2026年高考数学模拟卷（六）（全国Ⅰ卷）

2026年高考数学模拟卷（六） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东东莞·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北宜昌·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 4．（2026·湖北宜昌·二模）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．84 B．100 C．103 D．128 5．（2026·江西上饶·二模）已知为随机事件，且，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东聊城·二模）已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东东莞·二模）椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东东莞·二模）若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（   ） A．的夹角为 B． C． D． 10．（2026·安徽淮南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（   ） A． B． C． D．内切圆半径的大小为 11．（2026·河北沧州·二模）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 13．（2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 14．（2026·浙江嘉兴·二模）已知正方体的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·浙江台州·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. (1)求角A的大小； (2)若，，求的周长. 16．（2026·湖北宜昌·二模）如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别为上的动点，且. (1)求证：； (2)当线段的长度最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（2026·浙江台州·二模）2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下： 年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91 由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，. (1)证明：； (2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.） 附：一元线性回归方程，其中. 18．（2026·福建莆田·二模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 19．（2025·江苏南通·模拟预测）已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． (1)求双曲线的方程； (2)如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（六） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东东莞·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 因为，所以. 2．（2026·湖北宜昌·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 由共轭复数的性质得，可得， 由模长公式得. 3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 4．（2026·湖北宜昌·二模）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．84 B．100 C．103 D．128 【答案】B 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 可得，解得， 则. 5．（2026·江西上饶·二模）已知为随机事件，且，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】说明了的发生与否与的发生与否无关， 即与相互独立，其等价于与相互独立， 而由事件独立性定义可知：当时，与相互独立，故为充要条件. 6．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件对目标表达式进行化简，再通过构造乘积形式利用基本不等式求最小值． 【详解】，， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为． 故选：A． 7．（2026·山东聊城·二模）已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对称轴对应相位，极大值点对应相位，因此只需研究当时，相位所扫过的区间内，落入多少个和多少个. 【详解】令， 当时，的取值范围取决于的符号， 当时， ， 当时， ， 1. 对称轴与极大值点的判定： 函数转化为， 的对称轴对应， 的极大值点对应 题意即为：区间内恰有个形如的点，且恰有个形如的点. 2. 先判断的符号： 若则， 由于左端点大于，若区间内恰有三条对称轴， 则只能是这三个点落在区间内， 这时极大值点只可能有这一个，不可能有两个极大值点，与题意矛盾,故必有 于是，记左端点为， 3. 利用“三条对称轴”和“两个极大值点”列条件： 因为要使区间内恰有三条对称轴，只能对应， 这三个点在区间内，而不在区间内， 所以，这时区间内的极大值点对应恰好有两个，也满足题意. 因此只需求解， 两边同除以，得， 即，再乘以，得. 8．（2026·广东东莞·二模）椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得，再结合成等比数列得，再用坐标表示焦半径并结合可得. 【详解】设椭圆半焦距为，，左右焦点. 由椭圆的定义得：，因为成等比数列， 故，即，得： . 对两边平方：代入 整理得：①，由，得. 所以②， 联立①②得：，，即，因此，. 所以椭圆的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东东莞·二模）若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（   ） A．的夹角为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意求得，从而可得，即可判断A；求得，从而判断B；求出、，从而判断C，D. 【详解】对于A，因为在上的投影向量为，且， 所以，即， 所以， 所以， 又因为， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 10．（2026·安徽淮南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（   ） A． B． C． D．内切圆半径的大小为 【答案】ACD 【分析】根据余弦定理及二倍角余弦公式得到，结合正弦定理及二倍角正弦公式判断选项A；根据已知条件得到，结合余弦定理即可求出，即可判断选项C；根据二倍角余弦公式即可判断选项B；根据三角形面积相等即可判断选项D. 【详解】由，得， 即， 由余弦定理得，所以，即. 所以或（舍去，角度为正值）. 对于A：由正弦定理得， 又，所以，则，即，A正确. 对于C：因为，，则，所以. 由余弦定理得，即， 整理得，解得或. 若，则为等腰三角形，，又，所以，即， 所以，所以与矛盾，故舍去. 因此，，故C正确. 对于B：，故B错误. 对于D：由，，得. 则. 设内切圆半径为，则， 所以，解得，故D正确. 11．（2026·河北沧州·二模）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性的性质、对勾函数的单调性、基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数在区间上单调递减，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以此时，， 要想函数在区间上有两个不同的零点， 只需， 显然选项A正确； 由，选项B不正确； 因为，所以， 因为， 所以，因此选项C正确； 由， 由， 因为，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以，因此选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】由求得的轨迹为圆，结合直线与圆的位置关系即可求得c的最大值. 【详解】设， 由题意得， 整理得， 所以的轨迹为以为圆心，半径的圆， 因为在直线上， 所以与相切或相交， 则到的距离， 解得， 故c的最大值是. 13．（2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 【答案】 【分析】由题意知数列是等差数列，先求出数列的前项和为，再结合题意减去的前项和为即可得答案. 【详解】因为数列的通项公式是， 所以，即数列是等差数列， 所以数列的前项和为， 因为，依然为等差数列， 所以的前项和为， 所以数列的前项和. 14．（2026·浙江嘉兴·二模）已知正方体的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为_________． 【答案】 【分析】作出相应图形，利用相切性质可得球心在上，再利用该球与棱相切，可得，再利用三角形性质计算即可得解. 【详解】球O与平面和平面均相切， 故球心O在二面角的角平分面上， E，F，G，H，I，J为各自所在棱的中点，易知平面， 所以即二面角的平面角， 且EQ平分，要使半径最小，球心O在EQ上，    作，则平面，即球半径， 又球O与相切，故，因此，， 在中，，，， 因此，解得．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·浙江台州·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. (1)求角A的大小； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）已知， 由正弦边角关系得，化简得， 应用辅助角公式可得，而，所以. （2）由余弦定理，得，解得， 所以，故的周长为. 16．（2026·湖北宜昌·二模）如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别为上的动点，且. (1)求证：； (2)当线段的长度最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）作出符合题意的图形，结合题意与面面垂直的性质得到，再结合线面垂直的判定得到平面，最后得到即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法求解即可. 【详解】（1）如图，连接交于点， 在直三棱柱中，四边形为矩形， 因为，所以四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）知，两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系. 则. 令，则， 于是， 则当时，取得最小值，此时， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得； 由（1）知平面，则为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17．（2026·浙江台州·二模）2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下： 年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91 由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，. (1)证明：； (2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.） 附：一元线性回归方程，其中. 【答案】(1)证明见解析 (2)；3.07（万亿元） 【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数的计算公式变形即可得证； （2）由条件求出，即可得一元线性回归方程，将代入回归方程求出预测值，预测值与实际值差的绝对值即为误差. 【详解】（1）左边 =右边，故等式成立； （2）设一元线性回归方程为， 则， 将代入回归方程可得，解得， 所以一元线性回归方程为. 当时，求得，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元， 而2025年GDP的实际值为140.19万亿元， 故误差为（万亿元）. 18．（2026·福建莆田·二模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可； （2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可. 【详解】（1）当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； （2）等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 19．（2025·江苏南通·模拟预测）已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． (1)求双曲线的方程； (2)如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 【答案】(1)； (2)①证明见解析，；②证明见解析. 【分析】（1）根据焦点坐标和已知点即可得到方程组，解出即可； （2）①设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式等于0即可得到，则得到方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程； ②根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，写出直线的方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可，再利用等比数列求和公式得到，最后再裂项求和即可证明. 【详解】（1）得 双曲线的方程为：. （2）①当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， ， 即， 又，即为， ， ，即，， 当直线斜率不存在时，也满足． 直线方程：， 双曲线的渐近线：， 分别联立得和. 则交点， ， ， 可得三点共线且方程为：， 由于， ， ， 又， ， 共线，共线， 共线，共线且轨迹方程为. ②，直线方程：， 则， 由于，且且， 由， 则， ， 设，直线， 与分别联立得和. 则交点， . 即， ， 又， 所以， 因为， . 得证. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $