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.平面内两直线的位置关系 题型02.平行公理的应用 题型03,对顶角定义 题型04.对顶角相等 题型05.同位角.内错角.同旁内角 题型06.两直线平行.同旁内角互补 题型07.由平行线的性质探究角的关系 题型08.同位角相等,两直线平行 题型09.内错角相等,两直线平行 题型10.同旁内角互补,两直线平行 题型11.由平行线性质与判定求角度 题型12.平行线性质与判定证明 题型13.由平行线的性质求角的度数 题型14.垂直于同一直线的两直线平行 题型15.垂线段最短 题型16.点到直线的距离 题型17.求平行线间的距离 题型18.利用平移的性质求解 题型19.利用平移的性质解决实际问题 题型20.平移作图 易错必刷题型01.平面内两直线的位置关系 典题特征：多以选择、判断题呈现，给定不同情境下的两条直线，判断位置关系（相交、平行）。 易错点：①忽略“同一平面内”的前提，误将空间不相交直线判定为平行线；②对“重合”是否属于位置关系概念混淆。 1．如图，直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 2．在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 3．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 易错必刷题型02.平行公理的应用 典题特征：考查过直线外/上一点作已知直线平行线的条数，常结合几何作图或命题真假判断。 易错点：①忽略“直线外一点”的限定，误认为过直线上一点也能作平行线；②对平行公理的推论理解不清晰。 4．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线_______．也叫做平行线的传递性． 5．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 6．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 易错必刷题型03,对顶角定义 典题特征：给出多角图形，判断哪些是对顶角；或根据定义补全图形条件。 易错点：误将仅“有公共顶点”的角判定为对顶角，忽略“两边互为反向延长线”的核心特征。 7．平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有______对． 8．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 9．如图，直线，相交于，是的角平分线．    (1)的对顶角是 　　； (2)若，求、的度数． 易错必刷题型04.对顶角相等 典题特征：结合相交线图形，利用对顶角相等求角度或证明角相等。 易错点：①在复杂图形中找错对顶角；②书写证明时漏写“对顶角相等”的推理依据。 10．如图，已知直线相交于点，平分，且，则的度数是___________． 11．如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 12．如图，直线，相交于点，是的角平分线，． (1)请写出图中两对互余的角和两对相等的角；（直角除外） (2)如果，试求，的度数． 易错必刷题型05.同位角.内错角.同旁内角 典题特征：给出三线八角图形，识别三类角；或根据角的位置判断截线与被截线。 易错点：①找错截线与被截线，混淆三类角的位置特征；②漏数或重复数图形中的角。 13．下列图形中，与不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 14．若与是同位角，，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．不确定 15．如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 易错必刷题型06.两直线平行.同旁内角互补 典题特征：已知两直线平行，结合图形求同旁内角度数；或利用互补关系证明直线平行。 易错点：①误将“同旁内角互补”记为“相等”；②忽略“两直线平行”的前提，直接认为同旁内角互补。 16．如图，光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是_______°． 17．如图，，直线分别交、于点E、F，平分，若，求的度数． 18．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 易错必刷题型07.由平行线的性质探究角的关系 典题特征：含折线的平行线图形，探究多个角之间的和差数量关系。 易错点：①不会通过作辅助线构造平行线；②推导过程逻辑跳跃，无法清晰说明角的转化依据。 19．如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 20．如图，直线，点分别在直线上，点为之间一点，且点在线段的左侧，．若与的平分线相交于点与的平分线相交于点与的平分线相交于点，…，则__________．（用含的代数式表示） 21．综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； (2)如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： (3)如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 易错必刷题型08.同位角相等,两直线平行 典题特征：给出含同位角的图形，利用同位角相等证明两直线平行；或补充条件使直线平行。 易错点：①误将非同位角的角判定为同位角；②证明时混淆“性质”与“判定”的逻辑顺序。 22．如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件是(填序号)_________ 23．如图，，平分． (1)判断的位置关系，并说明理由； (2)若求的度数． 24．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)直线与平行吗？为什么？ (2)若，求的度数． 易错必刷题型09.内错角相等,两直线平行 典题特征：结合内错角的位置关系，证明两直线平行；或根据平行求内错角度数。 易错点：①在复杂图形中识别内错角时出错；②混淆内错角相等的前提（需两直线被第三条直线所截）。 25．如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是________（填序号）． 26．将一副三角尺如图放置，，则下列结论中正确的有（    ） ①； ②； ③如果，那么； ④如果，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 易错必刷题型10.同旁内角互补,两直线平行 典题特征：利用同旁内角互补证明两直线平行；或结合角度计算补充平行条件。 易错点：①误将“互补”理解为“相等”；②忽略“同旁内角”的位置特征，用错判定定理。 28．如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是______．（只填序号） 29．在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（    ） ①平角的定义； ②垂线段最短； ③角平分线的定义； ④同旁内角互补，两直线平行； ⑤两直线平行，内错角相等． A．②④ B．③⑤ C．①②⑤ D．①③④ 30．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 易错必刷题型11.由平行线性质与判定求角度 典题特征：结合平行线的判定与性质，通过多步推理求未知角的度数。 易错点：①无法区分“判定”（由角的关系得平行）与“性质”（由平行得角的关系），逻辑顺序颠倒；②计算过程中角度关系推导错误。 31．如图，，，，则________． 32．图，直线，线段与交于点，平分，点在直线上，平分，交于点．若，，则（   ） A． B． C． D． 33．如图，已知，． (1)求证：； (2)，，求． 易错必刷题型12.平行线性质与判定证明 典题特征：以几何证明题形式呈现，要求结合平行线的判定与性质完成证明。 易错点：①证明步骤不完整，跳步推理；②关键步骤未标注依据；③混淆判定与性质的应用场景。 34．如图，已知，，试说明：． 解：因为，（已知） 所以______，（______） 所以．（______） 因为，（已知） 所以，（等式性质） 即______， 所以______，（______） 所以．（______） 35．已知：如图，，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴ _____=_____．（_______________________） ∵，（已知） ∴______．（_________________________） ∴．（___________________________） 36．如图，，平分，分别交，的延长线于点，点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 易错必刷题型13.由平行线的性质求角的度数 典题特征：已知两直线平行，结合图形直接利用平行线性质求角的度数。 易错点：①记错平行线的性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）；②在复杂图形中找错对应角。 37．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 38．【中档】如图，已知长方形纸片，点H和点G分别在边和上的动点，点E和点F分别是边和上的点，现将点A，B，C，D分别沿折叠至点N，M，P，K，若，且，则的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 39．综合与探究 如图，在中，，平分，交的边于点，为直线上一点，过点向直线的右边作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，，点与点重合，求的度数； (2)如图2，若，点在的延长线上，求的度数．（用含有的式子表示） 易错必刷题型14.垂直于同一直线的两直线平行 典题特征：已知两条直线都垂直于同一条直线，证明两直线平行；或结合实际情境判断平行关系。 易错点：忽略“同一平面内”的前提条件，误将空间中垂直于同一直线的两直线判定为平行。 40．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是______． 41．已知，，是三条直线，下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 42．如图，已知于点，过点作于点，交的延长线于点，若平分，求的度数． 易错必刷题型15.垂线段最短 典题特征：结合实际情境（如最短路径问题），利用垂线段最短解决问题；或判断图形中线段长度的大小关系。 易错点：①混淆“垂线段”与“垂线”的概念；②实际应用中不会将问题转化为垂线段模型。 43．如图，已知，且的长度为整数，则__________ 44．如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 45．如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 易错必刷题型16.点到直线的距离 典题特征：判断图形中点到直线的距离；或根据距离的定义计算线段长度。 易错点：误将点到直线的斜线段长度当作距离，忽略“垂线段的长度”这一核心定义。 46．下列说法正确的有（   ）个 ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点 ⑤平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交 ⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离 A．1 B．2 C．3 D．5 47．直线，点到直线a的距离为，到直线b的距离为，那么直线a和直线b之间的距离为__________． 48．如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，且，求点到到直线的距离． 易错必刷题型17.求平行线间的距离 典题特征：已知两条平行线，求它们之间的距离；或结合图形判断公垂线段。 易错点：①误将非垂线段的长度当作平行线间的距离；②不会在复杂图形中找到公垂线段。 49．已知一点到两条平行线的距离分别是，，则这两条平行线之间距离是___． 50．如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 51．如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 易错必刷题型18.利用平移的性质求解 典题特征：结合平移前后的图形，利用平移的性质求线段长度、角度或图形面积。 易错点：①记错平移的性质（对应线段平行且相等、对应角相等）；②无法确定平移前后的对应点、对应线段。 52．如图，将正方形沿方向平移得到正方形（点、、、的对应点分别是点、、、），点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为__________． 53．如图，把沿直线平移，得到．若，，求的长． 54．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 易错必刷题型19.利用平移的性质解决实际问题 典题特征：结合生活情境（如道路、图形拼接），利用平移的性质解决问题（如求周长、面积）。 易错点：①不会将实际问题转化为平移模型；②计算时忽略平移过程中线段或图形的变化规律。. 55．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米元，主楼梯的宽为米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 56．如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑宽度相同的横、纵走向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． ​ 57．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔ (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由． 易错必刷题型20.平移作图 典题特征：根据给定的平移方向和距离，画出平移后的图形；或补全平移前后的图形。 易错点：①平移方向或距离判断错误；②作图时未保证对应点的连线平行且相等；③漏画关键点的对应点。 58．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    59．如图，在正方形网格中，点、、都在格点上． (1)平移线段，使点与点重合，画出线段； (2)连接、，与的关系是______． 60．（1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接．线段平移的距离是______； （2）动手操作：如图2，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将三角形平移，使点A平移到图中的位置，点的对应点是，点的对应点是．①画出平移后的三角形； ②线段在平移的过程中扫过的面积是______． （3）拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是______平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平面内的两条直线易错必刷题型专项选练 本专题汇总平面内的两条直线全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.平面内两直线的位置关系 题型02.平行公理的应用 题型03,对顶角定义 题型04.对顶角相等 题型05.同位角.内错角.同旁内角 题型06.两直线平行.同旁内角互补 题型07.由平行线的性质探究角的关系 题型08.同位角相等,两直线平行 题型09.内错角相等,两直线平行 题型10.同旁内角互补,两直线平行 题型11.由平行线性质与判定求角度 题型12.平行线性质与判定证明 题型13.由平行线的性质求角的度数 题型14.垂直于同一直线的两直线平行 题型15.垂线段最短 题型16.点到直线的距离 题型17.求平行线间的距离 题型18.利用平移的性质求解 题型19.利用平移的性质解决实际问题 题型20.平移作图 易错必刷题型01.平面内两直线的位置关系 典题特征：多以选择、判断题呈现，给定不同情境下的两条直线，判断位置关系（相交、平行）。 易错点：①忽略“同一平面内”的前提，误将空间不相交直线判定为平行线；②对“重合”是否属于位置关系概念混淆。 1．如图，直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】B 【详解】解：如图， 直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是． 2．在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：与后续直线的位置关系以4为周期循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导出一般性规律，与后续直线的位置关系以4为周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 3．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 易错必刷题型02.平行公理的应用 典题特征：考查过直线外/上一点作已知直线平行线的条数，常结合几何作图或命题真假判断。 易错点：①忽略“直线外一点”的限定，误认为过直线上一点也能作平行线；②对平行公理的推论理解不清晰。 4．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线_______．也叫做平行线的传递性． 【答案】互相平行 【分析】本题主要考查平行线公理及推论，根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 【详解】平行线的传递性定理指出：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 故答案为：互相平行． 5．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 易错必刷题型03,对顶角定义 典题特征：给出多角图形，判断哪些是对顶角；或根据定义补全图形条件。 易错点：误将仅“有公共顶点”的角判定为对顶角，忽略“两边互为反向延长线”的核心特征。 7．平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有______对． 【答案】12002 【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可． 【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)． 故答案为：12002． 8．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 9．如图，直线，相交于，是的角平分线．    (1)的对顶角是 　　； (2)若，求、的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据对顶角的定义，结合图形可得答案； （2）根据平角的定义、对顶角的性质可得答案． 【详解】（1）由对顶角的定义可知，的对顶角是， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 又∵是的角平分线． ∴， ∴ ， 答：的度数为． 【点睛】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的前提． 易错必刷题型04.对顶角相等 典题特征：结合相交线图形，利用对顶角相等求角度或证明角相等。 易错点：①在复杂图形中找错对顶角；②书写证明时漏写“对顶角相等”的推理依据。 10．如图，已知直线相交于点，平分，且，则的度数是___________． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义求出 的度数，再根据对顶角相等即可求出 的度数． 【详解】解：因为 平分 ， 所以 因为直线 、 相交于点 所以 ． 11．如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等得到，再根据角平分线定义即可得到． 【详解】解：∵， ， ∵射线平分， ． 12．如图，直线，相交于点，是的角平分线，． (1)请写出图中两对互余的角和两对相等的角；（直角除外） (2)如果，试求，的度数． 【答案】(1)互余的角有和，和，和，和，和，和，和，和；相等的角有和，和，和，和（各写两组即可） (2)； 【分析】（1）根据互余的两个角和为，再结合图形解答即可； （2）由（1）知，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ， ∵ ， ∴ ， ∵，是的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上，互余的角有和，和，和，和，和，和，和，和； 相等的角有和，和，和，和（直角除外）； （2）解：由（1）知，， ∵， ，， 平分， ． 易错必刷题型05.同位角.内错角.同旁内角 典题特征：给出三线八角图形，识别三类角；或根据角的位置判断截线与被截线。 易错点：①找错截线与被截线，混淆三类角的位置特征；②漏数或重复数图形中的角。 13．下列图形中，与不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同位角定义直接判断即可． 【详解】解：ACD三个选项中与是同位角，B选项中与不是同位角． 14．若与是同位角，，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】D 【详解】解：本题未给出两条被截直线平行的条件， ∴无法确定的度数． 15．如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 (2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 (3)，和互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义． （1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案； （2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案； （3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案． 【详解】（1）∵与两个角都在两直线的中间， 截线的两侧， ∴与是内错角， ∵与两个角都在两直线的中间， 截线的同旁， ∴与是同旁内角， ∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置， ∴与是同位角． 故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 （2）∵内错角必须在两条被截直线之间， ∴与不是内错角． 故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 （3）理由: ∵，而， ， ∵和互补，， ∴和也互补． 故答案为：，和互补 易错必刷题型06.两直线平行.同旁内角互补 典题特征：已知两直线平行，结合图形求同旁内角度数；或利用互补关系证明直线平行。 易错点：①误将“同旁内角互补”记为“相等”；②忽略“两直线平行”的前提，直接认为同旁内角互补。 16．如图，光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是_______°． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是利用“两直线平行，同旁内角互补”求出与相关的两个角的度数，再通过角的和计算出． 【详解】解：，， ． ，， ， ； ，， ， ； ． 故答案为：． 17．如图，，直线分别交、于点E、F，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先利用平行线的性质求出，利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，即可得到的度数为，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 平分， ∴， 又∵， ∴， 的度数为． 18．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合角平分线的定义，可得，即可得的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 易错必刷题型07.由平行线的性质探究角的关系 典题特征：含折线的平行线图形，探究多个角之间的和差数量关系。 易错点：①不会通过作辅助线构造平行线；②推导过程逻辑跳跃，无法清晰说明角的转化依据。 19．如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的顶点为，分别过作，，根据平行线的性质可得，，，进而得出，即可求解． 【详解】如图，设的顶点为，分别过作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 20．如图，直线，点分别在直线上，点为之间一点，且点在线段的左侧，．若与的平分线相交于点与的平分线相交于点与的平分线相交于点，…，则__________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键． 作则，根据平行线的性质得出，进而得到,同理，可归纳规律即可解答． 【详解】解：如图：作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵若与的平分线相交于点， ∴， ∴, 同理：作可证明：, 同理可得：， … 归纳可得：，即． 故答案为：． 21．综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； (2)如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： (3)如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案； （2）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得，结合，，即可获得答案； （3）延长到点，根据“两直线平行，同位角相等”可得，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长到点， ∵， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型08.同位角相等,两直线平行 典题特征：给出含同位角的图形，利用同位角相等证明两直线平行；或补充条件使直线平行。 易错点：①误将非同位角的角判定为同位角；②证明时混淆“性质”与“判定”的逻辑顺序。 22．如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件是(填序号)_________ 【答案】②③ 【详解】解：，∴； ， ∴； ，∴； ，∴； 综上分析可知，一定能得到的条件有． 23．如图，，平分． (1)判断的位置关系，并说明理由； (2)若求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）证明，根据同位角相等两直线平行可判断； （2）先求出，由角平分线定义得，根据对顶角相等可求的度数． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， ， ， ； 平分， ， ． 24．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)直线与平行吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)直线与直线平行，理由见解析 (2) 【分析】（1）可证明，则可证明； （2）由平行线的性质得到，则可证明，推出，则． 【详解】（1）解：直线与直线平行，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型09.内错角相等,两直线平行 典题特征：结合内错角的位置关系，证明两直线平行；或根据平行求内错角度数。 易错点：①在复杂图形中识别内错角时出错；②混淆内错角相等的前提（需两直线被第三条直线所截）。 25．如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是________（填序号）． 【答案】 ④ 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐一判断即可得答案． 【详解】解：①：和是被所截的内错角，只能推出，无法判定，不符合要求； ②：这组同旁内角互补，只能推出，无法判定，不符合要求； ③：仅这组对角相等，无法推出，不符合要求； ④：和是被所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以推出，符合要求； 因此只有条件④满足要求． 26．将一副三角尺如图放置，，则下列结论中正确的有（    ） ①； ②； ③如果，那么； ④如果，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据①的结论判断②；根据平行线的判定定理判断③和④，即可得出结论． 【详解】解：，， ， 故①正确； ， 故②正确； ， ， 不成立， 故③不正确； ， ， ∴． 故④正确； 27．如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用内错角相等，两直线平行，即可证明； （2）由（1）知，再求得，利用平角的性质列式计算求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得， ∴． 易错必刷题型10.同旁内角互补,两直线平行 典题特征：利用同旁内角互补证明两直线平行；或结合角度计算补充平行条件。 易错点：①误将“互补”理解为“相等”；②忽略“同旁内角”的位置特征，用错判定定理。 28．如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是______．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定和平行线有关的辅助线，根据各选项逐项判定即可． 【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 若，根据同旁内角互补两直线平行可得，故②符合题意； 若， ∵ ∴，根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； 若， 过点C作直线b， 则， 由已知，， ∴， ∴直线a， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②③④ 29．在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（    ） ①平角的定义； ②垂线段最短； ③角平分线的定义； ④同旁内角互补，两直线平行； ⑤两直线平行，内错角相等． A．②④ B．③⑤ C．①②⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，关键在于通过相关的性质推出，，确定和为平角．平行线的判定定理；设直线与纸片的边相交于点、点，直线与纸片的边交于点，根据翻折变换的性质推出，，然后根据平角，即可推出，，即得平行于． 【详解】解：如图，设直线与纸片的边相交于点，直线与纸片的边交于点， 如题图，对折后，射线与射线重合而产生折线， （角平分线的定义）， 如题图，对折后，射线和射线重合而产生折线， （角平分线的定义）， 点、、在同一条直线上，点、、在同一条直线上， （平角的定义）， ，． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故选：D． 30．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义，可知，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设，根据角平分线性质可得，再根据即可表示出，根据即可求出． 【详解】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵平分， ∴，， ∵和的角平分线交于点P，且， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型11.由平行线性质与判定求角度 典题特征：结合平行线的判定与性质，通过多步推理求未知角的度数。 易错点：①无法区分“判定”（由角的关系得平行）与“性质”（由平行得角的关系），逻辑顺序颠倒；②计算过程中角度关系推导错误。 31．如图，，，，则________． 【答案】/80度 【分析】过的顶点作的平行线，利用平行线的性质求出，从而得解． 【详解】解：过的顶点作的平行线， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 32．图，直线，线段与交于点，平分，点在直线上，平分，交于点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，过点D作，则，由平行线的性质得到， ，据此求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 33．如图，已知，． (1)求证：； (2)，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先，通过等量代换将已知条件转化为，从而证明；接着利用平行线性质得出，再结合已知的进行等量代换，最终得到，以此判定； （2）利用平角（）的定义建立方程，通过设未知数，根据题目给出的角度差值关系表示出和，将这三个角相加等于列出方程求解出，进而算出的具体度数，最后利用第一问中已证的平行线的性质（两直线平行，内错角相等），得出，从而求得的度数． 【详解】（1）解：（1），， ， ， ， ， ， ； （2）解；设， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 易错必刷题型12.平行线性质与判定证明 典题特征：以几何证明题形式呈现，要求结合平行线的判定与性质完成证明。 易错点：①证明步骤不完整，跳步推理；②关键步骤未标注依据；③混淆判定与性质的应用场景。 34．如图，已知，，试说明：． 解：因为，（已知） 所以______，（______） 所以．（______） 因为，（已知） 所以，（等式性质） 即______， 所以______，（______） 所以．（______） 【答案】，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】根据已知条件，运用平行线的判定与性质填空即可． 【详解】解：因为，（已知） 所以，（同旁内角互补，两直线平行） 所以．（两直线平行，内错角相等） 因为，（已知） 所以，（等式性质） 即， 所以，（内错角相等，两直线平行） 所以．（两直线平行，内错角相等） 35．已知：如图，，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴ _____=_____．（_______________________） ∵，（已知） ∴______．（_________________________） ∴．（___________________________） 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质定理与判定定理，结合已知过程，逐步推导论证即可． 【详解】证明：∵，（已知） ∴．（两直线平行，同旁内角互补 ） ∵，（已知） ∴．（同角的补角相等 ） ∴．（内错角相等，两直线平行 ） 36．如图，，平分，分别交，的延长线于点，点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，结合已知可得，即可证得结论； （2）由平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型13.由平行线的性质求角的度数 典题特征：已知两直线平行，结合图形直接利用平行线性质求角的度数。 易错点：①记错平行线的性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）；②在复杂图形中找错对应角。 37．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/度 【分析】过点作，根据平行线的性质，求得的度数，再根据平行线的传递性，证明，可求得的度数，即可进一步求得答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 38．【中档】如图，已知长方形纸片，点H和点G分别在边和上的动点，点E和点F分别是边和上的点，现将点A，B，C，D分别沿折叠至点N，M，P，K，若，且，则的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当在上方时，延长，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可；当在下方时，延长，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可． 【详解】解：如图1，当在上方时，延长，二线交于点Q， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵将点A，B，C，D分别沿折叠至点N，M，P，K， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，当在下方时，延长，二线交于点T， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵将点A，B，C，D分别沿折叠至点N，M，P，K， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故选：D． 39．综合与探究 如图，在中，，平分，交的边于点，为直线上一点，过点向直线的右边作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，，点与点重合，求的度数； (2)如图2，若，点在的延长线上，求的度数．（用含有的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作交于点，则可得，那么可得，，然后根据角平分线的定义以及求解即可； （2）过点作交于点，解法同（1）． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点． ， ． ，． 平分，， ， ∴， ， ． 平分， ∴， ； （2）解：如图2，过点作交于点． ， ． ，， ． 平分，平分， ， ． 易错必刷题型14.垂直于同一直线的两直线平行 典题特征：已知两条直线都垂直于同一条直线，证明两直线平行；或结合实际情境判断平行关系。 易错点：忽略“同一平面内”的前提条件，误将空间中垂直于同一直线的两直线判定为平行。 40．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是______． 【答案】（或垂直） 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 41．已知，，是三条直线，下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线以及垂线的有关性质，熟练掌握它们的基本性质是解题的关键． 根据平行线以及垂直的有关性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，，则，由平行线的性质可得，故该选项正确，符合题意； B、若在同一平面内，，，则，故该选项错误，不符合题意； C、若，，则，故该选项错误，不符合题意； D、若，，则，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 42．如图，已知于点，过点作于点，交的延长线于点，若平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义；根据，得出，进而可得，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，最后根据垂直的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型15.垂线段最短 典题特征：结合实际情境（如最短路径问题），利用垂线段最短解决问题；或判断图形中线段长度的大小关系。 易错点：①混淆“垂线段”与“垂线”的概念；②实际应用中不会将问题转化为垂线段模型。 43．如图，已知，且的长度为整数，则__________ 【答案】1 【详解】解：由图可得， ∴由垂线段最短可得，， 而 ∴， ∵的长度为整数， ∴． 44．如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】点是线段上的动点，根据垂线段最短以及的长，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，，，点是线段上的动点， ∴， ． 从选项可知，只有B符合题意． 45．如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，过B作河的垂线，要使最短，直线a，，连接即可得出N，作出即可． 【详解】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． 易错必刷题型16.点到直线的距离 典题特征：判断图形中点到直线的距离；或根据距离的定义计算线段长度。 易错点：误将点到直线的斜线段长度当作距离，忽略“垂线段的长度”这一核心定义。 46．下列说法正确的有（   ）个 ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点 ⑤平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交 ⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查了对顶角的定义、垂线的性质、平行线的判定和性质，正确把握相关知识是解题的关键． 分别利用对顶角的定义、垂线的性质、平行线的判定和性质分别分析得出即可． 【详解】解：①有公共顶点并且相等的两个角不一定是对顶角，故①说法错误，不符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②说法错误，不符合题意； ③平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③说法正确，符合题意； ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故④说法错误，不符合题意； ⑤平面内，两条直线的位置关系有两种，平行、相交，故⑤说法错误，不符合题意； ⑥从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故⑥说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的有③，共一个； 故选：A 47．直线，点到直线a的距离为，到直线b的距离为，那么直线a和直线b之间的距离为__________． 【答案】或 【分析】由于点的位置不确定，分两种情况讨论：点在a和b的同侧，点在a，b之间，即可求解． 【详解】解：当点在a和b的同侧时，直线a和直线b之间的距离为； 当点在a，b之间时，直线a和直线b之间的距离为． 48．如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，且，求点到到直线的距离． 【答案】 【分析】本题考查了方向角及点到直线的距离、平行线的性质，延长至，由平行线的性质得，即得，可知点到直线的距离是线段的长，据此即可求解，熟练掌握方向角及点到直线的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至， 由图可知，指向正北方向的两条直线平行， ∴， ∴， 即， ∴点到直线的距离是线段的长， ∵， ∴点到直线的距离为． 易错必刷题型17.求平行线间的距离 典题特征：已知两条平行线，求它们之间的距离；或结合图形判断公垂线段。 易错点：①误将非垂线段的长度当作平行线间的距离；②不会在复杂图形中找到公垂线段。 49．已知一点到两条平行线的距离分别是，，则这两条平行线之间距离是___． 【答案】4或8 【分析】分为点在两条平行线之间和点在两条平行线外侧两种情况，根据点到平行线的距离与平行线间距离的关系求解．本题主要考查了平行线间的距离，熟练掌握点与两条平行线的位置关系对平行线间距离的影响是解题的关键． 【详解】解：情况一：当点在两条平行线之间时， 点到两条平行线的距离分别是，， 两条平行线之间的距离为． 情况二：当点在两条平行线外侧时， 点到两条平行线的距离分别是，， 两条平行线之间的距离为． 故答案为：或． 50．如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴线段的长度是直线a，b之间的距离， 故选：D． 51．如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 【答案】直线与之间的距离为 【分析】本题主要考查了垂直的性质、平行线之间的距离等知识点，过一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 根据垂直的性质可得，再根据垂线段的长度的定义以及线段的和差即可解答． 【详解】解：直线，，， ． 又直线与之间的距离是，直线与之间的距离是， ，， ，即直线与之间的距离为． 易错必刷题型18.利用平移的性质求解 典题特征：结合平移前后的图形，利用平移的性质求线段长度、角度或图形面积。 易错点：①记错平移的性质（对应线段平行且相等、对应角相等）；②无法确定平移前后的对应点、对应线段。 52．如图，将正方形沿方向平移得到正方形（点、、、的对应点分别是点、、、），点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为__________． 【答案】35 【分析】先根据平移的性质可得，，求出的长，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移可得，，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 53．如图，把沿直线平移，得到．若，，求的长． 【答案】5 【分析】根据平移的性质解答即可． 本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ． ． 54．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 易错必刷题型19.利用平移的性质解决实际问题 典题特征：结合生活情境（如道路、图形拼接），利用平移的性质解决问题（如求周长、面积）。 易错点：①不会将实际问题转化为平移模型；②计算时忽略平移过程中线段或图形的变化规律。. 55．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米元，主楼梯的宽为米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 【答案】 【分析】根据图中数据可以求出地毯的长度为米，宽度为米，根据矩形的面积即可求出地毯的面积为平方米，根据每平方米元，计算出购买地毯所需要的费用． 【详解】解：由图可知，需要购买地毯的长度为米， 主楼梯的宽为米， 地毯的长度为米，宽度为米， 地毯的面积为平方米， 地毯的批发价为每平方米元， 购买地毯至少需要元． 56．如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑宽度相同的横、纵走向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． ​ 【答案】平方米；20平方米 【分析】通过平移，绿化面积等于长为米，宽为米的长方形的面积． 【详解】解：根据题意得： （平方米）， 则绿化的面积是平方米； 当，时， 绿化面积是：（平方米）． 57．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔ (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)长：，宽 (3)够用；理由见解析 【分析】（1）根据长方形面积公式进行解答即可； （2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可； （3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：；； ∴， 故答案为：；；； （2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则： ， （负值舍负）， 长方形场地的长， 长方形场地的宽． （3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为， 则， （负值舍负）， 长方形场地的宽， 长方形场地的长， 则两条小路的总面积为：， 将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元， ， ． 答：总预算5200元够． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质． 易错必刷题型20.平移作图 典题特征：根据给定的平移方向和距离，画出平移后的图形；或补全平移前后的图形。 易错点：①平移方向或距离判断错误；②作图时未保证对应点的连线平行且相等；③漏画关键点的对应点。 58．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 59．如图，在正方形网格中，点、、都在格点上． (1)平移线段，使点与点重合，画出线段； (2)连接、，与的关系是______． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 【分析】（）将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，按相同规律平移点得到，连接即可； （）根据平移的性质，进行作答即可； 【详解】（1）解：点平移到的规律是向右平移格，向下平移格，按相同规律平移点得到，连接，即为所求线段； 如图，线段即为所求； （2）解：与的关系是平行且相等； 由平移的性质可知：图形平移后，对应点的连线平行且长度相等， 因此与平行且相等． 60．（1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接．线段平移的距离是______； （2）动手操作：如图2，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将三角形平移，使点A平移到图中的位置，点的对应点是，点的对应点是．①画出平移后的三角形； ②线段在平移的过程中扫过的面积是______． （3）拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是______平方米． 【答案】（1）3；（2）①见详解；②9；（3） 【分析】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据平移性质和网格特点求解即可； （2）①根据平移性质和网格特点可画出图形； ②根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； （3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）根据平移性质，线段平移的距离是； 故答案为：3 ； （2）①如图所示，即为所求作； ②线段在平移过程中扫过的面积． 故答案为：9； （3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形， 长方形的长米，宽为米， 则剩下的草坪面积是：， 故答案为：平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $