2026届高考数学（全国Ⅰ卷适用） 临门一脚冲刺卷

2026年高考数学（全国Ⅰ卷） 临门一脚冲刺卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，则A∩B＝（　　） A．{x|x≤﹣2或0＜x＜1} B．{x|﹣3＜x≤0或x＞2} C．{x|﹣2＜x≤﹣1或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x≤0或1＜x＜2} 2．已知复数z满足z•（2﹣3i）＝4+i2026，则z在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知1，2是夹角为120°的两个单位向量．则212和2﹣21的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为π，且是函数f（x）的一个极大值点．若函数f（x）在上恰有两个零点，则实数a的最小值为（　　） A． B． C．π D． 5．若的展开式中x3的系数为﹣160，则下面结论错误的是（　　） A． B．所有项系数之和为1 C．二项式系数之和为64 D．二项式系数最大项为第3项 6．已知等比数列{an}的前4项是关于x的方程（x2﹣6tx+8t）（x2﹣9tx+8t）＝0的根，则数列的前4项和为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）＝2026﹣x﹣2026x+2，若关于z的不等式在（0，2）上有解，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C． D． 8．点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且α，，，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年．某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度﹣预测浓度，单位：μg/m3）．如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差xi ﹣4 ﹣2 1 0 ﹣1 3 3 下列关于这7天预测误差xi的描述中，正确的有（　　） A．这组数据的众数是3 B．这组数据的60%分位数是0.5 C．这组数据的方差大于5 D．若第8天该模型预测误差为﹣2，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小 10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC的中点，将△BAE沿AE向上翻折到△PAE，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（　　） A．若平面PAE⊥平面ABCD，则PA⊥DE B．四棱锥P﹣AECD的体积最大值为 C．点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D．三棱锥P﹣AED的外接球表面积的最小值为16π 11．已知a＞0，x1，x2是函数f（x）＝x3+ax2+3x+1的极值点，则（　　） A．实数a的取值范围是（3，+∞） B．函数f（x）的图象关于点对称 C．存在实数a，使得﹣3是f（x）的极大值点 D．若f（x1）+f（x2）＞2，则 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则tanB的值为　 　 ． 13．如图，一张长桌上，左侧有m只蚂蚁，右侧有n只蚂蚁（m，n∈N*），它们排成一条直线相向爬行（方向如图中箭头所示）．爬行规则如下： ①如果两只蚂蚁迎面碰到，会立刻调头反向爬行； ②当蚂蚁爬到桌面边缘时，会从桌面掉落． 当桌面上所有蚂蚁都掉落之后，记所有蚂蚁碰头的总次数为f（m，n）．则f（1，2）＝　 　 ；若f（m，n）＝12，写出满足条件的一组（m，n）为　 　 ． 14．已知2a+3+4b＝4a+2b+3（a，b∈R，a≠b），则a+b的最大值为 　 　 ． 4、 解答题（5小题，共77分） 15．如图1，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠B＝90°，将△ACD沿AC翻折，得到如图2所示的三棱锥D﹣ABC，且D在平面ABC上的射影恰为△ABC的外接圆的圆心． （1）证明：平面ABC⊥平面ACD； （2）设点M满足（0＜λ＜1），若平面DAB与平面MAB夹角的余弦值为，求λ的值． 16．记平面内n条直线最多将平面分成an个部分，空间中n个平面最多将空间分成bn个部分，n∈N*． （1）请写出a1，a2，a3，a4的值（无需说明理由）； （2）求an； （3）设，求数列{cn}的前n项和Sn． 17．通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.465.778.7911.628.13 物理 9.029.438.6815.1510.497.93 化学 6.3114.505.987.08 生物 7.968.7815.2510.9410.038.379.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． （1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； （2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 18．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点（其中点A在点B的上方），当直线l平行于y轴时，|AB|＝2． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线x＝﹣1相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：∠DEO+∠BMO＝π； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为3？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 19．对于一个函数y＝f（x）和一个点M（a，b），定义． （1）设，求函数y＝sf﹣M（x），x∈（0，+∞）的最小值； （2）设f（x）＝x3﹣2x，M（0，0），若集合A＝{x|sf﹣M（x）＝d，x∈R}是双元素集，求d的取值范围； （3）已知y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的定义域均为R，函数y＝g（x）恒大于0，对于点M1（t﹣1，f（t）﹣g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），记集合，对任意x∈R}，集合，对任意x∈R}．若对任意t∈R，集合B、C非空，且B＝C，试判断y＝f（x）的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学（全国Ⅰ卷） 临门一脚冲刺卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，则A∩B＝（　　） A．{x|x≤﹣2或0＜x＜1} B．{x|﹣3＜x≤0或x＞2} C．{x|﹣2＜x≤﹣1或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x≤0或1＜x＜2} 【答案】C 【分析】求函数定义域化简集合A，解指数函数不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可． 【解答】解：令，即，解得x≤﹣1或x＞0， 所以A＝{x|x≤﹣1或x＞0}，集合B＝{x|﹣2＜x＜3}， 所以A∩B＝{x|﹣2＜x≤﹣1或0＜x＜3}． 故选：C． 2．已知复数z满足z•（2﹣3i）＝4+i2026，则z在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先化简可得4+i2026＝3，再利用复数除法运算法则求出z，结合复数的几何意义即可判断． 【解答】解：由z•（2﹣3i）＝4+i2026＝4+i4×506+2＝3， 得， 可知复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A． 3．已知1，2是夹角为120°的两个单位向量．则212和2﹣21的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，求出向量，的模，及•，代入向量夹角公式，可得答案． 【解答】解：∵1，2是夹角为120°的两个单位向量． ∴1222＝|1|2＝|2|2＝1， 1•2， 故||2＝41222+41•2＝3，即||， ||2＝41222﹣41•2＝7，即||， •41222＝﹣3， 故212和2﹣21的夹角θ的余弦值， cosθ， 故选：A． 4．已知函数的最小正周期为π，且是函数f（x）的一个极大值点．若函数f（x）在上恰有两个零点，则实数a的最小值为（　　） A． B． C．π D． 【答案】B 【分析】运用三角函数的周期公式算出ω＝2，根据是f（x）的一个极大值点求出φ，可得，然后由正弦函数的零点建立关于a的不等式，解出a的取值范围，进而可得本题答案． 【解答】解：根据f（x）的最小正周期Tπ，解得ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ）； 由是f（x）的一个极大值点，可得， 结合，取k＝0，得，所以． 当时，， 因为f（x）在上恰有两个零点， 所以，解得，实数a的最小值为． 故选：B． 5．若的展开式中x3的系数为﹣160，则下面结论错误的是（　　） A． B．所有项系数之和为1 C．二项式系数之和为64 D．二项式系数最大项为第3项 【答案】ABC 【分析】根据二项式系数的性质判断CD；首先根据展开式中x3的系数是﹣160得到，从而判断A正确，令x＝1得到所有项系数之和为1，从而判断B正确． 【解答】解：因为的展开式中x3项为， 可得，解得，故A正确； 则， 令x＝1，所有项系数之和为（1﹣2）6＝1，故B正确； 因为n＝6，可知二项式系数之和为26＝64，二项式系数最大项为第项，故C正确，D错误． 故选：ABC． 6．已知等比数列{an}的前4项是关于x的方程（x2﹣6tx+8t）（x2﹣9tx+8t）＝0的根，则数列的前4项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助韦达定理求出方程根的关系，再将数列的前4项和通分计算即可． 【解答】解：设方程x2﹣6tx+8t＝0的根分别为x1，x2，方程x2﹣9tx+8t＝0的根分别为x3，x4， 根据韦达定理可知x1+x2＝6t，x1•x2＝8t，x3+x4＝9t，x3•x4＝8t， 设数列{an}的前四项组成的集合为{x1，x2，x3，x4}， 所以， 故数列的前4项和为． 故选：D． 7．已知函数f（x）＝2026﹣x﹣2026x+2，若关于z的不等式在（0，2）上有解，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答． 【解答】解：令g（x）＝2026﹣x﹣2026x，即f（x）＝g（x）+2， 则g（﹣x）＝2026x﹣2026﹣x＝﹣g（x），故g（x）是奇函数， 因为是R上的减函数， 因此g（x）＝2026﹣x﹣2026x是R上的减函数，f（x）＝g（x）+2也是R上的减函数， 将f（x）＝g（x）+2代入不等式， 即，化简可得， 因为g（x）是奇函数，所以， 代入可得， 因为g（x）是减函数，，所以， 令t＝2z，z∈（0，2），故t∈（1，4），， 是对勾函数，在（1，+∞）上单调递增， 因此当t＝1时，，当t＝4时，， 即，则， 在（0，2）上有解，即m大于在（0，2）上的下确界， 因此实数m的取值范围是． 故选：C． 8．点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且α，，，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得△PF1F2各角的正弦值，根据正弦定理及比例的性质即可求得，即椭圆的离心率． 【解答】解：P在以F1，F2为焦点的椭圆上，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且α，如图， △PF1F2中，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则∠F1PF2＝π﹣（α+β）， 所以sin∠F1PF2＝sin（α+β）． 因为 ，所以； 因为，所以α+β∈（0，π）， 因为，所以． 由，得． 所以． 由正弦定理，得， 设椭圆的焦距为2c，则椭圆的离心率． 故选：C． 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年．某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度﹣预测浓度，单位：μg/m3）．如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差xi ﹣4 ﹣2 1 0 ﹣1 3 3 下列关于这7天预测误差xi的描述中，正确的有（　　） A．这组数据的众数是3 B．这组数据的60%分位数是0.5 C．这组数据的方差大于5 D．若第8天该模型预测误差为﹣2，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小 【答案】ACD 【分析】将数据从小到大排序，由众数的定义即可判断A，由百分位数的定义即可判断B，由平均数与方差的定义即可判断C，由预测误差以及平均数的性质即可判断D． 【解答】解：将数据从小到大排序得：﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，3， 这组数据的众数是3，故A正确； 7×60%＝4.2，取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误； 平均数，方差，故C正确； 原平均数为0，新数据﹣2小于0，加入后平均数变为，确实变小，故D正确． 故选：ACD． 10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC的中点，将△BAE沿AE向上翻折到△PAE，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（　　） A．若平面PAE⊥平面ABCD，则PA⊥DE B．四棱锥P﹣AECD的体积最大值为 C．点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D．三棱锥P﹣AED的外接球表面积的最小值为16π 【答案】AD 【分析】根据面面垂直的性质定理，四棱锥的体积公式，圆的几何性质，三棱锥的外接球的求法，针对各个选项分别求解即可． 【解答】解：因为在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC的中点， 又将△BAE沿AE向上翻折到△PAE， 所以逐一分析各个选项如下： 对于A：因为平面PAE⊥平面ABCD，平面PAE∩平面ABCD＝AE， 因为E是BC中点，BC＝CD∠ABE＝∠DCE＝90°，所以， 所以AE2+ED2＝AD2，所以AE⊥ED，ED⊂平面ABCD， 所以DE⊥平面PAE，PA⊂平面PAE，所以AP⊥ED，故A正确； 对于B：由已知梯形AECD的面积为6，，直角△APE斜边AE上的高为， 当平面PAE⊥平面AECD时，四棱锥P﹣AECD的体积取最大值，故B错误； 对于C：如图1，取PA的中点G，则GF，EC平行且相等，四边形ECFG是平行四边形， 所以点F的轨迹与点G的轨迹形状完全相同，过点G作AE的垂线，垂足为H，HG， 点G的轨迹是以H为圆心，半径为的半圆弧，从而PD的中点F的轨迹长度为，故C错误； 对于D：如图2，△PAE的外接圆O1的半径为，O1是AE的中点，△ADE外接圆O2的半径为2， AE是圆O1与圆O2的公共弦，，设三棱锥P﹣AED外接球心为O，半径为R， 则， 因为|O2O|∈[0，+∞），所以R∈[2，+∞），所以R的最小值为2， 所以三棱锥P﹣AED的外接球表面积的最小值为16π，故D正确． 故选：AD． 11．已知a＞0，x1，x2是函数f（x）＝x3+ax2+3x+1的极值点，则（　　） A．实数a的取值范围是（3，+∞） B．函数f（x）的图象关于点对称 C．存在实数a，使得﹣3是f（x）的极大值点 D．若f（x1）+f（x2）＞2，则 【答案】ACD 【分析】根据极值点可知导函数有两个零点，利用判别式求解可判断A，根据函数对称的性质取特殊点判断B即可，利用f′（﹣3）＝0求出a，检验即可判断C，根据A及韦达定理，化简f（x1）+f（x2），解不等式判断D． 【解答】解：由于导函数f′（x）＝3x2+2ax+3， x1，x2是f（x）＝x3+ax2+3x+1的极值点， 因此x1，x2是f′（x）＝3x2+2ax+3＝0的两个不等的实数根， 因此根的判别式Δ＝4a2﹣4×3×3＞0，解得a＞3或a＜﹣3，由a＞0， 所以a＞3，故选项A正确； 在f（x）的图象上取点P（0，1），那么P关于点的对称点为， 而，显然不恒等于﹣1， 因此f（x）的图象关于点不对称，因此选项B错误； 当﹣3是f（x）的极大值点时，f′（﹣3）＝3（﹣3）2+2a×（﹣3）+3＝0，解得a＝5， 当a＝5时，f′（x）＝3x2+10x+3＝（x+3）（3x+1）， 因此当x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增， 当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减， 所以﹣3是f（x）的极大值点，故选项C正确； 根据A选项知，x1，x2是f′（x）＝3x2+2ax+3＝0的两个不等的实数根， 根据韦达定理可得， 因此 ， 根据， 因为a＞0，所以，故选项D正确． 故选：ACD． 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则tanB的值为　　 ． 【答案】． 【分析】由向量的数量积公式、余弦定理、正弦定理得a＝3b，再由余弦定理得cosB，平方求出sinB可得答案． 【解答】解：因为， 所以3bccosA＝2abcosC+accosB， 所以， 整理得3a2＝b2+2c2，又（3﹣cosC）b＝ccosB， 由正弦定理得（3﹣cosC）sinB＝sinCcosB， 所以3sinB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA， 所以a＝3b，所以3×（3b）2＝b2+2c2，解得， 所以， 因为0＜B＜π，所以sinB， 所以． 故答案为：． 13．如图，一张长桌上，左侧有m只蚂蚁，右侧有n只蚂蚁（m，n∈N*），它们排成一条直线相向爬行（方向如图中箭头所示）．爬行规则如下： ①如果两只蚂蚁迎面碰到，会立刻调头反向爬行； ②当蚂蚁爬到桌面边缘时，会从桌面掉落． 当桌面上所有蚂蚁都掉落之后，记所有蚂蚁碰头的总次数为f（m，n）．则f（1，2）＝　2　 ；若f（m，n）＝12，写出满足条件的一组（m，n）为　（1，12）（或（2，6），（1，12），（4，3）mn＝12，任意一组正整数解都符合要求）　 ． 【答案】2，（1，12）（或（2，6），（1，12），（4，3）mn＝12，任意一组正整数解都符合要求）． 【分析】按照当桌面上所有蚂蚁都掉落之后，记所有蚂蚁碰头的总次数为f（m，n）的含义，方向求解即可． 【解答】解：f（1，2）表示，左侧有1只蚂蚁，右侧有2只蚂蚁，可知左侧和右侧最前面的蚂蚁碰头一次后， 左侧蚂蚁调头爬到桌面边缘掉落，而右侧碰头的蚂蚁调头后与后面的蚂蚁再一次碰头， 然后两只蚂蚁调头都爬到桌面边缘掉落，这样一共就是碰头2次，所以f（1，2）＝2； 当左侧有1只蚂蚁，右侧有12只蚂蚁，依次编号为1，2，3，…，12， 则左侧和1号碰头一次后，左侧蚂蚁调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头1次， 1号调头与2号碰头一次后，1号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头2次， 2号调头与3号碰头一次后，2号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头3次， 3号调头与4号碰头一次后，3号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头4次， ..． 11号调头与12号碰头一次后，11号和12号都调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头12次， 所以此时有f（1，12）＝12，故满足条件的一组为（1，12）， 即f（m，n）＝mn＝12，任意一组正整数解都符合要求， 例如 （m，n）＝（3，4）（也可填（2，6），（1，12），（4，3）等都正确）． 故答案为：2；（1，12）（或（2，6），（1，12），（4，3）mn＝12，任意一组正整数解都符合要求）． 14．已知2a+3+4b＝4a+2b+3（a，b∈R，a≠b），则a+b的最大值为 　4　 ． 【答案】4． 【分析】推导出8＝2a+2b，由基本不等式得，8＝2a+2b，由此能求出a+b的最大值． 【解答】解：∵2a+3+4b＝4a+2b+3， ∴8（2a﹣2b）＝（2a﹣2b）（2a+2b）， ∵a≠b，∴2a≠2b， ∴8＝2a+2b， ∴由基本不等式得，8＝2a+2b， 当且仅当a＝b时取等号，∵a≠b，∴等号无法取得， ∴2a+b＜16＝24，∴a+b的最大值为4． 故答案为：4． 4、 解答题（5小题，共77分） 15．如图1，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠B＝90°，将△ACD沿AC翻折，得到如图2所示的三棱锥D﹣ABC，且D在平面ABC上的射影恰为△ABC的外接圆的圆心． （1）证明：平面ABC⊥平面ACD； （2）设点M满足（0＜λ＜1），若平面DAB与平面MAB夹角的余弦值为，求λ的值． 【答案】（1）证明：因为，∠B＝90°，所以AC＝2， 因为△ABC是等腰直角三角形， 所以它的外接圆圆心是斜边AC的中点，记为O， 因为D在平面ABC上的射影恰为△ABC的外接圆的圆心， 所以DO⊥平面ABC， 又因为DO∈平面ACD， 所以平面ABC⊥平面ACD； （2）． 【分析】（1）根据射影得出线面垂直，然后利用判定定理可得面面垂直； （2）建立坐标系，求解平面法向量，利用向量夹角和平面夹角的关系可得答案． 【解答】解：（1）证明：因为，∠B＝90°，所以AC＝2， 因为△ABC是等腰直角三角形， 所以它的外接圆圆心是斜边AC的中点，记为O， 因为D在平面ABC上的射影恰为△ABC的外接圆的圆心， 所以DO⊥平面ABC， 又因为DO∈平面ACD， 所以平面ABC⊥平面ACD． （2）以O为原点，直线OA为x轴，直线OB为y轴，直线OD为z轴，建立空间直角坐标系， 则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1）， ，，； （﹣1﹣λ，0，1﹣λ）， 设平面DAB的法向量为（x，y，z）， 则， 取x＝1，可得（1，1，1）， 设平面MAB的法向量为， 则， 取x＝1，可得， 因为平面DAB与平面MAB夹角的余弦值为， 所以， 整理可得21λ2+2λ﹣3＝0， 解得或（舍）． 16．记平面内n条直线最多将平面分成an个部分，空间中n个平面最多将空间分成bn个部分，n∈N*． （1）请写出a1，a2，a3，a4的值（无需说明理由）； （2）求an； （3）设，求数列{cn}的前n项和Sn． 【答案】（1）a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11； （2）an＝1n（n+1）； （3）Sn． 【分析】（1）由直线分平面的特点，可得结论； （2）由题意可得，an﹣an﹣1＝n，n≥2，运用数列恒等式和等差数列的求和公式，可得所求； （3）由题意可得bn＝bn﹣1+an﹣1，n≥2，由数列的累加法推得bn，再由数列的裂项相消求和，可得所求和． 【解答】解：（1）a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11； （2）由题意可得a1＝2，an﹣an﹣1＝n，n≥2， 则an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝2+2+3+...+n＝1n（n+1）， 上式对n＝1也成立，则an＝1n（n+1）； （3）空间中n个平面最多将空间分成bn个部分， 可得bn＝bn﹣1+an﹣1，n≥2， 累加，可得bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+...+（bn﹣bn﹣1）＝2+2+4+... ＝1[2n]， 3[]， 数列{cn}的前n项和Sn＝3[...] ＝3[]． 17．通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.46、5.77、8.79、11.62、8.13 物理 9.02、9.43、8.68、15.15、10.49、7.93 化学 6.31、14.50、5.98、7.08 生物 7.96、8.78、15.25、10.94、10.03、8.37、9.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． （1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； （2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 【答案】（1）； （2）X的分布列为： X＝k 0 1 2 3 P（X＝k） 数学期望； （3）应选择化学、生物． 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）X的所有可能取值为0，1，2，3，物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为，求出对应的概率可得分布列，进一步结合期望公式求解期望即可； （3）设选取的两科考试“有效”的概率依次为q1，q2，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量Y，Y的所有可能取值为0，1，2，计算出对应的概率，进一步得E（Y）＝q1+q2，故只需所选的两科目在该次考试中模型运行“有效”的概率分别是最大和第二大即可． 【解答】解：（1）因为在模型完成的四次化学考试中有3次模型“有效”，1次模型“无效”， 所以在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，模型均“有效”的概率为； （2）根据题意可得X＝0，1，2，3， 在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交， 物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为， 所以， ， ， 所以P（X＝1）＝1， 所以X的分布列为： X＝k 0 1 2 3 P（X＝k） 所以； （3）物理、化学、生物、数学四个学科考试“有效”的概率依次为， 从小到大排列为：， 设选取的两科考试“有效”的概率依次为q1，q2，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量Y， 则Y的所有可能取值为0，1，2， 则P（Y＝0）＝（1﹣q1）（1﹣q2），P（Y＝1）＝q1（1﹣q2）+q2（1﹣q1），P（Y＝2）＝q1q2， 所以E（Y）＝0•（1﹣q1）（1﹣q2）+1•[q1（1﹣q2）+q2（1﹣q1）]+2q1q2＝q1+q2， 所以q1+q2最大即可使Y的期望最大， 而， 故只需令q1+q2＝P2+P3即可， 即为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，应选择化学、生物这两个学科． 18．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点（其中点A在点B的上方），当直线l平行于y轴时，|AB|＝2． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线x＝﹣1相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：∠DEO+∠BMO＝π； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为3？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y2＝x； （2）（ⅰ）证明过程见解析； （ⅱ）存在，2条． 【分析】（1）根据已知有点（1，1）在抛物线上，代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0＞y2，联立直线与抛物线并应用韦达定理得y1+y2＝m，y1y2＝﹣1，导数的几何意义求B点处切线方程，且，进而得到、，易得l∥DE，即可证； （ii）连接AE，BD，由（i）得D（﹣2，y2），则有四边形DBME为平行四边形，再由且y2＜0，结合已知及导数研究根的个数，即可得． 【解答】解：（1）当直线l∥y轴时，|AB|＝2， 所以点（1，1）在抛物线上， 解得p， 则抛物线方程为y2＝x； （2）（i）证明：由题设，直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0＞y2， 联立，消去x并整理得y2﹣my﹣1＝0， 由韦达定理得y1+y2＝m，y1y2＝﹣1， 因为， 可得， 所以B点处切线斜率为， 切线方程为， 可得， 同理得， 所以， 所以kAB＝kDE， 即l∥DE， 则∠DEO+∠BMO＝π； （ⅱ）连接AE，BD， 由（i）得，y1y2＝﹣1， 所以D（﹣1，y2）， 因为B（x2，y2）， 所以BD∥x轴， 所以四边形DBME为平行四边形， 所以 ， 若四边形ABDE的面积为3， 此时， 整理得． 设f（t）＝2t4+3t2+6t+1，函数定义域为（﹣∞，0）， 可得f′（t）＝8t3+6t+6， 设g（t）＝8t3+6t+6，函数定义域为（﹣∞，0）， 可得g′（t）＝24t2+6＞0， 所以函数g（t）（﹣∞，0）上单调递增， 又， 所以使f′（t0）＝0， 当t∈（﹣∞，t0）时，f'（t）＜0，f（t）单调递减， 当t∈（t0，0）时，f'（t）＞0，f（t）单调递增， 因为f（﹣1）＝0＞f（t0），， 所以存在使得f（t1）＝0， 所以f（t）在（﹣∞，0）上有两个零点，为﹣1和， 即在（﹣∞，0）上有2个根． 则四边形ABDE的面积为3的直线l有2条． 19．对于一个函数y＝f（x）和一个点M（a，b），定义． （1）设，求函数y＝sf﹣M（x），x∈（0，+∞）的最小值； （2）设f（x）＝x3﹣2x，M（0，0），若集合A＝{x|sf﹣M（x）＝d，x∈R}是双元素集，求d的取值范围； （3）已知y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的定义域均为R，函数y＝g（x）恒大于0，对于点M1（t﹣1，f（t）﹣g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），记集合，对任意x∈R}，集合，对任意x∈R}．若对任意t∈R，集合B、C非空，且B＝C，试判断y＝f（x）的单调性． 【答案】（1）2； （2）； （3）f（x）在上单调递减． 【分析】（1）直接把sf﹣M（x）写成关于x的式子，再利用基本不等式求最小值． （2）先把方程sf﹣M（x）＝d化简，再令t＝x2，转化为函数d＝t3﹣4t2+5t在t≥0上与水平直线的交点个数问题，由导数讨论单调性后确定d的范围． （3）先对固定的t分别写出函数和，由B＝C≠∅证明公共最小值点只能是x＝t，再由极值点处导数为0得到，从而判断f（x）的单调性． 【解答】解：（1）由题意，，其中x＞0， 因为，当且仅当，即x＝1时取等号， 因此函数y＝sf﹣M（x）的最小值为2； （2）由题意，， 令t＝x2，则t≥0，原方程化为t3﹣4t2+5t＝d， 设φ（t）＝t3﹣4t2+5t，则φ′（t）＝3t2﹣8t+5＝（3t﹣5）（t﹣1）， 因此φ（t）在[0，1]上递增，在上递减，在上递增， 又φ（0）＝0，φ（1）＝2，， 因为集合A是双元素集，因此方程sf﹣M（x）＝d恰有两个不同实数解， 而x2＝t，当t＞0时对应两个实数解，当t＝0时只对应一个实数解x＝0， 因此方程t3﹣4t2+5t＝d在t≥0上必须恰有一个正根， 由函数φ（t）的单调性可知，当时，方程在t≥0上恰有一个正根， 当时，方程在t≥0上至少有两个正根；当d＞2时，方程在t≥0上恰有一个正根， 因此d的取值范围为； （3）对任意固定的t∈R，设u＝f（x）﹣f（t）， 则，． 由B＝C且B，C非空，取x0∈B＝C， 因为x0∈B，x0∈C，因此，且， 又，，于是有， 另一方面，， 代入x＝x0，得， 因此，从而x0＝t， 因此t∈B＝C，即x＝t同时是函数和的最小值点， 因为f（x）可导，因此在x＝t处导数为0， 由， 可得， 令x＝t，得2+2g（t）f'（t）＝0，因此， 又因为对任意t∈R，都有g（t）＞0，因此对任意t∈R，都有f′（t）＜0， 因此函数f（x）在R上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $