内蒙古赤峰市2026届高三下学期4·20模拟考试数学试题

赤峰市2026年高三4·20模拟测试 数学参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C d D A B D 题号 9 10 11 答案 BC BCD ABD 填空：12.6 13.25 14.22026-1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分 1.如图，己知全集U及其两个非空真子集A,B,则图 中阴影部分所表示的集合是 A.A∩B B.AUB C.A∩(CB) D.B∩(CA) 【答案】C 【详细解答】如图所示，图中阴影部分所表示的集合是A∩(C,B) 2.函数y=cosx+ 的一个对称中心为 6 ag0 B 【答案】B 【详细解答】令x++,keZ,则有x+a,k∈Z,故函数=0+的一 62 个对称中心为 故选B 3.已知平面a,B,直线m,满足mC,则“a⊥B”是“m⊥B”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【详细解答】由a⊥B,mc不能说明m⊥B,根据面面垂直的判断定理可知⊥B, mCa→&⊥B.故选C 数学答案第1页/共11页 全过原点且倾斜角为的直线被圆x2+2x+y=0所截得的弦长为 A.I B.3 C.1 2 2 D.5 【答案】C 【详细解答】过原点且领斜角为霄的直线方程为5x-y=0,由于圆(x+2+少广=1， 圆心为（←1,0），半径为1，故圆心到直线的距离为5 则弦长为1.故选C 5.函数f(x)=2-x2的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【详细解答】由y=2和y=x2图象可知，有3个交点.故选D 6.一袋中装有7个盲盒，己知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩 从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为 A月 4 B. 1 c.2 D.1 3 【答案】A 【详细解答】共有两种情况：①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，乃=×。7 321 ®当甲取到文具盲盆且乙取到玩具盲盆时，P号×G,所以乙取到玩具直盒的授率 为月+B=多故选A 7. 已知向量=(2,1)，D=x,√2-x2),则函数y=2x+√2-x2的最大值为 A.2√2 B.V10 C.3 D.25 【答案】B 【详细解答】因为b=2x+√2-x2,又b≤，d=5,=√2，所以y≤10 故选B, 8.已知函数f(x)的定义域为R,且x,y∈R,f(x)f()-f(x+y)=e+e',则下列说 法正确的是 A.f(0)=-1 B.f(x)为减函数 C.gx)=x[f(x)-的值域为 D.f2 数学答案第2页/共11页 【答案】D 【详细解答】 对于A,令x=y=0得(0)-f(0)-2=0,所以f(0)=-1或f(0)=2,f(0)=-1代入原 式不恒成立，所以f(O)=2,故A错误： 对于B,令y=0,f(x)=ex+1,所以B错误： 对于C,g(x)=x,对8(x)求导可得8(x)值域为 故C错误； 对于D,因为ff=e+10e+)=e*+e+e+1≥e*7+2*+1=e学+D 即f(x)f()≥f x+v 2 故D正确，选D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若42=6,4+4+4，=42，则 A.a。=21 B.S,=7a C心是公差为2的等差数列 D.4+Sn的最小值是-4 【答案】BC 【详细解答】 对于A,4+4+a。=30,=42,即4=14，故46=44+(4-2)=22，故A错误： 对于B,由于a}为等差数列，则512m-)g+a山-（2n-1)a,因此8=7a, 2 故B正确： 对c,根据8+4-，得到+4引易符号-号所以 21 n+1n2 [告}是以4为首项号为公差的等装数列，而公差d:生受=4，因此本您中骨}是 4-2 公差为2的等差数列，故C正确； 对于D,4=2,a,=4+0m-1)d=4n-2,S,=na+a）-2n,故4+S.=2+4n-2, 2 neN,故当n=1时，(a,+Sa)mn=4.故D错误. 故选BC y2 20,定义离心率是5-的椭恩黄金椭圆”已知黄金椭圆”C:4十(0<6<2 2 的左、右焦点分别为F,耳，，左、右顶点分别为A,A,上、下顶点分别为B,B2, 则下列说法正确的是 A.短半轴长为√5-1 B.AA,BB2,FF成等比数列 C.∠FBB2=∠BAA D.△FB4的外接圆半径为5+ 数学答案第3页/共11页 【答案】BCD 【详细解答】 对于A,由椭圆的方程知心-4，即a=2,由于离心率e=S-5-1,则c:5-1, a 2 b2=a2-c2=25-2,短半轴长为b,不等于√5-1，故A错误； 对于B,由选项A知，a=2,c=√5-1，b2=2√5-2，则b2=ac,(2b)2=(2)·(2c), 即BB=AAR,故B正确： b2 对于Ctam∠RBB,=分a∠B44=日由选项B知B=ac,a= ,则 amB44=分因此an∠RBA,=an∠B44,由于两个角的范围是0》 所以 ∠FBB2=∠BAA,故C正确； 对于D,由∠BA2A1+∠A,BB2=90°，∠FB,B2=∠BAA得到∠FBB2+∠A,BB2=90°， 即∠FB4=90°，因此R△FB4的外接圆半径R=4,3-a+c-5+!,故D正确 222 故选BCD 11.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，底面四边形ABCD为正方形，且AB=4, AA=5,∠BAA=∠DAA=60°，点E为线段CD的中点，则 A.B距=-AB+AD+A4 D B.AC的长为√7 B C.BE在AB方向上的投影向量为-AB P D D.平面AD24的一个法向量为36+AD-4 【答案】ABD 【详细解答】对于A,BB=BC+CB=BC+BA+CD=AD+A4-AB,故A正确： 对于B,AC=AB+AD+AA,因此AC=(AB+AD+A4)=AB+AD°+A4 +2AB·AD+2AB·AA+2AD:AA=97,AC=V97,故B正确： 对于C,根据选项A可知，BBAB-B+AD+4AB=2,因此距在A方向 BE·A 上的投影向量为 .AB- AE AB=4B,故C错误： 6 8 对于D,记m=3B+AD-4,mAD=31BAD+AD- AA·AD=0,得到 m1AD,同理m-A4=3MB-4+AD4-44=0,m14,又因为ADn4=A, 数学答案第4页/共11页 因此m为平面ADDA的一个法向量，故D正确. 故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12x+ 展开式中的常数项为 【答案】6 【详细解答】 =C4x42r,令4-2r=0,则r=2, 故展开式中的常数项为Cx°=6 13.抛物线C:x2=2(p>0)的焦点为F,点Q(2,m在抛物线C上，若点Q到焦点F的 距离是点Q到x轴距离的4倍，则P= 【答案】25 【详细解答】将点Q(2,m代入抛物线方程，可得到Q 则点Q到焦点的距离为 2+卫 巴到x轴距离为二由题意可知，+名=×4，解 D2 D 14设数列{a}满足4=1，且对任意的n∈N，满足a1-a.≤2，a+2-a.之3.2”，则 42026= 【答案】22026-1 【详细解答】一方面，a+2-4.=a4+2-a1+a1-4,≤21+2”=3.2”，另一方面， a+2-4.23.2°，故3.2=a+2-a,=a2-aH+a1-a=21+2”=3:2”，即 01a=2.通过累加法，可以得到a6-4=2+22++2205_ 2(1-2025） 1-2 =22026-2，故a42026=4+22026-2=2026-1. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 为迎接4·23世界读书日，某校开展了为期一年的“品经典书香，迎世界读书日” 主题阅读活动.活动结束后，学校了解到每位学生至少阅读了一本经典名著，并统计了 甲、乙两组各10名学生的经典名著阅读量（单位：本），统计结果记录如下： 甲组 1 2 6 8 10 11 12 12 17 21 乙组 1 2 4 11 1214 16 17 20 a (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求表中的所有可能取值： (2)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”.设a=3,现从所 数学答案第5页/共11页 有“阅读达人”里任取3人，求其中来自乙组的人数X的分布列和数学期望 【详细解答】 (1)甲组10名学生阅读量的平均值为1+2+6+8+10+11+12+12+17+21-10 10 …(2分) 1+2+4+11+12+14+16+17+20+a97+a 乙组10名学生阅读量的平均值为 10 10 … (4分) 由题意，得10>97+a 10 即0<a<3.…(5分) 故表中a的取值为】或2.…(6分) (2)由表格可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人…(1分) 由题意，随机变量X的所有可能取值为：1,2,3…(2分) P(x=1)-cc-3 cξ10 …(3分) P(r=2)=CC_3 c …(4分） 5 =动是洁 …………（5分) 所以随机变量X的分布列为： X 1 2 3 3 3 1 10 10 …(6分) 所以E(X)=1x,3 19 …（7分) 10 105 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,simA:simB:sinC=2:3:4, 且周长为18 (1)求coSA的值及△ABC的面积； (2)求sim(2A-5的值. 6 【详细解答】 （1)因为sinA:sinB:sinC=2:3:4,由正弦定理可得a:b:c=2:3:4…(2分) 又周长为18，所以a=4,b=6,c=8 …(3分) 所以cosA=+c2-d7 ……(5分) 2be 8 在△4BC中，sin2A=1-cos2A,所以5im2A=1 4 数学答案第6页/共11页 因为0<A<元，所以sinA= (7分) 8 折以SAM0=1 bc sin.4=315,(9分 2 (2)由(1)可得sim24=7 (2分) 32 c0s2A=17 (4分) 2 所以sin -》 ○—s2生5⊙s之210 (5分) 21V5-17 (6分) 64 17.(15分) 已知函数f(x)=alnx+x2-(a+3)x. 2 (1)若x=2是f(x)的极值点. (i)求a的值； ()求f(x)在区间1,3]上的最值： (2)若倒有同个极值点，出，且)+)+式++新气-10恒 成立，求实数a的取值范围. 【详细解答】 1)白题盒：f-是x-a+到a++a(x0) …(1分) 由于x=2是函数f(x)的极值点，所以有f(2)=0…(2分) 解得a=-2 经检验可知，X=2是∫(x)的极值点…(3分) 所以☑=-2…(4分） (i)由(i)可知f)=-2nx+)x2-x,f)=-=2--2+D…1分) x 所以当x∈(0,2)时，f(x)<0,f(y)在(0,2)上单调递减 当x∈(2，+∞)时，f(x)>0，f(x)在(2，+∞）上单调递增…(2分) 因此f(x)m血=f(2)=-2h2…(3分) 又0)}23f四 因此fx)=f)=- …(4分) 2 数学答案第7页/共11页 (2)由于f)有两个极值点，，因此x,x,是f)=-a+)x+a=0的两根 满足△=(a+3)-4a=a2+2a+9>0,x1+x2=a+3>0,x2=a>0 即a>0…(1分) 由愿可知，f)+3)++2+31 1 1 =an+-a+g+an+-a+班+35-1 =alnx x2+(1+x2)2-2xx2-(a+3)(3+x2)+3xx2-1 =aha+☑-1………(4分) 令8(a=alha+a-l(a>0),g(a)=lna+2…(5分) 所以当ae(0,e2)时，8'(a)<0,8(a)在(0，e2)上单调递减 所以当a∈(e2,+w)时，g(a)>0,8(a网在(e2,+w)上单调递增…(6分) 80)=0,a→0,8(a→-1 由8(a的大致图象可知，8(a)=alna+a-1>0时，则有a>1.…(7分) 18.(17分) 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=2√6，∠BAC=∠BCD=90°， ∠CBD=30°，将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. (1)证明：PB⊥平面PCD: (2)求点C到平面PBD的距离： (3)在线段PD上是否存在点E,使得平面BCE与平面PCD所成角的余弦值为 ?若存在，求出g的值：若不存在，请说明理由。 28 PD D B 【详细解答】 (1)证明：根据折叠可知，CD⊥BC,PC⊥PB…(1分) 由于平面PBC⊥平面BCD,平面PBC∩平面BCD=BC,CDC平面BCD 故CD⊥平面PBC……(2分) 由于PBC平面PBC,故CD⊥PB…(3分) 因为PC⊥PB,PC∩CD=C,故PB⊥平面PCD…(4分) 数学答案第8页/共11页 (2)根据三角形的性质得，BC=4V3,CD=4,BD=8 在RIAPBC中，易求得S△阳C=12 …(1分) 由(1)知CD为三棱锥D-PBC的高 由于CD⊥平面PBC,PCC平面PBC,故CD⊥PC PD=VCDi+PC=4+(26)=210 (2分) 由(1)知，PB⊥平面PCD,PDC平面PCD,则PB⊥PD 放5so-PB-PD=4i压…（3分） 设点C到平面PBD的距离为d 则广三枝锥DPac=V三枝推c.3D，即 含2x4= 54W15.d (4分) d=415 …(5分) 5 (3)存在，理由如下： 取BC中点O,由于PB=PC,则PO⊥BC 由于平面PBC⊥平面BCD,平面PBC∩平面BCD=BC,POC平面PBC 故PO⊥平面BCD,故以O为坐标原点，以OB,OP分别为x,z轴正方向，以过点O且 平行于CD的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.…(1分) 则P(0,0,23),B(2W3,0,0),C(-23,0,0),D(-2W3,4,0) PD=(-25,4,-2W3,CB=(4W3,0,0),CP=(2W5,0,25） 设PE=PD=（-23元4，-23)，元∈[0， 则CE=CP+PE=(2W3-23元，42,2W3-232 设平面PCD法向量m=(x,y,) 则 应00即-2+4-220取m=03分 m.CP=0'即{2W5x+25z=0 同理可求平面BCE的法向量=(0,3(2-1)，2入…(6分) 对ks(M-m两万6 2 14 328 整理得，352+2入-1=0，即(52+1)(71-1)=0 1 解得入=与…（8分) 故存在点卫，当路)时，平面BCB与平面心D所成角的余弦值为 PD 7 28 数学答案第9页/共11页 19.(17分) 已知双由线c若票-1a~06>0)的清近线方程为4：y=和y:,右焦点 a 为F(2,0). (1)求C的方程： (2)过F的直线I交C的右支于A,B两点，与两渐近线交于P,O两点. PO ①)求的取值范国： (i)过A作l的平行线交l2于M,过B作l2的平行线交于N,求证：MW∥AB. 【详细解答】 (1)由渐近线方程知，a=b… (1分) 由焦点坐标可知，2+b2=4… (2分) a=b 联立 a2+b=4解得a=b=√2. …（3分) 故双曲线C的方程为少 =1.…(4分) 22 (2)()经分析可知，直线1的斜率不为0，故可设直线：x=w+2 由于直线！与双曲线C的右支交于两点，故<1.…(1分) x2少=1 设A(,4),B(x,),联立22， 整理得到(m2-1)y2+4y+2=0 x=y+2 -4m 2 则4+必= m2-1’hy2= m2-1 …(2分) 故AB=V1+m2|y-y2= 2W2(1+m2） …(3分) 1-m2 「x -=0 设P(x,y),0(4,y),联立220，整理得到(m2-1)y2+4y+4=0 x=y+2 -4m 4 则y+y=m一yy= …(4分) 2-1 故Pg=V1+m2|y,-y= 4W1+m …(5分) 1-m2 4V1+m2 Ipal 2 则A 1-m2 2√2(1+m2） V1+m2 …(6分) 1-m2 R为1，故+i-2.于是e,即昭e5…分 数学答案第10页/共11页 (i)过A(x,)且与l平行的直线可写为y-”=x-x 美-阴，，) …(1分) 过B(x2,y2)且与4平行的直线可写为y-2=-(x-x,) 联立 -s附登 …（2分) 当=0时，，=x,y2=一y,此时xM=xw,则直线N斜率不存在，又因为此时直线 AB的斜率也不存在，且M,N,A,B四点不共线，故MN∥AB.…(3分) x2+y2y1x 22=,+y-+￥=少2+2+y2-+%+2 当m≠0时，kaw玉中y一名y名+%-+ym,+2+为--2+y 2 -4 +y2-y _m(y+⅓)+-y+4=m产-1 1 ……(5分) m(y2-y)+y+y2-4m m2-1+m(,-y) 而kB=,由于M,N,A,B四点不共线，且k=kw,故NAB.…(6分) 数学答案第11页/共11页秘密★启用前 赤峰市高三年级4·20模拟考试试题 数学 2026.04 本试卷共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息 条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效。 4,作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1.如图，已知全集U及其两个非空真子集A,B,则图中阴影部分所表示的集合是 A.A∩B B.AUB C.4n(CB) D.Bn(C4) 2.函数y=Cos +司的一个对称中心为 A(后0 ( B. c( ( D 3.已知平面，B,直线m,满足mca,则“a⊥B”是“m⊥B”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 高三数学第1页（共6页） 4.过原点且倾斜角为”的直线被圆x2+2x+y2=0所截得的弦长为 A.2 B. C.1 D.5 2 5.函数f(x)=2-x2的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 6.一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩 从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为 A. 3 B C.2 D.3 7.已知向量a=(2,),b=x,V2-x2],则函数y=2x+2-天的最大值为 A.2W2 B.√0 C.3 D.2W5 8.已知函数f(x)的定义域为R，且x,yeR,f(x)f(y)-f(x+y)=e+e',则下列说 法正确的是 A.f(0)=-1 B.f(x)为减函数 C.g(x)=fx)-]的值域为 D.rorzr 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等差数列{a.}的前n项和为Sn,若a2=6,a,+a+a6=42,则 A.a6=21 B.S=7a 是公差为2的等差数列 D.an+Sn的最小值是-4 高三数学第2页（共6页) 10.定义离心率是5-1的椭圆为“黄金椭圆”已知“黄金椭圆”C:+片 2 4+6=1(0<b<2) 的左、右焦点分别为F,F,左、右顶点分别为A,A,上、下顶点分别为B,B2, 则下列说法正确的是 A.短半轴长为V5-1 B.AA,B,B,FF引成等比数列 C.∠FBB2=∠B4A D.△F84的外接圆半径为5型 2 11.如图，在平行六面体ABCD-A,B,CD中，底面四边形ABCD为正方形，且AB=4, AA=5,∠BAA=∠DAA=60°，点E为线段CD的中点，则 A.E=-}B+D+队 D B.AC的长为√97 。、正在丽方向上的投影向量为吉西 D.平面DD,4的一个法向量为3丽+而-8A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上 12 x+ 展开式中的常数项为 13. 抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点(2，m)在抛物线C上，若点2到焦点F的 距离是点Q到x轴距离的4倍，则p= 14.设数列{a}满足a=1,且对任意的neN,满足a1-a,≤2”，a2-a,≥3.2"，则 a2026= 高三数学第3页（共6页） 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为迎接4·23世界读书日，某校开展了为期一年的“品经典书香，迎世界读书日”主 题阅读活动。活动结束后，学校了解到每位学生至少阅读了一本经典名著，并统计了甲、 乙两组各10名学生的经典名著阅读量（单位：本），统计结果记录如下： 甲组 1 2 6 8 10 11 12 12 17 21 乙组 1 2 11 12 14 16 12 20 a (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求表中α的所有可能取值： (2)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设a=3,现从所有 “阅读达人”里任取3人，求其中来自乙组的人数X的分布列和数学期望. 16.（15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA:sinB:sinC=2:3:4,且 周长为18 (I)求cosA的值及△ABC的面积： (2)求sin(2A-马的值. 6 高三数学第4页（共6页） 17.(15分) 已知函数f()=alnx+2x2-a+3)x. (1)若x=2是(x)的极值点. (i)求a的值： (i)求f(x)在区间[1,3]上的最值： （2)若/倒有两个极值点，名，且)+f)+号++3-小0恒成 立，求实数a的取值范围. 18.(17分) 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=2√6，∠BAC=∠BCD=90°， ∠CBD=30°，将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. (1)证明：PB⊥平面PCD; (2)求点C到平面PBD的距离： (3)在线段PD上是否存在点E,使得平面BCE与平面PCD所成角的余弦值为 28 若存在，求出的值：若不存在，请说明理由。 PD B 高三数学第5页（共6页） 19.(17分) 已知双曲线C:-长1@>0，b>0)的渐近线方程为4：y=x和马：y=-x,右焦点为 F(2,0). (1)求C的方程： (2)过F的直线1交C的右支于A,B两点，与两渐近线交于P,2两点， (i)求 PO 的取值范围： AB (i)过A作L的平行线交l2于点M,过B作2的平行线交4于点N,求证： MNI∥AB. 高三数学第6页（共6页）