小升初专题训练：式与方程（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦式与方程全链条能力培养，以概念生成-技能训练-综合应用为主线，渗透抽象能力与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|填空/选择/判断（12题）|字母表示数量关系、方程定义辨析|从具体数量到符号表达，构建代数思维基础| |技能训练|计算题（3题）|等式性质应用、比例基本性质|强化解方程步骤规范性，衔接运算能力| |综合应用|解答题（6题）|等量关系建模、工程/经济问题转化|从生活情境抽象数学模型，提升应用意识|

小升初专题训练：式与方程 一、填空题 1．修一条80千米长的公路，每天修a千米，修了5天后，还有( )千米没修。 2．每张课桌的价钱是m元，椅子比课桌便宜30元，那么m－30表示的是( )，m＋（m―30）表示( )，如果2张桌子和4把椅子的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是( )。 3．药店三月份购进了100瓶医用酒精，上半月卖出了m瓶，下半月卖出的瓶数是上半月的1.4倍，下半月卖出( )瓶。当m＝25时，三月份一共卖出( )瓶医用酒精。 4．甲乙两个工程队合修一条长3600米的公路。他们从两端同时开工，甲队平均每天修70米，乙队平均每天修50米，( )天后能够修完这条路。 5．规定，如果，那么( )。 6．鞋的尺码通常用“码”或“厘米”表示，它们之间的换算关系是：a＝2b－10（a表示码数，b表示厘米数）。小明买了一双32码的鞋，鞋底长( )厘米。 7．小明和小华早上7时去学校，小明去学校的路程比小华多，小华去学校的时间比小明少，小明的速度是小华的( )倍。 8．某公司给职工发奖金，每人发250元则缺180元，每人发200元则余220元，那么平均每人发( )元奖金刚刚好。 9．一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元。实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，由另一个队继续到工程完成。结算时，共支出甲、乙两队工程费用86.5万元。那么甲、乙两队合作了( )天。 10．甲乙两桶油一共重67千克。当甲桶油倒出，乙桶油倒出4千克后，则甲乙两桶油剩下的同样多。甲桶原有油( )千克。 11．1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满( )个大杯和( )个小杯后，没有剩余。 12．如下图所示，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，10桌子张桌子拼起来可以坐( )人，像这样n张桌子拼起来可以坐( )人。 二、选择题 13．下面式子中，是方程的是（    ）。 A．5－x B．18÷3＝6 C．1－2x＝0.5 D．4－3x＜5 14．奇思把4x－8错写成了4×（x－8），结果比原来（    ）。 A．少8 B．多8 C．少24 D．多24 15．一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米。如果高增加2米，体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C． D．8 16．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（    ）元。 A． B． C． D． 17．某商店先进货7辆自行车，平均每辆自行车a元，后来又进货5辆自行车，平均每辆自行车b元，后来商店以每辆的价格把自行车全部卖掉了。结果发现赔了钱，赔钱的原因是（    ）。 A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．与a、b的大小无关 三、判断题 18．一个两位数，个位上的数字是y，十位上的数字是x，这个数是xy。( ) 19．含有未知数的式子叫方程。( ) 20．如果n是自然数，那么2n＋1一定是奇数。( ) 21．2x＋8是方程。( ) 22．3x＋64＝78是方程，也是等式。( ) 四、计算题 23．解比例或方程。                    五、解答题 24．淘气攒了1元硬币和5角硬币这两种硬币，总共75元。其中5角硬币占总枚数的，淘气一共攒了多少枚硬币？（列方程解答） 25．妈妈在服装店买了一件上衣和一条裤子，共花了360元，裤子的价格比上衣便宜了20%，那么上衣和裤子各多少元？ 26．某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 27．妈妈买了3千克荔枝和2千克车厘子，共花了176元。已知车厘子的单价是荔枝单价的4倍，每千克荔枝多少元？（列方程解答） 28．用20千克花生仁可榨油8千克，照这样计算，160吨花生仁可榨油多少吨？（用比例知识解答） 29．某工厂有三个车间，第一车间的人数占三个车间总人数的，第二车间的人数是第三车间的。已知第一车间比第二车间少30人，三个车间一共有多少人？ 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．80－5a 【分析】根据题意，总长度－每天修的长度×修的天数＝剩余长度，据此列式。 【详解】80－5×a＝（80－5a）千米 【点睛】本题考查用字母表示式子，找到数量关系，按数量关系写出含字母的式子。 2． 一把椅子的价钱 一把椅子和一张桌子的总价钱 2m＝4（m－30） 【分析】每张椅子比课桌便宜30元，也就是每张椅子的价钱＝每张课桌的价钱－30，即每张椅子的价钱＝（m－30）元；每张课桌的价钱是m元，据此可以表示出2张桌子的价格及4把椅子的价格；据此解答。 【详解】每张椅子比课桌便宜30元，即每张椅子＝每张课桌的价钱－30＝m－30。 m＋（m―30），其中m表示每张课桌的价钱，（m－30）表示每张椅子的价钱，因此m＋（m―30）表示一张椅子和一张桌子的总价钱。 2张桌子的价钱表示为2m，4把椅子的价钱表示为4（m－30），2张桌子和4把椅子的价格相等，即2m＝4（m－30）。 因此m－30表示的是一张椅子的价钱；m＋（m―30）表示一张椅子和一张桌子的总价钱；如果2张桌子和4把椅子的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是2m＝4（m－30）。 3． 1.4m 60 【分析】分析题目，下半月卖出的瓶数＝上半月卖出的瓶数×1.4，据此算出下半月卖出了多少瓶；三月份一共卖出的瓶数＝上半月卖出的瓶数＋下半月卖出的瓶数，据此把m＝25代入求值即可。 【详解】1.4×m＝1.4m（瓶） 25＋25×1.4 ＝25＋35 ＝60（瓶） 药店三月份购进了100瓶医用酒精，上半月卖出了m瓶，下半月卖出的瓶数是上半月的1.4倍，下半月卖出1.4m瓶。当m＝25时，三月份一共卖出60瓶医用酒精。 4．30 【分析】设x天后能够修完这条路；甲队平均每天修70米，x天修70x米；乙队平均每天修50米，x天修50x米，甲队修的长度＋乙队修的长度＝公路的长度，列方程：70x＋50x＝3600，解方程，即可解答。 【详解】解：设x天后能够修完这条路。 70x＋50x＝3600 120x＝3600 120x÷120＝3600÷120 x＝30 甲乙两个工程队合修一条长3600米的公路。他们从两端同时开工，甲队平均每天修70米，乙队平均每天修50米，30天后能够修完这条路。 5．12 【分析】根据题意，先计算出，再将改写成方程，根据等式性质解方程即可。 【详解】根据分析可知： 即 规定，如果，那么（12）。 【点睛】根据新的运算方法，将所给出的算式改写等量方程的形式，是解题的关键。 6．21 【分析】由题可知，码数和鞋底长的换算关系是：a＝2b－10，所以当32＝2b－10，据此求出b的值，即是鞋码的长。 【详解】32＝2b－10 解：32＋10＝2b－10＋10 42＝2b 2b÷2＝42÷2 b＝21 小明买了一双32码的鞋，鞋底长21厘米。 7． 【分析】把其中小华去学校的路程看作是s，小明去学校的路程相当于小华的路程的（1＋），求一个数的几分之几是多少，用乘法，据此求出小明去学校的路程；小华去学校的时间看作是t，小华去学校的时间相当于小明去学校时间的（1－），已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，据此表示出小明去学校的时间，再根据速度＝路程÷时间，表示出小华和小明的速度，即可得解。 【详解】把小华去学校的路程看作是s，则小明去学校的路程是s×（1＋）＝s； 小华去学校的时间看作是t，则小明去学校的时间是t÷（1－）＝ t÷＝t×＝t； 小华的速度＝ 小明的速度＝s÷（t） ＝s× ＝ 即小明的速度是小华的倍。 【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法和分数除法的意义以及普通行程问题，掌握求比一个数多几分之几的数是多少和已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数的计算方法，从而解决问题。 8．227.5 【分析】由题意可知，奖金总数是不变的，员工人数是不变的，有等量关系： 250×人数－180＝200×人数＋220，就可以计算出人数，然后求出奖金总数，除以人数就是平均每人发的奖金数. 【详解】解：设员工共x人， 250x－180＝200x＋220 250x－180－200x＝200x＋220－200x 50x＝400 50x÷50＝400÷50 x＝8 每人发250元则缺180元，所以奖金总数： 250×8－180 ＝2000－180 ＝1820（元） 1820÷8＝227.5 （元） 则平均每人发227.5元奖金刚刚好。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，求出员工的人数是解题的关键。 9．26 【分析】本题设甲乙合干的天数是x天，其实甲乙各干了x天，就可以表示出甲的工作量，从而也可以求出乙的工作量，在相应的工作量下可以表示出各自的费用，把费用加在一起就是86.5万元，依此即可求解。 【详解】解：设甲乙合干的天数是x天，则甲队工作x天，甲队完成的工作量为，乙队完成的工作量为（1－）。 根据题意得： 100×＋80×（1－）＝86.5 x＋80－x＝86.5 x＋80＝86.5 x＋80－80＝86.5－80 x＝6.5 x÷＝6.5÷ x＝6.5×4 x＝26 甲乙共合作了26天。 【点睛】本题考查用方程解决工程问题，需联系工程问题的基本公式解答。 10．35 【分析】依据等量关系式：甲桶原来有油的质量×（1－甲桶倒出的分率）＝乙桶原来有油的质量－倒出的质量，列方程，解方程。 【详解】解：设甲桶原来有油x千克，则乙桶原来有油（67－x）千克。 （1－）x＝67－x－4 x＝63－x x＋x＝63－x＋x x＝63 x÷＝63÷ x＝63× x＝35 则甲桶原有油35千克。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 11． 10 3 【分析】把第二次倒的方法乘3，也就是说看成3瓶水，3瓶可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克，减去第一次倒的除以2后可得： 2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯， 所以1瓶可以倒10个大杯和3个小杯。 【详解】倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，所以当为3瓶水时，可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克， 减去第一次倒的除以2后可得： 2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯， 所以1瓶水可以倒10个大杯和3个小杯。 【点睛】此题的关键是根据第二次倒完后剩的10克，乘3，也就是看成是3瓶，然后和第一次倒的进行整体相减，从而求解。 12． 22 2＋2n 【分析】通过观察图形可知，1张桌子可以坐4人，2张桌子可以坐（4＋2）人，3张桌子可以坐（4＋2＋2）人，……多一张桌子多坐2人，以此类推，n张桌子可以坐[4＋2（n－1）]人。据此解答。 【详解】n张桌子可以坐： 4＋2（n－1） ＝4＋2n－2 ＝2＋2n 当n＝10时， 2×10＋2 ＝20＋2 ＝22（人） 10桌子张桌子拼起来可以坐22人，像这样n张桌子拼起来可以坐（2＋2n）人。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 13．C 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数；由此即可选择。 【详解】A．5－x含有未知数但是不是等式，不是方程； B．18÷3＝6是等式但是不含有未知数，不是方程； C．1－2x＝0.5是等式并且含有未知数，是方程； D．4－3x＜5含有未知数但不是等式，不是方程。 故答案为：C 14．C 【分析】本题考查代数表达式的计算和比较。需要计算原表达式 和错写后的表达式 的值，并比较它们的差异。通过计算发现，错写后的表达式相当于 ，比原表达式 少 24。 【详解】原表达式： 错写后的表达式： 比较错写后的值与原值的差： 因此，结果比原来少24 故答案为：C 15．A 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，分别算出原来长方体的体积和高增加后的体积，用增加后的体积减去原来的体积即可。 【详解】ab×（h＋2）－abh ＝abh＋2ab－abh ＝2ab 所以，体积比原来增加2ab立方米。 故答案为：A 16．C 【分析】设原收费标准每分钟为x元。根据题意，原标准降低a元后为（x － a）元，再下调25%，即降价后的价格是（x － a）的75%，等于现在的收费标准b元。因此，可以列出方程求解x。 【详解】解：设原收费标准为x元。 （x － a） × （1－25%） ＝ b （x － a） ×0.75＝ b （x － a） ×＝ b （x － a） ×÷＝ b÷ x – a＝b× x – a＋a＝b×＋a x＝b＋a 故答案为：C 17．C 【分析】根据“单价×数量＝总价”先把购进7＋5＝12（辆）自行车的总钱数表示出来，即（7a＋5b）元；再把卖出12辆自行车的总钱数表示出来，即×12元。由于赔了钱，所以购进的钱数大于卖出的钱数，即7a＋5b大于×12。把4个选项代入找出满足7a＋5b大于×12的选项。 【详解】A．当a＝b时，7a＋5b＝12a，×12＝12a，即7a＋5b等于×12。A选项错误。 B．当a＜b时，×12＝6a＋6b，7a＋5b＝6a＋6b＋a－b，即7a＋5b小于×12。B选项错误。 C．当a＞b时，×12＝6a＋6b，7a＋5b＝6a＋6b＋a－b，即7a＋5b大于×12。C选项正确。 D．7a＋5b与×12的大小与a、b的大小有关。D选项错误。 故答案为：C 【点睛】用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 18．× 【分析】两位数的表示方法。十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一，因此正确的两位数应为十位数字乘10加个位数字。据此解答。 【详解】一个两位数，十位上的数字是x，表示x个十，即10x；个位上的数字是y，表示y个一。因此这个数应表示为10x ＋ y。题目中将十位和个位数字直接并列写成“xy”，不符合数学表达规范（“xy”通常表示x与y相乘），因此判断为错误。 故答案为：× 19．× 【分析】根据方程的意义可知，方程必须具备两个条件：①必须是等式；②必须含有未知数。 【详解】含有未知数的等式叫做方程。 如：4x＋6含有未知数，但不是等式，所以不是方程； 4＋5＝9是等式，但不含未知数，所以不是方程； 5＋x＝9既含有未知数，又是等式，所以是方程。 原题说法错误。 故答案为：× 20．√ 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，可以举例，据此判断即可。 【详解】n为奇数：2×1＋1＝2＋1＝3，3是奇数； n为偶数：2×2＋1＝4＋1＝5，5是奇数。 如果n是自然数，那么2n＋1一定是奇数，原题说法正确。 故答案为：√ 21．× 【分析】含有未知数的等式叫做方程，据此解答。 【详解】2x＋8，只是含有未知数的式子，不是等式，所以2x＋8不是方程。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查方程的意义，解题时要明确：方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 22．√ 【分析】方程是指含有未知数的等式。等式表示两个数或两个代数式相等的算式，这两个数或两个代数式之间用等号。 【详解】3x＋64＝78是含有未知数的等式，所以它是方程，也是等式。 所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】熟练掌握方程的定义：（1）含有未知数；（2）是等式；是解题的关键。 23．；； 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 分数除法的运算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 （1）根据等式的性质1和性质2解答； （2）（3）根据比例的基本性质，使内项积＝外项积，再根据等式的性质2解答。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 24．120枚 【分析】根据题意可知，5角硬币的数量＝总枚数×，1元硬币的数量就占总数的（1－），5角＝0.5元，然后再根据总共75元，可知，0.5×5角硬币的数量＋1×1元硬币的数量＝75，可以设一共攒了x枚硬币，列方程为：0.5×x＋1×（1－）x＝75，最后解方程即可。 【详解】5角＝0.5元 解：设淘气一共攒了x枚硬币。 0.5×x＋1×（1－）x＝75 0.5×x＋1×x＝75 0.375x＋0.25x＝75 0.625x＝75 x＝75÷0.625 x＝120 答：淘气一共攒了120枚硬币。 25．上衣200元；裤子160元 【分析】已知裤子的价格比上衣便宜了20%，把上衣的价格看作单位“1”，则裤子的价格是上衣的（1－20%）；设上衣的价格是元，则裤子的价格是（1－20%）元；等量关系：上衣的价格＋裤子的价格＝上衣和裤子的总价钱，据此列出方程，并求出方程的解，即上衣的价格，再用总价钱减去上衣的价格，求出裤子的价格。 【详解】解：设上衣的价格是元。 ＋（1－20%）＝360 ＋0.8＝360 1.8＝360 ＝360÷1.8 ＝200 裤子：360－200＝160（元） 答：上衣200元，裤子160元。 26．(1)方式二 (2)15次 【分析】（1）方式一：单次卡，每年12月，每月3次，则一年的费用为（12×3×30）元。方式二：会员年卡，一次缴费240元会员费，每次另外收费14元，则费用为（240＋12×3×14）元，分别计算单次卡和会员年卡的费用，比较大小，选择费用低的更划算。 （2）采用列方程解决，设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等，x次收费30x元等于会员费加上另外收费14x，据此列式计算。 【详解】（1）方式一：12×3×30＝1080（元） 方式二：240＋14×3×12 ＝240＋504 ＝744（元） 744＜1080，方式二更划算。 答：李叔叔选择方式二更划算。 （2）解：设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。 30x＝240＋14x 30x－14x＝240 16x＝240 x＝15 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 27．16元 【分析】根据题意可知，车厘子的单价＝荔枝的单价×4，根据单价×数量＝总价，可知荔枝的单价×3＋车厘子的单价×2＝总钱数，设每千克荔枝x元，则车厘子的单价是4x元，据此列方程为：3x＋4x×2＝176，然后解出方程即可。 【详解】解：每千克荔枝x元，则车厘子的单价是4x元。 3x＋2×4x＝176 3x＋8x＝176 11x＝176 x＝176÷11 x＝16 答：每千克荔枝16元。 【点睛】本题考查用方程解决问题，明确等量关系是解题的关键。 28．64吨 【分析】根据花生的榨油率一定，油的质量与花生的质量成正比例，由此设出未知数，列出比例解答即可。 【详解】解：设160吨花生可以榨油吨， 20x＝160×8 20x＝1280 20x÷20＝1280÷20 x＝64 答：160吨花生仁可榨油64吨。 【点睛】关键是根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可。 29．250人 【分析】设第一车间有人，则第二车间有人，第三车间有人，根据第一车间的人数占三个车间总人数的，即可列方程解答求出第一车间人数，再根据百分数除法的意义，用第一车间人数除以就是三个车间的总人数。 【详解】解：设第一车间人数为人 则第二车间为人 第三车间为 （人） 三个车间的总人数为 （人） 由题意得： （人） 答：三个车间一共有250人。 【点睛】此题较难。二、三车间都与第一车间的人数有关，关键是设出第一车间的人数，根据三个车间人数的关系求出第二车间、第三车间的人数，再计算出总人数，然后根据“总人数第一车间人数”，列方程解答即可求出第一车间人数。 答案第2页，共16页 答案第3页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $