湖北楚天协作体2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一数学答题卡 名 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1，答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置黏好条形码 意2，选择题必须使用2B铅笔敏涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整，笔迹清楚。 事3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷、草稿纸上答题无效 项4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交。 选择题 1AJBC☒D 5ABC☒D 9A®回☒D 2AIBC☒D回 6因B回©D 10A®回☒D 3AB回gD 7A可CD 11因回©回 4因®© D 8☒B©回 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) B 、M P 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第1页共2页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) 60 50 ■ 地面 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 姓名 座位号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡第2页共2页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) y e 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效少法二：作平行利用相似找到P点伍置劻情羚分 法三：生杯法：以A为生标原点杂 由AB=2.Ac=3,∠BAc=b0°9B(,B).C(3,b) 边U为B中点.即（生，）-8 友成=（名，），=品+4成=任，渠) 聊1=平，1制=万 今成动-年+是 、---121 a0o5LMN=0<An,成7Fp 虫Lwe(o,T)习L心W=罗--31 门.()未操洞A(o,T拉1分 18.(3)动轴尼正间未代单惘性不扣分 年种情况1分高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.在复平面内， 2 对应的点位于() i+1 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(2,n),b=(n-1,1),则“n=2”是“a/1b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知5s如a-sa-2,那么-a() 3 A.6 B.、今 3 3 3 D.、② 3 4.在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，且BE:EC=2:1,AE交BD于F,则AF=() +号0 4、 C. 5 +0 D+{而 5.为了得到函数y=3cos 4-的图像，可以将函数y=3cosx的图像上() A.每个点的横坐标缩短到原来的，倍，纵坐标不变，再向左平移”个单位 4 716 B.每个点的横坐标缩短到原来的二倍，纵坐标不变，再向右平移亚个单位 16 C.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移”个单位 6 D.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移亚个单位 16 AB AC BA BC3 6.在△ABC中，向量AB与AC满足 C=0,且B2， 则△ABC为 AB AC () A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰非等边三角形 7.如图，在△ABC中，M,N分别是AB,AC的中点，D,E是线段BC上两个动点，且 19 AD+AE=xAM+yAN,则二+一的最小值为() x y 9 A.3 B.4 C.4 D. 第1页共4页 &.已知函数f()-V5snar-csa(o>0)在0牙 上存在最值，且 7π5π 12’6 是f(x)单调递 增区间的子集，则满足条件的正整数ω的取值为() A.3 B.4 C.3或4 D.4或5 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量a=(2,-3),6=(-1,2),c=(2,-2),2∈R,则() A.若c=a+b,则元=3 B.若(a+36)1c,则1=6 C.a+函的最小值为5 D.若向量ā+b与向量2b-c的夹角为锐角，则元的取值范围是(-o,-8) 10.函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,o>0,p<元)部分图象如图所示，则下列说法正确的 是() A.0=2,p=-2π 3 B.函数f()的零点为-元+km(keZ） C.若实数，满足/()-f(=8,则x-l= D若了网在区间[二a上的值域为[-42，则实数a的取值粒国为[ 13π3π 1L,已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 (c+a)(sinC-sinA)=b(sinC-sinB),则下列选项正确的是() AA的大小是写 B.sin Bsin C的取值范围是 C.若D是BC边上的一点，且D=2DC,D=1,则△4BC的面积的最大值为3N固 D.若三角形ABC是锐角三角形，AE平分∠BAC交BC于点E,则BE的取值范围是 C万 22 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a,b满足：a=(1,3),a⊥(a+2b,则6在a上的投影向量的坐标为 13.已知函数f(x)=sin(ox+p)(o>0,p<π)的部分图象如 图所不，若存在0≤<6≤，满足)=，)， 则cos(1-x2)=一· 14.在△ABC中，AB=2,BC=4,∠ABC=元，D、E在边AC所在直线上，且满足AD=AC, BD⊥BE,则BE=· 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，M、N分别是△ABC的边BC、AB上的点，且BM-BC,AN=4B,AM交CN 于P (1)若AP=xAB+yAC,求x-y的值： (2)若AB=2,AC=3,∠BAC=60°，求∠MPN的大小. B M 16.(本小题15分) 如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m,圆心距地面的高度为60m,摩天轮开启后按逆 时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每l5mi转一圈，摩天轮上的点 P的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ot+p)+h(其中A>0, o>0,p<π)，求函数f(t)解析式及当点P旋转到距离地面的高度为85m时需要的最短时间： (2)当点P距离地面(60+25√5)m及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游 玩30min,则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？ 6050 地面 第3页共4页 17.(本小题15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+V3 asinC=b+c, (1)求A的值； (2)若a+1=b,c>2,当△ABC的周长最小时，求C的值. 18.(本小题17分) 己知向量a=(2cos,5cos(x-元五=(cosx,2sin(x+π)，函数f(x)=a.b. (1)求f(x)的最小正周期： (2)设数g创满足（钊=/任小：当0习时，晒数g句与yu的图象有 两个交点，求a的取值范围： 3)当x0到时，求函致p)=a红+引对)的最大值 19.(本小题17分) 如图，设ae0),且a≠乃当∠么0=a时，定义平面坐标系为a的斜坐标系.在a的 斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设C,C分别为Ox,Oy正方向同向的单位向量， 若向量O丽=网+%，记向量OP=(x)在：-号的斜坐标系中. (1)若向量0p=(3,2),求0P: (2）已知向量ā=(，)，6=()，证明：a:6=x+2+4+): (3)若向量a,万的斜坐标分别为(sinx,)和(cosx,l),xeR,设函数f(x)=a-石+园+， x∈R，求不等式f(x)之)的解集. e 第4页共4页高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C A B D A ABD ACD ABD -1 1.解： -(1-i)-1+i1i i+1i+1(1+)00-)2= 2+,复数+对应点为 22 位于第二象限.故选： B 2.本题考查向量平行（共线）关系的坐标表示，考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.利用平面 向量平行的坐标表示求解即可. 解：当n=2时，a=(2,2),b=(1,1),故ā/1b,故充分性成立，当ā/1b时，满足n(n-1)-2=0,解得 n=2或-1，此时必要性不成立，故“n=2”是“a/16”的充分不必要条件.故选A. mg-小-ow臣a】na-牙微送：c 4BB:EC=-2:1BG-名E,又DBC:4-340 BC 3 AD FE 2 BE F=征=+E）+号40B+D故选A 5.可以将函数)=3cosx每个点的横坐标缩短到原来的子倍，可得y=3c0s4,再向右平移云个单位可得 16 3o4-， 故选B 6.【分析】本题考查向量的数量积的几何应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力， 属于中档题.利用单位向量的定义及向量的数量积为0时两向量垂直，得到等腰三角形，利用向量的数量 积求出三角形边的夹角，得到等腰三角形 AB AC 解：因为 BC=0,所以∠BAC的平分线与BC垂直，所以三角形ABC是等腰三角形，且 AB AC BA AB=AC.又因为 BA BC 2 2=c0s∠1BC,所以∠A8C=石，所以三角形ABC是等腰非等边三角形.。 故选：D. 7.【分析】本题考查了向量的线性运算，基本不等式求最值.根据向量的运算AD=mAB+nAC, AE=AB+uAC，由B,D,E,C共线，结合题干条件，可得x与y的关系，利用乘1法和基本不等 式即可求解最小值 解：由B,D,C三点共线，E,B,C三点共线可得，存在实数m,n,2,4,使得 第1页，共7页 而=m丽+nC,正=B+hC,B=W,C=孤，由B,D,B,C共线，m+n=1, 2 元+4=1， AD+AE=xAM+yAN=2mAM+2AN+2AM+2uAN,可得2m+22=x,2n+2u=y,所以x+y=4, 即+兰=1，点D,E是线段BC上两个动点，x>0,y>0, 44 19 则二+一的最小值为4.故选：C x V 8.解：因为f=5 isina=2max-君，当x0到时，因为@>0，则 ox-Ief-zIo-z 6(6’4 8)因为商数倒在〔0)上存在最值，则管0名受，解得@ 4 3，当 是f(x)单调递增区间的子集，则 7π .+2k元 12 6 其中k∈Z,解得 5 o-ms+2kn 662 244s0≤4+12(k∈Z）,所以24-4s+12，解得太≤ 7 7 55 775 5 3,又因为@>0，则k∈{0,1}. k0时，0<o≤4；当k=1时， 20≤0≤，又因为ù因满足条件的正整数o的取值为3敌 5 选A. 9.【分析】本题考查了向量坐标的运算、模的计算，向量的夹角，向量垂直的充要条件，考查了计算能力. 解，a=亿-3,5-(2，=(2-2，对于4，c=a+-侵-2小-}故A正确： 对于B,a+36=(-1,3),由(a+36)1c,得(a+3bc=-元-6=0，所以元=6，故B正确： 对于C,ā+6=(2-4，-3+20)，所以a+bl=2-2+(-3+2μ}=5u2-16u+13= 由二次随数的性质可知，当：-，与+网取得最小值。，故C错淡！ 对于D,a+i=(1,-1),2b-c=(-2-元，6)，由(a+b2b-c)=-(2+)-6>0,解得元<-8， 当1=4时，ā+b与2b-c同向，夹角为0，所以若向量ā+b与向量2b-c的夹角为锐角，则2<-8，故 D正确.故选ABD 10.本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于 较难题. 解，对于：根器商数的图象得：A=4,由于沿-气】-子，解得7=，所以。-2， 第2页，共7页 则=nax+p,由于/）4m(4，并且<，解p=2。 7π 故fy)=4sm2x-2 3 故A正确： 对于B令2x行-：低e2小，解得x经ke2,数B错误 对于C:若()-f(=8,则一个取最大值，一个取最小值，所以：-m=了，故C正确： 2 对于D:若∫(x)在区间 2π 2π 由于f(x)在区间 2 3 -, 上的值域为 3 [42,则受2号受，解得竖5受，故实数a的取位微为 13π3π 故选：ACD. 12 2 12’2 11.因为(c+a)(sinC-sinA)=b(sinC-sinB),所以c2+b2-a2=bc, 所以coSA= +c2-a-,“Ae(0),所以A=于，所以A正确： 2bc 2 2 前以而-兮C,所以网-倡西号-号西元+号c2,又0=1，所以 2+c+262+ 3 1= 0 0 c,即c≤，当且仅当)2-6c=2b时，等号成立， 3 9 1 所以S。ABC=2 4 35,即△4BC的面积的最大值为35，故C错误：AE平分∠BAC交BC bc≤ 8 8 于点E,由角平分线定理得，BE_AB sinc sin B+ 3 2sinB+ -cos B 1,51,因为三 一 CE AC sin B sin B sin B 22 tan B 3 角形ABC是锐角三角形， 6’2 所以tanB∈ BE的取值范围是 C (行2故D正确：放选：ABD 12.解：因为a=(1,3),a1(a+2b),所以aa+2b)=a2+2ab=0,所以a.b=-5, s9张n甘子引 13.【分析】本题主要考查三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及 三角函数的诱导关系进行转化是解决本题的关键.有一定的难度.根据图象求出函数解析式，结合对称性 求出为行，然后利用三角函数的诱号关系注行转化求解即可。 第3页，共7页 解：由图象知函数的周期T-2× }2管=，即2=，得-2 7π.13元 1212 3 3 网<不，当=0时，9=名，即/（倒-m2-看引 6 :存在0≤x1<x2≤元，满足f()=f,)=石 2 2 则eow-)-m}m2-引引n2引8 14.本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，二倍角公式和同角三角函数的应用，属于中档题. 在a4BC中，利用正弦，余弦定理求出AD,mA,cosA,进而求出anA=5 ,在△ABD中，由余弦定 理求出BD,得到BD=AD,利用二倍角公式求出tan∠BDE,最后解直角三角形即可. 解：如图， D B A 由余弦定理可得4C2=BC2+AB2-2AB-BCc0s2”=4+16-2×2×4× 3 BC AC :AC=2万，~AD=AC,AD=5,在aABC中，由正弦定理得SA 4 2 sin2元， 4x3 .'sin A=- =V2,c0sA=2 2 2√77 7:.tan4= 在a1BD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2 B ADc0sA=4+7-2×2x5×27_7 2741 BD 2 =AD,∴∠A=∠ABD,∠BDE=2∠A,tan∠BDE=a2A=,2IamA=45, 1-tan24 在n0中，BD-9,BDE=45,E-D-lmB0g, ×4√5=2√21.故答案为2√21. 2 15解：0在c中，因为BM-8C,所以丽-C-C-, …1 所以AM=B+BM=3AB+AC,…2 第4页，共7页 设4A=元M=3AB+4C=3AN+AC,…4 3 2 ………………6 (2)由()知，P=B+4C, 因为AB=2,AC=3,∠BAC=60°，所以AB.AC=3, ………8 亚-元-子丽+c-西-c任+c分 o--丽c+d--26c+6-3 .…11 ∴.cos∠MPN= CNAW=-1∠MPN=2 C·AM 2 3 …13 法二：以A为坐标原点建系，利用平面向量坐标运算求解 6,解：①由题意可知4仁50.h6015，所以将5·又o>0·得到ù7 15 ，即 f(t)=50sin 21+p+60,…4 1 又摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，即f(0)=10,所以50sinp+60=10，即sinp=-1,又o<π， 所以=受 故f()=50sin 1-}60=50cos径+60，…6 15 当f(t)=-50co 2π1+60=85即cos π 1 5 =-)时，tmin=5min,所以当点P距离地面的高度为85m时需要 2 最短时间为5min.…8 (2)因为从最低处开始到达高度为(60+255)m刚好能看着全貌，经过最高点再下降至(60+25V5)m时又 能看若全貌，每个游客可游玩两个周期，由()知f0)=-50c0s251+60≥60+255，得到 15 …………10 2 解得2空+15k<1<35+15k,keZ,所以在每个周期内25+15k≤1535+15k,keZ,…13 4 A 4 又+15-(+153 所以游客在游玩过程中共有5min可以看到公园的全貌.…15 17.解：()由acosC+√5 asinC=b+c及正弦定理，得sin4 AcosC+√3 sinAsinC=sinB+sinC,…2 因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,且sinC≠0， 所以m=c41,即n(4-}号 …5 因为0<A<元，所以A=;…7 31 第5页，共7页 (2)由余弦定理，得d2=b+c2-bc,将a+1=b代入，整理，得a=c-c+ ,…9 c-2 因为c>2,议△BC的遇长为a+b+c2c2g+2+e+1=3e-2)+2+92≥6W2+9, c-2 当且仅当3(c-2)。62即c=2+V2时取等号，………的 所以当△ABC的周长最小时，C=2+√2…15 18.解：（①）a=(2cosx,V5cos(x-x,万=(cosx,2sin(x+π月， .f(x)=a.b=2cos2x+3cos(x-z).2sin(x+)=cos2x+1+3(-cosx).2(-sinx) =6sn2x+os2x+1=2sn2x+g}1…3 f()的最小正周期T=2=元.…4 -后后小12}1：… 当0时x[]则当2[天引即时单调莲 6】 时，g(x)单调递减； …7 可得=g在[ 的大致图象如下图所示， y=g(x) y=a 5π y=g(x)与y=a有两个交点，由上图可知：a∈[0,3).…10 3)0衔：p=o+引+2m2x+}+m=2如2+引2n2+m1, 当号引时，x云[后则m2+别[，1mx+则[，p 令g()=-22+21+m+1,则q)为开口方向向下，对称轴为t=的抛物线， 当分即1时，在上单调减，g02+ 第6页，共7页 当贺21，即m≥2时，g0在别 上单调递增，∴.9)max=9(0)=-2+2m+m+1=3m-1: 1<”<1,即1<m<2时 当22 及，）上单调递增，在受上单调透减。 q)在22) 。90=q)+m2+m+1520+2 ………16 2 2m+三，m≤1 2 p(x)mas m2+2m+2,1<m<2.…17 2 3-1,m≥2 19.解：(1)因为向量OP=(3,2),所以Op=3C+2e,…1 又因为写G2-62-1, 所以0P2=(3e+2)}=92+1286+4e=13+6=19, 所以0P=V9;…4 (2)证明：因为向量ā=(，)，b=(x2,2), 所以a=x1g+4,b=x8+y8, 所以ab=(8+ye2)(,+26)=xxg2+y2+x2y片·e+yy26 2 化简得a-6=x+h++x2):9 3y由(2)行ai=6+16nr+cor）.小0 因为a=(sinx,l),万=(cosx,l)所以a=esinx+e，b=ecosx-+e, esinx++sin'x+simx,ecosx+1+cosx+cosx, 3 所以f()=sinrco+4+(sinr+cosr),…12 令：=sm+or=m+》[一同]，则sincoo-), 所以-刂+4+3，即r++2>0,解得1≤-2含去)或≥-1，所以m+》-1,…15 即m+引}-9，所以牙2a≤+经a,ke2,所以-号2次≤≤-2，ez, A 44 即不等式f(上的解集为[于+2k,+2ke7.…17 第7页，共7页