精品解析：陕西西安第一中学2025-2026学年下学期期中质量检测高一数学试题

西安第一中学2028届下学期期中质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名､座位号､准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上． 4．考试结束后，监考人将答题卡收回，考生自己保管试卷． 一､选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知4个互不相等的正整数的平均数为3，极差为4，则这四个数的方差为（ ） A. B. C. 3 D. 2 2. 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 3. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形内部（不含边界）运动，给出以下两个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足与平面所成角的大小为60°． 判断正确的是（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均不正确 4. 复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个锐角为的直角三角形 5. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，当时，的最小值为4.若，，其中，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 六个边长为2的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的四点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则的值在下列哪个范围内（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题4分，共18分） 9. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球的表面积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 10. 如图，在中，M为BC边上的动点，N为AC边上的动点，线段AM、BN相交于点P．则下面说法正确的是（ ） A. 若M、N分别为BC与AC中点，则 B. 若点O是平面内任意一点，且满足，．则点P的轨迹一定过三角形的内心． C. 若，，则实数的值为． D. 若，，M为BC中点，则的最大值为． 11. 如图，在等边正三棱柱中（注：侧棱长和底面边长相等的正三棱柱叫做等边正三棱柱），，已知点，分别在线段，，是线段上任意一点，连接，，，若过，，三点的平面把等边正三棱柱分成上下两部分，则（ ） A. 上半部分是四棱锥 B. 下半部分的体积是 C. 的面积是 D. 当最大时，的长度是 三､填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 13. 甲、乙、丙等6名同学参加校园歌手大赛，他们通过抽签决定出场顺序，记事件“甲、乙两人的出场顺序相邻”，“丙在第2位出场”，则______. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 四､解答题（本题共5小题，15-17题10分，18-19题14分，共58分） 15. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m； （2）求的值. 16. 如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. （1）求中线BN的长； （2）求的余弦值. 17. 如图1是一个由菱形和两个直角三角形和所组成的平面图形，其中，现将和分别沿折起，使得点与点重合于点，连接，得到如图2所示的四棱锥. （1）求证：平面； （2）若为棱上一点，记 （i）若，求直线与平面所成角的正切值； （ii）是否存在点使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由. 18. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． （1）若 求该几何体的体积与表面积． （2）若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围； （3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安第一中学2028届下学期期中质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名､座位号､准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上． 4．考试结束后，监考人将答题卡收回，考生自己保管试卷． 一､选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知4个互不相等的正整数的平均数为3，极差为4，则这四个数的方差为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求得四个数据，利用方差公式可求得结果. 【详解】设4个互不相等的正整数为：，满足： 平均数为3，则总和为； 极差为4，则； 且所有数为互不相等的正整数. 根据题意可得：，且，均为整数. 令，则，，且满足，即，且互不相等，和为6.所以，. 所以四个互不相等的正整数为1，2，4，5. 方差为：. 故选：A. 2. 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图1，在圆台的轴截面中作于点. 设，由题意得，， 由勾股定理可得，解得，所以. 侧面展开图如图2，的长为，的长为， 所以，又，所以， 所以，所以. 3. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形内部（不含边界）运动，给出以下两个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足与平面所成角的大小为60°． 判断正确的是（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 设，，则，， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点P满足与平面所成角的大小为60°，故②正确； 4. 复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 5. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，根据三角恒等变换可得，再根据基本不等式化简即可求解. 【详解】在中，， 由得，所以． 因为，， 即，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 由得，符合条件，所以的最小值为3． 6. 已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对称轴对应相位，极大值点对应相位，因此只需研究当时，相位所扫过的区间内，落入多少个和多少个. 【详解】令， 当时，的取值范围取决于的符号， 当时， ， 当时， ， 1. 对称轴与极大值点的判定： 函数转化为， 的对称轴对应， 的极大值点对应 题意即为：区间内恰有个形如的点，且恰有个形如的点. 2. 先判断的符号： 若则， 由于左端点大于，若区间内恰有三条对称轴， 则只能是这三个点落在区间内， 这时极大值点只可能有这一个，不可能有两个极大值点，与题意矛盾,故必有 于是，记左端点为， 3. 利用“三条对称轴”和“两个极大值点”列条件： 因为要使区间内恰有三条对称轴，只能对应， 这三个点在区间内，而不在区间内， 所以，这时区间内的极大值点对应恰好有两个，也满足题意. 因此只需求解， 两边同除以，得， 即，再乘以，得. 7. 在中，，当时，的最小值为4.若，，其中，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用的最小值求出，再由判断三角形的形状，接着把点放在坐标原点，建立直角坐标系，写出点和点的坐标，再求的最小值. 【详解】设向量， 则表示向量对应的点到向量所在直线的距离， 因此它的最小值等于在垂直于方向上的分量长度，也就是， 于是有，所以，从而， 又因为，所以，进而， 因此，是以为直角的等腰直角三角形. 下面建立坐标系：取，，， 则，，由， 可知是的中点，所以， 又因为，所以， 于是， 从而， 整理得 ， 设 ，则，且 ，所以， 化简得 ，继续配方得， 因此 ，所以 ， 当，也就是时，等号成立， 故的最小值为，因此正确答案为 A. 【点睛】 8. 六个边长为2的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的四点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则的值在下列哪个范围内（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量减法把化为，从而发现该式与点的位置无关.再结合图形建立竖直方向的坐标，确定点作为正六边形顶点时纵坐标的最大值和最小值，即可求出该数量积的取值范围. 【详解】由向量运算可得. 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取向上方向为正方向. 由于正六边形边长为2，且图中正六边形为上下顶点方向放置， 所以相邻顶点在竖直方向上的高度差可能为或， 故按竖直方向建立坐标时，可取 ， . 设，则，，所以. 由图形中正六边形顶点的位置可知，除点外，点的纵坐标最大为；除点外，点的纵坐标最小为. 因此，从而 . 故的取值范围为. 二､多选题（本题共3小题，每小题4分，共18分） 9. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球的表面积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可判断A选项；利用基本不等式结合锥体的体积公式可判断B选项；易知球心在直线上，所以该圆锥外接球半径即为外接圆半径，利用正弦定理以及球体表面积公式可判断C选项；将、展开为一个平面，利用余弦定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆锥的母线长为， 故该圆锥的侧面积为，A对； 对于B选项，因为为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点， 所以，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，故， 当且仅当时，等号成立，故， 故，故三棱锥体积的最大值为，B错； 对于C选项，易知球心在直线上，所以该圆锥外接球半径即为外接圆半径， 设其外接球半径为，， 所以，故圆锥外接球的表面积为，C对； 对于D选项，当时，易知，将、展开为一个平面，如下图所示： 在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 易知，故， 由余弦定理可得， 当点、、三点共线时，的长取最小值，且其最小值为，D对. 10. 如图，在中，M为BC边上的动点，N为AC边上的动点，线段AM、BN相交于点P．则下面说法正确的是（ ） A. 若M、N分别为BC与AC中点，则 B. 若点O是平面内任意一点，且满足，．则点P的轨迹一定过三角形的内心． C. 若，，则实数的值为． D. 若，，M为BC中点，则的最大值为． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得为的重心，根据重心的性质求解后即可判断；对于B，由题意可得点在的平分线上，即可判断；对于C，由向量的线性运算，即可判断；对于D，由向量的线性运算、余弦定理及基本不等式，即可判断. 【详解】对于A，当M、N分别为BC与AC中点时， 则为的重心， 则, 同理可得, 所以，故A正确； 对于B，因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以表示的向量在的平分线上， 又因为，． 所以， 即． 所以点在的平分线上， 所以点P的轨迹一定过三角形的内心，故B正确； 对于C，因为三点共线， 所以存在实数，使得， 又因为， 所以， 又因为， 所以，解得，故C错误； 对于D，由题意可得, 所以， 由余弦定理可得， 所以， 又因为，当且仅当时，等号成立， 即， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最大值为，故D正确. 11. 如图，在等边正三棱柱中（注：侧棱长和底面边长相等的正三棱柱叫做等边正三棱柱），，已知点，分别在线段，，是线段上任意一点，连接，，，若过，，三点的平面把等边正三棱柱分成上下两部分，则（ ） A. 上半部分是四棱锥 B. 下半部分的体积是 C. 的面积是 D. 当最大时，的长度是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，底面是梯形，顶点是，符合四棱锥的结构特征；B选项，用三棱锥的体积减去四棱锥的体积即可求得；C选项，计算底面三角形各条边的长度，利用面积公式即可求得面积；D选项，利用圆的切线性质和切割线定理找出取最大值时的取值，代入即可求得. 【详解】连接，，， 对于A，以为顶点，面为底面，则上半部分是四棱锥，故A正确； 对于B，易得， 所以，故B错误； 对于C，在中，， ， ，所以为等腰三角形， 所以，故C正确； 对于D，对固定线段，在过，且与直线相切的圆上，切点处形成的是最大角. 这里是圆的切线，是圆的割线，由切割线定理得：， 已知，代入得：，故D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设，根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可. 【详解】若复数满足，可设， 则， 所以 ，其中， 由正弦函数性质可知，当时，， 此时有最大值为. 13. 甲、乙、丙等6名同学参加校园歌手大赛，他们通过抽签决定出场顺序，记事件“甲、乙两人的出场顺序相邻”，“丙在第2位出场”，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】找出所有可能情况及符合要求的情况后计算即可得. 【详解】在事件中，丙在第2位出场， 则甲、乙两人占据的相邻位置有3种情况：第3位和第4位、第4位和第5位、第5位和第6位， 有3种可能，故. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，，，过作，垂足为点，可证平面，从而可求点到平面的距离. 【详解】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理. 又，所以，所以，确定一个平面，即为平面. 过作，垂足为点，因为平面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，即. 在中， ，所以. 四､解答题（本题共5小题，15-17题10分，18-19题14分，共58分） 15. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，结合等腰直角三角形条件求周期得，再利用偶函数性质求m； （2）先根据的最值和零点求坐标，再计算向量的数量积. 【小问1详解】 ∵， ∴ ， 由为等腰直角三角形知，，所以， 得. 因为为偶函数， 所以，得， 所以最小正实数为. 【小问2详解】 令，则，，即，， 取：，即，所以. 令，且在左侧，则，解得：，故， 且在右侧，周期，所以，即. 所以， 所以. 16. 如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. （1）求中线BN的长； （2）求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可； （2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，进而求解即可. 【小问1详解】 由，BN为中线，则， 在中，由余弦定理得， 则. 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由，，，得， 则， 则，即， 所以， ，， 则， 所以的余弦值为. 17. 如图1是一个由菱形和两个直角三角形和所组成的平面图形，其中，现将和分别沿折起，使得点与点重合于点，连接，得到如图2所示的四棱锥. （1）求证：平面； （2）若为棱上一点，记 （i）若，求直线与平面所成角的正切值； （ii）是否存在点使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用，，可得到平面，从而得到，再利用菱形可得，最后就可得到平面； （2）①由平面，可知直线与平面所成角就是，从而利用已知数据进行计算即可； ②由可得或其补角为直线与直线所成角，再利用余弦定理解得,利用勾股定理得，最后由已知角的余弦定理得到关于的方程，从而可解得. 【小问1详解】 连结AC，交BD于点O，又∵底面为菱形，∴, 由题可得，，且，平面 ，平面， ∴平面，又平面，∴， ∵，平面 ，平面， ∴平面． 【小问2详解】 （i）连结SO交CE于点G，由（1）得平面, ∴为直线CE与平面SBD所成角, ∵，，, ∴, ∵，∴， 在三角形中，由，，所以由余弦定理得： ， ， ∴，即 ， ∴， ∴直线与平面所成角的正切值为． （ii）连结，∵, ∴或其补角为直线与直线所成角,则假设存在点，满足， 由得，, 在三角形中，由，所以由余弦定理得： ， 过点作，交于， 由平面，平面，得，所以， 由可得，因为，所以，， 在三角形中，由余弦定理得： ， 再由，平面可得平面， 又因为平面，所以， 在直角三角形中，由勾股定理得： ． 在三角形中，又因为，，所以由余弦定理得： , 解得, ∴存在使得直线与直线所成角为． 18. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． （1）若 求该几何体的体积与表面积． （2）若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 【答案】（1）该几何体的体积为，表面积为. （2） 【解析】 【分析】（1）分别求题中的正四棱锥和正四棱柱的体积和表面积，再对应相加可得该几何体的体积与表面积； （2）将侧面和侧面展开，易知的最小值为点到线段上点的最小值，即展开图中的最小值.由已知条件，求出，从而求得，结合余弦定理，判断的最小值为点到的距离，并求得该距离. 【小问1详解】 由题可知，正四棱锥 中， 过点作，垂足为，则. 正四棱锥 的体积为， 侧面积为. 因为， 所以正四棱柱 的体积为， 去掉上底面的表面积为. 所以该几何体的体积为，表面积为. 【小问2详解】 如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段上点的最小值. 由题可知，. 过点作，垂足为，则， 因为正方形中，，所以. 所以，所以，所以. 因为，. 因为，所以为锐角； ，所以为锐角， 所以的最小值为点到的距离. 所以. 即的最小值为． 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围； （3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的具体表达式，结合正弦定理边化角化简已知等式，建立关于角A的方程，进而求解角； （2）先利用正弦定理将边a、c用角B、C表示，结合锐角三角形的条件确定B的取值范围；将三角形周长转化为关于B的三角函数，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）可设，利用三角形内角和与正弦定理，将用含的三角函数形式表示，并确定相关参数的取值范围，继而写出面积表达式，即可求最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得， 而， 所以， 因为，所以，解得（舍去）， 因为，所以，即. 【小问2详解】 由（1）知，由正弦定理得，所以，， 又， 所以的周长 ， 因为是锐角三角形，所以，所以，所以， 又，所以， 所以. 即的周长的取值范围是. 【小问3详解】 设，，则，，， 在中，，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 所以. 在中，，，所以， 所以，， 所以， 因为， 其中，， 当，即时，等号成立， 所以， 所以，即的面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $