2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题-直角三角形存在性

2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题-直角三角形存在性 1．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．       (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．连接，当的面积为10时，求点的横坐标； (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 2．如图1，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点，，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)当点P的坐标为时，求的面积； (3)如图2，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 3．如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 4．二次函数图象与x轴交于点两点，与轴交于点，连接，在该图象上有一点，连接，．设点的横坐标为． (1)若． ①求该二次函数的表达式； ②为何值时，是直角三角形？ (2)连接交轴于点，直线交轴于点，求证：是定值． 5．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为线段上一点（不与重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的最大面积； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标． 7．直线与抛物线相交于两点，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标． 8．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 9．如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接．      (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； (3)是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，为抛物线上的一动点（不与点重合）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当是直角三角形时（），求点的坐标． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线对称轴上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 14．如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．    (1)求的值； (2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形； (3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 根据题意得的面积为10， ∴ ， 解得：，， ∴的面积为时，点的横坐标为或； （3）解：点的坐标为，，，，理由如下: ∵抛物线， ∴对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，，， ∵以为直角边的直角三角形， ∴如图，当， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点的坐标为或． 2．(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）求出直线的解析式，得到的长，再利用三角形面积公式即可求解；（3）分两种情况：①点为直角顶点，②点为直角顶点，分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点，将A，C两点的坐标分别代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设交y轴于点G， 点， ， 设直线的解析式为， 将点，点分别代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点， ， ， ． （3）解：是以为直角边的直角三角形， 分两种情况：①点B为直角顶点，②点C为直角顶点． ①过点B作交抛物线于点，交y轴于点E，连接，如图1. 抛物线，点， 点， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 点， 设直线的解析式为，将点B，E的坐标分别代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立，得， 解得或（不合题意，舍去）， 点； ②过点C作交抛物线于点，连接，如图2， ，， ， 设直线的解析式为，将点代入，得， 直线的解析式为， 联立，得 解得或（不合题意，舍去）， 点． 综上所述，点P的坐标为或． 3．(1) (2)是直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 4．(1)①；②或； (2)证明见解析 【分析】（1）①利用二次函数与轴交点坐标设出交点式，再代入点坐标求出表达式； ②如图，当时，过作轴于，如图，当，过作轴于，过作轴于，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可； （2）过点作轴于，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来证明是定值． 【详解】（1）解：①已知二次函数图像与轴交于点，设二次函数表达式为， 在抛物线上，把代入得： ，即， 解得． 二次函数表达式为． ②如图，当时，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，而，， ∴， 解得：（舍去），， 如图，当，过作轴于，过作轴于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，而，，， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∵， ∴不符合题意； 综上：或； （2）解：∵二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C， ∴，， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即是定值． 【点睛】本题考查二次函数表达式求解，直角三角形的判定，以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用交点式设二次函数表达式，利用相似三角形性质证明线段比例定值． 5．(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质求最值，勾股定理； （1）根据题意将，两点的坐标代入即可求出解析式； （2）求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值； （3）分三种不同的情况进行讨论，勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大，最大值为 （3）解：存在， ， 对称轴为直线， 当时， ∴ 由（1）可得 设 ∴,， 当时， ∴，解得：，则点Q的坐标为 当时， ∴，解得：，则点Q的坐标为 当时， ∴，解得：或 ， 则点Q的坐标为或 综上所述，点Q的坐标为或或或 6．(1)， (2) (3)存在，点P坐标为 (4)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）根据二次函数的图象和性质可知当时，y取得最大值为4，再分别求出当时和当时对应的y值，结合函数图象即可得出答案． （3）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （4）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：由（1）可知， 则抛物线开口向下，且当时，y取得最大值为4， 当时，， 当时，， 故当时，． （3）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （4）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 7．点的坐标为或或或或 【分析】本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，先联立函数解析式求出点坐标，再分；和三种情况，分别画出图形，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由，解得，， ∴，， 当时，如图①，过点作于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，则， 设直线与轴的交点为点，把代入得， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当时，， ∴； 当时，如图③，过点作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 8．(1) (2)点F的横坐标是1或4 (3)满足条件的M点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再设点的坐标为，则可得，，的值，然后分三种情况：①，②，③，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 9．(1) (2) (3)存在点的位置使得是直角三角形，点的坐标是或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴于点，交于点，求出直线的解析式，设，则，，根据，进行求解即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：，，， 将，，代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ∵，， ∴． ． 解得，（舍去）， 当时，， 点坐标为； （3）解：存在． 设，作轴于点，于点，则，， 若， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 此时，点坐标为． 若，则，， ， ， ， ， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 由题意，， ， 解得，，， ∵ ∴不符合题意，舍去， ∴ ， 综上，存在点的位置使得是直角三角形，点的坐标是或． 10．(1) (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为（不符合题意，舍去）， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 11．(1) (2)的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的性质，勾股定理． （1）把，代入可得抛物线的函数表达式为； （2）设，有，，，①当为斜边时，舍去；②当为斜边时，；③当为斜边时，，分别解方程可得的坐标为或． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设， ，， ，，， ①当为斜边时，如图，，不合题意，舍去； ②当为斜边时，如图： ， 化简变形得：， 解得（舍去）或； ； ③当为斜边时，如图： ， 变形得：， 解得（舍去）或， ； 综上所述，的坐标为或． 12．(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）将已知点和代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数和，从而得到函数表达式； （2）先确定抛物线对称轴，设出点坐标，再根据勾股定理，分两种情况建立方程，求解点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得： 解得 抛物线的函数表达式为． （2）解：抛物线的对称轴为直线． 设点的坐标为，则，，． 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，， 即，解得， 此时点的坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，， 即，解得， 此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的解析式求解与直角三角形存在性问题，掌握利用待定系数法求解析式，结合勾股定理分情况讨论直角三角形是解题的关键． 13．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把A，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把A，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值， 当时，的最大值为9． ∴，， ∴点，点； （3）存在 ①当时，点的纵坐标为3， 即， 解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即， 解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 14．(1)4； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）设与y轴的交点为P．可得是等腰直角三角形，进而可得点B的坐标为．将其代入即可求解； （2）分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．可通过证求证，也可通过勾股定理的逆定理求证； （3）设平移后得到．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．证即可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与y轴的交点为P． ∵平行于x轴，的图象关于y轴对称， ∴    ∵是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴点B的坐标为． ∵点B在抛物线上， ∴． ∵， ∴． （2）证明：如图2，分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．    联立 解得 ∴点C的坐标为，点D的坐标为 将代入，解得，(舍去)． ∴点E的坐标为 ∴，， ，． 证法一：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴是直角三角形． 证法二：在中，根据勾股定理，得 ． 同理可得 ． ∴． ∵ ∴． ∴是直角三角形． （3）解：点K的坐标为，或． 将抛物线向左平移h个单位得到抛物线． 设平移后得到， 如图3．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．      联立 解得    ∴点M'的坐标为(，)，点N'的坐标为(，)． 设的坐标为(，)，． ∴． 易证． ∴． 即． ∴． ∵， ∴． ∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为． 解方程，得． ∴点K的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．需要学生熟练掌握二次函数的各项性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $