第11讲 解二元一次方程组与三元一次方程组（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 解二元一次方程组与三元一次方程组 （知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】用代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 ①变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数，得到变形的方程. 变形为𝑦=𝑎𝑥+𝑏 （或𝑥=𝑎𝑦+𝑏 ）的形式. 一般选未知数系数的绝对值较小的方程变形. ②代入 把𝑦=𝑎𝑥+𝑏 （或𝑥=𝑎𝑦+𝑏 ）代入另一个没有变形的方程中. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. 变形后的方程只能代入另一个没有变形的方程. ③求解 解代入后的一元一次方程. 求出一个未知数的值. 去括号时不要漏乘，移项时要变号. ④回代 把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中. 求出另一个未知数的值. 一般代入变形后的方程比较简单. ⑤写解 把两个未知数的值联立起来. 将方程组的解表示为的形式. 要用“{ ”将未知数的值联立起来. 【知识点02】用加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法：把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 ①变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数. 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数. （1） 选准消元对象：当某未知数的系数相等或互为相反数或存在整数倍关系时选择消去该未知数； （2） 方程两边同乘某个数时，不要漏乘. ②加减 当其中一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当其中一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. （1） 加减前，应将对应未知数对齐再加减,若一个方程缺少某一项时，将该项看作0，再对齐加减; （2） 一定要把两个方程两边分别相加减. ③求解 解消元后得到的一元一次方程. 求出一个未知数的值. ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个方程中. 求出另一个未知数的值. 回代时选择系数的绝对值较小的方程. ⑤写解 把两个未知数的值联立起来. 将方程组的解表示为 的形式. 要用“{ ”将未知数的值联立起来. 【知识点03】三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组：把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组. 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件：（1）方程组中一共含有三个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1；（3）方程组中的每个方程都是整式方程. 【知识点04】解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路：通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，就可以把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 2.解三元一次方程组的一般步骤 （1）消元:利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组. （2）求解:解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. （3）回代:将求得的未知数的值代入原方程组中含有最后一个未知数的方程中，得到一个一元一次方程. （4）求解:解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值. （5）写解:将求得的三个未知数的值用“<m>{</m>”联立起来，就是原三元一次方程组的解. 【题型一】代入消元法 例1．（2026七年级下·江苏·专题练习）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【知识点】代入消元法 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的变形，利用等式的基本性质对两个方程分别移项变形，对比选项即可得到答案． 【详解】对①移项，得，故A错误，B正确； 对②移项，得，故C，D错误． 例2．（2026七年级下·江苏·专题练习）形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 【答案】2 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，由新定义可得方程组，求解可得， 的值．再由新定义运算即可求得答案． 【详解】根据题意，可得 解得 所以． 故答案为：2 例3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解： 整理得， 将②代入①得， 解得 将代入②得， ∴方程组的解为． 变式1．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 变式2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程，请用关于y的代数式表示x．______． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】根据等式的性质进行变形即可． 【详解】解：， ， ． 变式3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下面是某同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 第一步：由①得，；③ 第二步：将③代入②，得； 第三步：解得； 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为． 任务一：该同学解方程组用的方法是________消元法（填“代入”或“加减”）； 任务二：仔细检查后，发现该同学的答案是错误的，他从第________步开始出现错误； 任务三：请写出正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二；任务三： 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了利用代入消元法解二元一次方程组，解题关键是掌握代入消元法解二元一次方程组． 任务一：通分析题中解题过程，得出解题方法； 任务二：分析题中解题过程，从中找出错误； 任务三：利用代入消元法求解． 【详解】解：任务一：该同学解方程组用的方法是代入消元法， 故答案为：代入； 任务二：第二步开始出现错误，代入时漏乘了常数项， 故答案为：第二步； 任务三： 由①得，③ 将③代入②，得 解得； 将代入③，解得； 所以原方程组的解为． 【题型二】加减消元法 例4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）对于任意有理数，我们规定，根据这一规定解答：若x，y同时满足：，，则的值是（    ） A．26 B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解决本题的关键．根据已知新定义运算列二元一次方程组，求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】，， ， 解得， ， 故选：C． 例5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程组的解，则______． 【答案】0 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加，可得，即可得出答案． 【详解】解：， 由①＋②得，， ， 故答案为：． 例6．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【详解】解：整理得， 由②①得， 将代入②得 解得， 原方程组的解为． 变式1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知满足方程组，则之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了加减消元法． 利用加减消元法消去m即可． 【详解】解：， 得：， 故选：A 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）方程组的解为______． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，由求出，将代入②得，从而求出方程组的解． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 所以和，方程组的解为：， 故答案为：． 变式3．（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【详解】解：（1）由得，解得． 把代入得 解得． 原方程组的解为. （2）整理得 得，解得． 将代入得， 解得． 故原方程组的解为. 【题型三】二元一次方程组的特殊解法 例7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，用整体的思想，将待求解方程变形，让新方程组中方程各项系数与已知方程组一致，从而求解． 【详解】解：把方程组变形可得， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得， 故选：A． 例8．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题是考查了解二元一次方程组的特殊解法，考查了同学们的逻辑推理能力，需要通过类比来解决，有一定的难度．由原方程组的解为，可得，把化为，进一步可得答案. 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 例9．（2026七年级下·江苏·专题练习）素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如，求的值．我们不妨将作为一个整体代入，则． 素材二：已知，其中有理数m，n满足，就称点P为“燕南点”．例如要判断点是否为“燕南点”，令，解得，因为，所以不是“燕南点”；再如是否为“燕南点”，令，解得．因为，所以是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； (1)若，求的值； (2)请通过计算去判断点是不是“燕南点”． 【答案】(1)2027 (2)点是“燕南点” 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）将整体代入该代数式进行计算求解； （2）根据题目定义，先求得对应的m，n的值，再计算的值，再判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得， 解得， ∴， ∴点是“燕南点”． 变式1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）已知方程组的解是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件和二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可． 【详解】解：方程组 的解是， ， 解得：， 方程组的解为：， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，满足方程组，则的值是_______． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键． 将两方程相加除以3即可． 【详解】解： 得， 即， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 【答案】(1)D (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可； （2）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可． 【详解】（1）解：设，，则方程组可变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴， ∴， 故选：D； （2）解：∵， ∴， 设，，则方程组可变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， 解得． 【题型四】二元一次方程组的错解复原问题 例10．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 变式1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，则=________． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】将两对解代入方程组的第一个方程求出a与b的值，将第一对解代入第二个方程求出c的值，即可求出的值． 【详解】解：依题意得，， 解得 将代入，解得 则， 故答案为：16． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 变式2．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：甲看错了b，把甲求得的解代入①得，, 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②得，, 得， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为． 【题型五】构造二元一次方程组求解 例11．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值．由，可得，解得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 例12．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 【答案】 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为______． 【答案】 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 根据方程组的解是，可知的解是，解得出方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解是， 即． 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·江苏苏州·月考）在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】构造二元一次方程组求解、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键． （1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可； （2）把代入（1）的等式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以当时，， 解得：． 【题型六】已知二元一次方程组的解的情况求参数 例13．（22-23七年级下·江苏·期末）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组的整体代入求法，掌握求法是解题的关键． 将①②，整体代入求解即可． 【详解】解： ， ①②得：， ∴， ， ， 解得：． 故选：A． 例14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组得到，代入中，求出即可． 【详解】解：， ，得， ∴， 又， ∴， ∴． 例15．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组求参数，方程组的两个方程相加得，即可求解． 【详解】解： 解：①②得 ， 解得：， ， ， 解得：． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x、y的方程组，给出下列说法正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是方程的一个解； ②若，则； ③当x与y互为相反数时，； ④不论a取什么实数，的值始终不变． A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，根据各选项的条件，分别解方程组，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，解得：， 当时，； ∴也是方程的一个解；故①正确； 当时，， ∴；故②正确； 当x与y互为相反数时，则：，解得：；故③错误； ∵， ∴，得：，为定值；故④正确； 故选C． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）关于x，y的方程组有无数组解，则______． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，由题意可①②得，然后问题可求解．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，． ∴ 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 【答案】(1)； (2)； (3)7 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把m看做已知数，利用加减消元法求出解即可； （2）把方程组的解代入方程计算即可求出m的值； （3）将代数式变形为，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得； （3）解：∵ ， ∵是个定值， ∴， ∴， ∴ ． ∴这个定值为7． 【题型七】方程组相同解问题 例16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值=_________． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 得：， 将代入①得：， 将代入得： ， 得：， 将代入④得：， 当时， 故答案为：． 例17．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解的定义，关于x，y的方程组与的解相同，所以的解即为方程组与的解，即可求出解为，把代入到中，即可求得a和b的值，进而可求得代数式的值． 【详解】解：关于x，y的方程组组与的解相同， ∴的解即为方程组与的解， ∴，得， 把代入②得， ∴关于x，y的方程组组与的解为， ∴是的解， ∴， 解得， ∴． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【知识点】加减消元法、方程组相同解问题 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和有相同的解， ∴， 两式相加，得 解得 把代入，得 解得 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得 整理得 得 解得 把代入得 解得 ∴． 故选：D． 变式2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为__________． 【答案】1 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查的是同解方程组，二元一次方程组的解法，利用同解的含义重组方程组是解题的关键．把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解 从而可得答案． 【详解】解：根据题意得： ①②： 把代入①： 把代入得 解得： ； 故答案为： 变式3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题考查的是二元一次方程组的同解问题，二元一次方程组的解法； （1） 由题意可得这两个方程组的相同解也满足方程组 ，再解方程组即可； （2）把代入两个含未知系数的方程可得，再解方程组并进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意得这两个方程组的相同解也满足方程组 ； 解得， 所以这两个方程组的相同解为 （2）解：将，代入方程组， 得， 解得， ∴， 即的值为． 【题型八】三元一次方程组的定义及解 例18．（2026七年级下·江苏·专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴， 解得：． 例19．（2026七年级下·江苏·专题练习）三元一次方程的非负整数解个数有_____________个． 【答案】884 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】当时，，有51个非负整数解；当时，，共有49个非负整数解；当时，，有48个非负整数解；当时，，有46个非负整数解；当时，，有45个非负整数解；……；当时，，有1个非负整数解；再列式计算可得答案． 【详解】解：当时，，y可以分别取0，1，2……50，一共有51个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……48，一共有49个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……47，一共有48个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……45，一共有46个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……44，一共有45个非负整数解； ……； 当时，，y可以分别取0，1，2，3，4，5，一共有6个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2，3，一共有4个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2，一共有3个非负整数解； 当时，，y可以取0，一共有1个非负整数解； ∵ ， ∴方程的非负整数解个数有884个． 例20．（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【详解】解：， 得：， ， ， ③-②得：， ， ， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴． 变式1．（22-23七年级下·江苏南通·月考）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程组是解本题的关键． 变式2．（2026七年级下·江苏·专题练习）三元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【详解】解：， 可得， 整理得， 得， 得， 得， 因此原方程组的解为． 变式3．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）解方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】三元一次方程组的定义及解、加减消元法、代入消元法 【分析】用加减消元法或代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ②－①×2得：， 解得， 将代入①得：， 原方程组的解为：； （2）， ③－②得：，解得， 将代入①得：④， ②＋④得：，解得， 将代入②得：， 原方程组的解为：． 【题型九】三元一次方程组的应用 例21．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，三个天平的托盘中放置了正方体、球、圆锥三种形状的物体，形状相同的物体的质量均相等，图①、②所示的两个天平处于平衡状态，现要使得图③中的天平也保持平衡，且在该天平的右盘中只放置球，则右盘中需放入球的个数为（   ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了等式的基本性质以及列方程组解决实际问题，解决本题的关键是借助方程关系进行等量代换，进而求出球的数量． 假设用表示球体，表示正方体，表示圆锥体，列方程组求未知数的熟练关系即可． 【详解】解：假设用表示球体，表示正方体，表示圆锥体，根据图①②得， 整理得 得， ， 将代入得，， ∴， ∴图3中， 故选：B． 例22．（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 【答案】 30 20 15 18 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】根据四种水果共买了83千克，用去228元．买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍，列出方程组，然后根据代入消元法和加减消元法求解即可． 【详解】解：设桔子买了x千克，苹果买了y千克，香蕉买了m千克，柿子买了n千克， 根据题意，得， 由③得， 由④得， 把，代入①、②，得， 化简，得， 解得， ∴，， 答：桔子买了30千克，苹果买了20千克，香蕉买了15千克，柿子买了18千克． 例23．（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【答案】1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元，根据“1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元”得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元， 根据题意得：， 解得：， 答：1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元． 变式1．（2023七年级下·江苏·专题练习）一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入了一些水，如果9个人淘水，4小时淘完，如果6个人淘水，10小时才能淘完，假设每个人向外淘水的速度一样，现在要在两个小时内淘完，需要（　　）人． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设x为原有水量，y为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量，根据“如果9个人淘水，4小时淘完；如果6个人淘水，10小时才能淘完”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可用含z的代数式表示出x，y值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设x为原有水量，y为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量， 依题意，得： ． 解得 ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 变式2．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，用“○”“△”及“□”代表3种不同物体，且前两个天平是平衡状态，现需在第③个天平的“？”处放置_____________个“□”才能使得天平也平衡． 【答案】5 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查三元一次方程组变形．根据题意分别设“○”“△”及“□”为，利用图形列出方程即可得到本题答案． 【详解】解：∵①图可表示为：，即， ∵②图可表示为：， ∴，， ∴①图中， 故答案为：5． 变式3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，． (2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． (3)该值为． 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解； （2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解； （3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：依题得， 则可得即， 可得即． 故答案为：，． （2）解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元， 则依题得， 可得， 即， ． 答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． （3）解：依题得，由 可得， 即， ． 一、单选题 1．用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由①变形得③，把③代入②即可得到答案． 【详解】解： 由（1）得，③ 把③代入②得，， 故选：B 【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 2．已知，且，刚k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】把关于，的方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得：，再根据，求出的值即可． 【详解】解， ，可得：， ， ， ， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． 3．甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（    ） A．85元 B．89元 C．90元 D．91元 【答案】D 【分析】设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意列出三元一次方程组，两方程相加即可解答． 【详解】解：设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意， 得：， 两方程相加，得：，即， 答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元， 故选：D． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组，利用两方程相加求解是解答的关键． 4．已知是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解、解二元一次方程，由题意得出，由得出，由此即可得出答案． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 由得：， ， 故选：C． 5．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，可知，即可求解． 【详解】解：可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 即． 6．已知方程组的解是，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．5 D．－5 【答案】A 【分析】将代入方程组，得，进而求出a，b的值，再求a-2b的值即可． 【详解】解：将代入方程组，得， 解得， 将代入得 -1-2×（-2）=-1+4=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，求方程组的参数，求代数式的值，正确地计算能力是解决问题的关键． 7．已知关于x，y的方程组和的解相同，则a，b的取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】既然两个方程组的解相同，那么两个方程组的解也应与方程组的解相同．将此方程组的解代入含有a、b的另两个方程，就得关于a、b的二元一次方程组，解之即得a、b的值． 【详解】解：由题意，组成新方程组 解得， 把x＝3，y＝1分别代入ax＋by＝－1和2ax＋3by＝3，得 ， 解这个方程组，得， 故选：A． 【点睛】此题考查了同解方程组，解二元一次方程组，正确理解同解方程组的题意列得方程组进行解答是解题的关键． 8．若同时满足方程，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组、负整数指数幂、同底数幂的乘法及幂的乘方，掌握解二元一次方程组、负整数指数幂、同底数幂的乘法及幂的乘方是解题关键．先解二元一次方程，再把变形并代入计算即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ， 故选：D． 9．已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ①当时，原方程可化为，再求出x与y的值，然后代入方程检验即可；②令求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入中计算得到结果，再判断即可；④令求出的值判断即可． 【详解】解：①当时，原方程可化为， 得：，解得：， 把代入①得：， 此时，即①正确； ②当时，原方程可化为，即， 把代入得：，解得：，即②正确； ③， 得：，解得：， 把代入可得：，解得：， 则，即的值随a的变化而变化，所以③错误； ， 所以不存在a使得成立，故结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选D． 10．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 二、填空题 11．方程组 的解是____． 【答案】 【分析】利用代入消元法求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 12．已知，关于，的方程组的解满足，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；②①得，，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：， ②-①得， ∵， ∴ 解得：, 故答案为：． 13．已知，则________，________． 【答案】 【分析】根据平方和绝对值的非负性求解即可． 【详解】∵，，， ∴， 解得， 故答案为：；． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是根据非负性得到二元一次方程组． 14．有一个三位数，个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的2倍比个位、十位上的数字之和大4，个位十位、百位上的数字之和是14，则这个三位数为______． 【答案】671 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，等量关系为：个位上的数字+百位上的数字=十位上的数字；百位上的数字个位数字+十位上的数字；个位上的数字+十位上的数字+百位上的数字，把相关数值代入可得各位上的数字，三位数百位上的数字十位上的数字+个位数字，把相关数值代入计算可得． 【详解】设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z．由题意得 把①代入③得， 把代入①得， 代入②得 联立④⑤得， ∴， ∴这个三位数是671． 故答案为：671． 15．（1）已知关于，的二元一次方程组，则的值为________； （2）若关于，的二元一次方程组的解为，那么方程组的解为________． 【答案】 【分析】（1）把方程组的两个方程相加得到，进而即可求得； （2）将方程组变形为，则，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）， ①+②得：， ． （2）将方程组变形为， ∵将方程组与方程组系数相同， 利用整体换元思想可得，解得． 三、解答题 16．解方程组： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用代入消元法可进行求解； （2）先把二元一次方程组进行化简，然后再利用加减消元进行求解即可． 【详解】解：（1） 把②代入①得：，解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为； （2） 方程组化简得： ②×5+①得：，解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 17．已知关于的方程组． （1）当时，求方程组的解； （2）证明：无论取什么数，的值始终不变． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）先将代入 ，解出方程组即可； （2）解方程组可得代入=3，即可解答． 【详解】（1）将代入 ，得， 两个方程相减得： ，解得： ， 将代入第二个方程得： ， 所以方程组的解为； （2）解方程组，得， 所以， 所以，无论取什么数，的值始终不变． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本步骤是解题的关键． 18．小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 19．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】(1)接收方收到的密码是，，． (2)发送方发出的密码是，，． 【分析】（1）根据发送方与接收方密码的约定关系，计算出，，即可； （2）根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于，，的方程组，通过解方程组求出发送方发出的密码． 本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 答：接收方收到的密码是，，． （2）由题意得， 解得， 答：发送方发出的密码是，，． 20．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：已知关于x、y的二元一次方程（其中），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”是______，由该方程和其“船山方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（其中）的系数满足， ①求该方程与其“船山方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)①；②2026 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）①首先得到，根据题意联立方程组，求出x，y的值； ②将代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 联立得， 由得： 解得， 把代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：①∵， ， ∴与其“船山方程”所组成的方程组为， 由得： 解得， 把代入①得：， ∴ 解得， ∴方程组的解为； ②将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 21．如图，，是的平分线，和的度数满足方程． (1)求和的度数； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）证明，根据即可证明； （3）根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：，得， ， 代入①得； （2）证明：∵，， ∴ ， ， ； （3）解：是的平分线， ， ∵， ， ． 22．已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 【答案】(1) (2)购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元 (3) 【分析】（1）由可得，由计算即可得出结果； （2）设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，由题意可得，求出，即可得出结果； （3），由可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：， ∴； （2）解：设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元， 由题意可得：， 由可得：， 由可得：， ∴， ∴（元）， 故购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元； （3）解：∵对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数），已知，， ∴， 由可得：， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 解二元一次方程组与三元一次方程组 （知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】用代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 ①变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数，得到变形的方程. 变形为𝑦=𝑎𝑥+𝑏 （或𝑥=𝑎𝑦+𝑏 ）的形式. 一般选未知数系数的绝对值较小的方程变形. ②代入 把𝑦=𝑎𝑥+𝑏 （或𝑥=𝑎𝑦+𝑏 ）代入另一个没有变形的方程中. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. 变形后的方程只能代入另一个没有变形的方程. ③求解 解代入后的一元一次方程. 求出一个未知数的值. 去括号时不要漏乘，移项时要变号. ④回代 把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中. 求出另一个未知数的值. 一般代入变形后的方程比较简单. ⑤写解 把两个未知数的值联立起来. 将方程组的解表示为的形式. 要用“{ ”将未知数的值联立起来. 【知识点02】用加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法：把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 ①变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数. 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数. （1） 选准消元对象：当某未知数的系数相等或互为相反数或存在整数倍关系时选择消去该未知数； （2） 方程两边同乘某个数时，不要漏乘. ②加减 当其中一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当其中一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. （1） 加减前，应将对应未知数对齐再加减,若一个方程缺少某一项时，将该项看作0，再对齐加减; （2） 一定要把两个方程两边分别相加减. ③求解 解消元后得到的一元一次方程. 求出一个未知数的值. ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个方程中. 求出另一个未知数的值. 回代时选择系数的绝对值较小的方程. ⑤写解 把两个未知数的值联立起来. 将方程组的解表示为 的形式. 要用“{ ”将未知数的值联立起来. 【知识点03】三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组：把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组. 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件：（1）方程组中一共含有三个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1；（3）方程组中的每个方程都是整式方程. 【知识点04】解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路：通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，就可以把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 2.解三元一次方程组的一般步骤 （1）消元:利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组. （2）求解:解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. （3）回代:将求得的未知数的值代入原方程组中含有最后一个未知数的方程中，得到一个一元一次方程. （4）求解:解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值. （5）写解:将求得的三个未知数的值用“<m>{</m>”联立起来，就是原三元一次方程组的解. 【题型一】代入消元法 例1．（2026七年级下·江苏·专题练习）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 例2．（2026七年级下·江苏·专题练习）形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 例3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组： (1)； (2) 变式1．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程，请用关于y的代数式表示x．______． 变式3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下面是某同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 第一步：由①得，；③ 第二步：将③代入②，得； 第三步：解得； 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为． 任务一：该同学解方程组用的方法是________消元法（填“代入”或“加减”）； 任务二：仔细检查后，发现该同学的答案是错误的，他从第________步开始出现错误； 任务三：请写出正确的解答过程． 【题型二】加减消元法 例4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）对于任意有理数，我们规定，根据这一规定解答：若x，y同时满足：，，则的值是（    ） A．26 B．8 C． D． 例5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程组的解，则______． 例6．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组：． 变式1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知满足方程组，则之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）方程组的解为______． 变式3．（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组： (1) (2) 【题型三】二元一次方程组的特殊解法 例7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 例8．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若方程组的解是，则方程组的解是________． 例9．（2026七年级下·江苏·专题练习）素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如，求的值．我们不妨将作为一个整体代入，则． 素材二：已知，其中有理数m，n满足，就称点P为“燕南点”．例如要判断点是否为“燕南点”，令，解得，因为，所以不是“燕南点”；再如是否为“燕南点”，令，解得．因为，所以是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； (1)若，求的值； (2)请通过计算去判断点是不是“燕南点”． 变式1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）已知方程组的解是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，满足方程组，则的值是_______． 变式3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 【题型四】二元一次方程组的错解复原问题 例10．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，则=________． 变式2．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【题型五】构造二元一次方程组求解 例11．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 例12．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为______． 变式2．（23-24七年级下·江苏苏州·月考）在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 【题型六】已知二元一次方程组的解的情况求参数 例13．（22-23七年级下·江苏·期末）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 例14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解满足，则m的值为_____． 例15．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x、y的方程组，给出下列说法正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是方程的一个解； ②若，则； ③当x与y互为相反数时，； ④不论a取什么实数，的值始终不变． A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）关于x，y的方程组有无数组解，则______． 变式3．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 【题型七】方程组相同解问题 例16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值=_________． 例17．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组和的解相同，求代数式的值． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 变式2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为__________． 变式3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【题型八】三元一次方程组的定义及解 例18．（2026七年级下·江苏·专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例19．（2026七年级下·江苏·专题练习）三元一次方程的非负整数解个数有_____________个． 例20．（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 变式1．（22-23七年级下·江苏南通·月考）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 变式2．（2026七年级下·江苏·专题练习）三元一次方程组的解为_____________． 变式3．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）解方程组： (1)； (2)； 【题型九】三元一次方程组的应用 例21．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，三个天平的托盘中放置了正方体、球、圆锥三种形状的物体，形状相同的物体的质量均相等，图①、②所示的两个天平处于平衡状态，现要使得图③中的天平也保持平衡，且在该天平的右盘中只放置球，则右盘中需放入球的个数为（   ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 例22．（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 例23．（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 变式1．（2023七年级下·江苏·专题练习）一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入了一些水，如果9个人淘水，4小时淘完，如果6个人淘水，10小时才能淘完，假设每个人向外淘水的速度一样，现在要在两个小时内淘完，需要（　　）人． A．14 B．16 C．18 D．20 变式2．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，用“○”“△”及“□”代表3种不同物体，且前两个天平是平衡状态，现需在第③个天平的“？”处放置_____________个“□”才能使得天平也平衡． 变式3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 一、单选题 1．用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，刚k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（    ） A．85元 B．89元 C．90元 D．91元 4．已知是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D．2 5．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．已知方程组的解是，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．5 D．－5 7．已知关于x，y的方程组和的解相同，则a，b的取值为（　　） A． B． C． D． 8．若同时满足方程，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 9．已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 10．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 二、填空题 11．方程组 的解是____． 12．已知，关于，的方程组的解满足，则的值为______． 13．已知，则________，________． 14．有一个三位数，个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的2倍比个位、十位上的数字之和大4，个位十位、百位上的数字之和是14，则这个三位数为______． 15．（1）已知关于，的二元一次方程组，则的值为________； （2）若关于，的二元一次方程组的解为，那么方程组的解为________． 三、解答题 16．解方程组： （1）． （2）． 17．已知关于的方程组． （1）当时，求方程组的解； （2）证明：无论取什么数，的值始终不变． 18．小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 19．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 20．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：已知关于x、y的二元一次方程（其中），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”是______，由该方程和其“船山方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（其中）的系数满足， ①求该方程与其“船山方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 21．如图，，是的平分线，和的度数满足方程． (1)求和的度数； (2)求证：； (3)求的度数． 22．已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $