精品解析：广东东莞市东莞市初中联考2025-2026学年度第二学期期中教学质量自查 八年级数学

2025-2026学年度第二学期期中教学质量自查八年级数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．二次根式的性质、二次根式的加减法和除法运算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 3. 某研究院承担了当地山体隧道的设计工作，为了得到A，B两点之间的距离，测得山体附近地形数据简图如图所示（此为山体从上往下看得到的图形，图中测量线拐点处均为直角），则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先补全长方形，可知，，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意，补全长方形如图所示： ∴，， ∴， 故选：C． 4. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，4，9 C. 5, 12，13 D. 5, 11, 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可，如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【详解】解：A、∵ ，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故该选项错误； B、∵1+4< 9，∴不能组成三角形，故该选项错误； C、∵，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故该选项正确； D、∵ ，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故该选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，熟记勾股定理逆定理是解题的关键． 5. 如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意可知，，且， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 故选：A． 6. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝5，则AC＝（ ） A. 10 B. 5 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据OB的长求得BD的长，然后根据矩形的对角线相等求得AC的长即可． 【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=OB=5， ∴BD=2OB=2×5=10， ∴AC=BD=10， 故选：A 【点睛】考查了矩形的性质，解题的关键是了解矩形的对角线互相平分且相等，难度较小． 7. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则，， 在中，， 即． 故选D． 8. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A. 不断增大 B. 不断减小 C. 先减小后增大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：，为的中点， ， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 9. 如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 25 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z， 由勾股定理得：，， ∴． 故最大正方形E的面积是． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质等知识点，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 如图：连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即的值最小；再运用勾股定理求出，然后运用等面积法求得时的的值即可解答． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，线段的值最小，即的值最小， ∵，，， ∴， ∴,即，解得： ∴线段的最小值是． 故选：C． 二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分） 11. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得． 故答案为：． 12. 计算的结果是_______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 13. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 14. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为______m． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的应用，关键是由三角形中位线定理得到． 由三角形中位线定理得到，而米，即可求解． 【详解】解：、分别是、中点， 是的中位线， ， 米， 米， 、两点间的距离为32米． 故答案为：32． 15. 如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______． 【答案】17m 【解析】 【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC，根据勾股定理即可求得AC的值，根据题意求地毯长度即求得AC+BC即可． 【详解】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC， 在直角△ABC中，AB=13m，BC=5m，且AB为斜边， 根据勾股定理可得AC==12m， 故地毯长度为AC+BC=12+5=17m， 故答案为：17m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求AC+BC. 16. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 17. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：24． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再代数求值即可； 【详解】解：原式 ； 将代入，原式． 20. 人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为 ，如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）设边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了“海伦—秦九韶公式”； （1）将，，代入公式计算，即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解； 理解公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ∴ = ， ∴ ； ∴的面积为； 【小问2详解】 解：由(1)知，的面积为； ， ， ，， ∴ ． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 21. 如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）求折痕AF长． 【答案】（1） 证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上， ∴AE=AB=10，， 又∵， ∴， ∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°， 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； （2）折痕AF长为cm． 【解析】 【分析】（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在Rt△EFC中利用勾股定理列式进行计算求得BF的值，在Rt△ABF中，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4，FC=BC-BF=8-x， 在Rt△EFC中，， 即， 解得x=5， ∴BF=5cm， 在Rt△ABF中，由勾股定理得，， ∵AB=10cm，BF=5cm， ∴AF(cm)． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大． 22. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响. （1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？ （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】（1）着火点C受洒水影响 （2）着火点C能被扑灭 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【小问1详解】 着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， （米）， ， 着火点C受洒水影响 【小问2详解】 如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点， 则， ， ， 在中，， ， （秒）， 着火点C能被扑灭． 23. 如图1，在的方格中，每个小正方形的边长为1．    （1）图1中正方形的边长为______； （2）如图2，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． （3）请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）． 【答案】（1） （2） （3）如图：   【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴：解题的关键是求出正方形的边长． （1）由勾股定理求出正方形的边长即可； （2）根据图象可得点表示的数为点表示的数加上的长； （3）画出边长为的正方形即可； 【小问1详解】 解：由勾定理得，， ∴正方形的边长， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，正方形的面积为5， ． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 问题呈现：对于任意正实数，由于，所以有，于是，只有当时，才成立．也就是说，若为定值，则当时，有最小值． （1）应用：对于正实数，当___________时，代数式，有最小值___________． （2）数学思考：现有面积为1的矩形，直接写出其周长的最小值___________． （3）拓展运用：如图，在平面直角坐标系中，已知，点为第一象限内一动点，过分别向坐标轴作垂线，分别交轴于两点，矩形的面积始终为12．求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 【答案】（1）2；4 （2）4 （3）四边形面积的最小值为24，此时点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）仿照题干进行求解即可得到答案； （2）设矩形的长为，则矩形的宽为，仿照题干，求出的最小值，即可得到答案； （3）根据矩形的面积，推出，再根据，得到，进而求出当四边形的面积最小时，，据此可得答案． 【小问1详解】 解：， ， 当时，即时，有最小值，最小值为4， ， ， 即只有当时，有最小值4， 【小问2详解】 解：矩形的面积为1， ∴可设矩形的长为，矩形的宽为， 矩形周长为， ， 当时，有最小值，最小值为2， 的最小值为， 即矩形周长的最小值为4； 【小问3详解】 解：设 ∵点为第一象限内一动点， ，， 四边形为矩形，且面积始终为12， ， ， ，， ，， ∴ ， ， 当，即时，有最小值为12， 当时，四边形的面积最小，最小值为24， ∴，即此时点P的坐标为. 25. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5． （1）AE＝________，EF＝__________ （2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（相遇时除外） （3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形． 【答案】（1）t， ； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°， ∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE， ∵ G、H分别是AB、DC的中点， ∴AG＝BG，CH＝DH， ∴AG＝CH， ∵AE＝CF， ∴AF＝CE， 在△AFG与△CEH中，， ∴， ∴ GF＝HE， ∴四 边 形 EGFH是平行四边形． （3）当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出AC的长度，再根据路程=速度×时间即可求出AE的长度，而当0≤t≤2.5时， ；当2.5＜t≤5时，即可求解； （2）先通过SAS证明△AFG≌△CEH，由此可得到GF＝HE，，从而有，最后利用一组对边平行且相等即可证明； （3）利用矩形的性质可知FG=EF,求出GH，用含t的代数式表示出EF,建立方程求解即可． 【详解】（1） 当0≤t≤2.5时， 当2.5＜t≤5时， ∴ 故答案为：t， （2）略 （3）解：如图所示，连接GH， 由（1）可知四边形EGFH是平行四边形 ∵点 G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点， ∴ GH＝BC＝4， ∴ 当 EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况： ①当0≤t≤2.5时,AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4， 解得：t＝0.5 ②当2.5＜t≤5时，,AE＝CF＝t，EF＝2t-5＝4， 解得：t＝4.5 即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及矩形的性质，掌握平行四边形的判定方法及矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中教学质量自查八年级数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某研究院承担了当地山体隧道的设计工作，为了得到A，B两点之间的距离，测得山体附近地形数据简图如图所示（此为山体从上往下看得到的图形，图中测量线拐点处均为直角），则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，4，9 C. 5, 12，13 D. 5, 11, 12 5. 如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行 6. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝5，则AC＝（ ） A. 10 B. 5 C. 5 D. 8 7. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A. 不断增大 B. 不断减小 C. 先减小后增大 D. 不变 9. 如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 25 D. 38 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分） 11. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 计算的结果是_______． 13. 比较大小： ______ （填 、或） 14. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为______m． 15. 如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______． 16. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 17. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 计算： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为 ，如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）设边上的高为，边上的高为，求的值． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 21. 如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）求折痕AF长． 22. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响. （1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？ （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 23. 如图1，在的方格中，每个小正方形的边长为1．    （1）图1中正方形的边长为______； （2）如图2，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． （3）请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 问题呈现：对于任意正实数，由于，所以有，于是，只有当时，才成立．也就是说，若为定值，则当时，有最小值． （1）应用：对于正实数，当___________时，代数式，有最小值___________． （2）数学思考：现有面积为1的矩形，直接写出其周长的最小值___________． （3）拓展运用：如图，在平面直角坐标系中，已知，点为第一象限内一动点，过分别向坐标轴作垂线，分别交轴于两点，矩形的面积始终为12．求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 25. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5． （1）AE＝________，EF＝__________ （2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（相遇时除外） （3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $