17.2 平行四边形的判定 教学设计 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

第十七章 平行四边形 华东师大版(2024) 17.2 平行四边形的判定 一、教学目标 1.从平行四边形的性质出发，经历猜想、验证与证明的完整探究过程，体会类比思想及图形判定的基本思路，理解性质与判定之间的互逆关系. 2.掌握平行四边形的判定定理1和判定定理2，能准确表述定理内容，并运用这两个定理进行简单的几何证明. 3.在动手作图、演绎推理中，提升几何分析与逻辑推理能力，能根据题目条件选择合适的判定方法，优化证明过程. 二、教学重点及难点 重点：平行四边形判定定理 1、判定定理 2 的内容、证明及简单应用；能根据条件选择合适的判定方法证明四边形为平行四边形. 难点：由平行四边形的性质逆向推导判定定理的思路；运用判定定理解决简单几何证明问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：平行四边形的判定. 教师提问：上节课我们学习了平行四边形的性质，谁能完整地说一说平行四边形的边、角、对角线各有哪些性质？ 学生回忆并回答平行四边形的性质：两组对边分别平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分． 教师讲解：我们知道，平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是它的判定方法． 即我们可以根据平行四边形的定义加以判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 符号表示： ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 教师提问：那么是否还存在其他的判定方法呢？由平行四边形的性质，逆向思考，你认为可能有哪些判定方法？ 设计意图：通过回顾平行四边形性质、明确定义判定方法，为逆向推导新判定定理做铺垫，同时激发学生探究兴趣，引出本节课主题． 教师提问： 由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”，互换条件与结论，写出它的逆命题． 你认为这个逆命题是一个真命题吗？我们可以通过什么方法来验证？ 类别 条件 结论 平行四边形的两组对边分别相等 一个四边形是平行四边形 这个四边形的两组对边分别相等 逆命题 一个四边形的两组对边分别相等 这个四边形是平行四边形 【师生活动】学生完成表格，写出逆命题：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，并猜想它是真命题．教师引导学生通过动手作图来验证猜想： 学生按照教材步骤，作一个两组对边分别相等的四边形． 如图． 作法： （1）任取两点 B、D； （2）分别以点 B 和点 D 为圆心、任意长为半径，分别在线段 BD 的两侧作弧； （3）再分别以点 D 和点 B 为圆心、适当长为半径作弧，与前面所作的弧分别交于点 A 和点 C； （4）顺次连结各点． 四边形 ABCD 即为所要求作的平行四边形． 教师提问：“把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形？” 学生观察、比较，发现只要两组对边分别相等，所作的四边形都是平行四边形，初步验证猜想． 教师讲解平行四边形的判定定理 1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 符号表示：判定定理1 ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 教师提问：我们通过作图发现，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，那么我们能不能用演绎推理来严格证明这个结论呢？要证明一个四边形是平行四边形，目前我们可以用什么方法？ 已知：如图，在四边形 中，，． 求证：四边形 是平行四边形． 【师生活动】教师引导学生分析：证明四边形是平行四边形，目前只能用定义，即证明两组对边分别平行．要证明线线平行，我们可以通过证明内错角相等来实现，这就需要构造全等三角形，因此需要添加辅助线——连接对角线．学生独立书写证明过程，教师巡视指导，随后请一名学生板演证明过程，师生共同订正、规范． 答案预设： 证明：如图，连结 ． 设计意图：通过逆向思考提出猜想，再通过动手作图进行直观验证，让学生经历“猜想—验证”的过程；引导学生将直观猜想转化为严谨的逻辑证明，体会“转化”的数学思想，培养学生的演绎推理能力和规范书写能力． 教师提问：我们已经知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．现在聚焦“一组对边”，如果只看四边形的一组对边，它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边形呢？请大家先独立思考，提出你的猜想． 【师生活动】学生提出猜想：① 一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行的四边形是平行四边形． 教师引导学生辨析猜想： 针对猜想①，教师追问：“等腰梯形的两腰相等，但它是平行四边形吗？”学生明确等腰梯形不是平行四边形，因此“一组对边相等”不足以判定． 针对猜想②，教师追问：“梯形的上下底平行，但它是平行四边形吗？”学生明确梯形不是平行四边形，因此“一组对边平行”也不足以判定． 教师引导学生反思：“单一的‘相等’或‘平行’都不成立，那我们需要把这两个条件结合起来吗？” 学生提出新猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 教师引导学生通过作图验证猜想：学生按照教材步骤，作一个有一组对边平行且相等的四边形，观察所作图形是否为平行四边形． 如图． 作法： （1）任意作两条平行线 m、n； （2）在直线 m、n 上分别截取 AB、CD，使 AB=CD； （3）分别连结点 B、C 和点 A、D． 四边形 ABCD 即为所要求作的平行四边形． 教师提问：观察你所作的图形，它是平行四边形吗？ 学生观察、比较，发现所作的四边形都是平行四边形，初步验证猜想． 教师：我们发现这样作出的四边形是平行四边形．下面用演绎推理证明上述猜想． 已知：如图，在四边形 中， 且 ． 求证：四边形 是平行四边形． 教师点拨：要证明四边形 ABCD 是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定定理 1． 证明：如图，． 教师讲解平行四边形的判定定理 2： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号表示：判定定理2 ， 教师点拨：“平行且相等”常用符号“”来表示．如图， 且 ，可以记作“”，读作“ 平行且等于 ”． 设计意图：通过辨析反例，逐步逼近正确结论，培养学生严谨的思维和批判意识，让学生再次经历“猜想—验证”的过程． 【典型例题】 例1. 如图，在▱ 中，点 分别在对边 和 上，且 ．求证：四边形 是平行四边形． 教师点拨：我们已经有了三种判定平行四边形的方法，根据已知条件 AF=CE，若运用刚刚得到的判定定理 2，则只需证明 AF//CE． 证明： 四边形 是平行四边形， （平行四边形的对边平行），即 ． 又， 四边形 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 教师提问：同学们思考一下，还可以用其他方法证明例 1 吗？哪种方法较为简捷？ 【师生活动】学生独立思考，与小组进行交流，教师引导学生从“两组对边分别相等”的思路出发，独立分析并推导，通过证明（AE=CF）完成第二种证法，同时对比两种方法的简洁性，自主优化证明思路． 答案预设： 证明： 四边形 是平行四边形， （平行四边形的对边相等）． 又， ． ． ． 四边形 为平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形）． 设计意图：通过例题，巩固判定定理 2 的应用，同时引导学生对比不同证明方法，培养学生优化证明思路的能力． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2.判定定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3.判定定理 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $