专题04 式与方程（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）全国通用-2026年小升初数学二轮复习真题培优讲练

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题04 式与方程（必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 知识点02 等式与方程 知识点03 列方程解应用题 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点一 用字母表示数 考点二 含有字母式子的化简与求值 考点三 等式的认识及列等量关系式 考点四 等量代换 考点五 方程的意义 考点六 等式的意义及性质 考点七 列方程解含一个未知数的问题 考点八 列方程解稍复杂的行程问题 考点九 列方程解含两个未知数的问题 考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 知识必备 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 【易错点拨】 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点02 等式与方程 知识必备 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点03 列方程解应用题 知识必备 （1）列方程解应用题的优点 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 考●点●讲●练 考点一 用字母表示数 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初模拟）爸爸在群里发了一个拼手气红包，设置总金额为元，红包个数为4个。结果妈妈抢到18元，爸爸抢到6.8元，明明比哥哥少抢0.5元，则他们4人抢到红包金额的平均数是( )元，明明抢到( )元。 【答案】 【思路引导】题中总金额设置为a元，但未给出a的具体数值。根据妈妈抢到18元、爸爸抢到6.8元，以及明明比哥哥少抢0.5元的信息，需要计算平均数和明明抢到的金额。设哥哥抢到的金额为x元，因为明明比哥哥少抢0.5元，所以明明抢到（x−0.5）元。四人抢到的红包总金额为a元，则可列出方程18＋6.8＋x＋（x−0.5）＝a。解方程，用含有a的式子表示x的值，再求出明明抢到的钱数。根据平均数的定义，平均数等于总数除以个数，所以四人抢到红包金额的平均数是元，由此解答即可。 【规范解答】已知爸爸发的拼手气红包总金额为a元，红包个数是4个。 所以四人抢到红包金额的平均数是（元） 解：设哥哥抢到的金额为x元，因为明明比哥哥少抢0.5元，所以明明抢到（x−0.5）元。 18＋6.8＋x＋（x−0.5）＝a 24.8＋2x−0.5＝a 2x＋24.3＝a 2x＝a−24.3 x＝ 明明抢到的金额： x−0.5 ＝－0.5 ＝ ＝（元） 他们4人抢到红包金额的平均数是元，明明抢到元。 举一反三01（2025·福建宁德·小升初真题）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人。 (1)观察上图，根据规律将表格补充完整。 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )。 【答案】(1)见详解 (2)2n＋2 【思路引导】根据题意，先分析1张、2张、3张餐桌的可坐人数规律：1张餐桌坐4人，2张坐6人（比1张多2人），3张坐8人（比2张多2人），可知每增加1张餐桌，可坐人数增加2人。 （1）4张餐桌的可坐人数是3张的8人加2人，5张是4张的人数再加2人； （2）从规律中抽象出n张餐桌的表达式，1张时2×1＋2＝4，2张时2×2＋2＝6，依此类推可得通用公式，据此解答。 【规范解答】（1）综上所述可得：4张餐桌可坐人数：8＋2＝10 5张餐桌可坐人数：10＋2＝12 （2）推导n张餐桌的表达式：由规律可知，n张餐桌可坐人数为 2×n＋2＝2n＋2； 综上所述可得，按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐2n＋2 举一反三02（2025·浙江杭州·小升初真题）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设5G基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖。这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形 …… 每层新增数 6 12 …… （1）根据信息中的规律，填空 第一层总基站数：1个 第二层总基站数：1＋6＝7个 第三层总基站数：7＋12＝19个 第四层新增基站数：________个，总基站数：________个 第五层新增基站数：________个，总基站数：________个 第n层新增基站数规律：________（用含n的式子表示）个 （2）如果第n层总基站数的规律符合关系式3n（n－1）＋1，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 【答案】（1）18，37； 24，61； 6（n－1） （2）169个 【思路引导】（1）根据信息可将已知算式转换成如下形式： 第二层总基站数为：1＋6×1＝7个； 第三层总基站数为：7＋6×2＝19个； 由此可知每新增一层，新增的基站数为：6×（层数－1）； 所以第四层新增基站数为：6×（4－1）＝18个，总基站数为：19＋18＝37个； 第五层新增基站数为：6×（5－1）＝24个，总基站数为：37＋24＝61个； …… 所以第n层新增基站数为：6×（n－1）个。 （2）把n＝8代入关系式3n（n－1）＋1计算即可。 【规范解答】（1）根据分析可知： 每新增一层，新增的基站数为：6×（层数－1）； 6×（4－1） ＝6×3 ＝18（个） 19＋18＝37（个） 所以第四层新增基站数：18个，总基站数：37个； 6×（5－1） ＝6×4 ＝24（个） 37＋24＝61（个） 所以第五层新增基站数：24个，总基站数：61个。 当层数为n时，新增基站数为6×（n－1）＝6（n－1）。 所以第四层新增基站数：18个，总基站数：37个； 第五层新增基站数：24个，总基站数：61个； 第n层新增基站数规律：6（n－1）（用含n的式子表示）个。 （2）当n＝8时， 3n（n－1）＋1 ＝3×8×（8－1）＋1 ＝3×8×7＋1 ＝24×7＋1 ＝168＋1 ＝169（个） 答：总基站数是169个。 考点二 含有字母式子的化简与求值 母题精讲（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人参加某次数学竞赛。甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙低了13分，比丁的成绩高了3分，那么他们四人的平均成绩为______分。（用含a的式子表示） 【答案】a＋2.5/2.5＋a 【思路引导】先根据甲、乙的平均成绩求出两人的总分，再根据甲、乙平均成绩与丙、丁成绩的数量关系，分别用含a的式子表示出丙和丁的成绩，最后求出四人的总成绩除以4，即可得到四人的平均成绩。 【规范解答】甲、乙两人的总成绩为：2a分 丙的成绩：（a＋13）分 丁的成绩：（a－3）分 4人总成绩：2a＋a＋13＋a－3 ＝（4a＋10）分 四人的平均成绩：（4a＋10）÷4 ＝4a÷4＋10÷4 ＝（a＋2.5）分 举一反三01（2025·湖南长沙·小升初真题）（a、b、c都是不为0的自然数），a、b、c中最小的是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】C 【思路引导】根据题意分析，先把化简为，再根据同分子分数分母越小分数越大来判断。 【规范解答】化简为，因为，那么，，根据同分子分数分母越小分数越大可得，，所以a、b、c中最小的是c。 故答案为：C 举一反三02（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有两根长短不同的蜡烛，长度和为28cm，相同时间内，它们燃烧的长度相同。现将两根蜡烛同时点燃一段时间后，短蜡烛剩下的长度恰好是长蜡烛剩下长度的，而此时长蜡烛剩下的长度跟短蜡烛点燃前一样长，点燃前短蜡烛比长蜡烛短___________cm。 【答案】4 【思路引导】设点燃前长蜡烛的长度为xcm，则短蜡烛的长度为（28－x）cm，通过设未知数，用未知数表示出长、短蜡烛剩下的长度以及长、短蜡烛燃烧的长度，并根据“燃烧长度相同”这一条件建立方程来求解。 【规范解答】解：设点燃前长蜡烛的长度为xcm，则短蜡烛的长度为（28－x）cm。 长蜡烛剩下的长度＝短蜡烛点燃前的长度＝（28－x）cm， 短蜡烛剩下的长度＝长蜡烛剩下长度的，即（28－x）cm， 长蜡烛燃烧的长度＝长蜡烛原长－长蜡烛剩下的长度＝x－（28－x）cm， 短蜡烛燃烧的长度＝短蜡烛原长－短蜡烛剩下的长度＝（28－x）－（28－x）cm。 相同时间内燃烧的长度相同，则： x－（28－x）＝（28－x）－（28－x） x－28＋x＝（28－x）×（1－） 2x－28＝（28－x）× 3（2x－28）＝28－x 3×2x－3×28＝28－x 6x－84＝28－x 6x＋x＝28＋84 7x＝112 x＝112÷7 x＝16 长蜡烛原长x＝16cm，短蜡烛原长28－16＝12（cm） 因此，点燃前短蜡烛比长蜡烛短：16－12＝4（cm） 【考点剖析】抓住“相同时间内燃烧长度相同”这一等量关系，通过设未知数分别表示出长、短蜡烛的原长、剩余长度，进而表示出燃烧长度，建立方程求解。 考点三 等式的认识及列等量关系式 母题精讲（2025·河北石家庄·小升初真题）按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 【答案】 17 40 【思路引导】由题图可知第一个图有5个三角形，后面的每个图形均比前一个多3个三角形，则第n个图有[5＋3（n－1）]个三角形，代入5，可求得第五堆有几个三角形；令式子等于122，解得方程，即可确定第几堆三角形的个数为122个。 【规范解答】5＋3×（5－1） ＝5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（个） 所以第五堆三角形的个数为17个。 5＋3（n－1）＝122 解：5＋3（n－1）－5＝122－5 3（n－1）＝117 3（n－1）÷3＝117÷3 n－1＝39 n－1＋1＝39＋1 n＝40 所以第40堆三角形的个数为122个。 【考点剖析】本题难点在于找到三角形增加的规律，通过观察前三个图，可知道每个图比上一个图多了3个三角形，列出式子，代入或解方程即可解得此题。 举一反三01（2025·浙江宁波·小升初真题）爱心人士开展“助农”直播活动，橙子促销价每箱60元，荔枝促销价每箱80元。开播一个小时两种水果共卖出200箱 解答这题有以下两种方法。 方法一：60×（200－x）＋80x＝12800 方法二：用“鸡兔同笼”方法解答，先假设全是橙子，…… （1）方法一用方程解，请写出设句和等量关系式。 解：设 。等量关系式是 。 （2）方法二用先假设全是橙子来解，请列式计算，并写上答句。 【答案】（1）卖出荔枝x箱；卖出橙子的箱数×单价＋卖出荔枝的箱数×单价＝12800 （2）160箱 【思路引导】①则设卖出荔枝x箱，等量关系式是：卖出橙子的箱数×单价＋卖出荔枝的箱数×单价＝12800。 ②假设卖出的200箱全是橙子，总收入比实际要少，据此按差倍关系用收入之差除以单价之差，求得荔枝的箱数，进而用总箱数减荔枝的箱数得解。 【规范解答】①解：设卖出荔枝x箱。 等量关系式是：卖出橙子的箱数×单价＋卖出荔枝的箱数×单价＝12800。 ②假设全是橙子，卖出荔枝的箱数： 卖出橙子的箱数： 答：共卖出橙子160箱。 举一反三02（2024·四川成都·小升初真题）春节期间，某商店按下面两种方式促销。第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元。刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元。已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），那么这两件商品的原价分别是多少元？ 【答案】120元和240元 【思路引导】其中一件按第一种方式促销是（第一件的原价－20）×80%，另一件按第二种方式促销是第二种原件×80%－20。这两种商品共花了252元。可以设第一件商品原价x元，第二件商品原价y元。则，通过化简得出第一种商品和第二种商品的总价是360元。根据要求假设其中一件商品的原价是另一件的2倍，两件商品的原价分别120元、360元。符合要求。假设其中一件商品的原价是另一件的3倍时，两件商品的原价分别90元、270元不符合两件商品的原价都大于100元。 【规范解答】解：设第一件商品原价x元，第二件商品原价y元。 设其中一件商品的原价是另一件的2倍。 第一件商品原价：360÷（1＋2） ＝360÷3 ＝120（元） 第二件商品原价：120×2＝240（元） 答：这两件商品的原价分别是120元和240元。 考点四 等量代换 母题精讲（2025·河北石家庄·小升初真题）●、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保持平衡，那么“？”为( )。 【答案】5 【思路引导】根据天平平衡，将▲代替成●与■的和，即可求出●是几个■，由此即可求出●与▲的和是几个■。 【规范解答】●＋●＝▲＋■ ●＋■＝▲ 所以●＋●＝●＋■＋■ 即●＝■＋■ 所以●＋▲＝●＋●＋■＝■＋■＋■＋■＋■＝5个■ 即“？”为5。 举一反三01（2025·上海闵行·小升初真题）已知○、□、△各代表一个数，根据○＋△＝12，△＋□＝8，△－□＝6，可知下列选项正确的是（    ）。 A．○＝9 B．□＝2 C．□＝4 D．△＝7 【答案】D 【思路引导】根据“△＋□＝8，△－□＝6”，也就是两数之和为8，两数之差为6；再根据和差公式：较大数＝（和＋差）÷2，较小数＝（和－差）÷2，所以△为（8＋6）÷2，算出结果为7，□为（8－6）÷2，算出结果为1，□也可用“和－△”得到，即8－7结果也为1。再根据“○＋△＝12”，所以○＝12－△，即12－7结果为5。据此解答。 【规范解答】由分析可得： （8＋6）÷2 ＝14÷2 ＝7 8－7＝1 12－7＝5 所以△＝7，□＝1，○＝5 A．○＝9，答案错误，不符合题意； B．□＝2，答案错误，不符合题意； C．□＝4，答案错误，不符合题意； D．△＝7，答案正确，符合题意； 故答案为：D 举一反三02设“，，”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ）。 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【规范解答】由图可知，2个＝＋，1个＝＋，因此＝2个，＝3个，所以＋＝2个＋3个＝5个。 故答案为：A 考点五 方程的意义 母题精讲（2025·云南昆明·小升初真题）下面数学问题中，不能用方程“2x＋6＝14”解决的是（    ）。 A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【思路引导】 ① 将三角形三个边长相加等于周长，以此列出方程。 ② 将两个面包的价格加上一罐牛奶的价格等于总的价格，以此列出方程。 ③ 根据题中线段图可知苹果的2倍加上6千克为14千克，以此列出方程。 ④ 根据长方形的面积＝长×宽，表示出整个长方形的长和宽，相乘等于14，即可列得方程。 【规范解答】①根据三角形的周长公式可得6＋6＋x＝14，不能用方程“2x＋6＝14”解决。 ②x＋x＋6＝2x＋6＝14，能用方程“2x＋6＝14”解决。 ③香蕉质量＝x＋x＋6＝14，能用方程“2x＋6＝14”解决。 ④根据长方形的面积公式可得（6＋x）×2＝12＋2x＝14，不能用方程“2x＋6＝14”解决。 不能用方程“2x＋6＝14”解决的是①④。 故答案为：B 举一反三01（2024·福建泉州·小升初真题）如图，每个黑圆片周围摆6个白圆片，继续摆下去，8个黑圆片周围共摆________个白圆片，________个黑圆片周围共摆102个白圆片。 【答案】 34 25 【思路引导】观察图形可得：1个黑色的圆片周围有6个白色圆片，2个黑色的圆片周围有10个白色圆片，3个黑色的圆片周围有14个白色圆片，4个黑色的圆片周围有18个白色圆片，即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：6＋4（n－1）＝4n＋2。由此解答即可。 【规范解答】由分析得规律为：6＋4（n－1）＝4n＋2 当n＝8时，代入得：4n＋2＝4×8＋2＝32＋2＝34（个） 当（4n＋2）＝102时 解：4n＋2＝102 4n＋2－2＝102－2 4n＝100 4n÷4＝100÷4 n＝25 如图，每个黑圆片周围摆6个白圆片，继续摆下去，8个黑圆片周围共摆34个白圆片，25个黑圆片周围共摆102个白圆片。 举一反三02（2024·江西九江·小升初真题）校园里有银杏树24棵，______，桂花树有多少棵？ 设桂花树有棵，可用方程（1－25%）＝24解的选项是（    ）。 A．银杏树比桂花树多25% B．银杏树比桂花树少25% C．桂花树比银杏树多25% D．桂花树比银杏树少25% 【答案】B 【思路引导】银杏树比桂花树多25%，把桂花树的棵数看作单位“1”，则银杏树的棵数是桂花树的（1＋25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数×（1＋25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程； 银杏树比桂花树少25%，把桂花树的棵数看作单位“1”，则银杏树的棵数是桂花树的（1－25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数×（1－25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程； 桂花树比银杏树多25%，把银杏树的棵数看作单位“1”，则桂花树的棵数是银杏树的（1＋25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数÷（1＋25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程； 桂花树比银杏树少25%，把银杏树的棵数看作单位“1”，则桂花树的棵数是银杏树的（1－25%），由此得出等量关系：桂花树的棵数÷（1－25%）＝银杏树的棵数，据此列出方程。 【规范解答】A．银杏树比桂花树多25%，设桂花树有棵，列方程为（1＋25%）＝24，不符合题意； B．银杏树比桂花树少25%，设桂花树有棵，列方程为（1－25%）＝24，符合题意； C．桂花树比银杏树多25%，设桂花树有棵，列方程为÷（1＋25%）＝24，不符合题意； D．桂花树比银杏树少25%，设桂花树有棵，列方程为÷（1－25%）＝24，不符合题意。 故答案为：B 考点六 等式的意义及性质 母题精讲（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【答案】 ① ③ ② 【思路引导】由，根据“商×除数＝被除数”可得； 由，根据等式的性质，等式的两边同时乘，左右两边仍然相等，可得； 由，计算得，所以根据等量的等量相等，可以得出。 【规范解答】由，可得，依据是除法是乘法的逆运算； 由，可得，依据是等式的基本性质； 由，可得，依据是等量的等量相等。 填空如下： 在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是（①）；将等式变形得，依据是（③）；计算得，所以，依据是（②）。 举一反三01（23-24五年级下·四川成都·期末）如果（x，y均不为0），下面（    ）是正确的。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】观察题干中的方程，连续减去5个的结果是0，即，，根据等式的性质进行分析；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式； 根据等式的性质2，两边同时×，得出的方程与，对照即可； 根据等式的性质2，两边同时×5，得出的方程与，对照即可； 直接与，对照即可； 直接与，对照即可；据此解答。 【规范解答】A． 解： 可得，选项错误； B． 解： 可得，选项正确； C．，选项错误； D．，选项错误； 所以是正确的。 故答案为：B 举一反三02（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 【答案】（1）64；625 （2） （3） 【思路引导】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可； （2）观察 …… 可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）； （3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论 ，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。 【规范解答】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。 （2） （3）根据分析，可得： （3－1）（）＝ 解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1） ＝ 【考点剖析】关键是理解“个相同的数相乘”记为，总结出第（2）题的规律，根据总结出的规律，运用等式的性质，求出第（3）题的结果。 考点七 列方程解含一个未知数的问题 母题精讲（2025·重庆·小升初真题）某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人。一部分以年利率9.5%贷给甲，另一部分以年利率8.5%贷给乙，甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等。甲、乙各贷款多少元？ 【答案】 甲贷款5100元，乙贷款5700元 【思路引导】本题考查百分数应用中的利息问题及列方程解决问题。根据利息计算公式“利息＝本金×利率×存期”，已知总贷款额为10800元，甲、乙两人的年利率分别为9.5%和8.5%，存期均为1年，且两人产生的利息相等。可以设甲贷款的本金为未知数，用总本金减去甲的本金表示出乙的本金，根据两人利息相等这一等量关系列出方程求解。 【规范解答】解：设甲贷款元，则乙贷款元。 乙贷款：（元） 答：甲贷款5100元，乙贷款5700元。 举一反三01（2025·湖南永州·小升初真题）甲乙两个工程队修一条1400米长的公路，他们从两端同时开工，甲队每天修80米，乙队每天修60米。多少天后能修完这条公路？ 解：设x天后能修完这条公路。     请列出方程：( )。 【答案】（80＋60）x＝1400 【思路引导】根据工作总量＝（甲的速度＋乙的速度）×时间关系式列方程。 【规范解答】根据分析，列方程为：（80＋60）x＝1400 举一反三02（2025·浙江台州·小升初模拟）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【答案】(1)方式二 (2)15次 【思路引导】（1）方式一：单次卡，每年12月，每月3次，则一年的费用为（12×3×30）元。方式二：会员年卡，一次缴费240元会员费，每次另外收费14元，则费用为（240＋12×3×14）元，分别计算单次卡和会员年卡的费用，比较大小，选择费用低的更划算。 （2）采用列方程解决，设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等，x次收费30x元等于会员费加上另外收费14x，据此列式计算。 【规范解答】（1）方式一：12×3×30＝1080（元） 方式二：240＋14×3×12 ＝240＋504 ＝744（元） 744＜1080，方式二更划算。 答：李叔叔选择方式二更划算。 （2）解：设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。 30x＝240＋14x 30x－14x＝240 16x＝240 x＝15 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 考点八 列方程解稍复杂的行程问题 母题精讲（2025·重庆·小升初真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB—BC—CD—DA的线路运动，同时动点Q从B出发，以1cm/s的速度沿BC—CD的线路运动，设运动的时间为t（s）。（0＜t＜8） （1）当点P在AB—BC上运动时， ①用含t的代数式表示线段BP的长度。 ②当BQ＝2BP时，求t的值。 （2）动点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动，点M与点P同时出发，当点P停止运动时，点M也停止运动，连接PQ， ③当点P与点M第一次重合时，求t的值，并直接写出此时线段DP的长度。 ④当点M落在线段PQ上时，直接写出t的取值范围。 【答案】（1）①BP＝（4－2t）cm（0＜t≤2）或BP＝（2t－4）cm（2＜t≤4）；②t＝或t＝ （2）③点P与点M第一次重合时，；；④或 【思路引导】（1）①分两种情况求出线段BP的长度即可；②根据当BQ＝2BP，列出关于t的方程，解方程即可； （2）③先求出点P运动到点C用的时间，然后列方程求出t的值即可； ④分点M从点D向点C运动和点M从点C向点D运动两种情况，分别列出方程求出点M与点P和点Q重合时，t的值，再写出t的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：①当0＜t≤2时，， 当2＜t≤4时，BP＝（2t－4）cm； ②当0＜t≤2时，， 解得：， 当2＜t≤4时，， 解得：， 综上分析可知，或； （2）解：③当运动到点C时，用的时间为：（4＋4）÷2＝4（s）， ∵， ∴此时点M正好运动到点D，当点P与点M第一次重合时， 4（t－4）＋2（t－4）＝4， 解得：， DP＝4×（－4）＝（cm）； ④点M从点D向点C运动时， 点P运动到点C时，点Q正好运动到点C， 当点M与点Q第一次重合时， 4（t－4）＋（t－4）＝4， 解得：， 从点P与点M第一次重合到点M与点Q第一次重合，点M正好在上， ∴当时，点M落在线段上； 点M从点C向点D运动时， 当点M与点Q第二次重合时， 4（t－5）＝1＋t－5， 解得：， 当点M与点P第二次重合时， 4（t－5）＝2＋2（t－5）， 解得：t＝6，此时点P、M都运动到D处， 当点Q与点M第二次重合到点M与点P第二次重合，点M正好在上， ∴时，点M落在线段上； 综上分析可知，当或时，点M落在线段上． 【考点剖析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的几何应用，解题的关键是根据题意列出方程，并注意分类讨论． 举一反三01（2024·湖北十堰·小升初真题）某学生步行速度15千米/时，骑自行车速度是步行的3倍。从家到学校上学一半路程步行，一半路程骑自行车，放学回家一半时间步行，一半时间骑自行车，结果放学回家比上学少用10分钟，求这个学生家到学校的路程。 【答案】15千米 【思路引导】根据题意，用15乘3得到骑自行车的速度，设这个学生家到学校的路程为S，则从家到学校的时间为：，根据放学回家比上学少用10分钟求出放学回家的时间，再根据放学回家一半路程骑自行车，放学回家一半时间步行，即可求出骑自行车和步行的用时，然后根据“路程＝速度×时间”列出等量关系即可求出S，即这个学生家到学校的路程。 【规范解答】解：设这个学生家到学校的路程为S，则从家到学校的时间为： ＝ ＝（小时） 10分钟＝小时 因为放学回家比上学少用10分钟，所以从学校回家的时间为：（－）小时 即放学回家步行和骑自行车的时间均为：（－）÷2＝（－）小时 所以： （－）×15＋（－）×（15×3）＝S －＋S－＝S ＋S－－＝S ＋S－S－＋－＋＝S－S＋＋ S＝15 答：这个学生家到学校的路程为15千米。 【考点剖析】本题考查了列方程解决分数行程问题的应用，关键能灵活表示各个数量的关系。 举一反三02（2024·重庆渝北·小升初真题）圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，不算起始时的旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 【答案】5次 【思路引导】根据题意，可以设每两面旗子间距离为1，圆形跑道插了2015面旗子，则跑道周长为2015； 已知与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，那么时间相同时，两人的速度比等于路程比，即V甲∶V乙＝23∶13，可以设V甲＝23x，V乙＝13x； 设甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t；根据追及问题“速度差×时间＝追及的路程”，由此列出方程（23x－13x）t＝2015n，得出追及时间t＝； 然后根据“速度×时间＝路程”，用甲的速度乘追上乙的时间，求出甲追上乙的路程为；因为甲要正好在旗子位置追上乙，则甲的路程一定为整数；由此确定n是小于等于10的偶数，进而得出甲追上乙，需比乙多跑的圈数，也就是甲正好在旗子位置追上乙的次数。 【规范解答】设每两面旗子间距离为1，则跑道周长为2015。 因为V甲∶V乙＝23∶13，设V甲＝23x，V乙＝13x； 设甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t； （23x－13x）t＝2015n              10x×t＝2015n t＝ 则甲追上乙时，所跑路程为： 23x×＝ 甲要正好在旗子位置追上乙，则所跑路程一定为整数； 即n为偶数，然后根据n＝2，4，6，8，10（最多多跑23－13＝10圈）； 甲追上乙则需比乙多跑2，4，6，8，10圈时，正好在旗子位置追上。 综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次。 答：甲正好在旗子位置追上乙5次。 【考点剖析】本题考查复杂的环形跑道追及问题，关系是把未知的量用未知数表示出来，然后根据追及距离、追及时间和速度差，以及数的奇偶性解决问题。 考点九 列方程解含两个未知数的问题 母题精讲（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。 【答案】46 【思路引导】先求妈妈从40岁到74岁经过的年数为74－40＝34年，设当女儿年龄是儿子的时，儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁；当儿子32岁时，距离今年的年数为（3x＋34）－32＝3x＋2年，即3x＋2年前，此时女儿的年龄为（2x＋34）－（3x＋2）＝32－x岁，妈妈的年龄为74－（3x＋2）＝72－3x岁，根据“此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁”的条件，列出方程72－3x＝2（32－x）＋4，解方程得x＝4，因此儿子今年的年龄为3×4＋34＝46岁。 【规范解答】74－40＝34（岁） 解：设当年儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁。 72－3x＝2（32－x）＋4 72－3x＝64－2x＋4 72－3x＋3x＝64－2x＋4＋3x 72＝68＋x 68＋x＝72 68＋x－68＝72－68 x＝4 3×4＋34 ＝12＋34 ＝46（岁） 儿子今年46岁。 举一反三01（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）两个两位数的乘积是806，欢欢在抄题时，将其中一个因数个位上的“6”丢掉了，结果算出的积是62，则这两个因数中较小的那个因数是______。 【答案】26 【思路引导】把十位数字和另一个因数设为未知数，等量关系：（十位数字×10＋个位数字）×另一个因数＝806，由此列出方程，计算出错误的积是62，再把“十位数字×另一个因数＝62”代入方程求出另一个因数，然后根据“因数＝积÷另一个因数”求出另外一个两位数，最后比较大小确定较小的那个因数。 【规范解答】解：设十位上的数字为，另一个因数为，根据错误的乘积62得出。 806÷31＝26 因为26＜31，所以这两个因数中较小的那个因数是26。 举一反三02（2025·重庆·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。现在三个人的年龄各是多少岁？ 【答案】爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹10岁 【思路引导】设当妹妹9岁时，哥哥的年龄为x岁，则此时爸爸的年龄为3x岁，爸爸比哥哥大2x岁，哥哥比妹妹大（x－9）岁；当爸爸34岁时，哥哥年龄为（34－2x）岁，妹妹年龄为（34－2x）－（x－9）＝（43－3x）岁，根据哥哥年龄是妹妹的2倍列方程34－2x＝2（43－3x），解得x＝13，此时妹妹9岁、哥哥13岁、爸爸39岁，三人年龄和为61岁，现在年龄和64岁，比61岁多3岁，经过3÷3＝1年，现在妹妹9＋1＝10岁，哥哥13＋1＝14岁，爸爸39＋1＝40岁。 【规范解答】解：设妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。 34－2x＝2（43－3x） 34－2x＝86－6x 34－2x＋6x＝86－6x＋6x 34＋4x＝86 34＋4x－34＝86－34 4x＝52 4x÷4＝52÷4 x＝13 此时爸爸：3×13＝39（岁） 三人年龄和：9＋13＋39＝61（岁） 64－61＝3（岁） 3÷3＝1（年） 妹妹现在的年龄：9＋1＝10（岁） 哥哥现在的年龄：13＋1＝14（岁） 爸爸现在的年龄：39＋1＝40（岁） 答：现在爸爸的年龄是40岁，哥哥的年龄是14岁，妹妹的年龄是10岁。 考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 母题精讲（2024·重庆渝北·小升初真题）设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是( )。 【答案】8 【思路引导】题目要求最大化“行”的值，需利用四个成语的和均为21的条件，结合11个连续非零自然数的特性。经观察不难发现其中“一”，“言”，“举”，“知”，“行”，各出现两次，其它汉字只有一次。令这五个汉字所代表的数依次为a，b，c，d，e，设11个连续自然数为（x＋1），（x＋2），…（x＋11），如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则（x＋1）＋（x＋2）＋…＋（x＋11）＋a＋b＋c＋d＋e＝21×4，化简后可得11x＋a＋b＋c＋d＋e＝18，据此确定x的值，进而确定e的最大值，从而确定“行”的最大值。 【规范解答】根据分析，令这五个汉字所代表的数依次为a，b，c，d，e，设11个连续自然数为（x＋1），（x＋2），…（x＋11），列出方程： （x＋1）＋（x＋2）＋…＋（x＋11）＋a＋b＋c＋d＋e＝21×4 解：11x＋66＋a＋b＋c＋d＋e＝84 11x＋66＋a＋b＋c＋d＋e－66＝84－66 11x＋a＋b＋c＋d＋e＝18 要想a、b、c、d、e最大，则11x最小是0，即x＝0，且a＋b＋c＋d＋e＝1＋2＋3＋4＝10时，e最大为8，11个数为1到11，可构造出“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”分别为“3，5，11，2”，“2，10，8，1”，“1，9，7，4”，“4，8，6，3”。综上所述：“行”可代表的数最大为8。 举一反三01（2025·上海闵行·小升初真题）实验西校的辩论队在各大辩论比赛中屡创佳绩。一场辩论赛分为立论、驳论、自由辩论、总结陈词四个环节，总时长30分钟。已知总结陈词需要4分钟，立论时间比驳论时间多2分钟，且立论和总结陈词的时间总和等于自由辩论时间。求立论、驳论、自由辩论各环节的时间。（列方程解应用题） 【答案】立论8分钟；驳论6分钟；自由辩论12分钟 【思路引导】设驳论时间为x分钟，立论时间比驳论多2分钟，故立论时间为（x＋2）分钟；立论和总结陈词的时间总和等于自由辩论时间，总结陈词4分钟，故自由辩论时间为（x＋2＋4）分钟。四个环节总时长30分钟，则立论时间＋驳论时间＋自由辩论时间＋总结陈词时间＝30，据此列方程为：（x＋2）＋x＋（x＋2＋4）＋4＝30，然后解方程即可。 【规范解答】解：设驳论时间为x分钟。 （x＋2）＋x＋（x＋2＋4）＋4＝30 x＋2＋x＋x＋2＋4＋4＝30 3x＋12＝30 3x＋12－12＝30－12 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 6＋2＝8（分钟） 6＋2＋4＝12（分钟） 答：立论8分钟，驳论6分钟，自由辩论12分钟。 举一反三02（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1) 第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 (2) 30 【思路引导】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为 元。 根据总价÷单价＝数量，第一批数量为箱，第二批数量为箱。第二批数量比第一批少 25%，以第一批的数量为单位“1”，则第二批数量等于第一批数量的 。据此列方程求解。 （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元； 第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的 ，则只能卖出72箱。售价下降 ，即售价为元。总收入减去总成本 等于利润 1716 元，列方程求解 。 【规范解答】（1）解：设第一批购进每箱单价为 元，则第二批每箱单价为 元。： 第二批单价：（元） 答：第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 （2） （箱） （元） （箱） （箱） 2400＋2700＝5100（元） a=30 答： 的值是 30。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2025·浙江台州·小升初模拟）小亮比小强大3岁，比小花小5岁，如果小强是m岁，小花是（    ）岁。 A．m－3 B．m＋3 C．m＋5 D．m＋8 【答案】D 【思路引导】根据小亮比小强大3岁，先算出小亮的岁数是（m＋3）岁，再根据小亮比小花小5岁，算出小花的岁数是（m＋8）岁。 【规范解答】m＋3＋5＝（m＋8）岁 所以，小花是（m＋8）岁。 故答案为：D 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（    ）。 A．8m立方分米 B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米 【答案】C 【思路引导】长方体的体积＝底面积×高，正方形的面积＝边长×边长。方木的横截面是边长为m分米的正方形，那么它的底面积是m×m＝m2（平方分米），锯掉8分米，那么锯掉的体积就等于底面积乘8。据此解答。 【规范解答】m×m＝m2（平方分米） m2×8＝8 m2（立方分米） 所以方木的体积比原来减少8 m2立方分米。 故答案为：C 3．（2025·山东·小升初模拟）一个长方形操场原来的长和宽分别是80米和50米，如果长、宽各增加米，那么它的面积就增加（    ）平方米。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】 ，如图所示，将长和宽各增加a米用图表示出来，实际增加的是两个长方形和一个正方形的面积，根据长方形和正方形的面积公式分别求出增加部分的面积，然后相加，即可求出总面积增加了多少。 【规范解答】80×a＋50×a＋a×a ＝80a＋50a＋a2 ＝（130a＋a2）平方米 所以面积增加了（130a＋a2）平方米。 4．（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲车的速度是千米/时，乙车的速度比甲车的多5千米，乙车的速度是( )千米/时（用含有的式子表示）；当千米/时，乙车的速度是( )千米/时。 【答案】 v＋5 45 【思路引导】把甲车的速度看作单位“1”，单位“1”已知，乙车的速度＝甲车的速度×＋5千米；据此求出乙车的速度； 当v＝60千米/时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。 【规范解答】（v＋5）千米/时 当v＝60千米/时： 60×＋5 ＝40＋5 ＝45（千米/时） 5．（2025·河北保定·小升初模拟）陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资100元，每送一件快递另加1.2元。如果陈叔叔每天送m件快递，一天拿到工资( )元。6月25日，陈叔叔送快递160件，这一天他可拿到工资( )元。 【答案】 100＋1.2m/1.2m＋100 292 【思路引导】根据题意，陈叔叔一天的工资＝每日基本工资＋快递数量×1.2，据此用含有字母的式子表示陈叔叔一天的工资；把m＝160，代入求值即可。 【规范解答】如果陈叔叔每天送m件快递，一天拿到工资（100＋1.2m）或（1.2m＋100）元。 当m＝160 100＋1.2m＝100＋1.2×160＝100＋192＝292（元） 所以，6月25日，陈叔叔送快递160件，这一天他可拿到工资292元。 6．（2024·河北承德·小升初真题）x＝是方程3x－1.6＝0.8的解。( )。（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】把x＝代入方程，计算出左边3x－1.6的值，看左边和右边是否相等，如果相等则x＝是方程的解，不相等就不是方程的解。 【规范解答】把x＝代入3x－1.6＝0.8； 左边＝3×－1.6 ＝－1.6 ＝2.4－1.6 ＝0.8 左边＝右边 所以x＝是方程3x－1.6＝0.8的解。 故答案为：√ 7．（2024·重庆彭水·小升初真题）第一排有b个座位，以后每排比前一排多2个，第10排有（b＋20）个座位。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】分析座位数量的变化规律：第一排有b个座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位。那么第二排比第一排多1个2，第三排比第一排多2个2，以此类推，第n排比第一排多（n－1）个2 。 计算第10排的座位数：要求第10排的座位数，第10排比第一排多（10－1）个2，即多2×（10－1）＝2×9＝18个座位，所以第10排座位数应该是b＋2×9＝b＋18个，而不是b＋20个。 【规范解答】b＋2×9＝（b＋18）个，所以第一排有b个座位，以后每排比前一排多2个，第10排有（b＋18）个座位。原题说法错误。 故答案为：× 8．（2025·广东湛江·小升初真题）解方程或比例。           【答案】x＝1；x＝12 【思路引导】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，将比例转化为9x＝4.5×2，方程左右两边同时除以9即可； 将方程转化为x＝7，左右两边再同时除以即可。 【规范解答】 解：9x＝4.5×2 9x＝9 9x÷9＝9÷9 x＝1 解：x＝7 x÷＝7÷ x＝12 9．（2024·山东滨州·小升初真题）3月12日植树节，树人小学组织同学们到劳动基地栽一批果树苗。如果每行栽18棵，恰好可以栽40行。如果每行栽15棵，这些树苗要栽多少行？（用比例的方法解答） 【答案】48行 【思路引导】判断数量关系：树苗的总棵数是固定不变的。因为“每行栽的棵数×行数＝树苗总棵数”，当总棵数一定时，每行栽的棵数越多，行数就越少；每行栽的棵数越少，行数就越多，所以每行栽的棵数和行数成反比例关系。设未知数并列出比例式：设如果每行栽15棵，这些树苗要栽x行。根据反比例关系两种量相对应的数的乘积相等，可列出方程15x＝18×40。求解方程：通过解方程15x＝18×40，求出x的值，也就是当每行栽15棵时树苗要栽的行数。 【规范解答】解：设这些树苗要栽x行。 15x＝18×40 15x÷15＝720÷15 15x×=720× x＝48 答：这些树苗要种48行。 10．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】20名；64名 【思路引导】设安排x名工人加工大齿轮，则（84－x）名工人加工小齿轮，根据“小齿轮总数＝2×大齿轮总数”的配套关系，列出方程10（84－x）＝2×16x，解方程求出加工大齿轮的工人数，进而求出加工小齿轮的工人数。 【规范解答】解：设安排x名工人加工大齿轮，则（84－x）名工人加工小齿轮。 10（84－x）＝2×16x 840－10x＝32x 840－10x＋10x＝32x＋10x 840＝42x 42x＝840 42x÷42＝840÷42 x＝20 84－20＝64（人） 答：安排20名工人加工大齿轮，64名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套。 【思维拓展拔尖】 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）下列数学问题中，不能用方程“2X＋4＝16”解决的是（    ）。 A．B．C． D． 【答案】D 【思路引导】A．根据两种树木的数量关系：桃树的棵数＝梨树棵数的2倍＋4棵，杨树共16棵，以此列出方程； B．根据物品数量的关系：前2个盒子的数量＋第3个盒子的4个＝总数16个，以此列出方程； C．将三角形三个边长相加等于周长，以此列出方程； D．根据长方形的面积＝长×宽，表示出整个长方形的长和宽，相乘等于16cm2，即可列出方程。 【规范解答】A．梨树有X棵，桃树的数量是梨树的2倍还多4棵，桃树共16棵，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 B．3个盒子，前2个各装X个，第3个装4个，一共16个，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 C．三角形周长16cm，两条边长为Xcm，一条边长4cm，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 D．长方形总面积16cm2，宽2cm，长分为Xcm和4cm两部分，长方形的长为（X＋4）cm，面积为：2（X＋4）＝16，展开后为 2X＋8＝16，与2X＋4＝16不同，不能用该方程解决。 不能用方程“2X＋4＝16”解决的是。 2．（2025·广东汕头·小升初模拟）一次考试中，乐乐语文和数学的平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分，乐乐这三科的平均分是（    ）分。 A．a＋2 B．a＋3 C．a＋4 D．a＋6 【答案】A 【思路引导】根据题意，语文和数学两科平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分，英语分是a＋6，语文和数学的总分数是a×2，把这三科成绩相加的和，再除以3，就是这三科的平均分。 【规范解答】（a×2＋a＋6）÷3 ＝（3a＋6）÷3 ＝（a＋2）分 因此，乐乐这三科的平均分是（a＋2）分。 故答案为：A 3．（2025·北京丰台·小升初真题）如图是由3个半圆组成的图形，图中阴影部分的周长是（    ）厘米。 A． B．3aπ C． D．3aπ＋6a 【答案】B 【思路引导】通过观察图形可知，阴影部分的周长分为三部分，分别是直径为a、直径为2a，直径为（a＋2a）的圆周长一半的和，根据圆的周长公式：，分别把数据代入公式算出各自周长，相加后再除以2即可得解。 【规范解答】π×a＝πa（厘米） π×2a＝2πa（厘米） π×（a＋2a） ＝π×3a ＝3aπ（厘米） （πa＋2πa＋3aπ）÷2 ＝（3aπ＋3aπ）÷2 ＝6aπ÷2 ＝3aπ（厘米） 图中阴影部分的周长是3aπ厘米。 故答案为：B 【考点剖析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 4．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【思路引导】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【规范解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 5．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【答案】(1)7；10 (2)b＝3a＋1 (3)61 【思路引导】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【规范解答】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 6．（2025·重庆綦江·小升初真题）任意三个连续自然数的和都是3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】判断一个数是否为3的倍数，只需看它各个数位上的数字之和是否为3的倍数，数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。可以设三个连续自然数分别为a、a＋1、a＋2（a为大于0的自然数）。然后计算判断即可。 【规范解答】设三个连续自然数分别为a、a＋1、a＋2，它们的和为。因为3（a ＋ 1）能被3整除，所以任意三个连续自然数的和都是3的倍数。 故答案为：√ 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）解方程。 （1）       （2）36∶1.8＝45∶x 【答案】x＝60；x＝2.25 【思路引导】（1）x－16＝8先根据等式的性质1，把方程两边同时加上16，再根据等式的性质2，把方程两边同时除以； （2）36∶1.8＝45∶x先根据比例的性质，把方程变形为36x＝1.8×45；先算出1.8×45的积，再根据等式的性质2，把方程两边同时除以36。 【规范解答】（1）x－16＝8 解：x－16＋16＝8＋16 x＝24 x÷＝24÷ x＝24× x＝60 （2）36∶1.8＝45∶x 解：36x＝1.8×45 36x＝81 36x÷36＝81÷36 x＝2.25 8．（2025·湖北黄石·小升初真题）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？（列方程解答） 【答案】6.55平方千米 【思路引导】根据题意，把公园规划占地面积看作单位“1”，它是未知量，适合设为x。根据题意，找出等量关系：公园规划占地面积×＋0.08＝核心保护区面积，据此列出方程求解。 【规范解答】解：设公园规划占地面积是x平方千米。 x＋0.08＝1.39 x＋0.08－0.08＝1.39－0.08 x＝1.31 x×5＝1.31×5 x＝6.55 答：公园规划占地面积是6.55平方千米。 9．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？ 【答案】252千米 【思路引导】把甲、乙两地的总路程看作3份，其中高速公路占2份、普通公路占1份，设1份路程为x千米，总路程就是3x千米；A车从甲地出发，在高速公路上行驶了（2x－40）千米，速度是80千米/时，所以A车行驶时间为（2x－40）÷80；B车从乙地出发，先走完1份普通公路x千米（速度70千米/时），再在高速公路上行驶40千米（速度100千米/时），所以B车行驶时间为x÷70 ＋ 40÷100；因为两车同时出发、相遇时行驶时间相等，所以可以列出等式（2x－40）÷80＝x÷70 ＋ 40÷100，解方程求出x的值后，再算3x求出总路程。 【规范解答】解：设1份路程为x千米，总路程就是3x千米。 （2x－40）÷80＝x÷70＋40÷100 ＝＋ ×560＝×560＋×560 （2x－40）×7＝8x＋224 14x－280＝8x＋224 14x－280＋280－8x＝8x＋224＋280－8x 6x＝504 6x÷6＝504÷6 x＝84 3×84＝252（千米） 答：甲、乙两地之间的距离是252千米。 10．（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。 (1)求手镯中金属和金属的重量比。 (2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。 【答案】(1) 3∶1 (2) 19.25% 【思路引导】（1）分别将两种金属原来的成本看作单位“1”，那么金属A的新成本是原来成本的（1＋30%），金属B的新成本是原来成本的80%；求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，金属A的新成本＝金属A的原来成本×对应百分率，金属B的新成本＝金属B的原来成本×对应百分率。设每克手镯中金属A的重量为克，那么金属B的重量为克。手镯的总成本＝金属A的成本×金属A的重量＋金属B的成本×金属B的重量，根据等量关系“每克手镯现在的总成本－每克手镯原来的总成本＝每克手镯增加的成本”列出方程求出，再求出的值；最后根据比的意义写出两种金属的重量比，根据比的基本性质化成最简整数比。 （2）将原来每克手镯的总成本看作单位“1”，原来的售价是原来总成本的（1＋60%），所以每克手镯原来的售价＝每克手镯原来的总成本×（1＋60%）。每克材料现在的总成本＝每克手镯原来的总成本＋37.5；将每克材料现在的总成本看作单位“1”，投入包装成本后，每克手镯现在的总成本就是每克材料现在总成本的（1＋6%），即每克手镯现在的总成本＝每克材料现在的总成本×（1＋6%）。将每克手镯现在的总成本看作单位“1”，每克手镯现在的售价是每克手镯现在总成本的（1＋50%），每克手镯现在的售价＝每克手镯现在的总成本×（1＋50%）。然后将每克手镯原来的售价看作单位“1”，求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，根据“（每克手镯现在的售价－每克手镯原来的售价）÷每克手镯原来的售价×100%”求出上涨的百分比。 【规范解答】（1）金属A上涨30%后的成本： （元/克） 金属B下跌到原来的80%后的成本： （元/克） 设每克手镯中金属A占克，则每克金属B占克。 （克） 金属A与金属B的重量比为： 答：手镯中金属A和金属B的重量比是3∶1。 （2）原来每克手镯的总成本： （元） 原来每克手镯的售价： （元） 现在每克手镯的材料总成本： （元） 现在每克手镯含包装的总成本： （元） 现在每克手镯的售价： （元） 售价上涨的百分比： 答：现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨19.25%。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题04 式与方程（必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 知识点02 等式与方程 知识点03 列方程解应用题 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点一 用字母表示数 考点二 含有字母式子的化简与求值 考点三 等式的认识及列等量关系式 考点四 等量代换 考点五 方程的意义 考点六 等式的意义及性质 考点七 列方程解含一个未知数的问题 考点八 列方程解稍复杂的行程问题 考点九 列方程解含两个未知数的问题 考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 知识必备 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 【易错点拨】 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点02 等式与方程 知识必备 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点03 列方程解应用题 知识必备 （1）列方程解应用题的优点 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 考●点●讲●练 考点一 用字母表示数 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初模拟）爸爸在群里发了一个拼手气红包，设置总金额为元，红包个数为4个。结果妈妈抢到18元，爸爸抢到6.8元，明明比哥哥少抢0.5元，则他们4人抢到红包金额的平均数是( )元，明明抢到( )元。 举一反三01（2025·福建宁德·小升初真题）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人。 (1)观察上图，根据规律将表格补充完整。 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )。 举一反三02（2025·浙江杭州·小升初真题）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设5G基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖。这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形 …… 每层新增数 6 12 …… （1）根据信息中的规律，填空 第一层总基站数：1个 第二层总基站数：1＋6＝7个 第三层总基站数：7＋12＝19个 第四层新增基站数：________个，总基站数：________个 第五层新增基站数：________个，总基站数：________个 第n层新增基站数规律：________（用含n的式子表示）个 （2）如果第n层总基站数的规律符合关系式3n（n－1）＋1，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 考点二 含有字母式子的化简与求值 母题精讲（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人参加某次数学竞赛。甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙低了13分，比丁的成绩高了3分，那么他们四人的平均成绩为______分。（用含a的式子表示） 举一反三01（2025·湖南长沙·小升初真题）（a、b、c都是不为0的自然数），a、b、c中最小的是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法确定 举一反三02（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有两根长短不同的蜡烛，长度和为28cm，相同时间内，它们燃烧的长度相同。现将两根蜡烛同时点燃一段时间后，短蜡烛剩下的长度恰好是长蜡烛剩下长度的，而此时长蜡烛剩下的长度跟短蜡烛点燃前一样长，点燃前短蜡烛比长蜡烛短___________cm。 考点三 等式的认识及列等量关系式 母题精讲（2025·河北石家庄·小升初真题）按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 举一反三01（2025·浙江宁波·小升初真题）爱心人士开展“助农”直播活动，橙子促销价每箱60元，荔枝促销价每箱80元。开播一个小时两种水果共卖出200箱 解答这题有以下两种方法。 方法一：60×（200－x）＋80x＝12800 方法二：用“鸡兔同笼”方法解答，先假设全是橙子，…… （1）方法一用方程解，请写出设句和等量关系式。 解：设 。等量关系式是 。 （2）方法二用先假设全是橙子来解，请列式计算，并写上答句。 举一反三02（2024·四川成都·小升初真题）春节期间，某商店按下面两种方式促销。第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元。刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元。已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），那么这两件商品的原价分别是多少元？ 考点四 等量代换 母题精讲（2025·河北石家庄·小升初真题）●、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保持平衡，那么“？”为( )。 举一反三01（2025·上海闵行·小升初真题）已知○、□、△各代表一个数，根据○＋△＝12，△＋□＝8，△－□＝6，可知下列选项正确的是（    ）。 A．○＝9 B．□＝2 C．□＝4 D．△＝7 举一反三02设“，，”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ）。 A．5 B．4 C．3 D．2 考点五 方程的意义 母题精讲（2025·云南昆明·小升初真题）下面数学问题中，不能用方程“2x＋6＝14”解决的是（    ）。 A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 举一反三01（2024·福建泉州·小升初真题）如图，每个黑圆片周围摆6个白圆片，继续摆下去，8个黑圆片周围共摆________个白圆片，________个黑圆片周围共摆102个白圆片。 举一反三02（2024·江西九江·小升初真题）校园里有银杏树24棵，______，桂花树有多少棵？ 设桂花树有棵，可用方程（1－25%）＝24解的选项是（    ）。 A．银杏树比桂花树多25% B．银杏树比桂花树少25% C．桂花树比银杏树多25% D．桂花树比银杏树少25% 考点六 等式的意义及性质 母题精讲（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 举一反三01（23-24五年级下·四川成都·期末）如果（x，y均不为0），下面（    ）是正确的。 A． B． C． D． 举一反三02（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 考点七 列方程解含一个未知数的问题 母题精讲（2025·重庆·小升初真题）某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人。一部分以年利率9.5%贷给甲，另一部分以年利率8.5%贷给乙，甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等。甲、乙各贷款多少元？ 举一反三01（2025·湖南永州·小升初真题）甲乙两个工程队修一条1400米长的公路，他们从两端同时开工，甲队每天修80米，乙队每天修60米。多少天后能修完这条公路？ 解：设x天后能修完这条公路。     请列出方程：( )。 举一反三02（2025·浙江台州·小升初模拟）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 考点八 列方程解稍复杂的行程问题 母题精讲（2025·重庆·小升初真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB—BC—CD—DA的线路运动，同时动点Q从B出发，以1cm/s的速度沿BC—CD的线路运动，设运动的时间为t（s）。（0＜t＜8） （1）当点P在AB—BC上运动时， ①用含t的代数式表示线段BP的长度。 ②当BQ＝2BP时，求t的值。 （2）动点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动，点M与点P同时出发，当点P停止运动时，点M也停止运动，连接PQ， ③当点P与点M第一次重合时，求t的值，并直接写出此时线段DP的长度。 ④当点M落在线段PQ上时，直接写出t的取值范围。 举一反三01（2024·湖北十堰·小升初真题）某学生步行速度15千米/时，骑自行车速度是步行的3倍。从家到学校上学一半路程步行，一半路程骑自行车，放学回家一半时间步行，一半时间骑自行车，结果放学回家比上学少用10分钟，求这个学生家到学校的路程。 举一反三02（2024·重庆渝北·小升初真题）圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，不算起始时的旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 考点九 列方程解含两个未知数的问题 母题精讲（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。 举一反三01（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）两个两位数的乘积是806，欢欢在抄题时，将其中一个因数个位上的“6”丢掉了，结果算出的积是62，则这两个因数中较小的那个因数是______。 举一反三02（2025·重庆·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。现在三个人的年龄各是多少岁？ 考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 母题精讲（2024·重庆渝北·小升初真题）设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是( )。 举一反三01（2025·上海闵行·小升初真题）实验西校的辩论队在各大辩论比赛中屡创佳绩。一场辩论赛分为立论、驳论、自由辩论、总结陈词四个环节，总时长30分钟。已知总结陈词需要4分钟，立论时间比驳论时间多2分钟，且立论和总结陈词的时间总和等于自由辩论时间。求立论、驳论、自由辩论各环节的时间。（列方程解应用题） 举一反三02（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2025·浙江台州·小升初模拟）小亮比小强大3岁，比小花小5岁，如果小强是m岁，小花是（    ）岁。 A．m－3 B．m＋3 C．m＋5 D．m＋8 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（    ）。 A．8m立方分米 B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米 3．（2025·山东·小升初模拟）一个长方形操场原来的长和宽分别是80米和50米，如果长、宽各增加米，那么它的面积就增加（    ）平方米。 A． B． C． D． 4．（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲车的速度是千米/时，乙车的速度比甲车的多5千米，乙车的速度是( )千米/时（用含有的式子表示）；当千米/时，乙车的速度是( )千米/时。 5．（2025·河北保定·小升初模拟）陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资100元，每送一件快递另加1.2元。如果陈叔叔每天送m件快递，一天拿到工资( )元。6月25日，陈叔叔送快递160件，这一天他可拿到工资( )元。 6．（2024·河北承德·小升初真题）x＝是方程3x－1.6＝0.8的解。( )。（判断对错） 7．（2024·重庆彭水·小升初真题）第一排有b个座位，以后每排比前一排多2个，第10排有（b＋20）个座位。( )（判断对错） 8．（2025·广东湛江·小升初真题）解方程或比例。           9．（2024·山东滨州·小升初真题）3月12日植树节，树人小学组织同学们到劳动基地栽一批果树苗。如果每行栽18棵，恰好可以栽40行。如果每行栽15棵，这些树苗要栽多少行？（用比例的方法解答） 10．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【思维拓展拔尖】 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）下列数学问题中，不能用方程“2X＋4＝16”解决的是（    ）。 A．B．C． D． 2．（2025·广东汕头·小升初模拟）一次考试中，乐乐语文和数学的平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分，乐乐这三科的平均分是（    ）分。 A．a＋2 B．a＋3 C．a＋4 D．a＋6 3．（2025·北京丰台·小升初真题）如图是由3个半圆组成的图形，图中阴影部分的周长是（    ）厘米。 A． B．3aπ C． D．3aπ＋6a 4．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 5．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 6．（2025·重庆綦江·小升初真题）任意三个连续自然数的和都是3的倍数。( )（判断对错） 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）解方程。 （1）       （2）36∶1.8＝45∶x 8．（2025·湖北黄石·小升初真题）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？（列方程解答） 9．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？ 10．（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。 (1)求手镯中金属和金属的重量比。 (2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $