第12讲 一元一次不等式组（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 一元一次不等式组（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元一次不等式组 1. 定义：类似于方程组，把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组. 特别解读 1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个. 2.未知数的个数必须唯一. 特别提醒：一元一次不等式组必须同时满足两个条件： (1)不等式组中只含有一个相同的未知数； (2)含有两个或两个以上的一元一次不等式. 2. 表示方式： 不等式组可以用“{” 表示， 也可以用形如 的方式表示. 【知识点02】不等式组的解集 1. 定义： 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集 . 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 (a>b) 不等式组的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 x>a x<b 无解 b<x<a 口诀  同大取大  同小取小  大大小小无处找 大小小大取中间 【知识点03】一元一次不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组的解集的过程叫作解不等式组. 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别求出不等组中各个不等式的解集； (2)利用数轴法或口诀法求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集. 【知识点04】列一元一次不等式组解决实际问题 列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤 【题型一】求不等式组的解集 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 例2．不等式组的解集为________． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）建模解不等式组时，不等式①，②的解集在同一条数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·四川资阳·期中）我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 变式3．（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式组，并在数轴上表示出解集：． 【题型二】求一元一次不等式组的整数解 例3．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例4．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，若整式的值落在数轴上的区间①内，则整数______． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·北京房山·期中）满足不等式的所有整数解是________． 变式3．（25-26七年级下·北京昌平·期中）解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【题型三】由一元一次不等式组的解集求参数 例5．（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 例6．（2026七年级下·上海·专题练习）若关于的不等式组无解，求应满足的条件． 变式1．（25-26七年级下·全国·单元测试）关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．若关于的不等式组的解集为，则的值为________． 变式3．（25-26七年级下·全国·单元测试）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 【题型四】由不等式组解集的情况求参数 例7．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例8．（25-26七年级下·全国·课后作业）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 变式1．（25-26七年级下·北京房山·期中）当时，对于的每一个值，的值都大于的值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组只有4个整数解，则的取值范围是_________． 变式3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若一个不等式（组）A有解且解集为（），则称为A的“界中值”，若A的界中值是不等式（组）B的解（即界中值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A“界中包含”． (1)已知关于x的不等式组①：，②，③以及不等式M：，则不等式M对于不等式组①___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组②___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组③___________（是/不是）“界中包含”． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C“界中包含”，求m的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E“界中包含”，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【题型五】不等式组和方程组结合的问题 例9．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例10．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 变式1．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知平面直角坐标系上的动点，满足，，其中，则下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的有 （   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 变式2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知满足，则的取值范围为______． 变式3．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【题型六】列一元一次不等式组 例11．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 例12．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 变式1．（25-26七年级·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 变式2．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是__． 变式3．（22-23七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【题型七】不等式组的行程问题 例13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 变式1．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【题型八】不等式组的经济问题 例14．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【题型九】不等式组的分配问题 例15．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【题型十】不等式组的方案选择问题 例16．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 变式1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 变式2．（23-24七年级下·广西北海·期末）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【题型十一】不等式组的阶梯收费问题 例17．（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 变式2．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【题型十二】一元一次不等式组的其他应用 例18．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：将的水倒进一个容量为的杯子中；将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·重庆）百题速答赛共100道题，答对一题得5分，答错一题扣1分，不答得0分．希希得了400分，他最多答对________道题． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式（组）解决下列问题： (1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来． (2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示的取值范围． 一、单选题 1．下列不等式组中，它的解集在数轴上表示成如图所示，则这个不等式组为（    ） A． B． C． D． 2．关于的不等式有三个非负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式组 有解，则a的取值范围是（    ） A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜1 D．a≤1 4．若关于的不等式组所有整数解的和为9，则整数的值为（   ） A．3或0 B．3 C．0 D．或 5．已知关于的不等式组恰好有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 二、填空题 8．若不等式的解集是，则的取值范围是________． 9．不等式组的整数解是______． 10．不等式组的解集是________． 11．若不等式组有解，则m的取值范围是___________． 12．若不等式组的的解集为，则代数式的值为______． 13．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为_______． 14．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 三、解答题 15．解不等式组 ，并把解集表示在数轴上． 16．计算 (1)解不等式 (2)解不等式组 17．国家卫生健康委自2024年启动“体重管理年”三年行动，体重指数（）是衡量人体胖瘦程度的常用标准，计算公式为：，中国成年人的BMI分类标准如下表： 指数 身体状态 偏瘦 正常 超重 肥胖 已知小明爸爸体重，身高，请根据题意完成下列问题： (1)通过计算说明小明爸爸的身体状态情况； (2)若小明爸爸的身体状态要达到“正常”，则他的体重应控制在什么范围？（精确到） 18．某市在创建卫生文明城市期间，决定购买，两种树苗用来绿化部分道路．已知购买种树苗棵、种树苗棵，共需元；购买种树苗棵、种树苗棵，共需元． (1)求，两种树苗的单价． (2)根据绿化道路的实际情况，现需要购买，两种树苗共棵，且要求购买种树苗的数量不多于种树苗数量的，且购买这两种树苗的费用不能超过元．问有哪几种购买方案？ 19．对于非负实数，“去尾法”到个位的值记为，即当为非负整数时，如果，则．例：， ，解决下列问题： (1)_____、_____； (2)当为非负整数时，求证：； (3)解方程：． 20．已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 一元一次不等式组（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元一次不等式组 1. 定义：类似于方程组，把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组. 特别解读 1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个. 2.未知数的个数必须唯一. 特别提醒：一元一次不等式组必须同时满足两个条件： (1)不等式组中只含有一个相同的未知数； (2)含有两个或两个以上的一元一次不等式. 2. 表示方式： 不等式组可以用“{” 表示， 也可以用形如 的方式表示. 【知识点02】不等式组的解集 1. 定义： 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集 . 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 (a>b) 不等式组的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 x>a x<b 无解 b<x<a 口诀  同大取大  同小取小  大大小小无处找 大小小大取中间 【知识点03】一元一次不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组的解集的过程叫作解不等式组. 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别求出不等组中各个不等式的解集； (2)利用数轴法或口诀法求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集. 【知识点04】列一元一次不等式组解决实际问题 列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤 【题型一】求不等式组的解集 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 例2．不等式组的解集为________． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【详解】解：不等式组为， 由①得，，解得， 由②得，， 因此不等式组的解集为． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）建模解不等式组时，不等式①，②的解集在同一条数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 故选：D． 变式2．（25-26七年级下·四川资阳·期中）我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求不等式组的解集 【分析】根据新定义，推出，得到或，分类讨论求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∵x，y为不同的整数， ∴或， 当时，或，不符合题意，舍去； 当时，或或或， ∴或． 变式3．（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式组，并在数轴上表示出解集：． 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集 【详解】解：， 解不等式得：， 由不等式得：， 不等式组的解集为：； 解集在数轴上表示为： ． 【题型二】求一元一次不等式组的整数解 例3．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，找出解集内的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解之和为． 例4．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，若整式的值落在数轴上的区间①内，则整数______． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】由整式的值落在数轴上的区间①内得，解不等式组得x的取值范围，进而可得整数x的值． 【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间①内，则 ， ∴， ∴， 解得， ∴整数． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为，根据最小整数解是，可知不是解而是解，从而得出关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式： ∵ ∴ ． 解第二个不等式： ∵ 两边乘： 展开： 移项： ∴ ． 即 ． ∴ 不等式组的解集为 ． ∵ 最小整数解是 ∴ 不是解，故 ． 又 ∵ 是解，故 ∵ ∴ ． 即 ． ∵ 且 ∴ ． 即 ． ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点一元一次不等式组的整数解，解题关键是根据最小整数解的条件，建立关于的不等式，从而确定 的取值范围． 变式2．（25-26七年级下·北京房山·期中）满足不等式的所有整数解是________． 【答案】，0，1，2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】根据不等式性质对该不等式组求解，得出解集后，取整数解即可． 【详解】解：， ， ， 整数解为，0，1，2． 变式3．（25-26七年级下·北京昌平·期中）解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】 ； 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为. 【题型三】由一元一次不等式组的解集求参数 例5．（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，再分别解两个一元一次不等式，最后根据已知解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法确定a的取值范围． 【详解】解：根据新定义，关于x的不等式组可化为： ， 解不等式①可得：， 解不等式②移项可得：， 因为该不等式组的解集为， 根据同大取大的解集确定法则，可得， 解得：． 例6．（2026七年级下·上海·专题练习）若关于的不等式组无解，求应满足的条件． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的应用．根据已知得出关于的不等式，求出即可． 【详解】解：由题意可得，不等式组无解， ∴， 解得：． 变式1．（25-26七年级下·全国·单元测试）关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的规则，即可确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得∶， 解不等式得∶， ∵不等式组的解集是， ∴， 变式2．若关于的不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】5 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，结合已知的不等式组解集得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：解不等式， 移项得， 系数化为得：． 解不等式， 移项得， 系数化为得：． 不等式组的解集为， ， 解得． 变式3．（25-26七年级下·全国·单元测试）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先解出第一个不含参数的不等式，再用参数表示第二个不等式的解集，最后结合已知的不等式组解集，利用“同大取大”的原则来确定参数的取值范围． 【详解】解：由题意，得 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组的解集为， ， ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法与含参数不等式组的解集分析，解题关键是熟练掌握不等式组解集法则，并能结合已知解集反向推导参数的取值范围． 【题型四】由不等式组解集的情况求参数 例7．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先解不等式组得到解集，再根据只有3个整数解的条件，得到参数a的取值范围． 【详解】解：， 由①得 由②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组只有3个整数解， ∴3个整数解为1，0，， ∴． 例8．（25-26七年级下·全国·课后作业）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（1）先解出两个不等式组的解集，然后根据定义判断即可； （2）先解不等式组，然后根据定义解答即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解， ∴不等式组是不等式组的“子集”； （2）解：解不等式组，得， 关于的不等式组是不等式组的“子集”， ． 变式1．（25-26七年级下·北京房山·期中）当时，对于的每一个值，的值都大于的值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【详解】解：已知当时，恒成立， 解不等式得， 由题意得， 解得． 变式2．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）关于的不等式组只有4个整数解，则的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数．先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵， ∴不等式组的解集为， 不等式组只有个整数解， 不等式组的个整数解为， 由此可得． 变式3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若一个不等式（组）A有解且解集为（），则称为A的“界中值”，若A的界中值是不等式（组）B的解（即界中值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A“界中包含”． (1)已知关于x的不等式组①：，②，③以及不等式M：，则不等式M对于不等式组①___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组②___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组③___________（是/不是）“界中包含”． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C“界中包含”，求m的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E“界中包含”，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【答案】(1)是，是，不是； (2)； (3)或． 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了两数的界中值、解一元一次不等式组、不等式的解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组）． （1）先求不等式组的解集，然后求得的界中值，最后判断； （2）先求不等式组的解集和不等式组的解集，然后求得的界中值，最后根据定义求得的取值范围； （3）先求不等式组和的解集，再求得界中值，然后根据定义得到和不等式，最后通过的条件求出的取值范围． 【详解】（1）解：（1）由题意，①解不等式组得， “界中值”为，故不等式对于不等式组①是“界中包含”． ②解不等式组得． “界中值”为，故不等式对于不等式组②是“界中包含”． ③解不等式组得． “界中值”为，故不等式对于不等式组③不是“界中包含”． 故答案为：是，是，不是． （2）解：∵“D对于不等式组‘界中包含’ ”， 不等式组和不等式组有解， 解不等式组：得． 解不等式组：得， ， 解得， 当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为， 的界中值为， 对于不等式组“界中包含”， ， ∴， 又， ． （3）解：解不等式组：得，，解不等式组：得，， 的界中值为， 不等式组对于不等式组“界中包含”， ， 解得：． 所有符合要求的整数m之和为14， 整数可取、、、，或整数可取、、、、、、， 或． 【题型五】不等式组和方程组结合的问题 例9．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 例10．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、加减消元法 【分析】本题考查了方程组与含参不等式，熟练掌握相关解法是解题的关键； 将二元一次方程组中两等式相加代入到不等式中，解出的取值范围． 【详解】解：，得 ． ∵方程组中，满足， ∴， 解得． 变式1．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知平面直角坐标系上的动点，满足，，其中，则下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的有 （   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先分别用x、y表示a得到，，则根得，，于是解两个不等式组可对①②进行判断；先计算出，则，所以，然后解关于的不等式组可对③进行判断；当，则，解得，则a的范围为，然后解不等组可对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，故①正确； ∵， ∴， ∴， 解得：，故②错误； ， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，解得：， ∴， 即， 解得：，故④正确； 综上所述正确的为①④； 故选：C． 变式2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 变式3．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将得，求出，结合题意计算即可得解； （2）将得，结合题意可得，计算即可得解； （3）由不等式的性质可得，从而结合题意求出，即可得解． 【详解】（1）解：将得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：将得：， ∵， ∴， 解得； （3）额：由不等式解集为可知：， 解得：， 综合可得：， 符合条件的整数为：或或． 【题型六】列一元一次不等式组 例11．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 例12．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 变式1．（25-26七年级·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 变式2．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是__． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】根据题意分别表示出分3次服用和分4次服用的剂量范围，再综合两种情况分析即可得出结论． 【详解】若每天服用3次，则所需剂量为之间， 若每天服用4次，则所需剂量为之间， 所以，一次服用这种药的剂量为之间， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的实际应用问题，能够准确分情况讨论出不同的范围再综合分析是解题关键． 变式3．（22-23七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可． 【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：， 解得： ， 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键． 【题型七】不等式组的行程问题 例13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【知识点】不等式组的行程问题 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 变式1．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】不等式组的行程问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【知识点】不等式组的行程问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型八】不等式组的经济问题 例14．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 变式1．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【知识点】不等式组的经济问题、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【答案】件 【知识点】不等式组的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出解集后，取的最小整数解即可． 【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，由题意得： ； ∵ ∴， ∴， ∵取最小整数解， 故 ． 答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件． 【题型九】不等式组的分配问题 例15．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【知识点】不等式组的分配问题、求不等式组的解集 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本． 【答案】36 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【题型十】不等式组的方案选择问题 例16．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【知识点】不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 变式1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)方案1：生产A产品2件，B产品8件；方案2：生产A产品3件，B产品7件；方案3：生产A产品4件，B产品6件 (2)生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元 【知识点】不等式组的方案选择问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）设生产A种产品件，则生产B种产品件，根据“工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元”列不等式组求解即可； （2）根据（1）中方案分别计算利润，比较即可； 【详解】（1）解：设生产A种产品件，则生产B种产品件（为非负整数）， 根据题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴， 对应三种生产方案：方案1：生产A产品2件，B产品8件； 方案2：生产A产品3件，B产品7件； 方案3：生产A产品4件，B产品6件； （2）解：方案1：总利润（万元）， 方案2：总利润（万元）， 方案3：总利润（万元）， ∵， ∴生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元． 变式2．（23-24七年级下·广西北海·期末）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元； 问题二：最多可以建个地下充电桩； 问题三：共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案占地面积最小 【知识点】不等式组的方案选择问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】问题一：找准等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解，得到单个地上和地下充电桩的建造费用； 问题二：设地下充电桩数量，根据总资金限制列出一元一次不等式，求解得出地下充电桩的最大数量； 问题三：结合资金限制和地下充电桩数量的下限，列出一元一次不等式组，找出整数解得到所有建造方案，再计算各方案的占地面积并比较大小，确定占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 根据题意得： 解得： 答：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 问题二：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 化简得： 解得： 答：最多可以建43个地下充电桩 问题三：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 解不等式组得： 又∵为正整数 可以为，，， 共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩 方案1的占地面积为（平方米） 方案2的占地面积为（平方米） 方案3的占地面积为（平方米） 方案4的占地面积为（平方米） ∵ ∴方案占地面积最小 答：共有种建造方案，分别为上述方案，方案占地面积最小 【题型十一】不等式组的阶梯收费问题 例17．（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式组的阶梯收费问题 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 变式1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【知识点】不等式组的阶梯收费问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的阶梯收费问题 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【题型十二】一元一次不等式组的其他应用 例18．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：将的水倒进一个容量为的杯子中；将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】设一个玻璃球的体积为，根据4个球放入水中水未满，5个球放入水中水满溢出，列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：设一个玻璃球的体积为 ∵杯子容量为，水的体积为 ， ∴杯子剩余空间为 根据题意可得， 解得， ∵选项中只有在此范围内， ∴一个玻璃球的体积可能是． 变式1．（25-26七年级下·重庆）百题速答赛共100道题，答对一题得5分，答错一题扣1分，不答得0分．希希得了400分，他最多答对________道题． 【答案】83 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】总共有100道题，设答对x题，答错题，根据得分规则，列出不等式组求解即可． 【详解】解：设希希答对道题，答错道题， 由题意得，，均为非负整数，且满足， 由得， 因为，所以，得， 将代入不等式得：， 移项合并同类项得， 系数化为得， 因为为整数，所以的最大值为，此时，，符合题意． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式（组）解决下列问题： (1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来． (2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】列一元一次不等式、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据题意列不等式即可； （2）当小丽进电梯后电梯警示音未响起，得出，当小华进电梯后，电梯因超重而警示音响起，列出不等式，得到不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得； （2）解：根据题意得 解得． 一、单选题 1．下列不等式组中，它的解集在数轴上表示成如图所示，则这个不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在数轴上表示不等式组解集的方法即可得出结论． 【详解】 解：，4处均为空心圆点，且折线向左， 不等式组为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 2．关于的不等式有三个非负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式x-1<a得x<a+1，根据不等式有三个非负整数解知2 < a+ 1≤3，求解 可得． 【详解】解不等式x-1<a 得：x<a+1， ∵关于x的不等式x-1 < a有三个非负整数解， ∴2< a+1≤3， 解得：1< a≤2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出a+1的范围是解题的关键． 3．若不等式组 有解，则a的取值范围是（    ） A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜1 D．a≤1 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找并结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：解不等式x﹣a＜0，得：x＜a， 解不等式1﹣2x＜2﹣x，得：x＞﹣1， ∵不等式组有解， ∴﹣1＜x＜a， ∴a＞﹣1， 故选A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．若关于的不等式组所有整数解的和为9，则整数的值为（   ） A．3或0 B．3 C．0 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解． 【详解】解：由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 所有整数解的和为， ①整数解为：、、， ， 解得：， 为整数， ． ②整数解为：，，，、、， ， 解得：， 为整数， ． 综上，整数的值为或 故选：A． 5．已知关于的不等式组恰好有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式组整理后，根据恰好有4个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， ∵不等式组恰好有4个整数解， ∴4＜x＜2﹣a，整数解为5，6，7，8， ∴8＜2﹣a≤9， 解得：﹣7≤a＜﹣6． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 6．在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第三象限内点的坐标特点列出不等式组，解不等式组可得答案． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查各象限内点的坐标的特征以及解一元一次不等式组，根据第三象限内点的横纵坐标均为负数列出关于x的不等式组是解题的关键． 7．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，， 设经过次传输，可以结束程序， ∵，， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为，即经过次传输，可以结束程序， 故选：． 二、填空题 8．若不等式的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质可以得到的正负情况，从而可以得到的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ∴，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是明确不等式的性质． 9．不等式组的整数解是______． 【答案】 【分析】分别解不等式①②，求得不等式组的解集，进而求整数解． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为． 整数解是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，掌握解不等式的方法是解题的关键． 10．不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】根据解不等式组的基本步骤求解即可． 【详解】， 解①得，解②得， 故不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 11．若不等式组有解，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求得不等式的解集，再根据不等式组有解，求解即可． 【详解】解：由不等式可得：，解得 ∵不等式组有解， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了不等式组的求解，已知不等式的解集求参数，解题的关键是正确求得不等式的解集． 12．若不等式组的的解集为，则代数式的值为______． 【答案】9 【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组的解集，即可得到关于a和b的方程，求得a和b的值，进而求解． 【详解】解： 解①得：x＜， 解②得：x＞2b+3， 根据题意得：=1，且2b+3=-1， 解得：a=1，b=-2， 则原式=（-2-1）2=9． 故答案为 9 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间． 13．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为_______． 【答案】7 【分析】解出方程组然后根据题意得出不等式确定，再解不等式组得出，确定取值范围即可得出结果． 【详解】解：解方程组得：， ∵， ∴， 解得：， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：， ∴， ∵a为整数， ∴a可以为，，0，1，2，3，4， ∴所有符合条件的整数a的个数为7， 故答案为：7． 【点睛】题目主要考查解二元一次方程组及不等式组，理解解集求参数，熟练掌握解二元一次方程及不等式组的方法是解题关键． 14．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 三、解答题 15．解不等式组 ，并把解集表示在数轴上． 【答案】，解集表示在数轴上见解析． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法及解集在数轴上的表示，分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后将解集在数轴上表示出来即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ），并准确确定不等式组的公共解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为 ， 在数轴上表示如图： ． 16．计算 (1)解不等式 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）先求出每一个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，即是不等式组的解集． 【详解】（1） ； （2）， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了求解不等式（组）的知识，掌握求解不等式组解集的方法是解答本题的关键． 17．国家卫生健康委自2024年启动“体重管理年”三年行动，体重指数（）是衡量人体胖瘦程度的常用标准，计算公式为：，中国成年人的BMI分类标准如下表： 指数 身体状态 偏瘦 正常 超重 肥胖 已知小明爸爸体重，身高，请根据题意完成下列问题： (1)通过计算说明小明爸爸的身体状态情况； (2)若小明爸爸的身体状态要达到“正常”，则他的体重应控制在什么范围？（精确到） 【答案】(1)超重 (2)范围内 【分析】本题考查了代数式的计算，一元一次不等式组的应用，准确理解题意是解题的关键. （1）将小明爸爸的身高、体重直接代入公式计算，再根据分类标准进行判断即可； （2）设小明爸爸的体重为x千克，根据公式列不等式组，进而求解即可. 【详解】（1）解：小明爸爸的为， 根据分类标准，属于超重； （2）解：设小明爸爸的体重为x千克， 由题意得， 答：他的体重应控制在范围内． 18．某市在创建卫生文明城市期间，决定购买，两种树苗用来绿化部分道路．已知购买种树苗棵、种树苗棵，共需元；购买种树苗棵、种树苗棵，共需元． (1)求，两种树苗的单价． (2)根据绿化道路的实际情况，现需要购买，两种树苗共棵，且要求购买种树苗的数量不多于种树苗数量的，且购买这两种树苗的费用不能超过元．问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)种树苗的单价为元，种树苗的单价为元； (2)有两种购买方案：方案一：购买种树苗棵、种树苗棵；方案二：购买种树苗棵、种树苗棵． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解二元一次方程组，一元一次不等式组的实际应用，解一元一次不等式组，解题的关键是正确理解题意，得出方程组和不等式组． （1）根据不同购买方案，得出等量关系，列方程组，求解即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，取整数解，即可得购买方案． 【详解】（1）解：设种树苗的单价为元，种树苗的单价为元． 由题意，得， 解得， 答：种树苗的单价为元，种树苗的单价为元． （2）解：设购买种树苗棵，则购买种树苗棵． 由题意，得， 解得，． 又∵为整数， ∴或， ∴有两种购买方案． 当时，； 当时，． 方案一：购买种树苗棵、种树苗棵； 方案二：购买种树苗棵、种树苗棵． 19．对于非负实数，“去尾法”到个位的值记为，即当为非负整数时，如果，则．例：， ，解决下列问题： (1)_____、_____； (2)当为非负整数时，求证：； (3)解方程：． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义和一元一次方程与不等式组的应用， 熟练掌握不等式的解法，理解的意义是解题的关键． （1）由题意可直接得出结论； （2）根据题意，得到中的取值范围，由不等式的性质得出的取值范围，即可证明出； （3）设，将方程转化为关于的方程，解得关于的取值范围，由为非负整数，把的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得、， 故答案为：、； （2）证明：设，则且为非负整数， 为非负整数， ， ， ， ； （3）解：设且为非负整数，则原方程转化为， 解得， ， ， 解得， 为非负整数， ， 当时，， 符合题意， ， 答：方程的解为． 20．已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)－1，－2． (3) (4) 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为的步骤，解一元一次不等式； （2）在第（1）问的解集里，找出所有负整数； （3）先解不等式②，根据解集相同的条件，令两个解集的边界相等，列方程求的值； （4）根据不等式①的解都是​的解，说明①的解集是​解集的子集，通过边界的大小关系列不等式求的范围． 【详解】（1）解：去分母得， 移项得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：由（1）得，不等式①的解集为， ∴不等式①的负整数解为－1，－2． （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为，得． ∵不等式②的解集与不等式①的解集相同， ∴， 解得． （4）解：解不等式，可得． ∵不等式①的解都是的解， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、解集的包含关系及方程思想的应用，掌握解一元一次不等式的步骤，以及通过解集的包含关系确定参数范围是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $