第09讲 全等三角形与探索三角形全等的条件（知识详解+16典例分析+习题巩固）2025-2026学年（北师大版）七年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 全等三角形与探索三角形全等的条件（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】全等三角形 1. 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2. 全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形是全等图形中的特例 【知识点02】全等三角形的性质 1. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：因为△ABC≌△DEF， 所以 2. 全等三角形的对应元素相等 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线、周长、面积等. 【知识点03】三角形全等的条件——边边边 1. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 2. 书写格式 如图4.3-1， 在△ABC和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(SSS). 【知识点04】已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段a，b，c(如图4.3-3 所示) 求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a. 作法与图形： 作法 图形 (1)作一条线段BC＝a； (2)分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A； (3)连接AB，AC.△ABC就是所求作的三角形. 【知识点05】三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性 只要三角形三边的长度确定了， 这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 四边形具有不稳定性. 2. 三角形的稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等. 【知识点06】三角形全等的条件——角边角 1. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 2. 书写格式 如图4.3-8， 在△ABC和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(ASA). 【知识点07】已知两角及其夹边作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下：已知：∠α，∠β，线段c(如图4.3-10 所示). 求作：△ABC，使∠A＝∠α ，∠B＝∠β ，AB＝c. 作法与图形： 作法 图形 (1)作∠DAF＝∠α； (2)在射线AF上截取线段AB＝c； (3)以B为顶点，以BA 为一边，作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C. △ABC就是所求作的三角形. 【知识点08】三角形全等的条件——角角边 1. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 2. 书写格式 如图4.3-13，在△ABC和△A′B′C′中，所以△ABC≌△A′B′C′(AAS). 3. “ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 将夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 将两角相等写在一起，边相等放在最后 【知识点09】三角形全等的条件——边角边 1. 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2. 书写格式 如图4.3-15， 在△ABC和△A′B′C′中 ，所以△ABC≌△A′B′C′(SAS). 【知识点10】已知两边及其夹角作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的步骤如下：已知：线段a，c，∠α(如图4.3-17). 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α . 作法与图形如下： 作法 图形 (1)作一条线段BC＝a； (2)以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α； (3)在射线BD上截取线段BA＝c； (4)连接AC. △ABC就是所求作的三角形. 【题型一】全等三角形的概念 例1．下列说法正确的是（　　） A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【答案】D 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等图形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等图形，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 变式1．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 【详解】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 【题型二】全等三角形的性质 例2．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图是佳佳制造的风筝模型．已知，点E，F分别在线段，上，且，，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形对应边相等得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】32 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由得到，，得到，，从而，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：32． 变式2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，求的值． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：两个三角形全等， ，， ． 【题型三】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 例3．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【答案】见详解 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形． 【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法： 【题型四】用SSS证明三角形全等 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】利用判定三角形全等的方法，逐一分析选项中两个三角形的三边是否对应相等． 【详解】解：A、在和中，已知，但与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； B、在和中，与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； C、在和中，，，，满足 ，可以判定全等，符合题意； D、在和中，，，但与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了判定三角形全等的知识点，解题关键是准确分析每个选项中三角形的三边对应关系，确认是否满足条件． 变式1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是________________ ． 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件推断全等的依据即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【答案】与全等，理由见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的“边边边”判定定理，通过等式性质得出是解题的关键． 与全等，由，依据等式性质两边加上可得，利用“边边边”判定定理即可证明． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∴． 【题型五】用SSS间接证明三角形全等 例5．如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】根据已知条件，，要利用“”推理得，只需再得到一组边相等即可，再结合选项中所给的条件，运用线段之间的关系进一步分析即可得出答案． 【详解】解：当时，， 理由：∵， 又，， ∴（） 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 变式1．（23-24七年级下·山东泰安·期末）小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是______（填“正确”或“错误”）． 【答案】正确 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟知三角形全等判定的相关定理是解题的关键． 根据“边边边”定理即可判断小明的说法是正确的． 【详解】根据“两个三角形的三条边分别对应相等，则两个三角形全等”可知，小明的判断是正确的． 故答案为：正确． 变式2．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【详解】证明：， 则，即， 在和中， ， ． 【题型六】全等的性质和SSS综合 例6．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定与性质，根据题意先整理得，再证明，即可作答． 【详解】解：点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， ∴ 故答案：B． 变式1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，则的度数为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据三边相等的两个三角形是全等三角形，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，E是的中点，，，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由中点定义得出，再用“”证明，即可由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【题型七】尺规作图——作三角形 例7．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， 故． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【答案】③①② 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 变式2．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知三条线段，，，用尺规作出，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，作射线，以B为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于C，再分别以B为圆心，线段c的长为半径画弧与以C为圆心，线段b的长为半径的圆交于A，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【题型八】三角形的稳定性及应用 例8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（ ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 【答案】三角形的稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的特性，熟练掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键； 运用三角形稳定性这一知识来解释篝火架设计原理． 【详解】解：三角形具有稳定性：三角形的三条边长度确定后，它的大小和形状就不会改变． 故答案为：三角形的稳定性 ． 变式2．（23-24七年级下·全国·假期作业）我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 【答案】见解析 【知识点】三角形的稳定性及应用 【详解】如图，用木板连接任一对角线，利用“三角形的稳定性”加固防止窗框变形． 【题型九】四边形的不稳定性 例9．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 变式1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明：___________． 【答案】四边形不具有稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 变式2．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【题型十】用ASA（AAS）证明三角形全等 例10．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等；先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据可证2个三角形全等，依此即可求解． 【详解】解：①中未知角的度数为：； ②中未知角的度数为； ③中未知角的度数为； ④中未知角的度数为； 因为三角形中边长为25所相邻的角分别为： ①、；②、；③、；④、； 根据可证2个三角形全等是③和④； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，，相交于点O，，当添加条件_______时，可由“角边角”判定． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键． “角边角”是指两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．我们已知，因为对顶角相等，所以．根据“角边角”判定定理，要使，还需要与的夹边和与的夹边相等，即． 【详解】解∶ ，， 由“角边角”判定，需要添加条件是∶． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题的关键． 根据题意易得出，进而可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 【题型十一】全等的性质和ASA（AAS）综合 例11．（25-26七年级下·全国·期末）如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法. 变式1．（24-25七年级下·全国·期末）已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 【答案】10 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质与同角的余角相等等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答此题的关键． 先根据直角三角形的性质、同角的余角相等得，再证明即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：10． 变式2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，连接、、，在上取一点，使，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据平行线的性质得出，进而利用证明与全等解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【题型十二】用SAS证明三角形全等 例12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．两点之间线段最短 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； 已知点O分别为线段AC、BD的中点即可得到边相等，根据对顶角相等即可得到角相等，则可判定三角形全等即可得知判定全等的依据. 【详解】解：∵O为线段AC、BD的中点 ∴， ∴在和中， ∴ 故选：B. 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，，，则_______，理由是 ______ ． 【答案】 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 根据证明与全等即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故答案为：，． 变式2．已知：如图，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，则，即，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型十三】用SAS间接证明三角形全等 例13．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、最短路径问题 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型十四】全等的性质和SAS综合 例14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明是解本题的关键．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴， 故选C． 变式1．已知的边、的长分别为、，则边上的中线的取值范围为_________________． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，根据延长，取，连接证明得到，再利用三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长，取，连接，如下图所示：   ， 为边上的中线， ， ， ， ， ，， ， 即， ， ． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，C是BD上一点，且． (1)如图①，．试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)如图②，，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由． (3)图②中，若，，求四边形CDEF的面积． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）要判断与的位置关系，可先通过证明和全等，再利用全等三角形的对应角相等推导垂直关系； （2）同理，先通过证明和全等，再利用角的关系推导与的位置关系； （3）结合全等三角形的面积相等，以及线段比例关系，计算四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积的比例关系，解题关键是通过全等三角形的对应角相等推导垂直关系，利用面积比例和全等性质计算图形面积． 【题型十五】灵活选用判定方法证全等 例15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键是明确判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、HL．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 【详解】解：甲图中只有一边和一角的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ______ ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 【答案】②③ 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【详解】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，满足“”且已知角的对边大于另一边的情况，即，可以确定唯一的； ④，，，满足“”，但不满足已知角的对边大于另一边的情况，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②③， 故答案为：②③． 变式2．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B两点间的距离，他们想出了这样一个办法：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度，DE 的长度就是A、B两点间的距离” （1）你能说明其中的道理吗？ （2）你还有别的不同的方法吗？（可以使用直角工具）请写出具体方法，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）只需要证明△ABC≌△DEC得到AB = DE，即DE的长度就是A，B两点间的距离； （2）在地面上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在AC的延长线上确定点D，使CD＝AC，连接BD并测量BD的长度，BD的长度就是A、B两点之间的距离． 【详解】解：（1）在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS） ∴AB = DE，即DE的长度就是A，B两点间的距离.      （2）方法：在地面上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在AC的延长线上确定点D，使CD＝AC，连接BD并测量BD的长度，BD的长度就是A、B两点之间的距离，                                                                    理由：在△ABC和△DBC中， ∵ △ABC≌△DBC（SAS） ∴AB=BD， ∴通过测量BD的长可得AB的长． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据题意构造全等三角形． 【题型十六】结合尺规作图的全等问题 例16．（23-24七年级下·重庆·期末）根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、根据，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B、，，，能画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 变式2．画△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°． 【答案】见解析 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】先作∠ABC=40°，再在射线BA是截取BA=4cm，然后以A为顶点，AB为边在∠ABC内部作∠BAC=80°， AC与BC相交于C即可得△ABC． 【详解】解：如图，△ABC即为所求作． ∵∠ABC=40°，∠BAC=80°， ∴∠ACB=180°-40°-80°=60°， 又∴AB=4cm， ∴△ABC即为所求作． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本作图一作一角等于已知角，作一线段等于已知线段，属于基础题型． 一、单选题 1．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 2．如图，把两根钢条的中点连在一心，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得米，则槽宽为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接，交于O，证即可解决． 【详解】解：连接，交于O， 在与中 （米） 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用以及全等三角形的证明和对应边相等的性质，本题中求证三角形全等是解题的关键． 3．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 5．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（   ） （1）这两个三角形一定全等； （2）这两个三角形不一定全等； （3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等； （4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】画出图形，分别满足两边及一个锐角对应相等，两边与一个钝角对应相等，从而可得结论． 【详解】解：如图，两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足， 但是不能判定三角形的全等． 当时， 与不全等， 只有当相等的角是钝角时，这两个三角形全等． 当时， 此时完全重合的两个三角形全等， 则说法正确的只有（2）（4）． 故选：． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握利用图形理解三角形的判定方法是解题的关键． 6．如图，为了测量池塘两岸AB的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O，测得的度数，在OB的另一侧取一点C，使，，且测得BC的长为5m，则A，B之间的距离为（    ） A．2.5m B．5m C．7.5m D．10m 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握 全等判定定理及全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据已知条件，寻找能证明三角形全等的要素，通过证明与全等，利用全等三角形的对应边相等，得出的长度． 【详解】解：在和中： ∴ ∴ ∵， ∴． 故选：B． 7．如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 8．根据下列已知条件，能够画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法可知只有 C能画出唯一三角形 【详解】解： A、已知 、 和 的对角， 不能画出唯一三角形，故本选项错误； B、 ∵， ∴不能画出 ；故本选项错误； C、 已知两角和夹边，能画出唯 一，故本选项正确； D 、根据不能画出唯一三角形，故本选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法：一般三角形全等的判定方法有熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 9．如图，四个同学用不同的方式得到一个与相等的角．其中正确的（   ） A．只有奇奇，思思 B．只有奇奇，妙妙 C．只有奇奇，妙妙，想想 D．有奇奇，思思，妙妙，想想 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等以及对顶角相等，正确理解题意是解题的关键． 分别利用尺规作图，作一个角等于已知角，同角的余角相等以及对顶角相等进行判断即可． 【详解】解：奇奇：连接， 由作法可知，，， ∴， ∴，故正确； 思思： 同奇奇作法可证，故正确； 妙妙：根据同角的余角相等可知，故正确； 想想：根据对顶角相等可知，故正确， 故选：D． 10．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，，已知，，则的长是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用等角的余角相等得到，证明，则，然后计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∴ 故选：D. 二、填空题 11．如图是的三角形支架，其中蕴含的数学原理是________．    【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：如图是的三角形支架，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12．如图所示，小语同学为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点，测得与地面夹角，测得与地面夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都是，量得旗杆与楼之间的距离，则楼高____________m． 【答案】27 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：∵，，， ． ∵量得点到楼底的距离与旗杆的高度都是， ． 在和中 ， ， ， ， ∴楼高是. 故答案为：． 13．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是__________．    【答案】/边边边 【分析】连接，，根据证，即可推出答案． 【详解】    解：连接，， 在和中， ∴， ∴， ∴是的角平分线． ∴用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 14．一个三角形的三条边长分别为5，8，x，另一个三角形的三条边长分别为5，6，8，若这两个三角形全等，则______． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等解答即可． 【详解】解：∵两个三角形全等，一个三角形的三条边长分别为5，8，x，另一个三角形的三条边长分别为5，6，8， ∴． 故答案为：6． 15．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是___________． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用全等三角形对应边相等列方程是解题的关键． 设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，则，，，，根据题意分两种情况讨论：①，，②，，然后分别列出方程求解即可． 【详解】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为， 则，，，， 若， 则，， ，， 解得：，； 若， 则，， ，， 解得：，； 综上，的运动速度是或， 故答案为：或． 16．如图，在中．，，平分，，且．则的面积是_________． 【答案】4 【分析】分别延长、，它们交于点，由平分，，得到；再证，则根据全等三角形的性质，，根据三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：分别延长、交于点，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，， 则，，，， 是的中点， ， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小， ，为的中点， ， 又， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 18．如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；首先证明可得，然后根据直角三角形两个锐角互余可得，进而可以解决问题． 【详解】解：、分别是、两边上的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ，， ， ，， ， 即， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，已知AB=AE，AC=AD，BC=DE，试说明∠CAE=∠DAB． 【答案】见解析 【分析】由AB=AE，AC=AD，BC=DE可得△ABC≌△AED，即可由其性质知∠1=∠2，即可得∠CAE=∠DAB． 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20．小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离．当他从点A处摆动到点处时，过点作于点F．若，求点到的距离． 【答案】到的距离为 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．先证明，即可得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：过点作于， ，于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即到的距离为． 21．如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：， ，． ． 的周长． 答：的周长为． 22．如图，，平分，点为中点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图：在上截取，连接． 平分， ． 在和中， ， ． ． 是的中点， ． 又，， ， 在和中 ． ， ，即平分． 23．如图，在中，，，点为线段上的一点，过点作交的延长线于点． (1)基本尺规作图：作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 证明：∵， ∴_______① ∵， ∴， ∴________② 在和中 ∴， ∴_________④，， ∵， ∴． 【答案】(1)作图见解析； (2)；；；． 【分析】（）根据作一个角等于已知角的基本作法作图即可； （）根据全等三角形的判定和性质求解； 本题考查了基本作图，掌握作角等于已知角的基本作法和全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 24．尺规作图： 已知： 求作：内部一点以及线段和，使得于点，于点且． 作法： ①以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线； ④在射线上取一点（不与点，重合），过点作于点，于点．请根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质； （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）先证明，可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：连接． 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 全等三角形与探索三角形全等的条件（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】全等三角形 1. 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2. 全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形是全等图形中的特例 【知识点02】全等三角形的性质 1. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：因为△ABC≌△DEF， 所以 2. 全等三角形的对应元素相等 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线、周长、面积等. 【知识点03】三角形全等的条件——边边边 1. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 2. 书写格式 如图4.3-1， 在△ABC和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(SSS). 【知识点04】已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段a，b，c(如图4.3-3 所示) 求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a. 作法与图形： 作法 图形 (1)作一条线段BC＝a； (2)分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A； (3)连接AB，AC.△ABC就是所求作的三角形. 【知识点05】三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性 只要三角形三边的长度确定了， 这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 四边形具有不稳定性. 2. 三角形的稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等. 【知识点06】三角形全等的条件——角边角 1. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 2. 书写格式 如图4.3-8， 在△ABC和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(ASA). 【知识点07】已知两角及其夹边作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下：已知：∠α，∠β，线段c(如图4.3-10 所示). 求作：△ABC，使∠A＝∠α ，∠B＝∠β ，AB＝c. 作法与图形： 作法 图形 (1)作∠DAF＝∠α； (2)在射线AF上截取线段AB＝c； (3)以B为顶点，以BA 为一边，作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C. △ABC就是所求作的三角形. 【知识点08】三角形全等的条件——角角边 1. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 2. 书写格式 如图4.3-13，在△ABC和△A′B′C′中，所以△ABC≌△A′B′C′(AAS). 3. “ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 将夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 将两角相等写在一起，边相等放在最后 【知识点09】三角形全等的条件——边角边 1. 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2. 书写格式 如图4.3-15， 在△ABC和△A′B′C′中 ，所以△ABC≌△A′B′C′(SAS). 【知识点10】已知两边及其夹角作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的步骤如下：已知：线段a，c，∠α(如图4.3-17). 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α . 作法与图形如下： 作法 图形 (1)作一条线段BC＝a； (2)以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α； (3)在射线BD上截取线段BA＝c； (4)连接AC. △ABC就是所求作的三角形. 【题型一】全等三角形的概念 例1．下列说法正确的是（　　） A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 变式1．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【题型二】全等三角形的性质 例2．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图是佳佳制造的风筝模型．已知，点E，F分别在线段，上，且，，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为________． 变式2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，求的值． 【题型三】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 例3．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【题型四】用SSS证明三角形全等 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是________________ ． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【题型五】用SSS间接证明三角形全等 例5．如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 变式1．（23-24七年级下·山东泰安·期末）小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是______（填“正确”或“错误”）． 变式2．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【题型六】全等的性质和SSS综合 例6．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，则的度数为______． 变式2．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，E是的中点，，，与相等吗？为什么？ 【题型七】尺规作图——作三角形 例7．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 变式2．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知三条线段，，，用尺规作出，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型八】三角形的稳定性及应用 例8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（ ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 变式2．（23-24七年级下·全国·假期作业）我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 【题型九】四边形的不稳定性 例9．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 变式1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明：___________． 变式2．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【题型十】用ASA（AAS）证明三角形全等 例10．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 变式1．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，，相交于点O，，当添加条件_______时，可由“角边角”判定． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 【题型十一】全等的性质和ASA（AAS）综合 例11．（25-26七年级下·全国·期末）如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 变式1．（24-25七年级下·全国·期末）已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 变式2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，连接、、，在上取一点，使，连接，若．求证：． 【题型十二】用SAS证明三角形全等 例12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．两点之间线段最短 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，，，则_______，理由是 ______ ． 变式2．已知：如图，，，，求证：． 【题型十三】用SAS间接证明三角形全等 例13．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【题型十四】全等的性质和SAS综合 例14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 变式1．已知的边、的长分别为、，则边上的中线的取值范围为_________________． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，C是BD上一点，且． (1)如图①，．试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)如图②，，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由． (3)图②中，若，，求四边形CDEF的面积． 【题型十五】灵活选用判定方法证全等 例15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式1．（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ______ ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 变式2．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B两点间的距离，他们想出了这样一个办法：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度，DE 的长度就是A、B两点间的距离” （1）你能说明其中的道理吗？ （2）你还有别的不同的方法吗？（可以使用直角工具）请写出具体方法，并说明理由． 【题型十六】结合尺规作图的全等问题 例16．（23-24七年级下·重庆·期末）根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 变式2．画△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°． 一、单选题 1．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 2．如图，把两根钢条的中点连在一心，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得米，则槽宽为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（   ） （1）这两个三角形一定全等； （2）这两个三角形不一定全等； （3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等； （4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．如图，为了测量池塘两岸AB的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O，测得的度数，在OB的另一侧取一点C，使，，且测得BC的长为5m，则A，B之间的距离为（    ） A．2.5m B．5m C．7.5m D．10m 7．如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 8．根据下列已知条件，能够画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．如图，四个同学用不同的方式得到一个与相等的角．其中正确的（   ） A．只有奇奇，思思 B．只有奇奇，妙妙 C．只有奇奇，妙妙，想想 D．有奇奇，思思，妙妙，想想 10．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，，已知，，则的长是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 11．如图是的三角形支架，其中蕴含的数学原理是________．    12．如图所示，小语同学为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点，测得与地面夹角，测得与地面夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都是，量得旗杆与楼之间的距离，则楼高____________m． 13．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是__________．    14．一个三角形的三条边长分别为5，8，x，另一个三角形的三条边长分别为5，6，8，若这两个三角形全等，则______． 15．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是___________． 16．如图，在中．，，平分，，且．则的面积是_________． 17．如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为______． 18．如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则_______． 三、解答题 19．如图，已知AB=AE，AC=AD，BC=DE，试说明∠CAE=∠DAB． 20．小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离．当他从点A处摆动到点处时，过点作于点F．若，求点到的距离． 21．如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 22．如图，，平分，点为中点，且．求证：平分． 23．如图，在中，，，点为线段上的一点，过点作交的延长线于点． (1)基本尺规作图：作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 证明：∵， ∴_______① ∵， ∴， ∴________② 在和中 ∴， ∴_________④，， ∵， ∴． 24．尺规作图： 已知： 求作：内部一点以及线段和，使得于点，于点且． 作法： ①以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线； ④在射线上取一点（不与点，重合），过点作于点，于点．请根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $