2026年中考数学临考冲刺卷03（领航卷，精选最新模拟题）

**基本信息** 2026年中考数学临考冲刺卷，整合安徽、湖南等多地模拟题，覆盖实数、函数、几何等核心知识，通过动点、旋转等综合题考查空间观念与推理能力，适配三轮冲刺模拟训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、三视图、二次函数图像|结合电池产量增长率等生活情境，基础与中档题结合，考查抽象能力| |填空题|5/25|统计、新运算、几何最值|设置反比例函数综合题，需运用模型意识分析图形与函数关系| |解答题|8/75|圆的切线、函数综合、矩形旋转|以新能源车费用比较（模型意识）、矩形旋转探究（空间观念）为载体，梯度覆盖基础运算到创新应用，贴合中考命题趋势|

密押 2026年中考临考冲刺卷03 数 学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·安徽阜阳·二模）如果增加记作，那么减少记作（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·模拟预测）某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·一模）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东青岛·一模）如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，点在上，点在劣弧上，连接、、，若四边形为平行四边形，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽芜湖·二模）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2026·广东江门·一模）在如图所示的正方形网格中，的度数是（   ）. A． B． C． D． 9．（2026·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 10．（2026·甘肃武威·一模）如图1，点为正方形中边的中点．动点从点出发沿边匀速运动．运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为与的函数图像如图2所示，则当点运动到的中点时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．（2022·上海浦东新·二模）为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义新运算：，则的运算结果为_________． 13．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 14．（2026·黑龙江绥化·三模）某公园儿童滑梯的截面示意图如图所示，已知立柱垂直于地面且高度相同，平台平行地面，，．若，则滑道的长度约为______．（结果保留整数．参考数据：，，） 15．（2026·安徽淮北·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点，分别作轴的垂线段、，垂足分别为点、，且． （1）若点为线段的中点，则________； （2）若是等腰直角三角形，，其面积小于3．延长交第三象限双曲线于点，连接，则________．    3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题8分）（2026·山西太原·二模）计算 (1) (2)解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 17．（本题7分）（2026·山西太原·二模）王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 18．（本题8分）（2026·辽宁·模拟预测）暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位里参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级里的部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩（成绩均为整数）进行分析比较，并决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动． 【信息一】甲班本次考试成绩统计图如下： 【信息二】乙班本次考试情况统计如下表： 平均分 中位数 众数 最高分 90 89.5 94 98 【信息三】甲、乙两班方差如下表： 12.1 35.4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次考试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，选取的甲班学生成绩的中位数是 分，并补全条形统计图； (2)本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为多少分？ (3)通过本次考试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 19．（本题9分）（2026·山东临沂·一模）按要求解答： (1)课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由． (2)知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 20．（本题9分）（2026·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 21．（本题10分）（2026·浙江湖州·一模）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明 22．（本题11分）（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上的一个动点且位于上方． （）如图1，连接，，若的面积为3，求点的坐标； （）如图2，直线是抛物线的对称轴且与轴交于点，直线，分别与直线交于点，，求的值． 23．（本题13分）（2026·湖南长沙·一模）在矩形中，E是边上一点（不与端点重合），以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． (1)如图1，当时，求的值； (2)如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接，当时，求的值； (3)如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D、G、F三点共线．若，，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 密押 2026年中考临考冲刺卷03 数 学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·安徽阜阳·二模）如果增加记作，那么减少记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若规定一种意义的量为正，则与之相反意义的量用负表示. 【详解】解：∵ 题目规定增加记作，即增加用正数表示， ∴ 减少与增加是相反意义的量，减少应用负数表示， 因此减少记作. 2．（2026·湖南长沙·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、，则选项A错误； 选项B、、不是同类二次根式，不能合并，则选项B错误； 选项C、，则选项C正确； 选项D、，则选项D错误． 3．（2026·广东佛山·模拟预测）某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取数据列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意得 ． 4．（2026·天津·一模）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从前面看可得到从左到右第1列有1个正方形，第2列有2个正方形，第3列 有2个正方形，故选A. 5．（2026·山东青岛·一模）如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解直角三角形求出，，再用扇形的面积减去的面积即可得出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 6．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，点在上，点在劣弧上，连接、、，若四边形为平行四边形，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形性质求得的度数，再由平行四边形的性质可得的度数，最后根据外角的性质可求得的度数． 【详解】解：， ， 四边形为平行四边形，， ， ． 7．（2026·安徽芜湖·二模）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 【详解】如图：连接，交于点O， 因为、、、分别是四边形边的中点， ∴；，， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 8．（2026·广东江门·一模）在如图所示的正方形网格中，的度数是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：先证明可得，再根据直角三角形两锐角互余以及等量代换即可解答． 【详解】解∶如图： 设小正方形网格的边长为1，∠1 所在的直角三角形为 ，其中，，，则 ；所在的直角三角形为，其中，，则， ∵，， ∴， ∴， ∵ 在中，， ∴． 9．（2026·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和系数的关系判断各项即可． 【详解】解：A、由图象得：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故A错误，不符合题意； B、∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故B错误，不符合题意； C、∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴， 故C错误，不符合题意； D、由上述分析，得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意． 10．（2026·甘肃武威·一模）如图1，点为正方形中边的中点．动点从点出发沿边匀速运动．运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为与的函数图像如图2所示，则当点运动到的中点时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】结合两个图先求出，此时即可解答． 【详解】解：由图可知，当动点P从点A出发运动到点B处时，运动路程为，则正方形的边长为4， ∴， ∵点P运动到中点时，E为边的中点， ∴， ∴，即选项B符合题意． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．（2022·上海浦东新·二模）为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 【答案】130 【分析】根据总数乘以体重小于80千克且不小于70千克的频率求解即可． 【详解】解：． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义新运算：，则的运算结果为_________． 【答案】/ 【分析】根据题目给出的新运算法则代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ． 13．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 【答案】5 【分析】根据坐标，求出，当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，易得；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点为x轴上的动点， 当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，则；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，则在中，； 与的差的最大值为． 14．（2026·黑龙江绥化·三模）某公园儿童滑梯的截面示意图如图所示，已知立柱垂直于地面且高度相同，平台平行地面，，．若，则滑道的长度约为______．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】3 【分析】过点 G作于点H，解直角三角形可求出，证明四边形是矩形，得到；再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点 G作于点H， 由题意，得，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中， ∴ ， 故滑道的长度约为． 15．（2026·安徽淮北·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点，分别作轴的垂线段、，垂足分别为点、，且． （1）若点为线段的中点，则________； （2）若是等腰直角三角形，，其面积小于3．延长交第三象限双曲线于点，连接，则________．    【答案】 2.5 5 【分析】（1）由点为线段的中点，可得，代入解析式即可求出； （2）由是等腰直角三角形， 可证明，，，，，由轴、轴，可证明，进而得到，进而求出，再结合面积小于3，可得，再由对称性，可得即可得出结果． 【详解】解：①∵点的纵坐标为5， ∴， 又∵点为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， 将代入，得：，解得：； ②∵，点在函数的图象上， ∴设，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴、轴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴或， ∴或， ∵， ∴舍去， ∵的图象关于原点中心对称， ∴点与点关于原点中心对称， ∴， ∴． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题8分）（2026·山西太原·二模）计算 (1) (2)解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】(1) 0 (2) ，在数轴上表示见详解 【分析】（1）按照乘方、绝对值、算术平方根、零指数幂的运算法则分别计算每一项，再合并计算即可得到结果； （2）先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，再将解集表示在数轴上即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如图： 17．（本题7分）（2026·山西太原·二模）王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】(1) (2) 燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元. 【分析】（1）参照题干中燃油车每千米行驶费用的计算方法，用总行驶费用除以续航里程即可得到代数式； （2）先化简燃油车每千米行驶费用的代数式，再根据题干给出的费用差列分式方程求解得到的值，再代入计算得到两款车的每千米行驶费用． 【详解】（1）解：由题意得，新能源车满电总费用为（元）， 续航里程为千米， 因此新能源车每千米行驶费用为元； （2）解：化简燃油车每千米行驶费用：， 根据题意列方程得：， 整理得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 燃油车每千米行驶费用为（元）， 新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.12元． 18．（本题8分）（2026·辽宁·模拟预测）暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位里参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级里的部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩（成绩均为整数）进行分析比较，并决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动． 【信息一】甲班本次考试成绩统计图如下： 【信息二】乙班本次考试情况统计如下表： 平均分 中位数 众数 最高分 90 89.5 94 98 【信息三】甲、乙两班方差如下表： 12.1 35.4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次考试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，选取的甲班学生成绩的中位数是 分，并补全条形统计图； (2)本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为多少分？ (3)通过本次考试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 【答案】(1)20，88，图见解析 (2)90分 (3)乙班，理由见解析 【分析】（1）根据90分以下的人数除以所占百分比求出抽取的学生人数，根据中位数的定义求出甲班学生的成绩的中位数，再求出甲班学生成绩为90分的人数，即可补全条形统计图； （2）根据平均数的公式计算即可； （3）从平均分、中位数和最高分等角度分析即可得出结论． 【详解】（1）解：（名）， ∴本次考试一个班级抽取了20名学生； 将选取的甲班学生的成绩按从小到大排列，位于最中间的两个数据都是88， ∴中位数是（分）， 甲班学生成绩为90分的人数为， 补全条形统计图如图所示： （2）解：（分）， 答：本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为90分； （3）解：该校选派乙班的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动，理由如下： ∵乙班和甲班的平均分相同，但乙班的中位数高于甲班，乙班的最高分高于甲班，有高分学生，可以争取单项奖， ∴该校选派乙班的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动．（答案不唯一） 19．（本题9分）（2026·山东临沂·一模）按要求解答： (1)课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由． (2)知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 【答案】(1)的长度是，的度数是 (2)证明见解析 【分析】（1）连接、，利用切线性质得两个直角三角形，通过证明全等，从而得到切线长相等和对应角相等 （2）先由切线长定理得角平分线，结合平行线证等腰三角形，再用三线合一得，最后由平行推出，判定是切线． 【详解】（1）解：的长度是，的度数是， 理由：如图，连接、， ∵，是的两条切线，切点分别为、， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵、、分别与相切于点、、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 20．（本题9分）（2026·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）时的取值范围即为直线在双曲线上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3， ∴当时，或； （2）解：∵点、点的横坐标分别是和3，且点、点在上， ∴ ∴， 将点代入， 则 解得， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ∴ 解得， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∴， 过点作轴交于点， ∴ ∵， ∴． 21．（本题10分）（2026·浙江湖州·一模）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：令，则有，解得， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； （3）解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， 当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 22．（本题11分）（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上的一个动点且位于上方． （）如图1，连接，，若的面积为3，求点的坐标； （）如图2，直线是抛物线的对称轴且与轴交于点，直线，分别与直线交于点，，求的值． 【答案】(1) (2)（）点的坐标为或；（） 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而得到顶点坐标； （2）（）设点，利用待定系数法求出直线的表达式，过点作轴交于点，则，求出长，根据列方程求解即可； （）利用待定系数法求出直线、的表达式，进而得到点M、N的坐标，从而求出的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得， 该抛物线的表达式为， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：（）设点， 抛物线， 当时，， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点，则， ， ， 整理得：， 解得：或 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （）设直线的表达式为， 将点，点代入得： 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求出解析式、二次函数的图象性质是解题的关键． 23．（本题13分）（2026·湖南长沙·一模）在矩形中，E是边上一点（不与端点重合），以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． (1)如图1，当时，求的值； (2)如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接，当时，求的值； (3)如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D、G、F三点共线．若，，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）连接、，延长交于点，证明矩形和矩形是正方形，从而得出、、三点共线，再利用特殊角的正弦值求解即可； （2）连接、，利用特殊角的三角函数值得出，，从而证明，即可得解； （3）设，，利用矩形的性质求出，，证明，得出，，再结合求出的值，利用锐角三角函数，推出，利用对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接、，延长交于点， 当时，， ，， 矩形和矩形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 、是正方形和正方形的对角线， ， 、、三点共线， ， 在中，， ； （2）解：如图，连接、， 矩形和矩形， ，，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 又， ， ； （3）解：，， ， 设，， 矩形和矩形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ，，，， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $