宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

青铜峡市宁朔中学2025-2026学年第二学期 高二年级数学期中试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.18×19×20×21××30可以表示为() A.A3 B.A C.A D.A 2.已知f(x)的导函数f'(x)图象如图，则f(x)的极大值点为() A.x1 B.x2 f( C.x3 D.x4 3.在等差数列{an}中，a4+a5+a6=18,则a2+ag=() A.6 B.10 C.12 D.18 4.由1,2,3,4,5,5,6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为() A.360 B.180 C.156 D.150 5.函数f(x)=x2-2nx的单调减区间是（) A.（-1,1) B.（-0,-1)(1,+0) C.(（1,+o) D.(0,1) 6.已知an是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为S,若4a,a4,2a,成等差数列，则哈=() A.9 B.2 c D 7.已知数列{a}满足a=41-l a,4=2,则此数列前2025项的和为（) A.2025 B.4050 C.2025 2 D.6075 2 8.已知fx)=ex-e-x-2x,a=fln2),b=f(I),c=fn3),则下面结论正确的是() A.c>a>bB.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导运算正确的是() A若y=x,则y=1-x x x2 B.若y=xe,则y'=（x+l)e C.若y=sin2x,则y'=-2c0s2x D.若y=xe2,则y'=(x+1)e2 10.设数列{an}的前n项和为Sn,且a=10,an+1+2=an,则() A.an=-2n+12 B.}是单调递增数列 C.{2an}是等比数列 D.Sn的最大值是30 11.已知函数f(x)=(x+2)(x-1)2-4,则() A.点(0，-2)是函数f(x)图象的对称中心 B.x=-1是函数f(x)的极小值点 C.当-1<x<1时，-4<f(2x)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线y=2x+ex在点(0,1)处的切线方程为 13.4名护士和2名医生站成一排，护士站在一起，医生也要站在一起，总共有 种 不同的排法. 14,数列子-子+片前如项和为 四、解容题： 本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明， 步骤。 15.(本小题13分) 已知等比数列a中，a3=君a6=4 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=n十an,求数列{bn}的前n项和Sn 16.(本小题15分) 已知函数f(x)=(x-2)ex. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值. 17.(本小题15分) 设数列{an的前n项和为Sn,己知a,=3,且2Sn=an+1-3,n∈N. (1)求数列{an的通项公式： (2)设bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn 证明过程或演算 18.(本小题17分) 己知函数f(x)=lnr-,a∈R (1)讨论y=f()的单调性； (2)当a>0时，求证：f≤-2. 19.(本小题17分) 己知函数f(x)=xex-1-a. (1)求f(x)的极值 (2)若aER,讨论f(x)的零点的个数； (3)若a为正整数n,记此时f(x)的唯一零点为xn,证明：数列{xn}是递增数列答案和解析 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B D A B 二、 多选题 9 10 11 AB ACD AD 1.【答案】B 【解析】解：由排列数的公式可知，18×19×20×21×…×30可以表示为A品 故选：B, 根据排列数的公式求解. 本题主要考查了排列数的公式，属于基础题. 2.【答案】D 【解析】解：极大值点处导数为O,且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值 为负， 选项中只有x4符合， 故选：D. 根据极大值点的定义结合图象判断即可. 本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题， 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题为等差数列性质的应用，熟练掌握等差数列的性质是解决问题的关键，属基础题， 由等差数列的性质可得：a4+a6=a2+ag-2a5,代入可得a5=5,而要求的值为2a5,代入 可得. 【解答】 解：由等差数列的性质可得：a4+a6=a2+ag=2a5 所以a4+a5+a6=18,即3a5=15,a5=6, 故a2+ag=2a5=2×6=12, 故选：B. 4.【答案】B 【解析】解：已知由1,2,3,4,5,6所组成的无重复数字的4位数， 第1步，个位上的数字为2或4或6，有6种方法， 第2步，从其余5个数中选3个排在千位、百位和十位，A=60种方法， 故可以组成3×60=180个符合条件的数. 故选：B. 5.D 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数f(x)=x2-2lnx的定义域为(0，+o), 又f()=2x-2_26+106-) 令'(x)<0,解得0<x<1, 函数f(x)=x2-2nx的单调减区间是(0,1)， 故选：D 6.【答案】A 【解析】解：设等比数列{an的公比为q,且g>0, 4a2,a4,2a3等差数列， ∴a4=2a2+a3,即a2q2=2a2+a2q,即q2-q-2=0, 解得q=-1(舍去)或q=2, …6=1-g6」 “10=1+q2=9. 故选：A. 根据题意得a,=2,+0,即-g-2=0,解得q=2,再2=等=1+9即可求解。 本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题， 7.C 【分析】利用递推关系求得数列的前几项，可得数列{a,}是以3为周期的周期数列，进而可 求得数列前2025项的和. 【详解】由4=2,4=2，解得4=-1，又4=马 1 ,解得4= 43 2’ 又g=a 二，解得a=2,所以数列{a}是以3为周期的周期数列， 所以a+a+a,=2+1-1-3 2 2 32025 所以S2025=S675x3=675S3=675× 2-2 故选：A 8.【答案】B 【解析】解：由于函数fx)=e-ex-2x, 因此导函数f'x)=ex+ex-2≥2We·ex-2=0(当且仅当x=0时取等号)， 因此fx)在(-∞，+∞)上单调递增. 又2<e<3→ln2<lne<lm3,即ln2<1<lm3,因此fln2)<f1)<fln3, 即a<b<c. 故选：B. 先判断函数fx的单调性，利用函数的单调性比较大小. 本题考查利用导数求解函数单调性和单调区间，属于简单题. 9.【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数公式与导数运算法则逐项求解可得答案。 1 【详解】对于A:由y= x-nxl ,可得 y'=x 1-x,故A正确： 3 对于B:由y=xe,可得y'=e+xe=(I+x)e,故B正确： 对于C:由y=in2x,可得y=2c0s2x,故C不正确： 对于D:由y=xe21，可得y=(x)'e21+(e2)'=e21+x.2e21=(1+2x2x1, 故D错误. 故选：AB. 10.【答案】ACD 【解析】【分析】 考查等差数列的定义，通项公式，前项和公式，数列的函数特征，等比数列的定义，是中 档题， 根据条件得{an}为等差数列，且首项a1=10,公差d=-2,逐一判断即可. 【解答】 解：因为a+1+2=an,所以an-an=-2, 所以数列{an}是首项a1=10,公差d=一2的等差数列， 所以am=10-2(m-1)=-2n+12,A正确： Sn=10m+m0,卫×(-2)=-n2+11m, =-n+11(nEN'), n 所以}是单调递减数列，B错误： 20n+12-2(n+1)+12 2an 2-2n+12 =22,故{2an}是等比数列，C正确； 又s.=-2+1n=-(n-)°+meN), 所以当n=5或6时，(Snlmax=30,D正确. 故选ACD. 11.AD 【分析】对函数求导，得出函数的单调性并结合图象即可判断出B选项，利用中心对称的定 义计算可判断A,对于C选项，由-1<x<1,求得2x的范围，结合函数最值的性质即可求 解；D选项，根据已知自变量的范围判断函数值的范围，进而比较大小 【详解】由题意，(x)=(x+2)(x-1)-4=x3-3x-2,求导可得f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0, 得x=+1, 当x<-1或x>1时，f'(x)>0;当-1<x<1时，f'(x)<0 所以f(x)在(-o,-1)和(1，+o)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，且f(-1)=0,f(1)=4, 可作出f(x)大致图象如图所示. 3-2 0123￥ 对于A,f(x)+f(x)=x3-3x-2+(-x)-3(x)-2=-4,所以函数f(x)的图象关于点 (0,-2)成中心对称，故A正确： 对于B,由图象可知，x=-1是函数f(x)的极大值点，故B错误： 对于C,当-1<x<1时，-2<2x<2,因为f(-2)=4,f(-1)=0,f(1)=4,f(2)=0,结合 函数图象和单调性可得-4≤f(2x)≤0，故C错误； 对于D,当-1<x<0时，-2<f(x)<0,此时2<2-x<3,f(3)=16,则0<f(2-x)<16, 所以∫(2-x)>f(x),故D正确. 故选：AD 12.【答案】3x-y+1=0(或y=3x+1) 【解析】解：因为y=2x+ex,所以y=2+ex, 所以切线的斜率yO)=3, 所以曲线在点(0,1)处的切线方程为：y=3x+1 根据导数的几何意义，直线的斜截式方程，即可求解 本题考查函数的切线方程的求解，属基础题 13.【答案】96 【解析】【分析】 本题考查计数原理的应用，属于简单题. 【解答】 解：由题意知本题是一个分步计数问题， 第一步：4名护士之间的排法，有A=24种方法： 第二步：2名医生之间的排法，有2种方法： 第三步：医生和护士之间，有2种方法： 所以，不同的排种数有24×2×2=96种. 故答案为：96， 15.2n+ n+1 【分析】先对数列的通项公式”++”进行拆分化简，采用裂项相消法求前”项和 nn+l 【详解】数列的第长项为：4车：计)2眼司 故 8-宫-层-x-引日}f)加*品 故答案为：22+ n+1 15【答案】a=r+1- 【解析】解：(1)由题意可得， aq2- 1 解得q=201=2 故an=(严； (2bn=an+n=(2严+ s=a*22*7-g+官++你+夏 1 1 111 =1+2+3+…+川+（吃+年8+…+2 是.时抄+1- 2 1 2 (1结合等比数列通项公式即可求解； (2)利用分组求和，结合等差与等比数列求和公式即可求解 本题主要考查了等比数列通项公式及求和公式应用，还考查了分组求和，属于中档题. 16.【答案】解：(1)函数fx)=(x-2e,则f'x=(x-1)e, 当x>1时，fx>0,当x<1,fx<0, 故函数fx)在(1，+∞)上单调递增，在(-∞，1)上单调递减. (2)由(1)可得函数fx)在(1,2]上单调递增，在[-1,1)上单调递减， 且f-)=-3e1=-8f2)=0, 则fx)在[-1,2]上的最大值f(x)max=f2)=0,最小值f(x)min=f1)=-e, 【解析】()对fx)求导，根据导数的正负得出其单调性； (2)根据第一问的函数单调性得出其最值。 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于简单题， 49.【答案】解：(1)当n=1时，2a1=2S1=a2-3,所以a2=2×3+3=9, 当n≥2时，2Sm=an+1-3, 用n-1代替n,可得2Sn-1=an-3, 两式相减得：2Sn-Sn-1)=a+1-a,即an+1=3an, 又因为a2=3a1, 所以数列a是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以am=3"; (2)由(I)知bm=n×3”, 所以Tm=1×32+2×32+3×33+…+n3”, 3Tn=1×32+2×33+…+m-1到：3n+3n+1, 两式相减得：-2Tn=32+32+33+…+3n-n·3n+1 =31-3 1-3 2-n31-120×3-2 2 所以T。-0×3+是 18.【分析】(1)求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性. (2)由(1)求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式 【详解】(1)函数f)=nr-ar中，x>0,求导得f(g)=1-a, 当a≤0时，f(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增； 当a>0时，x∈(0，与)时，f(x)>0,xe(,+)时，f'(x)<0, 函数f()在(0，上单调递增，在（仁，+o)上单调递减， 所以当a≤0时，函数f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，函数f(x)在(0，马)上单调递增，在+)上单调递减. （2)证明：由a①知，当a>0时，fm-f分-n。1, 设8()=lr-x+1,x>0,求导得g()=1-1, Y 当0<x<1时，g'(x)>0;当x>1时，g'(x)<0, 所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减，8(x)≤gI)=0, 因此hx-x+1≤0lnx≤x-1=nr-1≤x-2,则n-1s-2, a 所以f)s1-2. a 19.【解析】(1fx)=(x+1)e-1,所以当x∈(-o∞，-)时，fx)<0,fx)单调递减： 当x∈（-1，+oo时，f'x)>0,fx)单调递增， 所以，当x=-1时，fx有极小值为f-1)=-是-a (2)令fx)=xe-1-a=0,即a=xex-1,设gx)=xe-1, 因为g(x)=(x+1)ex-1,所以当x∈（-oo,一1)时，gx)<0,gx)单调递减： 当x∈(-1，+∞时，gx)>0,gx)单调递增， 当x<0时，gx)<0,9xmm=g1-1=-是，910=0， 所以当-是<a<0时，f在(-∞，0)上有两个零点： 当a=-或a≥0时，f有唯一零点； 当a<-时，fx无零点. 3)证明：()由(1)知，当a≥0时，fx)有唯一零点xn,则xnen-1=n且xn>0, 两边取自然对数，得xn-1+lnxn=lnn①， 所以xn+1-1+lnxm1=ln(m+1)②， ①②两式相减，得x1-xn+lnxn1-nxn=nm+1>0, 所以xnta+lnxn+1>xn+lnxn' 因为函数y=x+lnx在(O,+o∞)上单调递增， 所以xn1>xn,所以数列{xn}是递增数列.