2026全国高考押题最后5卷-数学-3

2026全国高考押题最后5卷（三） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 数学试题 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 9.将三棱锥A一BCD沿侧棱AB,AC,AD展开后的图为△EFG,则△EFG的形状不可 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改 能是答案解析网 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 A.锐角三角形 B.直角三角形 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 C钝角三角形 D.等腰三角形 考试时间为120分钟，满分150分 t! 10.已知椭圆E:。十后=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,A,B在椭圆E上线段 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 AB过坐标原点O,且∠AF,B=行，BF:上z轴，则 1.样本数据12,13,23,24,15,17,19,20的中位数为 A.15 B.17 C.18 D.19 A∠F,BF:= 2.已知集合A={x∈Z0<x≤9}，B=(x>0|x=3m且x=2k一1，n∈Z,k∈Z},则A∩ B.|F,B|=2F,B答案解析网 B= A.{3,6,9 B.{3,9 C{1,3,5,7,9 D.{6,7} C精圆E的离心率为号 3.已知复数：十a口∈Ri为虚数单位).若：为纯虚数，则1：门 D当6一尼时，因边形AF,BF,的面积为 A.1 B.2 C.3 D.2 11.已知函数f(x)=e一x,则下列说法正确的是 4.已知向量a,b满足|a=2,b=1,若a·(a-4b)=0,则向量a,b的夹角为 A.曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=(a一1)x+1 A.g Bg c D B.当a<0时，f(x)在定义域内单调递增 5.已知F为抛物线C:y°=2px(p>0)的焦点，A(4,4)为抛物线C上一点，则|AF1= C.若f(x)≥1恒成立，则a=1 A.5 B.6 C.7 D.8 D.当a=一1时，函数h(x)=m[f(x)十x]一ln(x十1)存在两个极值点，则实数m的取 6.已知数列{an}的前n项和为S。,S。 2n+11 4a,=4,则So= 值范围为（一∞，一1）答案解析网 A.19 B.21 C.81 D.100 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 7.已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)=2g(x)=(x+2)f(x),若gx-2)是奇函 12.已知数列(a.}的前n项和为S。,S,十2a,=3,则数列{an)的通项公式为 数，则g(2026)= 13,已知点A为直线y=1一x上一动点，过点A作圆M:x2+(y-3)=2的切线AB,B为 A.-2027 B.-1014 C.1014 D.2027 切点，过点A作倾斜角为的直线与x轴交于点C,则AB十AC的最小值为· &已知函数f)=一2十usm+十3有且仅有一个零点，则实数a的值为 14.若半径分别为6,6,6,7的四个球两两外切，它们都内切于一个大球，则大球的半径 A.-2 B.-1 C.1 D.2 是答案解析网 数学试题第1页（共4页） 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(17分)已知函数f(x)=ln(x+1D-rar+D ,a∈R x+1 15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b(cosA-cosC)=(a+c)· (1)讨论f(x)的单调性答案解析网 cos B. (2)当x>0时，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围： (1)求证：B=2A: 11 1 (3)求证：n十n++n+2 1 (2若△ABC的面积为5y7cosB-g求△ABC的周长。 16.(15分)某同学每次投篮投中目标的概率是2，每次投篮相互独立，共有10次投篮机会。 (1)求这名同学在10次投篮中恰有8次投中的概率. (2)若投中或10次机会用完，则投篮结束.记投篮次数为X,求X的分布列与数学期望. 10.17分)已知点P(2,3)在双曲线C,号-若=1a>0.6>0)上，且双曲线C的离么率 为2.答案解析网 (1)求双曲线C的方程.答案解析网 (2)设Q(x。y。)为双曲线C上（除左、右顶点外）任意一点，F,F,分别为双曲线C的 左，右焦点.直线QF1与双曲线C的另一个交点为A,直线QF:与双曲线C的另一个交 点为B,直线BF,与AF:交于点M,用xoyg表示点M的坐标. 17.(15分)如图，在多面体ABCDEF中，平面ABC⊥平面BCDF,四边形BCDF为平行四 (3)在(2)的条件下，MF,|一MF:I是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明 边形，AB=AC,AE∥CD,CD=2AE,G为BD上一点，DG=XDB,EG∥平面ABC. 理由答案解析网 (1)求A的值： (②若BC=CD=2,BG=厅，∠BCD-行，求平面EFD与平面BCDF夹角的正弦值 B 数学试题第3页（共4页） 教学试题第4页（共4页）2026全国高考押题最后5卷（三） 数学参考答案及评分意见 1.C【解析】将数据从小到大排列为12,13,15,17,19,20,23,24，数据个数为8，为偶数，所以中位数为中间两个数 的平均数，即1719=18.故选C. 2 2.B【解析】因为集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={3,9,15,…},所以A∩B={3,9}.故选B. 3.D【解析z2十ai-C2十aiD1一iD-2十a+a,2,又因为之为纯虚数，所以2+a=0,即a=一2， 1+i(1+i)(1-iD2 所以之=一2i,所以|x|=2.故选D. 4B【解析伯aa一4b)=0,得a=4a·b,即4=4X2X1 Xcon(a,b>,所以c0sa,b=2,所以a,b)-号放 选B. 5A【解析】因为A(4,4)为抛物线C上一点，所以4=2p×4,解得力=2，所以AF1=4十号-5故达A 6.D【解析】冷n=1,得a1=1.由S.-2m+1a, 4a.=4,得S。-1-2n-1.1 1 4a-1-4(n≥2)， 两式相减得an + 4a,-1=0,得(3-2m)a,+(2m-1)a-1=0. 又n2≥2所以2x-10,2-3>0,所以2-23所以2一2专…-号-1，所以a-2n-1. 将n-1代人上式，得a1=1,符合题意所以。.=2m-1,所以S。=101+19》-10.故选D 2 7.C【解析】因为g(x)=(x十2)f(x),g(x一2)是奇函数，所以g(x一2)=xf(x一2)是奇函数. 因为y=x是奇函数，所以f(x一2)是偶函数，所以f(一x一2)=f(x一2). 因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(x十2)=一f(-x-2)=一f(x一2)，即f(x十4)=一f(x),所以 f(x+8)=一f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数，所以g(2026)=2028f(2026)= 2028f(2)=1014.故选C. 8.A【解析w=x-2x十3的图象的对称轴为直线x=1,最小值为2，y=asin2x+受)的图象关于直线x=1 对称，所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.因为函数f(x)只有一个零点，所以根据函数图象的对称性知， 这个零点只能在对称轴x=1上，f(1)=1-2×1+asin2x+罗)十3=a十2=0，所以a=-2.故选A 9BC【解析】如图，由三棱锥任意顶点处的三个角满足任意两个角的和大于第三个角，即∠E十∠F>∠G,∠E十 ∠G>∠F,∠F十∠G>∠E,所以△EFG为锐角三角形.故选BC. G 数学答案第1页（共6页） 10.ABD【解折】易知四边形AF,BP:为平行四边形.因为∠AP,B-,所以∠F,BF,=-∠AF,B-了又因 为BF,Lx轴，所以BF,=2BF,l,故A,B正确.不妨设B(C,y)(c=Va一，y>0),代人椭圆方程得 =1每得y=名即BF1-名又BF,+BR:=2a,即经+名=2a,g号g-号所以=名 y2 a a 、一-怎放C错说当6=时a=尽，1R,F:=2=2,则BF-公-25，所以四边形A,BF,的面 积S,=R,XBF,=2X2-放D正确放选ABD 3 A 11.ACD【解析】由f(x)=e-x,则f'(x)=ae-1,f'(0)=a-1,f(0)=1,所以曲线y=f(x)在x=0处的 切线方程为y=(a一1)·x十1，故A正确.当a<0时，f'(x)=aer-l<0,函数f(x)单调递减，故B错误.当 a≤0时，f(x)在定义域内单调递减，不满足f(x)≥1恒成立.当a>0时，由f'(x)=aer-1=0,得x= 所以当x(-m,-10）时，)0，函数x)单再递减当∈（日2，+时，f>0,雨数 a f(x)单调递增.所以x=-n“是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.注意到f(O)=1,所以要使f(x)≥1恒 a 成立，则x=0为函数f(x)的最小值点.又因为x=-血“为函数f(x)的最小值点，所以-血0=0，解得a=1. a 经检验，a=1满足条件，故C正确.当a=-1时，函数h(x)=m[f(x)十x]-ln(x十1)=mex-ln(x十1)， 之-1，则'(x)=一三7则A'()=0等价于me=-1 e 一十，即m=一z+1 令ge)=年>-1》，则gx)=-c- (x+1)2 (x+1)2 当x∈(-1,0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(0，十o∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减. g(0)=-1,当x→-1+或x→+∞时，g(x)→-∞. 因为函数h(x)有两个极值点，即m=g(x)有两个不同的解，所以实数m的取值范围为（一∞，一1），故D正确. 故选ACD. 12.am= 2” 3 【解析】由题意Sn十2am=3,当n=1,a1=S1时，得S1+2a1=3a1=3,所以a1=1. 2 S.-1十2a,-1=3(n≥2)，两式相减得3a,=2a-1,即a.=3a-1, 所以数别a,是首项为1，公比为号的等比数列所以，-() 13.2√2【解析】圆M:x2+(y-3)2=2的圆心M为(0,3)，半径r为√2. 数学答案第2页（共6页） 设A(x0,1-x0),则直线AC的方程为y=x十1-2x0,则C(2x。-1,0), 所以|AC|=√(2x0-1-xo)2+(1-xo)产=√2|x。-1|, |AB|=√/1AM2-|BM2=√x6+(1-x0-3)2-2=V2|xo+1. 所以AB|+|AC|=√2(xo+1|+|x。-1)≥2√2，当且仅当xo∈[-1,1]时，取得最小值. M 14.14【解析】如图，设半径为7的球心为A,三个半径为6的球心分别为B,C,D,则三棱锥A一BCD为正三棱 锥.易知大球的球心在此三校维的离A0,上，设大球球心为O,底面△BCD外接圆圆心为O,B0,=12×- 4√5，A01=√169-48=11.设O01=x,大球的半径为R,则(R-6)2=[11-(R-7)]2+48,所以R=14. 15.(1)证明：由题设和正弦定理，得sinB(cosA-cosC)=(sinA十sinC)cosB, sin Bcos A-sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以sin(B-A)=sin(B十C)=sinA.……3分 因为0<A<π，0<B<π，所以一π<B-A<π，所以B-A=A或B-A十A=x(舍去)， 所以B=2A.…5分 (2)解：由(1)得B=2A,所以sinB=sin2A=2 sin Acos A.…6分 由正弦定理以及余弦定理，得b=2aXb2+c-a ,整理得(c-a)(b2-a2-ac)=0, 2bc 得c=a或b2=a2十aC.…8分 当c=a时，则A=C=至，B=受与已知c0sB=日矛盾。 当62=a2十ac时，由余弦定理，得cosB=2十c2-b_c2-ac-c-2-1 2ac 2ac 2a8' 即4c=5a.… …10分 号arsB-157,所以c=20, 所以a=4,c=5,代入b2=a2十ac得b=6. 所以ab十C=15.…13分 数学答案第3页（共6页） 16,解：1)设投中的次数为Y,则Y~B10,) 所以在10次投篮中，恰有8次投中的概率P0Y=)=C(合))°-15g …4分 (2)当X=1时，P(X=1)=2; 当1<X≤9时，前(X-1)次都未投中，第X次投中，每次投中与投不中的概率均为2，因此P(X=)=2 2,…,9);当X=10时，只要前9次都未投中即可，P(X=10)=29 …8分 所以X的分布列为 十 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 …10分 2 2 2 e 25 2 27 28 29 2° E(X)= +2×7+3x安++9x+10x分， ,1 1 1 …12分 等号两边都乘以2，得2E(X)=1+2X号+3×安++9X安+10×， 1 1 1 1 1 1 1一2 1 两式相诚，得E(X)=1+2十2十+2-9×2+10×2-10×2= 1 1 292 291 1 1 2,444444…40………………………………… 17.解：(1)过点G作GH∥CD交BC于点H,连接AH.因为AE∥CD,所以AE∥GH. 因为EG∥平面ABC,EGC平面AEGH,平面AEGH∩平面ABC=AH,所以EG∥AH.…4分 所以四边形ABGH为平行四边形，所以GH=AE=2CD, 1 以G为BD的中点，所以入=2…6 (2)由(1)知，H为BC的中点.因为AB=AC,所以AH⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCDF,平面ABC∩平面 BCDF=BC,所以AH⊥平面BCDF.又因为EG∥AH,所以EG⊥平面BCDF.连接GC.因为GC,GDC平面 BCDF,所以EG⊥GC,EG⊥GD.又因为BC=CD,G为BD的中点，所以GC⊥GD,即GC,GD,GE两两垂直. …8分 以G为坐标原点，GC,GD,GE所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系. G BCD=2,BC=CD=2,得GC=1,GD=3,则F(-1,0,0),D(0,W3,0),E0,0 数学答案第4页（共6页） 所以ED=(0,W5,一√3)，F2=(1,0,W3).…10分 m·E元=0，W3y-3之=0， 设平面EFD的法向量为m=(x,y,之)，则有 即 m·FE=0,x十√3zx=0. 取之=-1，得x=√5，y=-1,则m=(W5,-1,-1).…12分 易得平面BCDF的一个法向量为n=(0,0,1).…13分 设平面EFD与平面BCDF的夹角为0，则cos0=mm-三，所以sin0-25, mn√5 5, 即平面EFD与平面BCDF夹角的正弦值为2,5 5 …15分 18.(1)解：f(x)的定义域为(-1，十∞)， )52az+1z+1）-xaz+1D-ax+1-2a〕 (x+1)2 (x+1)2 …2分 ①当a=0时，由f'(x)<0,得-1<x<0,由f'(x)>0,得x>0, 所以函数f(x)在区间（一1,0）上单调递减，在区间(0，十∞)上单调递增.… …3分 ②当a<0时，由f')=0,得x=0或=-2计2<1， 所以函数f(x)在区间（一1,0）上单调递减，在区间(0，十∞)上单调递增.…4分 ③当a>0时，由f'(x)=0,得x=0或x=-2+1 若-2+日-0，即a=时，x)0恒成立，即f(x)在(-1，十0)上单阔递减 若-1K-2+<0,即}<a1时，由fc0,得-1<<-2+>0，由fe)>0,得-2+<x<0,所以 函数f)在区同-1，-2+）和0，十)止单调递减，在区间(-2+日，0上单调递培： 若-2+日>0，即0<a<号时，由了)<0，得-1<x<0,>-2+日由f'x)≥0，得0<x<-2+日 所以函数f(x)在区间(-1,0)和(-2+，十∞上单调递减，在区间0，-2+ 上单调递增； 若-2+1≤-1，即a≥1时，由f'(x)<0,得x>0,由f'(x)>0,得-1<x<0, a 所以函数f(x)在区间为(0，十∞)上单调递减，在区间（一1,0）上单调递增.…7分 综上，当a≤0时，f(x)在区间（一1,0）上单调递减，在区间(0，十∞)上单调递增； 当0<a<号时，fx)在区间(-1,0)和（-2+日，十∞上单调递减，在区间0，一2+日 上单调递增； 当a=时，f(x)在(-1，十四)上单调递减， 当号<a<1时，f)在区间(-1，-2+)和(0，十∞)上单调递减，在区间(-2+0上单调递增： 当a≥1时，f(x)在区间为(0，十∞)上单调递减，在区间（一1,0）上单调递增.…8分 (2)解：显然f(0)=0,由(1)知，当a≥2时，f(x)在(0，+∞)上单调递减，f(x)<f(0)=0,即f(x)<0; 数学答案第5页（共6页） 当a<2时，f(x)在0,12a)上单调递增fx)>f(0)=0,不符合题意。 a 综上，实数a的取值范围为 (3)证明：令a=，,由(2)知当x>0时，f(x)<0,即2+1)>ln(x+1). 取-eN则器>h”脚n生<0+ 1 …13分 n 1, 1 1,1 [49 a262=1, 19.解：(1)由题意得 C=2, 解得a2=1,b2=3,c2=4, a a2+b2=c2, 所以双曲线的方程为x:一少 ………………………… (2)设A(x1y1),B(x2,y2).由于Q(xo,yo)在双曲线C上，则3x6-y=3. 由(1)得c2=4,即c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0). =。-2 +2, 直线Q:的方程为x=己)+2，与双曲线C的方程联立得 yo 31, 消去x,得[3(x0-2)2-y8]y2十12(x0-2)y0y十9y6=0.…7分 9y 3y0 则yy=3x。一2-所以y:=专4 4-5x0 -,x25-4x0 3y0 同理y1一5十4红。21= 5x0+4 …………………………………………………1统0分 5+4x。 3yo 3y0-(x十2)， 所以直线AF,的方程为y=130+1x-2》,直线BF的方程为y=1413z 两式联立解得x=一多y子，所以点M的坐标为 3 133 -7x07y0 …12分 (3)设x=-13 号y=由好- 31,得x2y 16927-1. 4949 所以交点M的轨迹方程为一二 27=1(除去左、右顶点）…15 4949 又名-4，所以1MF1一：1-2-9为定值 即IMF,-MF,I为定值2 71 …17分 数学答案第6页（共6页）