精品解析：湖北楚天协作体2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

湖北楚天协作体2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 6. 在中，向量与满足，且，则为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰非等边三角形 7. 如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 已知函数在上存在最值，且是单调递增区间的子集，则满足条件的正整数的取值为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或5 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是 10. 函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的零点为 C. 若实数满足，则 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 11. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ） A. 的大小是 B. 的取值范围是 C. 若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为 D. 若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 13. 已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则__________. 14. 在中，在边所在直线上，且满足，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，、分别是的边、上的点，且，，交于. （1）若，求的值； （2）若，求的大小. 16. 如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度（其中，，求函数解析式及当点旋转到距离地面的高度为85m时需要的最短时间； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？ 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求的值； （2）若，当的周长最小时，求的值. 18. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期； （2）设函数满足.当时，函数与的图象有两个交点，求的取值范围； （3）当时，求函数的最大值. 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系.在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设分别为，正方向同向的单位向量，若向量，记向量在的斜坐标系中. （1）若向量，求； （2）已知向量，证明：； （3）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北楚天协作体2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面对应的点为位于第二象限. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助辅助角公式可得，再利用诱导公式整体代换计算即可得. 【详解】，则， 则. 4. 在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形相似计算出与的关系，再利用和表示出向量即可. 【详解】在平行四边形中有， 因为，所以， 所以. 5. 为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可以得到， 再向右平移个单位，得到. 6. 在中，向量与满足，且，则为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由方向向量和向量垂直可得的角平分线与边垂直，再根据数量积定义和三角形内角和定理判断三角形形状即可. 【详解】、分别是、方向的单位向量， 两个单位向量的和方向为的角平分线方向， 由条件，可知的角平分线与边垂直， 因此，为等腰三角形. 由向量数量积的定义，可得： 是三角形内角，即，因此. 结合得，可得， 三个内角不全相等，故是等腰非等边三角形. 7. 如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理可设，知；根据分别为的中点，可得到，由此求得；根据，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】四点共线，可设，其中，， 分别是的中点，，， ， ，，， 是线段上两个动点，，， ， 当且仅当，结合，，即时取等号， 的最小值为. 8. 已知函数在上存在最值，且是单调递增区间的子集，则满足条件的正整数的取值为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或5 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，确定的范围，由函数的单调区间求正整数的取值. 【详解】由辅助角公式，其中， 知， 由于，所以，则， 由于有单调递增区间，所以，解得，； 当时，，由，得，不符合正整数要求，舍去； 当时，，，得，符合正整数要求时， ，代入，又，得，在处取最大值； 故的值只能取3. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，结合向量坐标运算和向量相等求解；选项B，利用垂直向量的数量积和向量坐标运算列方程求解；选项C，将转化为关于的二次函数形式，再利用二次函数求最值；选项D，结合向量坐标运算计算与的坐标，再分别根据数量积大于0、不共线的条件列不等式，求解的取值范围. 【详解】选项A，计算，因此，A正确； 选项B，， 因为，所以，B正确； 选项C，由， 可得， 这是开口向上的二次函数，时，取得最小值为， 因此的最小值为，C错误； 选项D，，，由夹角为锐角可得： 若，反向共线，不满足夹角为锐角（不影响范围）， 所以范围是，D正确. 10. 函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的零点为 C. 若实数满足，则 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断选项即可得出结论. 【详解】由函数的图象可知，，，则，， 由，解得， 因为，所以，，所以A正确. 对于B，令，解得，故B错误. 对于C，若实数满足，则分别取得最大值和最小值， 必为半周期的整数倍，所以，C正确. 对于D，，则，值域为， 所以，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 11. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ） A. 的大小是 B. 的取值范围是 C. 若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为 D. 若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出判断A；利用和差角的正弦公式化简，结合正弦函数性质判断B；利用数量积的运算律及基本不等式求出最大值，进而求出三角形的面积最大值判断C；利用三角形面积公式及差角的正弦公式变形，再利用正切函数的性质求出范围判断D. 【详解】在中，由及正弦定理， 得，整理得， 对于A，由余弦定理得，而，则，A正确； 对于B，由选项A，得，令，则， ，由，得， 因此，，B正确； 对于C，由，得，即， 两边平方得，则，即， 当且仅当时取等号，的面积，C错误； 对于D，由选项A及为锐角三角形，得，则， 由是内角的平分线，得 ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据向量垂直的性质求出的值，再根据投影向量的计算公式求出在上的投影向量的坐标. 【详解】已知，则. 因为，根据向量垂直的性质可知，即. 将代入上式可得，即，解得.  根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为. 将，，代入可得： .  故答案为：. 13. 已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正弦型函数的综合应用，先根据图像确定，的值，从而得出函数的表达式. 由正弦函数的对称性，将表示成的式子，再结合诱导公式，最后求出的值. 【详解】解：由图可知，则，又，所以， 所以，又，则， 因此，，又， 所以，当时，，此时； 当时，，， 又由图可知当时，，而， ， 所以函数. 当，则， 所以，由正弦函数的对称性，，可得， 且. 所以， 设，则，即， 所以. 14. 在中，在边所在直线上，且满足，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦，余弦定理及二倍角公式化简整理，最后解直角三角形即可． 【详解】 如图，由余弦定理得， 所以，因为，所以， 在中，由正弦定理得，得，则，， 在中，由余弦定理得， ​因此得，所以，， 所以， 在中，， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，、分别是的边、上的点，且，，交于. （1）若，求的值； （2）若，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量线性运算可用、表示、，再利用平面向量共线定理，可设，，则可借助与、及与、表示出，再利用平面向量基本定理即可得解； （2）借助平面向量夹角公式及模长与数量积关系计算即可得. 【小问1详解】 由，， 则， ， 设，， 则， ， 故，解得，即， 由，即，，故； 【小问2详解】 由（1）知，， 故 ， 故. 16. 如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度（其中，，求函数解析式及当点旋转到距离地面的高度为85m时需要的最短时间； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用摩天轮半径可得、利用圆心距地面的高度可得，利用该函数周期可得，利用起始位置可得，即可得函数解析式；令，解出即可得需要的最短时间； （2）由题意可令，解出即可得一个周期内可以看到公园的全貌的时间，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，，周期，则，解得， 由摩天轮上的点的起始位置在最低点处，则， 即有，则，又，故， 故； 令，则， 则或， 解得或， 故所需最短时间为； 【小问2详解】 令，即， 则， 解得， 则一个周期内有可以看到公园的全貌， 则当游客在上面游玩时，共有可以看到公园的全貌. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求的值； （2）若，当的周长最小时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得解； （2）借助余弦定理可用表示出、，从而可用表示出的周长，再借助基本不等式计算即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 又， 则， 即，又，故， 则，故， 即，又，故，即； 【小问2详解】 由余弦定理可得， 由，故，整理得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当的周长最小时，的值为. 18. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期； （2）设函数满足.当时，函数与的图象有两个交点，求的取值范围； （3）当时，求函数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角和辅助角公式可化简，根据正弦型函数最小正周期求法可求得周期，利用正弦函数性质求解值域即可. （2）将问题转化为与恰有两个交点的问题，结合正弦型函数图象可求得结果即可. （3）运用二倍角公式将转化为，再令，再利用二次函数的知识求解. 【小问1详解】 ， ， ， 的最小正周期． 【小问2详解】 因为， 所以与的图象关于直线对称， ； 当时，， 则当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减； 而，，， 可得在的大致图象，如下图所示，    而有两个零点等价于与有两个交点， 由上图可知. 【小问3详解】 ， 令，得： ， ，，， 等价于求，的最大值， 的对称轴为，下面对进行分类讨论， 当，即时，在上单调递减，， ，即时，在上单调递增，在上单调递减， ， 当，即时，在上单调递增， ， 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系.在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设分别为，正方向同向的单位向量，若向量，记向量在的斜坐标系中. （1）若向量，求； （2）已知向量，证明：； （3）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，借助模长与数量积关系计算即可得； （2）由题意可得，，借助数量积公式计算即可得； （3）结合（2）中所得可表示出，再利用辅助角公式及与关系，结合换元法可得，从而可得的范围，再利用三角函数性质计算即可得解. 【小问1详解】 由，则， 则 ； 【小问2详解】 由，则，， 则 ，即得证； 【小问3详解】 由向量的斜坐标分别为和，， 结合（2）中所得，有， ， ， 故 ， 由， 令，则， 故， 令，整理得， 解得或，又，故， 即，即， 即有， 解得， 即不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $