第09讲 同底数幂的除法与整式的除法（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年（浙教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 同底数幂的除法与整式的除法（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的除法 1.同底数幂相除的法则推导过程： 2.同底数幂相除的法则： 文字叙述 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 字母表示 条件 运用同底数幂相除的法则必须满足两个条件： （1）底数相同；（2）是除法运算。 逆用 =÷(𝑎≠0，𝑚,𝑛 都是正整数，且𝑚>𝑛) 。 推广 ÷÷=(𝑎≠0，𝑚,𝑛,𝑝 都是正整数，且𝑚>𝑛+𝑝) 。 【知识点02】零指数幂 零指数幂的性质：任何不等于零的数的零次幂都等于1。即=1(a≠0) 。 示例1 零指数幂 教材延伸 <m>的推导过程 如果把公式>,<<，<都是正整数，且<<推广到>的情形，那么有>，而>,所以。 【知识点03】负整数指数幂 负整数指数幂的性质： 任何不等于零的数的−p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数。即（a0，p是正整数)。 注意： 因为0的负整数指数幂没有意义，所以有意义的条件是a≠0. 示例2 负整数指数幂 【知识点04】用科学记数法表示绝对值较小的数 1.用科学记数法表示绝对值较小的数：一个绝对值较小的数，用科学记数法表示成a×10的形式（其中1≤|a|<10，n 为正整数）。 2.确定n的两种方法： ①n等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的那个零）； ②小数点向右移到第一个不为零的数后，小数点移动了几位，n就等于几。 说明： （1）大于−1 的负数也可以用类似的方法表示，如−0.000 002 56可以表示成−2.56×。 （2）将用科学记数法表示的小于1的正数a×还原时，a 中的小数点向左移|n|位，不足的数位用“0”补齐。如2.56×，其中a=2.56，|n|=6 ，所以2.56的小数点向左移动6位，不足的数位用“0”补齐，所以2.56×=0.000 002 56 。 示例3 用科学记数法表示 绝对值较小的数 【知识点05】单项式除以单项式 1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2.单项式除以单项式的步骤： （1）先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数，要特别注意系数的符号； （2）同底数幂相除，所得的商作为商的一部分； （3）只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏。 示例4 单项式除以单项式 【知识点06】多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 字母表示：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0) 。 示例5 多项式除以单项式 注意：多项式除以单项式时，要逐项计算，既要注意符号的变化，又要注意商为1（或−1 ）的项不能漏掉，并且商的项数与这个多项式的项数相同。 【题型一】同底数幂的除法运算 例1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中） _______． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的值为（ ） A． B． C． D． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【题型二】同底数幂除法的逆用 例2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 变式1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如果，那么___________． 【题型三】零指数幂 例3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算的值是（　　） A． B． C． D．1 变式1．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）________． 变式2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：； 【题型四】负整数指数幂 例4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）_______． 变式1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（    ） A．5 B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【题型五】用科学记数法表示绝对值小于1的数 例5．（23-24七年级下·浙江温州·期末）2023年8月24日，日本政府将核污水排入大海，我国对浙江沿海的海水进行氚检测，发现其含量为每升微克，用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）我国对浙江沿海的海水进行氚检测，发现其含量为每升0.00000000025微克，用科学记数法表示0.00000000025为_________ 变式2．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）神舟十三号飞船搭载实验项目中，四川省农科院生物技术研究所共有a粒水稻种子，每粒种子质量大约0.0000325千克；甘肃省天水市元帅系苹果的b粒干燥种粒，每粒种子质量大约0.002275千克，参与航天搭载诱变选育． (1)用科学记数法表示上述两个数． (2)若参与航天搭载这两包种子的质量相等，求的值． (3)若这两包种子的质量总和为1.04千克，水稻种子粒数是苹果种子粒数10倍，求a，b的值． 【题型六】还原用科学记数法表示的小数 例6．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为（  ） A．200 B．0.2 C．0.02 D．0.002 变式2．跨生物学学科  巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来的，直径可达．将数据写成小数的形式为，这个小数小数点后0的个数为__________． 【题型七】计算单项式除以单项式 例7．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）计算：_________． 变式1．（2024七年级下·浙江·专题练习）若定义表示，表示，则运算的结果为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）计算：． 【题型八】多项式除以单项式 例8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： ______． 变式1．（24-25七年级下·浙江·月考）若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，a，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：． 【题型九】整式四则混合运算 例9．（23-24七年级下·浙江金华·期末）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江·期中）如图所示，在周长为44的长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在、上，点H、K分别在边、上，点P、Q在边上，点N在边上．记如图的三个阴影部分的面积分别为，，，若，则长方形的面积为____． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点，以、为一边，在同侧作长方形和长方形，且满足，，记， (1)记长方形的面积为，长方形的面积为，若，，求． (2)如图，点是线段上的动点， ①当点从点向左移个单位后，求与的面积之差（结果用含的代数式表示）． ②当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为．当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为，求的值（结果用含的代数式表示）． 【题型十】用科学记数法表示数的除法 例10．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 变式1．火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的__________倍． 变式2．世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅厘米，其质量也只有克．一个鸡蛋的质量大约是50克，一个鸡蛋的质量大约相当于多少只卵蜂的质量？（结果用科学记数法表示） 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B．2025 C．1 D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 7．关于，的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 9．在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 二、填空题 10．用科学记数法表示：= ___________ 11．计算的结果是__________． 12．计算：____． 13．______． 14．若，则___________． 三、解答题 15．计算： （1）         （2） 16．已知，求的值． 17．（1） （2） （3）； 18．随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为1元，现在有两种提价方案： 方案1：第一次提价x%，第二次提价y%； 方案2：第一次、二次提价均为． 其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明． 19．如图，某学校对一宽为，长为b的长方形广场设计了绿化方案，其中阴影部分为两块边长为的正方形．阴影部分全部种植植物进行绿化，空白部分铺设地砖．记绿化（阴影部分）面积为，铺设地砖的面积为．    (1)用含a，b的代数式表示，． (2)若，求． 20．计算 (1)； (2) (3) (4) 21．如图，四边形是网格中的格点正方形，网格中的每个小正方形的边长均为1． (1)求正方形的面积． (2)试判断正方形的边长是有理数还是无理数． 22．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形，按图1的方法割成该阶梯图形的面积为；按图的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图、图面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式： 任务： (1)推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程 因为，左边（图）的面积 右边（图）的面积______________； 左边（图）的面积右边（图2）的面积 所以，__________________________________． (2)类比探究：如图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形． ①图中长方形的长为，宽为______________； ②由图、图面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：___________． 23．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 同底数幂的除法与整式的除法（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的除法 1.同底数幂相除的法则推导过程： 2.同底数幂相除的法则： 文字叙述 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 字母表示 条件 运用同底数幂相除的法则必须满足两个条件： （1）底数相同；（2）是除法运算。 逆用 =÷(𝑎≠0，𝑚,𝑛 都是正整数，且𝑚>𝑛) 。 推广 ÷÷=(𝑎≠0，𝑚,𝑛,𝑝 都是正整数，且𝑚>𝑛+𝑝) 。 【知识点02】零指数幂 零指数幂的性质：任何不等于零的数的零次幂都等于1。即=1(a≠0) 。 示例1 零指数幂 教材延伸 <m>的推导过程 如果把公式>,<<，<都是正整数，且<<推广到>的情形，那么有>，而>,所以。 【知识点03】负整数指数幂 负整数指数幂的性质： 任何不等于零的数的−p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数。即（a0，p是正整数)。 注意： 因为0的负整数指数幂没有意义，所以有意义的条件是a≠0. 示例2 负整数指数幂 【知识点04】用科学记数法表示绝对值较小的数 1.用科学记数法表示绝对值较小的数：一个绝对值较小的数，用科学记数法表示成a×10的形式（其中1≤|a|<10，n 为正整数）。 2.确定n的两种方法： ①n等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的那个零）； ②小数点向右移到第一个不为零的数后，小数点移动了几位，n就等于几。 说明： （1）大于−1 的负数也可以用类似的方法表示，如−0.000 002 56可以表示成−2.56×。 （2）将用科学记数法表示的小于1的正数a×还原时，a 中的小数点向左移|n|位，不足的数位用“0”补齐。如2.56×，其中a=2.56，|n|=6 ，所以2.56的小数点向左移动6位，不足的数位用“0”补齐，所以2.56×=0.000 002 56 。 示例3 用科学记数法表示 绝对值较小的数 【知识点05】单项式除以单项式 1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2.单项式除以单项式的步骤： （1）先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数，要特别注意系数的符号； （2）同底数幂相除，所得的商作为商的一部分； （3）只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏。 示例4 单项式除以单项式 【知识点06】多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 字母表示：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0) 。 示例5 多项式除以单项式 注意：多项式除以单项式时，要逐项计算，既要注意符号的变化，又要注意商为1（或−1 ）的项不能漏掉，并且商的项数与这个多项式的项数相同。 【题型一】同底数幂的除法运算 例1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中） _______． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则，进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，包括幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘除法．需分步计算各部分的符号和指数，再合并结果即可． 【详解】解： ； 故选：A． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】（1）先算乘方，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则进行计算即可； （3）先算乘方，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可； （4）先变形，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可； （5）先算乘法、除法、乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则，幂的乘方和积的乘方的应用，注意：同底数的幂相除，底数不变，指数相减． 【题型二】同底数幂除法的逆用 例2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则，将已知条件转化为方程求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如果，那么___________． 【答案】/ 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆应用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则． 利用同底数幂的除法的逆应用法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【题型三】零指数幂 例3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算的值是（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查零次幂，根据零指数幂的定义，当时，求解即可． 【详解】解： ． 故选：D 变式1．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）________． 【答案】1 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂，根据任何非零实数的零指数幂都为1求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1 变式2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：； 【答案】2； 【知识点】零指数幂、实数的混合运算 【详解】（1）解： ； 【题型四】负整数指数幂 例4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）_______． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂，利用负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 变式1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方计算，根据题意可得的值可能为，再结合选项选择适合的值，逐项判断即可． 【详解】解：，都是绝对值不大于2的整数， 的值可能为：， 当，时，，故A不符合题意； 当，时，，故B不符合题意； 当，时，，故C不符合题意； 在a，b的可取范围内，代数式值不可能是，故D符合题意， 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)2 【知识点】含乘方的有理数混合运算、负整数指数幂 【分析】题目主要考查新定义运算，负整数指数幂，有理数的混合运算，理解题意是解题关键． （1）根据题意代入计算求解即可． （2）首先根据得出，接着变形为，然后整理原式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型五】用科学记数法表示绝对值小于1的数 例5．（23-24七年级下·浙江温州·期末）2023年8月24日，日本政府将核污水排入大海，我国对浙江沿海的海水进行氚检测，发现其含量为每升微克，用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）我国对浙江沿海的海水进行氚检测，发现其含量为每升0.00000000025微克，用科学记数法表示0.00000000025为_________ 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）神舟十三号飞船搭载实验项目中，四川省农科院生物技术研究所共有a粒水稻种子，每粒种子质量大约0.0000325千克；甘肃省天水市元帅系苹果的b粒干燥种粒，每粒种子质量大约0.002275千克，参与航天搭载诱变选育． (1)用科学记数法表示上述两个数． (2)若参与航天搭载这两包种子的质量相等，求的值． (3)若这两包种子的质量总和为1.04千克，水稻种子粒数是苹果种子粒数10倍，求a，b的值． 【答案】(1)0.0000325=3.25×，0.002275=2.275× (2) (3)a=4000，b=400 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）根据题意可知0.0000325a=0.002275b,计算即可； （3）根据题意列出方程组即可解答． 【详解】（1）解：0.0000325=3.25×， 0.002275=2.275×； （2）解：由题意得，0.0000325a=0.002275b， 解得； （3）解：由题意，得 ， 解得：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．还考查了，二元一次方程(组)的应用． 【题型六】还原用科学记数法表示的小数 例6．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，科学记数法转换为小数时，需将的小数点向左移动位，对于，将1.24的小数点左移3位即可作答． 【详解】解：依题意，将科学记数法转换为小数形式，需将1.24的小数点向左移动3位， ∴用小数表示为， 故选A． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为（  ） A．200 B．0.2 C．0.02 D．0.002 【答案】C 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为0.02， 故选：C． 变式2．跨生物学学科  巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来的，直径可达．将数据写成小数的形式为，这个小数小数点后0的个数为__________． 【答案】4 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查了科学记数法与小数的互化，掌握科学记数法转化为小数时，小数点向左移动位是解题的关键 将科学记数法 转换为小数形式，小数点向左移动5位，得到， 【详解】解：根据科学记数法法则，， 因此 小数中，小数点后有个， 故答案为：． 【题型七】计算单项式除以单项式 例7．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）计算：_________． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．（2024七年级下·浙江·专题练习）若定义表示，表示，则运算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查积的乘方，单项式除以单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．把相应的式子代入，再利用相应的运算法则进行运算即可． 【详解】 解： ． 故选：． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）计算：． 【答案】 【详解】解：． 【题型八】多项式除以单项式 例8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： ______． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握运算法则； 根据多项式除以单项式法则进行计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·浙江·月考）若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，a，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了代数式的变形与求解．解题的关键是根据给定的毛利率公式，将其看作关于b的方程，通过移项、合并同类项等步骤解出b的表达式． 已知毛利率公式，将其视为关于b的方程，先去分母得到，再通过移项把含b的项合并，最后将b的系数化为1，即可得到用p和a表示b的代数式． 【详解】解：已知毛利率， 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得b． 两边同时除以，得 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【题型九】整式四则混合运算 例9．（23-24七年级下·浙江金华·期末）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含的式子表示出，，，，进而求出，，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：由图可得，， ， 由图得，， ， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵, ∴， 故选：． 变式1．（24-25七年级下·浙江·期中）如图所示，在周长为44的长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在、上，点H、K分别在边、上，点P、Q在边上，点N在边上．记如图的三个阴影部分的面积分别为，，，若，则长方形的面积为____． 【答案】120 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长，宽，表示出，则由已知及图形可得、、代的长、宽及面积如何表示，根据，及可整体求得的值，即长方形的面积． 【详解】设长方形的长，宽， ∵周长为44， ∴ ． 的长为，宽为， ． 的长为，宽为， ． ：长为，宽为， 所以． 将、、代入得：      将代入中得： ． ∴长方形的面积为120． 故答案为：120． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点，以、为一边，在同侧作长方形和长方形，且满足，，记， (1)记长方形的面积为，长方形的面积为，若，，求． (2)如图，点是线段上的动点， ①当点从点向左移个单位后，求与的面积之差（结果用含的代数式表示）． ②当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为．当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为，求的值（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①；②，，． 【知识点】整式四则混合运算、列代数式 【分析】本题属于四边形综合题，考查了三角形的面积、整式的混合运算等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）根据建立方程，求出，的值即可解决问题； （2）①用，表示，的长即可解决问题； ②分别求出，进而即可求得，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：①由题意得：，， ∴； ②当点从点向左移动（）个单位后， 由题意得：，， ∴， 当点从点向左移动个单位后，，， ∴， ∴． 【题型十】用科学记数法表示数的除法 例10．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 【答案】391 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 变式1．火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的__________倍． 【答案】8 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】根据整式除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键． 变式2．世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅厘米，其质量也只有克．一个鸡蛋的质量大约是50克，一个鸡蛋的质量大约相当于多少只卵蜂的质量？（结果用科学记数法表示） 【答案】一个鸡蛋的质量大约相当于只卵蜂的质量． 【知识点】用科学记数法表示数的除法、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】直接用鸡蛋的重量除以一只卵蜂的质量即可得到答案． 【详解】解：（只）， 答：一个鸡蛋的质量大约相当于只卵蜂的质量． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法的应用，正确计算是解题的关键． 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B．2025 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的运算性质，重点在于掌握“任何非零实数的0次幂都等于1”这一基本数学规则．题目中底数为负数，但依然满足该性质的前提条件（非零），因此可直接应用该性质得出结果． 【详解】∵ （），且 ， ∴ . 故选C 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ∴A选项中，A错误． ∵与不是同类项，不能合并． ∴B选项错误． ∵积的乘方，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘． ∴C选项中，C错误． ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减． ∴D选项中，D正确． 3．用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将写成（，n为整数）的形式即可． 【详解】解：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，n是原数从左边起第一个不为0的数字前的0的个数决定的，确定a和n的值是解答本题的关键． 4．下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，涉及积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式等，需逐一验证每个计算的正误即可 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④错误． ∴仅③正确，正确的有1个． 故选：A． 5．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，根据公式计算即可． 【详解】A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C.     ，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选：． 6．已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案． 【详解】解：由与一个多项式之积是，得 ， 即这个多项式是． 故选：C． 7．关于，的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，幂的乘方，同底数幂的除法，得，然后由，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 得，即， ∵， ∴，解得， ∵， 所以代入得， 故选：． 8．已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 9．在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减与除法的应用，正确列出代数式是解题关键．设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为，根据题意可得12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为，再根据开摩托车的遇到乘轻骑的是17时可得，根据摩托车在18时追上了骑自行车的可得，则可得，然后根据自行车与轻骑相遇时间为，代入化简计算即可得． 【详解】解：设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为， ∵坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时， ∴12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为， ∵开摩托车的遇到乘轻骑的是17时， ∴， ∴， ∵摩托车在18时追上了骑自行车的， ∴， ∴， ∴自行车与轻骑相遇时间为 ， 小时小时分， 12时经过3小时分的时间为， 即骑自行车的遇见乘轻骑的， 故选：A． 二、填空题 10．用科学记数法表示：= ___________ 【答案】 【分析】用科学记数法将原数表示成形式为（，其中，n为整数）即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了绝对值小于1的科学记数法，把原数确定n的值时，要看把原数表示成形式为，其中，n为整数，确定a和n的值是解答本题的关键． 11．计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算最终结果． 【详解】解：①幂的乘方运算 ． ②同底数幂的除法运算 ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法运算，解题关键是牢记幂的运算法则，并按运算顺序逐步计算． 12．计算：____． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键． 13．______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂和零指数幂即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．若，则___________． 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用同底数幂的乘除法的逆应用，幂的乘方的逆应用对原式进行变形，然后代数求值即可． 【详解】解：， 将代入上式得， 原式， 故答案为：． 三、解答题 15．计算： （1）         （2） 【答案】（1）2；（2）2n2-2n+1 【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）原式=-1+4-1 =2； （2）原式=6m2n÷（-3m2）-6m2n2÷（-3m2）-3m2÷（-3m2） =-2n+2n2+1， =2n2-2n+1． 【点睛】此题主要考查了实数运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，负整数指数幂，应用整体思想是解题的关键． 先将变形得到，再将变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 17．（1） （2） （3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据负指数幂、零次幂可进行求解； （2）先算同底数幂的乘法及积的乘方，然后可求解； （3）先算乘方，然后再算乘除即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查零次幂、负指数幂、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及单项式除以单项式，熟练掌握零次幂、负指数幂、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及单项式除以单项式是解题的关键． 18．随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为1元，现在有两种提价方案： 方案1：第一次提价x%，第二次提价y%； 方案2：第一次、二次提价均为． 其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明． 【答案】方案2最终价格更高，理由见解析． 【分析】先表示出 “最方案1最终价格-方案2最终价格”代数式表示，再利用整式的混合运算，化简整式，最后得，据此可判断正负，即得方案1和方案2最终价格的大小比． 【详解】解：方案2最终价格更高． 理由如下：最方案1最终价格-方案2最终价格 ∵x，y是不相等的正数 ∴ 所以，两种方案后方案2最终价格更高． 【点睛】题考查了列代数式、整式混合运算、乘法运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 19．如图，某学校对一宽为，长为b的长方形广场设计了绿化方案，其中阴影部分为两块边长为的正方形．阴影部分全部种植植物进行绿化，空白部分铺设地砖．记绿化（阴影部分）面积为，铺设地砖的面积为．    (1)用含a，b的代数式表示，． (2)若，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘以单项式运算，单项式除以单项式运算，掌握运算法则，正确理解题意是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式即可表示，再由大长方形面积减去即可表示； （2）将，代入，利用完全平方公式求解得到，再代入即可求解． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴． 20．计算 (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数乘方运算法则、零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）根据积的乘方运算法则以及整式乘除法则进行运算即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，然后利用整式除法法则进行计算即可．　 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算和实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 21．如图，四边形是网格中的格点正方形，网格中的每个小正方形的边长均为1． (1)求正方形的面积． (2)试判断正方形的边长是有理数还是无理数． 【答案】(1)17 (2)无理数 【分析】本题考查了网格中图形面积的计算和无理数的定义，掌握割补法求面积以及无理数的概念是解题的关键． （1）用割补法，将正方形置于边长为5的大正方形中，用大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积，得到正方形的面积 （2）由（1）的面积求出正方形的边长，再根据无理数的定义判断边长是否为无理数． 【详解】（1）解：正方形的面积可以通过计算一个边长为5的大正方形的面积减去四个直角三角形的面积得到． 大正方形面积为； 每个直角三角形的面积为 ； 四个直角三角形的总面积为 ； 所以，正方形的面积 ． （2）解：由（1）得正方形的边长为，是无理数， 所以正方形的边长是无理数． 22．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形，按图1的方法割成该阶梯图形的面积为；按图的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图、图面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式： 任务： (1)推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程 因为，左边（图）的面积 右边（图）的面积______________； 左边（图）的面积右边（图2）的面积 所以，__________________________________． (2)类比探究：如图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形． ①图中长方形的长为，宽为______________； ②由图、图面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：___________． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据图，得图的面积为：的面积加上的面积；根据左边等于右边，即可； （2）如图，得长方形的长为：；根据图的面积为：，图的面积为等于长方形的面积加长方形的面积加长方形的面积，即可． 【详解】（1）如图： 图的面积：； ∵ ； ∴图、图面积相等， ∴． 故答案为：；． （2）如图可知 长方形的宽度为：； 如图，图所示： 图的面积为：； 图的面积为：； ∵图的面积等于图的面积， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握把长方形的面积分成小长方形的面积之和，进行计算． 23．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $