2026年高考数学模拟卷（七）（全国Ⅰ卷）

2026年高考数学模拟卷（七） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山东日照·二模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的定义域求出集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】集合是函数的定义域，根据对数函数的性质，真数必须大于0， 因此：，即， 由交集的定义可知. 2．（2026·山东聊城·二模）设复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 3．（2026·河北唐山·二模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．8 【答案】D 【详解】解：，， ，解得． 4．（2026·广东东莞·二模）等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 【答案】B 【分析】由等差中项的性质先求出，再代入等差数列的前项和公式计算即可得解. 【详解】由等差中项的性质可知， 所以，解得， 所以. 5．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 6．（2026·河南濮阳·二模）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角差余弦公式计算求解. 【详解】已知， 则， 则 7．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 8．（2026·广东东莞·二模）已知，若恒成立，则（   ） A．0 B．1 C．e D．3 【答案】D 【分析】根据不等式恒成立可得必为函数的最小值点，由可得，经检验符合题意. 【详解】因为，可得，所以当时，等号成立； 若恒成立，则必为函数的最小值点，可得； 又，即可得，所以； 经检验，当时， 令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取得极小值，也是最小值，即恒成立， 所以符合题意. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南·二模）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．是的一个零点 D．是的一个周期 【答案】AD 【详解】分母不为0，，解得，A正确． 定义域关于原点对称， ，满足奇函数定义，不是偶函数，B错误． ，不是的一个零点，C错误． 因为，所以是的一个周期，D正确． 10．（2026·河南濮阳·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．正方体外接球体积为 C．存在一点，使得直线CE与平面所成的角为 D．到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】由线面平行的判定可判断A，由正方体外接球的直径为对角线可判断B，由线面角定义可判断C，由等体积法判断D. 【详解】对于A：由于在正方体中，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，A正确； 对于B：正方体外接球的直径为对角线，即， 所以，B正确； 因为平面，则为直线CE与平面所成的角， 则， 若，则，所以， 又，， 所以存在一点，使得直线CE与平面所成的角为，C正确； 由A知平面，为上的动点， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 设到平面的距离， ，， 由等体积可得：，即， 所以，所以到平面的距离为，D错误. 11．（2026·湖南·二模）设抛物线的焦点为，到准线的距离为，过的直线交于、（在第一象限）两点，过点作准线的垂线，垂足为，直线交轴于点，则（   ） A．抛物线的方程为 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线AB的方程为 【答案】ABD 【分析】利用焦点到准线的距离计算即可得A；由抛物线定义可计算出点坐标，再利用面积公式计算即可得B；利用焦半径公式计算可得点坐标，则可得点、坐标，即可得C；设出直线的方程，联立曲线方程，利用韦达定理计算可得、，再利用焦点弦公式计算即可得D. 【详解】对A：因为到准线的距离为2，所以，故抛物线方程为，故A正确； 对B：因为，则，，即， 则，故B正确； 对C：若，则，，即， 所以，，则直线FN的方程为， 所以，故，故C错误， 对D：易知直线AB的斜率不为0，设直线的方程为，， 联立，得，易知，则， 又，，， 因为，即，设， 则， 所以，，所以，所以， 又点A在第一象限且，所以，所以直线的方程为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河南濮阳·二模）若，则___________． 【答案】 【分析】利用赋值法，令，和，即可求解. 【详解】由题意得： 令，得， 令，得， 令，得， 所以， 所以. 13．（2026·山东日照·二模）已知正实数a，b满足，则______________． 【答案】 【分析】利用导数分别求出等式两边的最值即可求解. 【详解】 设 ，求导得 ， 因此：在单调递减，在 单调递增，最小值为 ， 原等式右边整理为 ，求导得 ， 因此：在 单调递增，在 单调递减，最大值为 ， 原等式即为，而 ，，等号成立当且仅当： ， 故 . 14．（2026·湖北十堰·二模）已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【答案】 【分析】法1：设点在渐近线上，由向量垂直得数量积为零，整理出关于的一元二次方程，利用方程有解判别式非负，结合双曲线关系化简，最终求得离心率范围. 法2：由向量垂直知在以为直径的圆上，利用渐近线与圆有公共点，得圆心到渐近线距离不大于半径，代入双曲线关系化简，求出离心率取值范围. 【详解】法1：双曲线的右顶点， 不妨取渐近线方程为.设，则，. 由，得，整理得. 由题意知该关于的方程有解，所以. 化简可得，即，所以，又. 所以，即的离心率的取值范围是． 法2：由知，点在以为直径的圆上. 由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即， 所以，所以. 所以，又，所以，即的离心率的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·广东清远·二模）在中，角的对边分别为，若． (1)求角； (2)若为边上的高，，且的外接圆的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合诱导公式、两角和的正弦公式变形后可求得； （2）由正弦定理求得，由得，化简得，然后由余弦定理求得，再由面积公式得三角形面积. 【详解】（1）因为中，，所以由正弦定理得， 所以， 所以， 中，，所以，所以，从而； （2）设的外接圆半径为，则，， 由正弦定理得，所以, 因为，为边上的高， 所以， 即， 化简得， 由余弦定理得， 所以，， 所以. 16．（2026·山东济南·二模）已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 (1)求该棱柱的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的中点为，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到，平面，接着用体积公式求解即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可． 【详解】（1）解：设的中点为，连接， 为等边三角形，边长为， ，，， 平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ； （2）解：由（1）知平面，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 17．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率及短轴长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程； （2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得. 【详解】（1）因为离心率为，椭圆的短轴长为， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知点，，设（，）， 则，即①， 则直线的方程为，令，得，所以， 直线的方程为，令，得，所以， 所以， ， 所以四边形的面积为：又因为，所以 ， 所以四边形ABCD的面积为定值． 18．（2026·浙江嘉兴·二模）在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次数记作T，表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率． (1)求和的值； (2)若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率（用n表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）法一列出符合题意的事件，进而递推出事件总数，最后得到概率，法二利用对立事件与组合数的性质求解概率即可. （2）法一结合题意得到，再利用递推关系求和，法二对为奇数和偶数分类讨论，再逆用二项式定理求解即可. 【详解】（1）法一：将n次摸到的小球的编号依次排列， 记为，且，即； 当时，； 当时，；……，当时，， 共有种，故， 而，即，且； 当时，，有种， 当时，，有种， 以此类推可得种， 因此. 法二：由题意得的含义：摸球2次后停止，其反面为， 而的含义是前2次未能停止，即前两次小球编号依次增大，有种可能， 因此， 而的含义：摸球3次后停止，其反面包含两种可能或者， 其中，的含义是前3次未能停止，即前三次小球的编号依次增大，有种可能， 因此. （2）法一：记为“摸到k号球时，后续还需抽取奇数次游戏才停止”的概率, 则, 设摸到k号球的下一次摸到的是m号球， 若，游戏停止；若，则游戏继续， ， 记，则， 又，故， ， ， 因此，. 法二：共n个小球，则最多次必停止， 且， 若，则说明前n次小球的编号依次增加，第次编号任意， 因此，若，则类似（1）的讨论， 可得， 其中，的含义是前次未能停止， 即前次编号依次增加，共种可能，因此， ， ①若n为偶数，则 ， ②若n为奇数，则 ， 综上所述，. 19．（2026·江西九江·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的值； (3)若存在极小值点且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合切点求出方程即可. （2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值. （3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再解不等式即可. 【详解】（1）当时， 曲线在处的切线方程为， 即. （2）设，则. ①时，在上单调递增. 当时，单调递减； 当时，单调递增，不符合题意. ②时，令，得， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 故 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则. 当且仅当时，即时，在上单调递增， 综上， （3）由(2)知，当时，存在极小值点且，不符合题意. 当时，在上单调递增，不存在极小值点，不符合题意. 当且时，， 又当时，；当时，. 当时，此时，且， 结合（2）中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点使得， 且， 又因为，则，， 当时，，当时，， 则此时为极大值点，显然不合题意，舍去， 当时，此时，且， 结合（2）中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点使得， 且， 结合，则， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 为极大值点，为极小值点，符合题意， 而； 又， 令，得， 当时，原式化简得，显然恒成立，则 当时，原式化简得，显然不成立，无解， 当时，原式化简得，显然不成立，无解， 综上，的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（七） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山东日照·二模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·二模）设复数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北唐山·二模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．8 4．（2026·广东东莞·二模）等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 5．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 6．（2026·河南濮阳·二模）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 8．（2026·广东东莞·二模）已知，若恒成立，则（   ） A．0 B．1 C．e D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南·二模）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．是的一个零点 D．是的一个周期 10．（2026·河南濮阳·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．正方体外接球体积为 C．存在一点，使得直线CE与平面所成的角为 D．到平面的距离为 11．（2026·湖南·二模）设抛物线的焦点为，到准线的距离为，过的直线交于、（在第一象限）两点，过点作准线的垂线，垂足为，直线交轴于点，则（   ） A．抛物线的方程为 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线AB的方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河南濮阳·二模）若，则___________． 13．（2026·山东日照·二模）已知正实数a，b满足，则______________． 14．（2026·湖北十堰·二模）已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·广东清远·二模）在中，角的对边分别为，若． (1)求角； (2)若为边上的高，，且的外接圆的面积为，求的面积． 16．（2026·山东济南·二模）已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 (1)求该棱柱的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 18．（2026·浙江嘉兴·二模）在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次数记作T，表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率． (1)求和的值； (2)若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率（用n表示）． 19．（2026·江西九江·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的值； (3)若存在极小值点且，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $