第06讲 实数及其简单运算（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第06讲 实数及其简单运算（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】无理数 1. 无理数的概念 定义  特征  常见形式 无限不循环小数叫作无理数 ①小数 ②位数无限 ③形式为不循环 ①开方开不尽的数的方根，如：  ，3等； ②含有 π 的一类数，如： π ， π ，1+π 等； 3.具有特定结构的数，如：0.121 121 112… (每相邻两个 2 之间依次多一个 1)等 2. 无理数与有理数的区别 有理数  无理数 本质  可以化为分数形式  不能化为分数形式 表现形式  有限小数或无限循环小数  无限不循环小数 【知识点02】实数的定义和分类 1. 定义： 有理数和无理数统称实数 . 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【知识点03】实数与数轴上的点的关系 1. 用数轴上的点表示无理数 数轴上表示正无理数a 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a 个单位长度；表示负无理数-b(b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b 个单位长度. 2. 实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的. (1)“一一对应”包含着两层含义 ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示. 即若点A，点B在数轴上表示的数为，，则AB=|-|.类比有理数的大小比较 3. 实数的大小比较 (1)对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. (2)正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小. 【知识点04】实数的有关概念 1. 相反数：数a 的相反数是-a，这里a 表示任意一个实数. 2. 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 即设a 表示 一个实数，则|a|= 或|a|= 或|a|= 一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离 3. 倒数：数a(a ≠ 0)的倒数为. 特别提醒：实数的相反数、绝对值和倒数的意义及求法与有理数中的意义及求法是一致的. 【知识点05】实数的运算 1. 实数的运算法则：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 2. 实数的运算顺序：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的. 3. 实数运算结果的要求：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.计算过程中有时也使用“去尾法” 【题型一】无理数 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列实数：，π，3.14114111411114…（每两个4之间依次增加一个1），，，．其中无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据定义识别常见无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解： 是无理数， 是无理数， （每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数， = 4，是有理数， 是分数，是有理数， 是无理数， ∴ 无理数有个. 故选：B． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有 个． 【答案】3 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据定义识别常见无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是循环小数，是有理数； π是无理数； 是分数，是有理数； 是无理数； 0.313113…（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 故无理数有个． 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得______________ ∴含有因数5，设，∴____________ ∴______________，∴含有因数5，∴____________ 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ①；②；③含有因数5；④ 【答案】④②①③ 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，等式两边平方得到，由此可得可得含有因数5，可设，则，即可证明q也有因数5，这与假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得 ∴含有因数5，设，∴ ∴，∴含有因数5，∴含有因数5 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 故答案为：④②①③． 【题型二】无理数的大小估算 例2．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）实数在哪两个连续整数之间（     ） A．3与4 B．4与5 C．5与6 D．12与13 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，解决本题的关键是掌握无理数估算的方法． 通过比较23与相邻整数的平方，确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴在4与5之间． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）请写出一个比小的整数： ．（写一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握夹逼法是解题的关键，利用夹逼法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∴比小的整数可以为4； 故答案为：4（答案不唯一） 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，仿照小星同学的探索过程解答即可． 【详解】解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，画一个边长为的大正方形（如图）， 图中大正方形的面积． 又， ， 当时，可忽略不计，得方程， 解得， ． 【题型三】无理数整数部分的有关计算 例3．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 变式1．（23-24七年级下·四川广安·期末）若为两个连续的正整数，且，则 ． 【答案】9 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据无理数的估算可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为两个连续的正整数，且， ∴， ∴， 故答案为：9． 变式2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）由得到，即可求解； （2）由得到的整数部分与小数部分，即可解答． 【详解】（1）解：∵，所以， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 所以． 【题型四】实数的分类 例4．（24-25七年级下·吉林白山·期末）在实数、、0、、、中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，以及有理数的概念． 根据有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，判断每个数是否满足定义，并统计符合定义的个数，即可解题． 【详解】解：∵是无理数（5不是完全平方数）， （分数）是有理数， 0（整数）是有理数， 是无理数， （整数）是有理数， （有限小数）是有理数， ∴有理数有4个， 故选：D． 例5．（24-25七年级下·山东德州·月考）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 变式1．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 【答案】C 【知识点】无理数、实数概念理解 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：A．，是有理数，不符合题意； B．3.1415是有限小数，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是分数，是有理数，不符合题意． 故选：C． 变式2．（22-23七年级下·宁夏吴忠·期中）把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，． 有理数集合：{                    } 无理数集合：{                    } 整数集合：{                    } 分数集合：{                    } 【答案】，，，；，，；；，， 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，先计算绝对值和算术平方根，再根据有理数，无理数，整数和分数的定义求解即可． 【详解】解：，， 是无理数， 是无理数， 是有理数，是整数， 是无理数， 是有理数，是分数， 是有理数，是分数， 是有理数，是分数， ∴有理数集合：{，，，}， 无理数集合：{，，}， 整数集合：{}， 分数集合：{，，}． 【题型五】实数的性质 例6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）实数的相反数为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查实数的性质，根据相反数的定义，直接求解即可． 【详解】解：实数的相反数只需在其前面添加负号，即为． 故选B． 例7．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数概念理解、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·全国·月考）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 【答案】 / / 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 变式2．（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，， 【知识点】实数的性质 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 【详解】（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 【题型六】实数与数轴 例8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，写出点B表示的数.根据到点A的距离为1的数分别位于A点的左侧或右侧，即可得到点B表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度， ∴点B表示的数为或． 故选：C． 变式1．（23-24七年级下·山东滨州·月考）如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先求出直径为1个单位长度的圆滚动一周的距离，再根据数轴的性质即可得． 【详解】解：因为直径为1个单位长度的圆滚动一周的距离为， 所以点表示的数是， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是_______，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点表示的数为_______；说明_______可以在数轴上表示． (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【答案】(1)2，，无理数 (2)见解析； 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）先根据网格特点，求出正方形的面积，再根据无理数的表示和正方形的面积公式求得，进而可得求解； （2）先构造为边的正方形，求得它的面积，进而利用正方形的面积公式以及无理数的表示求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，正方形的面积为，即 以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴相交于点 点表示的数为 说明无理数也可以在数轴上进行表示 故答案为：2，，无理数 （2）解：如图，构造为边的格点正方形， 【题型七】实数的大小比较 例9．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）下列各数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 把化简后根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∵最小的是， 故选C． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： （1） 4； （2） 1． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法，是解题的关键． （1）先将化成，然后比较即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与－3.4． (2)与． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键； （1）根据“正数大的反而小”进行比较两个负数的大小； （2）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ． （2）解：∵，且， ， ， ． 【题型八】实数的混合运算 例10．（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，根据正方形面积计算公式可得正方形和正方形的边长分别为，1，据此可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为5，1， ∴正方形和正方形的边长分别为，1， ∴， ∴ ， 故选：B． 变式1．（2025·河南郑州·模拟预测）计算： ． 【答案】3 【知识点】实数的混合运算 【分析】此题主要考查了实数的运算，利用乘方及立方根的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 变式2．（23-24七年级下·重庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘方，化简绝对值，算术平方根，然后合并即可； （）先算乘方，化简绝对值，乘法，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型九】程序设计与实数运算 例11．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 符合题意，可以输出， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图是一个数值转换器，当输入为8时，输出的值是 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，先把输入计算出8的立方根为2，由于2是有理数，则把作为新数输入，再求出2开立方的结果，若结果为有理数，则重复上述过程，若结果为无理数，则把结果输出即可． 【详解】解：第一次输入8时，是有理数， 第二次输入2时，是无理数，则输出的结果为， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【知识点】实数的分类、程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 【题型十】新定义下的实数运算 例12．（24-25七年级下·福建莆田·期中）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义，根据题目的规定可知，由此求即可． 【详解】解：，，， 即连续四个式子的和为零 故选：B． 变式1．（2023·广东·模拟预测）规定一种新运算，如，则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、二次根式的平方运算，解题的关键是准确把握新运算“”的规则，明确运算中、的对应取值并代入计算． 先根据新运算规则确定、；再计算（即），接着计算；最后用的结果减去的结果，得到最终值． 【详解】解：由新运算，可得． 故答案为：． 变式2．定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 【题型十一】实数运算的实际应用 例13．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 变式1．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 变式2．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【题型十二】与实数运算相关的规律题 例14．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 变式2．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 一、单选题 1．在，，，，0.123456789101112…（小数部分由相继的正整数组成）五个数中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案； 【详解】解：是整数，为有理数；是无理数；是整数，为有理数；是分数，为有理数；0.123456789101112…（小数部分由相继的正整数组成）为无限不循环小数，为无理数， 因此无理数有2个， 故选：B． 2．如图，正方形的面积为7，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 是数轴上表示的点， 点表示的数是． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形面积，实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键． 3．已知，且是两个连续的整数，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的故事，先根据夹逼原则得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且是两个连续的整数， ∴， ∴， 故选C． 4．物理学家焦耳发现电流通过导体时可以产生热量．电流发热的功率公式为，其中为电功率（单位：），为电流强度（单位：A），为电阻（单位：）．已知某电热炉的发热功率为，电阻为．则这个家用电器的电流介于（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的大小估算，根据题意得出，进而估算的大小，即可求解． 【详解】当时， ，即电流介于和之间 故选：B． 5．在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、求一个数的绝对值，先估算出，再根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， ∴， ∴在，，，这四个数中，最小的数是， 故选：D． 6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键． 由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， A、∵，，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，又∵0＜b＜1，∴，故此选项不符合题意； C、∵∴，∵，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故此选项符合题意； 故选：D． 7．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段就是点P到直线l的距离；④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；⑤无理数都是无限小数．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理，垂线定义，点到直线的距离，无理数的定义，平行线的性质，熟练掌握平行公理，垂线定义，点到直线的距离，无理数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误； ③过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段的长度就是点P到直线l的距离，故原说法错误； ④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故原说法正确； ⑤无理数都是无限小数，故原说法正确， 综上所述正确的有：④⑤． 故选：B． 8．已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．比较大小： ． 【答案】 【分析】利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ， ． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了算术平方根，实数大小比较，掌握利用平方法比较大小是解题的关键． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、乘方、绝对值的运算，掌握先分别计算各部分运算结果，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、乘方绝对值，再进行有理数加减运算． 【详解】解：，，， 则原式 ． 故答案为 ． 11．下图依次是面积为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形，其中边长是无理数的正方形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了算术平方根的计算，无理数的概念，掌握算术平方根的计算是关键． 根据算术平方根的计算判定即可． 【详解】解：面积为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形的边长依次是，， ∴是无理数的有，共6个， 故答案为：6 ． 12．若无理数的值介于两个连续整数和之间，则 ． 【答案】2 【分析】利用完全平方数，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握一些常用的平方数是解题的关键． 13．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 14．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据新定义的运算规则，先计算内层运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：首先计算 ， 然后计算 ， 故答案为：． 15．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 16．春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． 【答案】B与C 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答． 【详解】解： ， ∴此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母与之间． 故答案为：与． 三、解答题 17．计算题：（要求写出计算步骤） 【答案】 【分析】根据平方根的性质、立方根的性质、绝对值的性质计算即可． 【详解】原式 【点睛】本题主要考查实数的运算，牢记平方根的性质、立方根的性质、绝对值的性质是解题的关键． 18．已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)小吉想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布，长方形的面积为，且长宽之比为．小吉的方案是否可行？请说明理由． 【答案】(1)该正方形画布的边长为 (2)小吉的方案不可行．理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的边长的平方等于面积，进行列式再开方，即可作答． （2）先设长方形画布的长为，宽为，根据长方形的面积列式，再开方，得出长方形的长为，与进行比较，即可作答 【详解】（1）解：∵正方形画布的面积为， ∴该正方形画布的边长为． （2）解：不可行，理由如下： 理由如下：设长方形画布的长为，宽为． 根据题意，得，解得（负值舍去）， ∴长方形的长为． ∵ ∴，但正方形画布的边长只有20， ∴小吉的方案不可行． 19．对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题： (1)______，______； (2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）； ①；②；③；④若（为整数），则． (3)当时，解关于的方程． 【答案】(1)2，； (2)①②④； (3) 【分析】本题考查了无理数的估算 （1）根据无理数的估算可得，再根据题干规定即可求解； （2）根据题干规定逐一判断即可； （3）根据，方程可变形为，再将代入，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ，， 故答案为：2，； （2）解：表示的小数部分， ， ①命题是真命题； 根据定义可得，， ②命题是正命题； 表示的小数部分， ， ③命题是假命题； ， ， ， ，即， ④命题是真命题， 故答案为：①②④； （3）解：，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算，不等式的性质，一元一次方程的应用，真假命题的判断，正确理解题干规定是解题关键． 20．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)0 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）根据点B在数轴上的位置可知，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：； （2）解：由数轴可知：， ，， 原式 ； （3）解：与互为相反数， ， ，， ，， ，， ， ∵8的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、相反数的定义、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，____；当时，____． (2)当输入的值小于100，且输出y的值是时，输入的值可以是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查流程图，涉及算术平方根定义与运算、无理数概念等知识，看懂流程图，熟练掌握算术平方根运算是解决问题的关键． （1）按照无理数筛选器的工作流程图，代值运算即可得到答案； （2）按照无理数筛选器的工作流程图，逆运算即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根得，是有理数；当时，取算术平方根得，是无理数；则； 当时，取算术平方根得，是有理数；当时，取算术平方根得，是有理数；当时，取算术平方根得，是无理数；则； 故答案为：； （2）解：根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下： 当输出y的值是时，则；；； 输入的值可以是， 故答案为：． 22． 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)； (3)20 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知． 【详解】（1）当，时， ； （2）； ， （3）根据题意得：长方形的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 实数及其简单运算（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】无理数 1. 无理数的概念 定义  特征  常见形式 无限不循环小数叫作无理数 ①小数 ②位数无限 ③形式为不循环 ①开方开不尽的数的方根，如：  ，3等； ②含有 π 的一类数，如： π ， π ，1+π 等； 3.具有特定结构的数，如：0.121 121 112… (每相邻两个 2 之间依次多一个 1)等 2. 无理数与有理数的区别 有理数  无理数 本质  可以化为分数形式  不能化为分数形式 表现形式  有限小数或无限循环小数  无限不循环小数 【知识点02】实数的定义和分类 1. 定义： 有理数和无理数统称实数 . 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【知识点03】实数与数轴上的点的关系 1. 用数轴上的点表示无理数 数轴上表示正无理数a 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a 个单位长度；表示负无理数-b(b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b 个单位长度. 2. 实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的. (1)“一一对应”包含着两层含义 ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示. 即若点A，点B在数轴上表示的数为，，则AB=|-|.类比有理数的大小比较 3. 实数的大小比较 (1)对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. (2)正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小. 【知识点04】实数的有关概念 1. 相反数：数a 的相反数是-a，这里a 表示任意一个实数. 2. 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 即设a 表示 一个实数，则|a|= 或|a|= 或|a|= 一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离 3. 倒数：数a(a ≠ 0)的倒数为. 特别提醒：实数的相反数、绝对值和倒数的意义及求法与有理数中的意义及求法是一致的. 【知识点05】实数的运算 1. 实数的运算法则：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 2. 实数的运算顺序：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的. 3. 实数运算结果的要求：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.计算过程中有时也使用“去尾法” 【题型一】无理数 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列实数：，π，3.14114111411114…（每两个4之间依次增加一个1），，，．其中无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有 个． 变式2．（23-24七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得______________ ∴含有因数5，设，∴____________ ∴______________，∴含有因数5，∴____________ 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ①；②；③含有因数5；④ 【题型二】无理数的大小估算 例2．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）实数在哪两个连续整数之间（     ） A．3与4 B．4与5 C．5与6 D．12与13 变式1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）请写出一个比小的整数： ．（写一个即可） 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 【题型三】无理数整数部分的有关计算 例3．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·四川广安·期末）若为两个连续的正整数，且，则 ． 变式2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【题型四】实数的分类 例4．（24-25七年级下·吉林白山·期末）在实数、、0、、、中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例5．（24-25七年级下·山东德州·月考）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 变式1．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 变式2．（22-23七年级下·宁夏吴忠·期中）把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，． 有理数集合：{                    } 无理数集合：{                    } 整数集合：{                    } 分数集合：{                    } 【题型五】实数的性质 例6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）实数的相反数为（　　） A．5 B． C． D． 例7．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）的相反数是 ． 变式1．（24-25七年级下·全国·月考）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 变式2．（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 【题型六】实数与数轴 例8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 变式1．（23-24七年级下·山东滨州·月考）如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是_______，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点表示的数为_______；说明_______可以在数轴上表示． (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【题型七】实数的大小比较 例9．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）下列各数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： （1） 4； （2） 1． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与－3.4． (2)与． 【题型八】实数的混合运算 例10．（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（  ） A．1 B． C．2 D． 变式1．（2025·河南郑州·模拟预测）计算： ． 变式2．（23-24七年级下·重庆·期末）计算： (1)； (2)． 【题型九】程序设计与实数运算 例11．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图是一个数值转换器，当输入为8时，输出的值是 ． 变式2．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【题型十】新定义下的实数运算 例12．（24-25七年级下·福建莆田·期中）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 变式1．（2023·广东·模拟预测）规定一种新运算，如，则 ． 变式2．定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【题型十一】实数运算的实际应用 例13．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 变式1．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 变式2．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【题型十二】与实数运算相关的规律题 例14．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 变式1．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算 ． 变式2．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 一、单选题 1．在，，，，0.123456789101112…（小数部分由相继的正整数组成）五个数中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，正方形的面积为7，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　）    A． B． C． D． 3．已知，且是两个连续的整数，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．物理学家焦耳发现电流通过导体时可以产生热量．电流发热的功率公式为，其中为电功率（单位：），为电流强度（单位：A），为电阻（单位：）．已知某电热炉的发热功率为，电阻为．则这个家用电器的电流介于（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A．3 B． C． D． 6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段就是点P到直线l的距离；④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；⑤无理数都是无限小数．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 二、填空题 9．比较大小： ． 10．计算： ． 11．下图依次是面积为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形，其中边长是无理数的正方形有 个． 12．若无理数的值介于两个连续整数和之间，则 ． 13．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 14．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则 ． 15．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 16．春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． 三、解答题 17．计算题：（要求写出计算步骤） 18．已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)小吉想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布，长方形的面积为，且长宽之比为．小吉的方案是否可行？请说明理由． 19．对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题： (1)______，______； (2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）； ①；②；③；④若（为整数），则． (3)当时，解关于的方程． 20．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 21．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，____；当时，____． (2)当输入的值小于100，且输出y的值是时，输入的值可以是______． 22． 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $