2026年中考数学临考冲刺卷01（广东省卷专用）

**基本信息** 2026年广东中考数学冲刺卷，以赵爽弦图、黄旗山测量等文化与现实情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何等核心知识，梯度设计适配冲刺阶段能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|对称图形（几何直观）、反比例函数（模型意识）|结合古代数学图案考查对称性质| |填空题|5/15|圆锥侧面积（空间观念）、旋转面积计算（运算能力）|融入动态几何考查综合计算| |解答题（一）|3/24|统计图表分析（数据意识）、尺规作图（创新意识）|通过体育测试数据考查数据分析| |解答题（二）|3/27|圆的切线证明（推理能力）、解直角三角形（应用意识）|以黄旗山测量为情境考查实践应用| |解答题（三）|2/24|正方形综合（推理能力）、三等分角材料题（创新意识）|贴合中考压轴题命题趋势，注重思维深度|

2026年中考数学临考冲刺卷（广东省卷专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．0 2．我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点成位似关系．点在轴上，且，若点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式：______． 12．若一个圆锥的底面半径为3，母线长为8，则该圆锥的侧面展开图的面积为__________． 13．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 14．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是______． 15．如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．（1）计算： （2）计算： 17．如图，在Rt中，，已知为的中点． (1)求作：过点作直线的垂线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 18．某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，．求的半径和的长度． 20．综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度 【实践背景】 黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力． 【实践器材】 测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平） 【实践过程】 如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为；然后他沿着坡度为的斜坡向后（远离灯笼方向）行走，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内． 【实践探究】 (1)求斜坡的垂直高度（即长度）和水平宽度（即长度）； (2)根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度（结果保留整数）． （参考数据：；．） 21．在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．如图1，是妙趣三角形，是妙趣角．若，则． 【概念理解】 (1)当妙趣三角形是等腰三角形时，则妙趣角的度数为__________； 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当是妙趣三角形，是钝角，是妙趣角时，存在的结论，请你证明这个结论； 【拓展应用】 (3)如图3，是的直径，点，是圆上的两点，弦与交于点，连接，，和都是妙趣三角形，且、分别为妙趣角时，求的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： (1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________； (2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积； (3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 23．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 思考问题： (1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上； (2)证明：． (3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷（广东省卷专用） 数 学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D D A B D C C B 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．/ 12． 13． 3 14． 15．3 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．（10分） 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）原式， （2）原式； 17．（7分） 【答案】(1)见解析 【详解】（1）解：如图，图形即为所求； （2）解：结论：四边形是矩形． 理由：，，， ，，在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 18．（7分） 【答案】(1)50人 (2)8，144 (3)70 (4)576人 【详解】（1）解：（人） 即随机抽取的学生人数为50人； （2）解：， 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：8，144； （3）解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70； （4）解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19（9分） 【答案】(1)见解析 (2)的半径为4， 【详解】（1）证明：连接， ， ， ；又，，是的切线； （2）解：设的半径为，则，，， 在中，， ，解得， 则， 作于，如图， 则， ， ， 在中，， ， ． 20．（9分） 【答案】(1)斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米 (2)灯笼所在位置的高度为205米 【详解】（1）解：由题意得，，， 在中，（米）， （米）， 答：斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米． （2）解：如图，过点作于点， 由题意可得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，米， 设米，则（米）， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴灯笼所在位置的高度为205米． 21．（9分） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：设妙趣角的度数为x．则，解得， 即妙趣角的度数为． （2）证明：如图，作交于D， ， 是妙趣三角形，是钝角，是妙趣角， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，，设， 为妙趣角， ， ， 是的直径， ， ， 为妙趣角， 在中，， ， ， ， 解得， 即． 则， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， 故， ∵， ∴， 则， 即， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．（12分） 【答案】(1) (2)16 (3)BP的长度为2或3或6或7． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ ∵是对角线， ∴∠， ∴∠， ∵四边形是正方形， ∴∠， ∴∠ 又∠ ∴， ∴ ∴故答案为: （2）过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴ 又∠A=90° ∴四边形ATOM是正方形， ∴ 同（1）可证△ ∴ （3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形， ①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q， ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°， ∴四边形ABEQ是矩形， ∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E， ∴∠EFP+∠EPF=90， ∵∠AFP=90°， ∴∠EFP+∠AFQ=90°， ∴△EFP∽△QAF， ∴， ∵QF=EQ-EF=4， ∴， ∴EP=1， ∴BP=BE-EP=7； ②当∠APF=90°时，如图⑤， 同①的方法得，△ABP∽△PEF， ∴， ∵PE=BE-BP=8-BP， ∴， ∴BP=2或BP=6； ③当∠PAF=90°时，如图⑥， 过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N， 同①的方法得，四边形ABPM是矩形， ∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，同①的方法得，四边形ABEN是矩形， ∴AN=BE=8，EN=AB=6， ∴FN=EN-EF=4，同①的方法得，△AMP∽△FNA， ∴， ∴， ∴AM=3， ∴BP=3， 即BP的长度为2或3或6或7． 23．（12分） 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，由题意得：， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，，把点代入得：， ∴直线的函数表达式为， ∵的坐标满足， ∴点Q在直线上； （2）解：连接，交于点S， 由题意得四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∴， ∵轴， ∴， ∴，即． （3）解：∵直线与反比例函数交于点C， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴， 当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例于点D，作，连接，与交于点H，作于I， ∴，四边形是矩形 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴ ∵点H是的中点， ∴，即 ∴可得直线的表达式为，联立得， 解得或（舍去） ∴； 同理可得，当D点在上方时，． 综上所述，D点坐标为或． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷（广东省卷专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据有理数的大小比较及绝对值可直接进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是-2； 故选A． 2．我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 ． 【详解】A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ， B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 ， C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， D． 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，整式的除法，根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式除以单项式法则、二次根式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A. 与的指数不同，不是同类项，无法合并，故错误； B. ，选项中结果为，符号错误，故错误； C. ，选项中结果为，符号错误，故错误； D. ，运算正确． 故选：D． 4．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 5．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：A． 6．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原来每小时送件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间总件数每小时送件数”分别表示出原来和现在送件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可． 【详解】解：∵原来平均每小时送件外卖，现在每小时比原来多送件， ∴现在平均每小时送件， ∴原来送件外卖所用时间为小时，现在送件外卖所用时间为小时， ∵现在送件的时间比原来少用小时， ∴原来所用时间现在所用时间， 即列方程得． 7．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点成位似关系．点在轴上，且，若点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与关于原点成位似关系， ∴相似比， ∵点F是点C的对应点，点C的坐标为， ∴点F的坐标为，即， 故选：D． 8．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，求得，再证明，设，，利用相似三角形的性质得到，设，即，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设，，则，则，即， 设，∴，即，解得或（舍）， 经检验是原方程的解，∴． 10．在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，根据对称的性质得出，，，根据特殊角的三角函数值求出，得出，结合垂线段最短得出当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，求出，根据特殊角的三角函数值求出，求出，求出，求出点的坐标，即可求解． 【详解】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，如图： 则坐标为， ∴，，，在中，， ∴，在中，， ∴， ∴，当点、、三点共线时，即，的值最小，此时， ∴当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，即点与点重合， ∵，， ∴，在中，，即， ∴，即的最小值为． ∵，， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴使得的值最小时，点的坐标为，的最小值为． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式：______． 【答案】/ 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 12．若一个圆锥的底面半径为3，母线长为8，则该圆锥的侧面展开图的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长除以2，代入已知的底面半径和母线长，即可计算出侧面展开图的面积. 【详解】解：圆锥底面周长，圆锥侧面积. 13．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，，所以． 故答案为：3 14．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形、旋转变换等知识，先求出，，根据计算即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 故答案为：． 15．如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 【答案】3 【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE=，以及S△ADE=S△ADO=，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OD、DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点B、点D到对角线AC的距离相等， ∴S△ADE= S△ABE=， ∵AD⊥x轴， ∴AD∥OE， ∴S△ADE=S△ADO=， 设点D(x，y) ， ∴S△ADO=OA×AD=xy=， ∴k=xy=3． 故答案为：3． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）原式， （2）原式； 17．如图，在Rt中，，已知为的中点． (1)求作：过点作直线的垂线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 【详解】（1）解：如图，图形即为所求； （2）解：结论：四边形是矩形． 理由：，，， ，，在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 18．某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】(1)50人 (2)8，144 (3)70 (4)576人 【详解】（1）解：（人） 即随机抽取的学生人数为50人； （2）解：， 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：8，144； （3）解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70； （4）解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，．求的半径和的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为4， 【详解】（1）证明：连接， ， ， ； 又， ， 是的切线； （2）解：设的半径为，则，，， 在中，， ，解得， 则， 作于，如图， 则， ， ， 在中，， ， ． 20．综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度 【实践背景】 黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力． 【实践器材】 测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平） 【实践过程】 如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为；然后他沿着坡度为的斜坡向后（远离灯笼方向）行走，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内． 【实践探究】 (1)求斜坡的垂直高度（即长度）和水平宽度（即长度）； (2)根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度（结果保留整数）． （参考数据：；．） 【答案】(1)斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米 (2)灯笼所在位置的高度为205米 【详解】（1）解：由题意得，，， 在中，（米）， （米）， 答：斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米． （2）解：如图，过点作于点， 由题意可得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，米， 设米，则（米）， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴灯笼所在位置的高度为205米． 21．在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．如图1，是妙趣三角形，是妙趣角．若，则． 【概念理解】 (1)当妙趣三角形是等腰三角形时，则妙趣角的度数为__________； 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当是妙趣三角形，是钝角，是妙趣角时，存在的结论，请你证明这个结论； 【拓展应用】 (3)如图3，是的直径，点，是圆上的两点，弦与交于点，连接，，和都是妙趣三角形，且、分别为妙趣角时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：设妙趣角的度数为x．则，解得， 即妙趣角的度数为． （2）证明：如图，作交于D， ， 是妙趣三角形，是钝角，是妙趣角， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，，设， 为妙趣角， ， ， 是的直径， ， ， 为妙趣角， 在中，， ， ， ， 解得， 即． 则， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， 故， ∵， ∴， 则， 即， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： (1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________； (2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积； (3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)BP的长度为2或3或6或7． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ ∵是对角线， ∴∠， ∴∠， ∵四边形是正方形， ∴∠， ∴∠ 又∠ ∴， ∴ ∴故答案为: （2）过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴ 又∠A=90° ∴四边形ATOM是正方形， ∴ 同（1）可证△ ∴ （3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形， ①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q， ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°， ∴四边形ABEQ是矩形， ∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E， ∴∠EFP+∠EPF=90， ∵∠AFP=90°， ∴∠EFP+∠AFQ=90°， ∴△EFP∽△QAF， ∴， ∵QF=EQ-EF=4， ∴， ∴EP=1， ∴BP=BE-EP=7； ②当∠APF=90°时，如图⑤， 同①的方法得，△ABP∽△PEF， ∴， ∵PE=BE-BP=8-BP， ∴， ∴BP=2或BP=6； ③当∠PAF=90°时，如图⑥， 过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N， 同①的方法得，四边形ABPM是矩形， ∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，同①的方法得，四边形ABEN是矩形， ∴AN=BE=8，EN=AB=6， ∴FN=EN-EF=4，同①的方法得，△AMP∽△FNA， ∴， ∴， ∴AM=3， ∴BP=3， 即BP的长度为2或3或6或7． 23．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 思考问题： (1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上； (2)证明：． (3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，由题意得：， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，，把点代入得：， ∴直线的函数表达式为， ∵的坐标满足， ∴点Q在直线上； （2）解：连接，交于点S， 由题意得四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∴， ∵轴， ∴， ∴，即． （3）解：∵直线与反比例函数交于点C， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴， 当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例于点D，作，连接，与交于点H，作于I， ∴，四边形是矩形 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴ ∵点H是的中点， ∴，即 ∴可得直线的表达式为 联立得， 解得或（舍去） ∴； 同理可得，当D点在上方时，． 综上所述，D点坐标为或． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $