2026全国高考押题最后5卷-数学-5

2026全国高考押题最后5卷（五） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 数学试题 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号，准考证号填写在答题卡上。 9.已知数列{a.}的通项公式为a.=19一2n,前n项和为S。,则下列说法正确的有 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把容题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改 A.Si=-1 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 B.S。=一n2+18m答案解析网 本试卷上无效。 C.当n=9时，S.取得最大值答案解析网 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 D.数列{a.|}的前15项和为117答案解析网 10,若函数)=asin+∈R)满足对Vx∈R,都有（日-小-f).则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 A.a=一√3答案解析网 1.复数牛中：为虚数单位)的虚部为 r -2 A.-6 B.-1 C.1 D.6 C函数y=+)是奇函数 2.已知集合A={xx>0},B=(xx2-x-2<0,则AUB A.{x-1<x<0) B.{x|0<x<2 D)在[-2-上单调递地 12·-3 C.{xx>-1} D.{xx<2) 3.已知数列{am}是等比数列，a:=63,a4=21,则am= 1.已知中心为坐标原点0，焦点在x轴上的椭圆长轴长为小离心率为F为右焦点，点 A.-7 B.-3 C.3 D.7 4.已知两个单位向量a,b满足a∥b,则4a一3b A,B,C是椭圆上不同的三个点，下列说法正确的有 A.1或5 B.1或7 C.2或5 D.2或7 A椭圆的标准方程为子十y= 5.从坐标原点)向圆C:x2+y一12x十27=0作两条切线，则两条切线的火角为 B.若直线AB过椭圆的左焦点，且A,B,F三点不共线，则△ABF的周长为8 A.30° B.60° C.90° D.120 6,连续抛挪一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为3,4,5，m,2.若这5个数的第60 C若A,B两点关于原点对称且直线AC.BC存在斜率，则长ak一号 百分位数为4.则m= A.2 B.3 C.4 D.5 D若直线AB的斜率存在，且O+O店+C=0:则△ABC的面积为5正 8 7.设抛物线C:y=4x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.已知|AF1= 号AB周BF 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知用线y=一x的一条切线的斜率为？，则切点的横坐标是 A B号 C.3 13.已知正六棱柱的侧棱长为6，所有顶点都在体积为36π的球面上，则此正六棱柱的底面 8.定义二元函数f(m,n)(m,#∈N”),若二元函数f(mn)同时满足以下三个条件： 边长是答案解析网 ①fm+1m)=2m.@fmn+1n千/m.@f1,D=2.则f616) 14.已知样本：x1,∈N.i=1,2,3,4,5,若该样本的平均数为10，方差为4， A.2 B.4 C.8 D.16 且样本的数据互不相等，则样本数据中的最小值是 数学试题第1页（共4页》 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(17分)已知双曲线C的左，右顶点分别为A(一1,0)，B(1,0),点P为双曲线C上不与 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a.be,其中6=8.c=5.且Scos B sin B' 1 sin A A,B重合的一点，且P与这两个顶点连线的斜率之积为4. (1)求双曲线C的标准方程.答案解析网 (1)求a的值： (2)O为坐标原点，过点P的直线与双曲线C的两渐近线分别交于不同的两点M,N,设 (2)若△ABC的内心为1，求sin∠AIC的值. |PM=APN答案解析网 ①当A=1时，求OM·1ON的值：答案解析网 ②证明：△OMN的面积始终只与A有关，答案解析网 16.(15分)已知函数f(x)=x-3ax+2,其中a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)当0<a≤号时，记函数fx)在区间[0,2]上的最大值为M,最小值为m,求M一m 的取值范围。 19.(17分)某同学参加一种游戏.规则如下：在第n(n∈N·)次选择中，选的数字记为X.· 其中X.∈{01.若上一次选择的数字是0，则下一次选择数字0的概率为气：若上一次 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,PA= 选择的数字是1，则下一次选择数字1的概率为？已知第一次选择数字0或者数字1是 AB-BC-TAD-1. 等可能的.记第n(n∈N·)次选择数字0的概率为P (1)求在X,=0的情况下，X,=0的概率.答案解析网 (1)作出平面PAB与平面PCD的交线I(保留作图痕迹)： (2)若Hn∈N”,P.∈[a,b们，求b-a的最小值. (2)求直线1与平面ABCD所成角的正切值： (3)定义：如果对于任意给定的正数e,总存在正整数N。,使得当n>N时，a,一a<e (3)求平面PBC与平面PAD的夹角的余弦值. (a是一个确定的实数)，则称数列{a,}收敛于a.请依据定义，证明数列{P.}收敛. 数学试题第3页（共4页） 数学试题第4页（共4页）2026全国高考押题最后5卷（五） 数学参考答案及评分意见 1.A【解析因为+6+XD-1一6i,所以复数十的虚部为-6.故选A i×(-i) 2.C【解析】解不等式x2-x-2<0,得-1<x<2,所以B={x|-1<x<2}.因为A={xx>0},所以AUB= {xx>-1}故选C. 3D【解折1设等比数列1a.)的公比为g.因为a,-63a=21,所以g-8:-器行厮以a,=ag=21X写7. 故选D. 4.B【解析】因为向量a与b都是单位向量，且a∥b,所以当a与b同向共线时，a=b,所以4a一3b=a,所以 |4a-3b=1;当a与b反向共线时，a=-b,所以4a-3b=7a,所以|4a-3b=7.综上，|4a-3b|=1或7.故 选B. 5.B【解析】圆C:x2+y2一12x+27=0的标准方程为(x一6)2十y2=9,所以圆心C(6,0),半径r=3.设切点分别 为点A和点B,则|CA|=|CB|=r=3.因为|OC|=6,所以在Rt△AOC中，∠AOC=30°.由圆的切线性质，得 ∠AOC=∠BOC,所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°.故选B. 6.C【解析】因为5×60%=3，所以这5个数的第60百分位数是将这5个数从小到大排列后，第3个数与第4个 数的平均数。 当m=1时，第60百分位数为(3十4)÷2=3.5；当m=2时，第60百分位数为(3十4)÷2=3.5；当m=3时，第 60百分位数为(3+4)÷2=3.5；当m=4时，第60百分位数为(4十4)÷2=4；当m=5时，第60百分位数为(4十 5)÷2=4.5;当m=6时，第60百分位数为(4+5)÷2=4.5.因为这5个数的第60百分位数为4，所以=4.故 选C. 7B【解析】由抛物线C的方程y2=4x可知F(1,0).因为直线1与抛物线C交于A,B两点，所以直线1与x轴 不平行.设直线1的方程为=my十1A1),B(3).由心=红， 消去x,整理得y2一4my-4=0,则 x=my十1， =4,所以x=.0) 4416 =1.k题意，AF1=2BF,又因为AF1=1+号=，+1，BF= 2+?=x2十1，所以x十1=2(x2十1)，所以x1=2x2+1,则x1x2=(2x,+1)·x2=2z十x2 解得x:=号或x:=-1,因为x:>0,所以x:=分，所以BF=x:十1=故选B 8.A【解析】由条件①，得f(m+1,1)=2f(m,1),所以数列{f(m,1)}是以f(1,1)=2为首项，2为公比的等比 数列.所以fm,1)=2”,所以f5,1)=25=32.由条件@，得f(5,n+1)=n7f(5,n),所以f(5,16)=× 15. 是…×号×宁×6，D-2版滋A 9.BCD【解析】因为an=19-2m,所以数列(a.}是首项a1=17,公差d=-2的等差数列，所以S.=n(a1十a.）= 2 C36-2m)m=一m2+18m,故B正确.S1o=-100+180=80,故A错误.因为S,=-n2+18m=-(n-9)2+81,所 2 数学答案第1页（共7页） 以当n=9时，Sn取得最大值，故C正确.解19-2n>0,得n≤9；解19-2n<0,得n≥10.所以数列{|am}的前15 项和为a1十a2十…+ag-a10-a11-…-a15=-S15十2Sg=-45十2×81=117，故D正确.故选BCD. 10.AC 【解析】因为f（行-z-f(x),所以f()=-f(0),即asin号+cos子=-(asin0+cos0),解得 a=一√3，故A正确. 因为a=-8,所以5)=-ms所以得=+m=（一）X(}十=2 故B错误. 因为f)=-5snx十0sx=-2n(-),所以f(+音)-2smx+看一看)-2nx.因为两数 y=一2sinx是奇函数，所以函数y=f(z+6是奇函数，故C正确。 因为fx)=2n一看}，所以由+x<x一吾< T元十2k元，k∈Z,得-3TkZ2十2kπ，k∈Z: 由+2张<x- π3π 6<2 2,&∈乙，得+2x<x<+2,k∈乙.所以了)的单调递增区间为 2π 25π4π1 3 +2小，&∈,单润递减区间为[+2kx,+2小及因为 +2k元，3 12,-3 [-豆-2，-2][-2，-2],所以了)在[2，]上单调递减，故D错误故选C -12,-3 11.ABD 解析】由题意，设椭圆的标准方程为号，1(a>b>0).因为a=2,e一三S=月 y2 2=2,所以c=3因为 6=。-。=4-3=1,所以椭圆的标准方程为片十y2=1.故A正确。 因为直线AB过椭圆的左焦点，所以由椭圆的定义，知△ABF的周长为|AB|十|AF|十|BF|=4a=8,故B 正确。 设点A(x0y),点C(x,y).因为A,B两点关于原点对称，所以点B(-x0,-yo),所以ckc-y二· x一x0 2”二因为点A心在候圆上所以平+1号+y2-1放8-1草-】 4,所以y x6 1 4(x2-z6),所以k4ckc= 7-0 1+ 4 x2-x8 -}故C结误， 直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx十m,点A(x1,y1),点B(x2,y2), 则O=(c1y),0i=(xy).因为0+Oi+20元=0，所以点C(-2(x1十x),-2g:十y). 消去y,整理得(1十4k2)x2+8kmx十4m2-4=0, by=kx十m, -8km 2m 所以x1+十4级，则十=么十2)+2m设十2m+呢 数学答案第2页（共7页） 所以|AB|=√1+k2√(x1十x2)2-4x1x2=√/1+k 厂64k2m-16m2-16=√1+k -/64k2+16-16m2 √(1十4k2)2-1十4k2 √(1十4k2)2一， 点C到直线AB的距离 |-2k(x1+x2)+2(y1+y2)+m-2k(x1+x2)+2k(x1+x2)+4m+m|5m d= √/I+ √1+k √I十k2 因为点C在椭圆上，所以(x1+x)+4(y:十y)=1,即64m+16m2 (1+4k2)2 =1, 化简得1十42=16m2,所以|AB|=√1+ 256m2-16m2 A (16m2)2 =1+1⑤m 4m2 所以Sa-号MBd-台中，m-5西放D正确技接AD 4m2 √1十k2 12.1【解析】设f(x)=x2-3】 0,则∫'(z)=2x二总设切点的坐标为(xo,f(xo),则 3 f'(xo)=2x0一4 3=5 由题意，得2z。证=解得x,=1或x,=8舍去)，所以切点的横坐标是口 13.30 2 【解析】设球的半径为，.由题意得专=36m,解得=3，设正六棱柱的底面边长是a(a>0),则由题意， 2 得r2=a2十 ,即a2士？=9，解得a30 2 2 14.7 【解析】由题意，5(1十x,+x+x4十x)=10,5[(x1-10)2+(x2-10)2+(xg-10)2+(x-10)2+ (x5-10)2]=4,所以x1+x2+x3+x4+x5=50,(x1-10)2+(x2-10)2+(x3-10)2+(x4-10)2+(x5- 10)2=20. 因为x:∈N,i=1,2,3,4,5,且互不相等，设x1<x2<x3<x4<x6,则求x1的最小值. 因为(x2-10)2+(x3-10)2+(x4-10)2+(x6-10)2=20-(x1-10)2>0, 所以当x1∈{0,1,2,3,4,5}时，20-(x1-10)2<0,与20-(x1-10)>0矛盾，不符合题意； 当x1=6时，20一(x1一10)2=4，此时找不到满足题意的x2,x3,x4,x5; 当x1=7时，20-(x1-10)2=11,不妨令x2=9,x3=10,x4=11,x5=13,此时满足x1十x2十x3十x4十x6= 50,且满足(x1一10)2+(x2一10)2+(x3一10)2+(x4一10)2+(x5一10)2=20.因此该样本数据中的最小值为7. 15馄，0因为品会所以由正孩定理，得正 8c0sB=6, 因为6=8，所以cosB=1 ……1分 因为c=5,所以由余弦定理，得a+25-64_1 10a …3分 化简得a2=49,所以a=7.…… …5分 (2)方法一：在△ABC中，由余弦定理，得c0s∠BAC-+2-a_64+25-49_1 2bc 2×8×5 2 又∠BAC∈O,,厮以∠BAC=骨，所以号∠BAC=吾 …7分 数学答案第3页（共7页） 同理，c0s∠ACB=a2+62-c2=49+64-2511 2ab 2×7×8-14 因为cos∠ACB=2cos∠ACB-1=1-2sim∠ACB 2 2, 所以cos∠ACB5V7 2 4,sin4CB②I 2 ,……………………10 因为I是△ABC的内心，所以AI平分∠BAC,CI平分∠ACB, 所以∠AIC+∠BAC+∠ACB 2 2 2 7.…13分 方法二：因为I是△ABC的内心，所以AI平分∠BAC,CI平分∠ACB, ∠BAC_∠ACB=T- B 所以∠AIC=π- 2 2 2(r-B)=T+ 2+2 …9分 所以sn∠AIC=sn(径+号)-eos号 B …10分 由(1)得cosB= 7,又cosB=2c0s2 B 2 -1,解得cos B_2√7 7 所以sin∠AIC=27 7…………13分 16.解：(1)因为f(x)=x3-3ax十2，x∈R,所以f'(x)=3x2-3a. …1分 当a≤0时，f'(x)≥0恒成立，当且仅当a=0,x=0时，等号成立， 所以函数f(x)在R上单调递增…3分 当a>0时，解f'(x)=0,得x=-√a或x=√a. 当x∈(-∞，-√a)或x∈（√a,十∞）时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增； 当x∈（一√a,√Wa)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减.… …6分 综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增；当a>0时，函数f(x)在(-∞，一√a),(√a,+o∞)上单调递增， 在（一√a,√a)上单调递减。…7分 (2)当0<a<号时，0<a<25<2. 3 由(1)可知，函数f(x)在(0，√a)上单调递减，在（√a,2)上单调递增， 所以函数f(x)在区间[0,2]上的最小值m=f(√a)=2-2awa,最大值M=max{f(0),f(2)}.…10分 因为f(0)=2,f(2)=10-60≥10-6X等=2，所以M=f(2)=10-6a.…12分 M-m=10-6a-(2-2aNa)=8-6a+2ava, 设g(a)=8-6a+2aa,0≤a≤等，则g'(a)=3a-6<0恒成立， 所以函数g(a)单调递减。………13分 数学答案第4页（共7页） 所以当0a≤号时g()5ga)g0,即l16≤8a)<8, 9 所以M一m的取值范围是 …15分 17.解：(1)如图，延长AB,DC交于点E,连接PE,则直线PE即为交线L.…3分 (2)因为PA⊥平面ABCD,所以∠PEA即直线l与平面ABCD所成的角.…4分 在Rt△AED中，BC/∥AD,BC=号AD,所以BC是△AED的中位线， 所以AE=2AB=2.… …5分 在R△PAE中，AP=1,所以m∠PEA-AC-子 1 即直线1与平面ABCD所成角的正切值为2…6分 (3)因为AP⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD,所以AP⊥AB,AP⊥AD. 因为AB⊥AD,所以AB,AD,AP两两垂直. 如图，以点A为坐标原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系. 因为PA=AB=BC=2AD=1,所以A(0,00,P(00,1),B(1,00,C11,0),D(0,20.…8分 42 m·BC=0, 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则 m·PB=0. 因为BC=(0,1,0),PB=(1,0,-1),所以 =0, x-z=0. 令x=1,则y=0,之=1，所以m=(1,0,1).… …11分 显然，n=(1,0,0)是平面PAD的一个法向量.…12分 设平面PBC与平面PAD的夹角为a, 题aw=lwaa=没培-号 数学答案第5页（共7页） 即平面PBC与平面PAD的夹角的余弦值为？ …15分 18.1解：设双周线C的标准方程为号-多=1a>0,b>0,P,. x0十1kpPB=0 则直线PA,PB的斜率分别为pA= xo-1· 依题意，kpA·kpB=。 yo ya 。7”=0—4。…………”……“”””“……3分 化简得-装-1， 所以双曲线C的标准方程为2-置-1。 …4分 (2)由(1)知，双曲线C的渐近线方程为y=士2x,设P(xoyo),M(x1,2x1),N(x2,一2x2). ①解：当入=1时，点P为线段MN的中点，由中点坐标公式，得，=1， 2y0=2x1一2z2=x1-x2 2 因为点P在双曲线C上，所以x--1,所以+》_ 4 4 =1,獬得x1x2=1.…7分 所以|OM·|ON|=√x+4x克·√x+4x=5引x1|X√5|x2=5x1x2|=5.…9分 ②证明：由|PM=λ|PN|,得入>0，lx1-xo=入x2-xo|,2x1-yo=λ|-2x2-yo1. 当点P在线段MN上时，PM=-λPN,即x1-xo=-A(x2-xo),2x1-y0=-入(-2x2一yo), 所以x=1十z2 1+y0= 2x1-2λx2y0=x1一λx2 1+入’21+入 当点P在线段MN的延长线或反向延长线上时，PM=λPN,即x1一xo=A(x2一xo),2x1一y=入(-2x2一yo), 所以x=一工2 1-y0= 2x1+2λx2y0_x1十λx2 1-λ’21-λ1 …11分 因为点P在双曲线C上所以好-等-1，即计)广-（色1）-1或)广-色广-1 所以4λx1x2=(1十入)2或4λx1x2=一(1-入)2， 4以或x1x2=-1-A)2 所以x1x,=1+A)2 4以 …12分 所以1OM1·0N1=+4z·Va+4a-51xX5lx,=5x1,l=51+x)或1- 4λ 4 设渐近线)=2x的倾斜角为0，则tan0=2,所以sin0=25,o 八3，cos0=5,所以sin20=4 5 .…14分 当点P在线段MN上时，∠MON=20,△OMN的面积S-1OMI1ON1sin∠MON=1+A” 2λ 当点P在线段MN的延长线或反向延长线上时，∠MON=π一2θ， △OMN的面积S=号1OMI1ON1sin∠MON-1,) 2刃……16分 综上，△OMN的面积始终只与入有关.…17分 数学答案第6页（共7页） 19.(1)解：记事件M=“X,=0”,事件N=“X,=0”,则由题意，得P(M)=) 11 …3分 11 所以P(NM)= P(MN)3611 P(M) 18 …5分 2 (2)解：由题意知，P1=2, 1 当a≥2时，由全概率公式得卫.=号P.+-》1-P.)=P.十号 …7分 所以数列P。一}是以-一为首项，为公比的等比数列， …9分 …10分 由指数函数的单调性可知数列P,)单闲递塔，且<P.<号 因为P,∈[a,6],所以a≤分6≥号所以6-a的最小值为号-言品 ………11分 3)证明：由(2)知，数列P.单调递增，且P.<号，所以猎测数列P.》收敛于 5 …12分 P.引-))”对于任意0) <e,得n>log(10e)+1.…13分 3 当e>10时，l1og号(10e)+1<1,所以n∈N,取N。=1,当n>N。时，P.- €.……………………14分 当0<e≤0时，log号(10e)十1≥1，取N。-[1og号10e)]+1,其中[x]表示不超过x的最大整数 当≥，时p.--(6))<×( log (10e) =e.…16分 综上，对任意e>0,总存在正整数N。=max{1,[log:(10e)]+1}(max{m,n}表示m,n中的较大者)， 当n>N。时，P.-<,即数列P收敛于 ………………………17分 数学答案第7页（共7页）