第12讲 简单的轴对称图形（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 简单的轴对称图形（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】等腰三角形的性质 1.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴． 2. 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”). 特别解读 1. 适用条件：(1)必须是等腰三角形.(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合. 2. 作用：是说明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 3. 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 在△ABC中，若AB＝AC，所以∠B＝∠C. 【知识点02】等边三角形的性质 1. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形的特有性质 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是等边三角形三条角平分线(三条中线或三条高)所在的直线. (2)等边三角形的三条边都相等. (3)等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60° 【知识点03】线段的轴对称性 1. 线段的轴对称性及线段垂直平分线的性质 线段的轴对称性 线段是轴对称图形，它有两条对称轴：(1)垂直并且平分线段的直线；(2)线段所在的直线(拓展) 线段的垂直平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线) 性质 文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 数学语言：点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，则PA＝PB 2. 用尺规作线段的垂直平分线 作法 图形 依据 (1)分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D. (2)作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线 SSS，等腰三角形的性质 【知识点04】角的轴对称性 1. 角的轴对称性及角平分线的性质 类别 内容 图形 依据 角的轴对称性 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，即OP所在的直线为∠MON的对称轴 AAS 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即PE＝PF 2. 用尺规作角的平分线 作法 图形 依据 (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE. (2)分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.(3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线 SSS 【题型一】等边对等角 例1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A．60° B．65° C．75° D．80° 变式1．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 变式2．如图，在中，，求的度数.    【题型二】三线合一 例2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤，小明将边与木条重合，观察此时重锤是否过点，如果过点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是（   ） A．垂线段最短 B．三角形三条高所在的直线交于一点 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．等腰三角形“三线合一” 变式1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，是中线，，，则______，______，______． 变式2．如图，已知，，与相交于点． 求证：． 【题型三】线段垂直平分线的性质 例3．（2025·湖南永州·三模）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 例4．如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长． 变式1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点D，连接，，，．与相等吗？为什么？ 【题型四】作已知线段的垂直平分线 例5．（22-23七年级下·山东枣庄·月考）如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市（         ）    A．距离A较近 B．距离B较近 C．距离C较近 D．与A，B，C三点的距离相同 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 变式2．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型五】角平分线的性质定理 例6．（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 例7．如图，在中，，的平分线交于点D，若厘米，厘米，厘米，则点D到直线的距离是______厘米． 变式1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 变式2．如图，在中，，点分别在轴、轴上． （1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标； （2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，延长交的延长线于点，求的值．    【题型六】作角平分线(尺规作图) 例8．（24-25七年级·山东枣庄·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 变式2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是对称轴，用圆规和无刻度直尺可以作出一个角的平分线．下列图形展示的是尺规作平分线的过程，请根据图形写出每一步的作图方法． 作法： (1) ； (2) ； (3) ．即： 为所求． 【题型七】最短路径问题 例9．（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 变式1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从___地铁出口下车回家的路径最短． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【题型八】线段问题(轴对称综合题) 例10．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 变式2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、形状多样、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．新修的口袋公园里有一条小路，它的同侧有两个休闲凉亭C和D，要在小路上找一点P，向两个凉亭沿直线修两条小路，且费用最低．请在下图中作出图形并标出两条小路的位置． 【题型九】面积问题(轴对称综合题) 例11．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 变式1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，，四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 变式2．（24-25七年级·上海·单元复习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【题型十】角度问题(轴对称综合题) 例12．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 变式1．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度． 变式2．（22-23七年级下·江西吉安·月考）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    一、单选题 1．如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，AC＝7cm，则△EBC的周长为（    ） A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm 4．如图，在轴，轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（    ） A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线 C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心 6．如图，已知直线AB∥CD，BE是∠ABC的平分线，与CD相交于D，∠CDE=140°，则∠C的度数为（　　） A．150° B．100° C．130° D．120° 7．如图，在中，，直线交于D，把直角三角形沿着直线翻折，点恰好落在斜边上的点E处，并且是等腰三角形，那么等于(　　) A． B． C． D． 8．如图，直线AB//CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，∠BEP＝α，∠DFP＝β，则a＋β＝(   )     A．180° B．225° C．270° D．315° 9．如图，，点在之间，平分，连结与的度数的比值为，下列结论： ①当时，；②当时， ③当时，一定是直角三角形 ④当时，一定是等腰三角形，其中正确的是（    ）    A．①② B．③④ C．②③④ D．②③ 10．将的短直角边对折到长直角边上，使点与边上点重合，折痕，且有，以下结论正确的是（   ） ①；②；③；④点到直角边、的距离相等． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 二、填空题 11．如图，已知空间站与星球距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，，之间的距离为数据表示飞船与空间站的实时距离，那么的最小值______． 12．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则旋转角为______度． 13．在△ABC中，DE垂直平分AC且分别交BC，AC边于点D，E，AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长为___cm． 14．如图，在中，点在边上，．若，则_______． 15．如图，已知的周长是24，分别平分和，于点D，且，则的面积是__________． 16．如图，在锐角三角形中，，的面积为，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是______．    17．如图，在中，，，的垂直平分线交于，则的度数是__________． 18．如图，在中，，按下列步骤作图： 步骤1：以点C为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交BC、AC于点D、E； 步骤2：分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M； 步骤3：作射线CM交AB于点F，若，则______． 三、解答题 19．尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．如图，请在△ABC的边AC上找一点P，使S△ABP：S△CBP=AB：CB． 20．如图，在高速公路的同一侧有、两座城市． (1)现在要以最低成本在、两座城市之间修建一条公路，假设每公里修建的成本相同，试在图中画出这条公路的位置，并简要说明你的依据； (2)若要在高速公路边建一个停靠站，使得城市的人到该停靠点最方便（即距离最近），请在图中标出的位置，并简要说明你的依据． 21．如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为． (1)求线段的长； (2)连接，求证： (3)求线段的长； 22．计算 如图，已知，，平分，则．请说明理由． 解：， ______．（    ）． 平分 ______，______．（    ）． （    ）． ．（    ）． 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的（要求与，与，与相对应）； (2)求的面积； (3)在直线上找一点，使得的周长最小． 24．在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案： (1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ． (2)请根据数学知识说明理由： ． 25．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K． （1）求∠EKF的度数； （2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明． （3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 简单的轴对称图形（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】等腰三角形的性质 1.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴． 2. 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”). 特别解读 1. 适用条件：(1)必须是等腰三角形.(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合. 2. 作用：是说明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 3. 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 在△ABC中，若AB＝AC，所以∠B＝∠C. 【知识点02】等边三角形的性质 1. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形的特有性质 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是等边三角形三条角平分线(三条中线或三条高)所在的直线. (2)等边三角形的三条边都相等. (3)等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60° 【知识点03】线段的轴对称性 1. 线段的轴对称性及线段垂直平分线的性质 线段的轴对称性 线段是轴对称图形，它有两条对称轴：(1)垂直并且平分线段的直线；(2)线段所在的直线(拓展) 线段的垂直平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线) 性质 文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 数学语言：点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，则PA＝PB 2. 用尺规作线段的垂直平分线 作法 图形 依据 (1)分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D. (2)作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线 SSS，等腰三角形的性质 【知识点04】角的轴对称性 1. 角的轴对称性及角平分线的性质 类别 内容 图形 依据 角的轴对称性 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，即OP所在的直线为∠MON的对称轴 AAS 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即PE＝PF 2. 用尺规作角的平分线 作法 图形 依据 (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE. (2)分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.(3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线 SSS 【题型一】等边对等角 例1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】D 【知识点】等边对等角 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 变式1．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为是解题的关键． 利用等腰三角形两底角相等的性质，设底角为度，则顶角为度，根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设底角为度，则顶角为度． 根据三角形内角和定理，得，即， 解得． 所以顶角为度． 故答案为：． 变式2．如图，在中，，求的度数.    【答案】70° 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求得. 【详解】 故的度数为. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出是解题关键. 【题型二】三线合一 例2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤，小明将边与木条重合，观察此时重锤是否过点，如果过点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是（   ） A．垂线段最短 B．三角形三条高所在的直线交于一点 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；其中要注意等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高线，顶角平分线重合． 根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，也是边上的高，即，即这根木条是水平的． 【详解】解：∵，D为边的中点， ∴为等腰的底边上的高． 又∵自然下垂， ∴处于水平位置． 故他作出判断的依据是等腰三角形“三线合一” 故选D． 变式1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，是中线，，，则______，______，______． 【答案】 【知识点】三线合一、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质可得，，，，然后由内角和定理可得，从而求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是中线， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：，，． 变式2．如图，已知，，与相交于点． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、三线合一 【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形“三线合一”的性质，进行证明即可． 【详解】证明：，，， ， ，又， ． 【题型三】线段垂直平分线的性质 例3．（2025·湖南永州·三模）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图-基本作图，根据垂线的性质可得出结论．根据尺规作图的痕迹可知：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质即可解答． 【详解】解：∵由作图可知：是的垂直平分线， ∴，，， ∴，故D选项符合题意； 根据已知无法确定A、B、C项； 故选：D． 例4．如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长． 变式1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点D，连接，，，．与相等吗？为什么？ 【答案】，见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，首先由线段垂直平分线的性质得到，，推出，即可得到． 【详解】解：，理由如下： 因为、分别是边、的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以． 【题型四】作已知线段的垂直平分线 例5．（22-23七年级下·山东枣庄·月考）如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市（         ）    A．距离A较近 B．距离B较近 C．距离C较近 D．与A，B，C三点的距离相同 【答案】D 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】根据垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 又∵超市恰好在，两边垂直平分线的交点处， ∴超市与A，B，C三点的距离相同，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． 变式2．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了用尺规作线段的垂直平分线，掌握作图步骤是关键；根据用尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可． 【详解】解：分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点P、M，连接，交于点，交于点，则直线为所求． 【题型五】角平分线的性质定理 例6．（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 例7．如图，在中，，的平分线交于点D，若厘米，厘米，厘米，则点D到直线的距离是______厘米． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 过作，交于点，如图所示，利用角平分线定理得到，即可确定出点到的距离． 【详解】解：过作，交于点， 平分，，， 厘米， 则点到直线的距离是6厘米， 故答案为：6． 变式1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 变式2．如图，在中，，点分别在轴、轴上． （1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标； （2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，延长交的延长线于点，求的值．    【答案】（1）；（2） 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）作于N，易证，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）根据已知条件分别证明和，进而得，，即可求解． 【详解】解：（1）过点作轴于点， ， 在中， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 又点的横坐标为5， ， ， ∴B（0，5）；    （2） ， ， 在中，， 又轴， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， . 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． 【题型六】作角平分线(尺规作图) 例8．（24-25七年级·山东枣庄·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，即可得出结果． 【详解】解∶由作图过程可得， ∴ 故选：B． 变式1．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作图痕迹得到平分，利用角平分线的定义求得的度数即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分， ∵， ∴． 变式2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是对称轴，用圆规和无刻度直尺可以作出一个角的平分线．下列图形展示的是尺规作平分线的过程，请根据图形写出每一步的作图方法． 作法： (1) ； (2) ； (3) ．即： 为所求． 【答案】(1)以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点 (2)再分别以为圆心，大于一半的长为半径画弧，在角的内部交于点C (3)连接，射线 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【详解】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点； （2）解：再分别以为圆心，大于一半的长为半径画弧，在角的内部交于点； （3）连接，即：射线为所求． 【题型七】最短路径问题 例9．（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题、两点之间线段最短 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 变式1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从___地铁出口下车回家的路径最短． 【答案】B 【知识点】垂线段最短、最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径问题，线段、、、中哪一条最短，根据“垂线段最短”的性质，可得最短． 【详解】解：根据“垂线段最短”的性质，可得最短， 故答案为：B． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形、最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 【题型八】线段问题(轴对称综合题) 例10．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得的最小值为，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴当和重合时，， ∵ ∴的最小值为 ∵，，． ∴ ∵ ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 【答案】2000 【知识点】线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查作图-应用与设计，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接，因此小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离为的长度，通过可证明，由此可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接． 根据轴对称可知， ， ∵两点之间线段最短， ∴的值最小，即的值最小， ∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小． 根据作图并结合题意可知，，， 在和中， ， ，， 为的中点． ∵点到河岸的中点的距离为， ， ， ． 故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是． 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、形状多样、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．新修的口袋公园里有一条小路，它的同侧有两个休闲凉亭C和D，要在小路上找一点P，向两个凉亭沿直线修两条小路，且费用最低．请在下图中作出图形并标出两条小路的位置． 【答案】见解析 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了轴对称的应用，作点C关于的对称点，连接，交于点P，则点P即为所求作的点． 【详解】解：∵当最小时，费用最低， ∴作点C关于的对称点，连接，交于点P，则点P即为所求作的点，如图所示： 连接， ∵点C关于的对称点， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小． 【题型九】面积问题(轴对称综合题) 例11．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【知识点】面积问题(轴对称综合题)、垂线段最短 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 变式1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，，四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【答案】见解析，面积为 【知识点】面积问题(轴对称综合题)、画轴对称图形 【分析】根据对称点与对称轴是垂直等距关系，描点画图即可，利用分割法计算面积即可． 本题考查了轴对称图形的作图，分割法求面积，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作图如下： 则四边形即为所求． 根据题意，四边形的面积为：． 变式2．（24-25七年级·上海·单元复习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【知识点】面积问题(轴对称综合题)、画轴对称图形 【分析】（1）根据对称点到对称轴的距离相等且与对称轴垂直，确定对称轴点，后依次连接得到图形即可． （2）利用梯形的面积公式计算即可． 本题考查了轴对称图形的基本作图，图形的面积计算，熟练掌握轴对称基本作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据轴对称的基本作图，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得四边形的面积为． 【题型十】角度问题(轴对称综合题) 例12．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】/12度 【知识点】角度问题(轴对称综合题)、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度． 【答案】84 【知识点】角度问题(轴对称综合题)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 变式2．（22-23七年级下·江西吉安·月考）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【知识点】角度问题(轴对称综合题)、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 一、单选题 1．如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 2．如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，再由AB=AD+2BE即可求解； ②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解； ③由②即可得解； ④由②即可得解． 【详解】解：①在AE取点F，使． 在Rt△BCE与Rt△FCE中， ∴， ∴△BCE≌△FCE， ，， ， ， ， ，故①正确； ②AB上取点F，使，连接CF． 在与中，，，， ， ． 垂直平分BF， ， ． 又， ， ，故②正确； ③由②知，，， 又， ，故③正确； ④易证， ， 又， ， ，故④正确． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 3．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，AC＝7cm，则△EBC的周长为（    ） A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm 【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，故CE＋BE＝AB，再由△EBC的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋AB即可得出结论． 【详解】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴CE＋BE＝AB＝10cm． ∵BC＝8cm， ∴△EBC的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋AB＝8＋10＝18（cm）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 4．如图，在轴，轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P， ∴点P在∠BOA的角平分线上， ∴点P到x轴和y轴的距离相等， 又∵点P的坐标为（a，2a-3），且在第一象限， ∴a=2a-3， ∴a=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（    ） A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线 C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心 【答案】C 【分析】根据作图痕迹判断即可． 【详解】由作图可知AD平分， 线段AD是的角平分线．又三角形的重心是三角形三条中线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的角平分线，重心等知识，解题的关键是读懂图像信息． 6．如图，已知直线AB∥CD，BE是∠ABC的平分线，与CD相交于D，∠CDE=140°，则∠C的度数为（　　） A．150° B．100° C．130° D．120° 【答案】B 【分析】求出∠CDB，根据平行线的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABC，再根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵∠CDE=140°， ∴∠CDB=180°-140°=40°， ∵DC∥AB， ∴∠ABD=∠CDB=40°， ∴∠C=180°-∠CDB-∠CBD=100°， 故选B． 【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，角平分线定义的应用，解此题的关键是求出∠ABC的度数，注意：①两直线平行，同旁内角互补，②两直线平行，内错角相等． 7．如图，在中，，直线交于D，把直角三角形沿着直线翻折，点恰好落在斜边上的点E处，并且是等腰三角形，那么等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的定义得出，由折叠的性质得出， 三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：因为是等腰三角形， 所以． 由折叠的性质可得：， 所以． 又因为， 所以， 所以， 故选：C． 8．如图，直线AB//CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，∠BEP＝α，∠DFP＝β，则a＋β＝(   )     A．180° B．225° C．270° D．315° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠AEF+∠CFE=180°，再根据角平分线定义得∠PEF+∠PFE=(∠AEF+∠CFE)，然后计算出∠EPF=90°，再由∠BEP+∠EPF+∠PFD=360°，即可求出a＋β的值. 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， 又∵EP平分∠AEF，FP平分∠EFC ∴∠PEF+∠PFE=(∠AEF+∠CFE)=×180°=90° ∴∠EPF=90° 又∠BEF+∠EFD=180°，且△PEF内角和为360° ∴∠BEP+∠EPF+∠PFD=360° ∴∠BEP+∠PFD＝α+β=360°-∠EPF=360°-90°=270°. 故选：C 【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补． 9．如图，，点在之间，平分，连结与的度数的比值为，下列结论： ①当时，；②当时， ③当时，一定是直角三角形 ④当时，一定是等腰三角形，其中正确的是（    ）    A．①② B．③④ C．②③④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质表达出∠P=+，再逐一判断即可． 【详解】解：在△APC中，∠P=180°-∠CAP-∠ACP， ∵AB∥CD， ∴∠ACD+∠BAC=180°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD ∴∠PCD+∠BAP=180°-∠CAP-∠ACP， ∴∠P=∠PCD+∠BAP ∵∠PCD=，∠PAB= ∴∠P=+ 当∠P=40°时，， 可得， ∵ ∴，解得，故②正确； 同理，当∠P=60°时， 可得 由可得，故①不能判断正误； 当k=0时，∠P=+ ∵∠ACD+∠BAC=180°， ∴∠P=90°， ∴△ACP是直角三角形，故③正确， 当k=1时，∠P=+ 不能判断一定是等腰三角形，故④错误； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及平行线的性质，解题的关键是灵活运用角平分线的定义及平行线的性质对角度进行计算． 10．将的短直角边对折到长直角边上，使点与边上点重合，折痕，且有，以下结论正确的是（   ） ①；②；③；④点到直角边、的距离相等． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确折叠后图形相对应的边和角大小不变． 由，得出，因为，由折叠性可知，所以，再由，解得即可判断①，由折叠性可知，若则有，不能同时垂直两条相交线，所以错误即可判断②；由①知，，若，由折叠性可知，是等边三角形，得到，所以即，由②知错误即可判断③；由折叠性可知，，即是的角平分线，所以点到直角边、的距离相等． 【详解】， ， ， 由折叠性可知， ， ， ，即， ，故①正确； 由折叠性可知， 若，则有， 不能同时垂直两条相交线，所以错误，故②错误； ，， 若，由折叠性可知，是等边三角形， ， ，即， 由②知错误，故③错误； 由折叠性可知，，即是的角平分线， 所以点到直角边、的距离相等，故④正确； 故选：D． 二、填空题 11．如图，已知空间站与星球距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，，之间的距离为数据表示飞船与空间站的实时距离，那么的最小值______． 【答案】/ 【分析】三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站与星球、飞船在同一直线上时，取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站与星球、飞船在同一直线上且飞船位于空间站与星球之间时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握相关知识点． 12．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则旋转角为______度． 【答案】 【分析】根据题意，可得为旋转角，根据等腰三角形的性质，求解即可． 【详解】解：根据题意，可得为旋转角， ∵AB′＝CB′ ∴ ∴ 由旋转的性质可得： ∴ ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了旋转的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 13．在△ABC中，DE垂直平分AC且分别交BC，AC边于点D，E，AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长为___cm． 【答案】7 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，AC＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是边AC的垂直平分线，AE＝3cm， ∴AD＝CD，AC＝2AE＝6（cm）， ∵△ABC的周长为13cm， ∴AB+AC+BC＝13（cm）， ∴AB+BC＝13﹣6＝7（cm）， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝7（cm）， 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14．如图，在中，点在边上，．若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据，可得，由三角形外角的性质可得，再由，即可解得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知的周长是24，分别平分和，于点D，且，则的面积是__________． 【答案】36 【分析】本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积，连接，作，根据角平分线的性质推出，利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：连接，作， ∵分别平分和，， ∴， ∴ ， ∵的周长是24， ∴， ∴； 故答案为：36． 16．如图，在锐角三角形中，，的面积为，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是______．    【答案】 【分析】本题考查轴对称的最短问题、垂线段最短等知识，作关于的对称点，连接，作于交于．因为，所以当与，与重合时，最小，求出即可解决问题． 【详解】如图，作关于的对称点，连接，作于交于．   ， 当与，与重合时，最小， ，， ， 的最小值为， 故答案为． 17．如图，在中，，，的垂直平分线交于，则的度数是__________． 【答案】/30度 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质． 由，，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得的度数，又由的垂直平分线交于D，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．如图，在中，，按下列步骤作图： 步骤1：以点C为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交BC、AC于点D、E； 步骤2：分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M； 步骤3：作射线CM交AB于点F，若，则______． 【答案】10.5 【分析】通过面积之比来反推边长之比，从而得出BF长，再得出AB长． 【详解】解：∵点F在∠ACB平分线上， ∴△BCF和△AFC等高， ∴， 当△BFC以BF为底，△AFC以AF为底时， 两三角形高相等， 故， 又AF=4.5， ∴， 解得BF=6， ∴AB=AF+BF=6+4.5=10.5， 故答案为：10.5. 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质、三角形面积之比与底边的关系，掌握这些性质是解决本题的关键． 三、解答题 19．尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．如图，请在△ABC的边AC上找一点P，使S△ABP：S△CBP=AB：CB． 【答案】见解析 【分析】作∠ABC的平分线交AC于点P，即可．根据角平分线的性质，可知点P到边AB和BC的距离相等，则S△ABP：S△CBP=AB：CB． 【详解】解：如图，点P即为所求作： ∵BP是∠ABC的平分线， ∴点P到边AB和BC的距离相等，设都为h， ∴． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．如图，在高速公路的同一侧有、两座城市． (1)现在要以最低成本在、两座城市之间修建一条公路，假设每公里修建的成本相同，试在图中画出这条公路的位置，并简要说明你的依据； (2)若要在高速公路边建一个停靠站，使得城市的人到该停靠点最方便（即距离最近），请在图中标出的位置，并简要说明你的依据． 【答案】(1)图见解析，两点之间，线段最短 (2)图见解析，垂线段最短 【分析】（1）根据两点之间，线段最短画图解答即可； （2）根据垂线段最短画图解答即可． 【详解】（1）这条公路的位置如图所示，我的依据是“两点之间，线段最短”． （2）点的位置如图所示，我的依据是“垂线段最短”． 【点睛】本题考查最短路径问题及垂线段最短，解题关键是掌握两点之间，线段最短及垂线段最短． 21．如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为． (1)求线段的长； (2)连接，求证： (3)求线段的长； 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （3）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， 的周长为， （）， ∴； （2）证明：连接， 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ； （3）解：的周长为， =， ， （）， ， ． 22．计算 如图，已知，，平分，则．请说明理由． 解：， ______．（    ）． 平分 ______，______．（    ）． （    ）． ．（    ）． 【答案】130°，平角的定义，，65°，角平分线的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行． 【分析】根据平角的定义，角平分线的定义以及等量代换，可得，结合平行线的判定定理，即可得到结论． 【详解】， __130°．（ 平角的定义 ） 平分， ___65°___．（角平分线的定义） ， （等量代换） ．（同位角相等，两直线平行 ） 故答案是：130°，平角的定义，，65°，角平分线的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查平角的定义，角平分线的定义以及平行线的判定定理，掌握“同位角相等，两直线平行”，是解题的关键． 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的（要求与，与，与相对应）； (2)求的面积； (3)在直线上找一点，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题主要考查了画轴对称图形，轴对称的性质以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用所在长方形面积减去周围的三个三角形的面积进而得出答案； （3）连接，交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2） （3）如图，连接，交于点，则点即为所求．    24．在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案： (1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ． (2)请根据数学知识说明理由： ． 【答案】(1)③；①； (2)三角形的两边之和大于第三边 【分析】（1）根据三种爬行方案，即可求解； （2）根据题意，分别求出三种方案爬行的路程，再根据三角形的两边之和大于第三边，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①； 故答案为：③；①； （2）解：根据题意得：方案①爬行的路程为AB+BC+CE， 方案②爬行的路程为AC+CE， 方案③爬行的路程为AE， 如图， 在△ABC中，AB+BC＞AC（三角形的两边之和大于第三边）， ∴AB+BC+CE＞AC+CE， 在△ACE中，AC+CE＞AE（三角形的两边之和大于第三边）， ∴AB+BC+CE＞AC+CE＞AE， 故答案为：三角形的两边之和大于第三边 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 25．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K． （1）求∠EKF的度数； （2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明． （3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数． 【答案】（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，证明见解析；（3）∠K4＝5.625°． 【分析】（1）过K作KG∥AB，交EF于G，根据平行于同一条直线的两直线平行可得AB∥KG∥CD，从而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根据角平分线的定义即可求出∠BEK+∠DFK＝90°，从而得出结论； （2）根据角平分线的定义可得∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，结合（1）的结论可得∠BEK1+∠DFK1＝45°，从而求出∠K1，即可得出结论； （3）根据（2）中的规律即可得出结论． 【详解】（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G， ∵AB∥CD， ∴AB∥KG∥CD， ∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°， ∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线， ∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK， ∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°， ∴∠BEK+∠DFK＝90°， 则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°； （2）∠K＝2∠K1，理由为： ∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1， ∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1， ∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°， ∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°， 同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°， 则∠K＝2∠K1； （3）如图（3）， 根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K2＝∠K1＝22.5°，∠K3＝∠K2＝11.25°，∠K4＝∠K3＝5.625°． 【点睛】此题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $