2026年高考数学模拟卷（八）（全国Ⅰ卷）

2026年高考数学模拟卷（八） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山东聊城·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北沧州·二模）某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（    ） A．36 B．72 C．90 D．144 4．（2026·河南濮阳·二模）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B，C满足：，，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山东日照·二模）设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2026·广东揭阳·二模）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到平面的距离为2 C．直线与所成角的正切值是2 D．平面截正方体所得的截面面积为 11．（2026·福建漳州·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为27 C．的最大值为6 D．若，则的最小值为6 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·浙江台州·二模）已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 13．（2026·安徽淮南·二模）已知函数在区间上单调递减，且函数图象关于中心对称，则________. 14．（2026·河南濮阳·二模）已知双曲线的离心率为的一条渐近线与圆交于两点，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16．（2026·湖南·二模）为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响． (1)求问题1回答正确的概率； (2)记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望． 17．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）如图，在直三棱柱中，，，，P为棱上的动点，点Q为的中点. (1)若， （i）证明：平面； （ii）求直线与直线的所成角的余弦值； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 18．（2026·浙江台州·二模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 19．（2026·广东东莞·二模）设a为非负实数，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（八） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山东聊城·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得两边同时加 1，得 所以 又 因此集合中落在区间内的元素只有 故 所以正确选项是A. 2．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 3．（2026·河北沧州·二模）某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（    ） A．36 B．72 C．90 D．144 【答案】B 【分析】先算5个景点3天游览的总方案数，再算、同天的方案数，用总方案数减、同天的方案数，最终得出结果. 【详解】5个景点分到3天，每天至多2个景点，因此分组只能是2，2，1， 所以，又因为， 所以总方案数， 若A、B安排在同一天：共分组方式， 又因为三个组分配到3天，共种排列， 因此A、B同天的方案数， 所以，即不同的安排方案种数为72. 4．（2026·河南濮阳·二模）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B，C满足：，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 所以异号，又因为，所以为钝角， 由， 因为为钝角， 所以. 5．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】因为是首项的等差数列，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且， 当时：，则，所以， 当时：，则，所以， 综上，， 即公差的取值范围是. 6．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以 因为，所以，所以 7．（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】设点、，可得，，利用点差法可求得直线的斜率，根据可得出的值. 【详解】设点、，易知直线的斜率存在，且，， 若直线轴，则线段的垂直平分线为轴，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零， 则，作差得， 故直线的斜率为， 因为，且，所以，解得. 8．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【分析】由条件结合对称性的性质可得，，结合关系可得，由此可得，再求，结合可得结论. 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山东日照·二模）设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据共轭复数的定义可判断A；举反例可判断B；根据虚数单位的性质可判断C；根据复数的除法以及复数模的公式可判断D. 【详解】设复数，则共轭复数， 对于A：若，则虚部， 此时，，故，A正确； 对于B：取，则，但，B错误； 对于C：由得，复数范围内解得，C正确； 对于D：对，化简得，故，D错误. 10．（2026·广东揭阳·二模）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到平面的距离为2 C．直线与所成角的正切值是2 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角可判断A；用点到平面距离可判断B；利用空间向量求线线角即可判断C；画出平面的完整图形并计算可判断D. 【详解】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为x轴，为y轴，为z轴. ，，，，， 对于A，平面的法向量为,直线的方向向量为, 设直线与平面所成角，则,故A正确. 对于B，,设面的法向量为, ，,令得, 距离，故B正确. 对于C，，，设直线与所成角为，则 所以，，故C不正确； 对于D，因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰， 所以面积,故D正确. 故选：ABD. 11．（2026·福建漳州·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为27 C．的最大值为6 D．若，则的最小值为6 【答案】ABD 【分析】利用“1”的代换，完全平方公式，函数导数，三角代换法逐项分析即可. 【详解】对于A，由，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以 ， 令，则， 设， 所以 ， 由，所以，令，解得：， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当即时，的最小值为27，故B正确； 对于C，因为， 所以， 令， 则， 因为，所以， 当时取等号，此时由，得出， 因为，所以条件不满足，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 因为，所以 ， 当且仅当即等号成立，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·浙江台州·二模）已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 【答案】/ 【详解】由题设可取， 又，， ， 故. 13．（2026·安徽淮南·二模）已知函数在区间上单调递减，且函数图象关于中心对称，则________. 【答案】 【分析】先利用正弦型函数的单调性，求得，得到，再由的对称性，求得，进而得到的值. 【详解】由函数，令 解得， 所以函数的单调递减区间为 因为在区间上单调递减，所以，且， 解得， 因为，当时，；当时，，无解（舍去）， 又由函数图象关于中心对称， 可得，可得，解得， 所以满足且，所以当时，. 14．（2026·河南濮阳·二模）已知双曲线的离心率为的一条渐近线与圆交于两点，则__________． 【答案】 【详解】由双曲线的离心率， 得，即. 由，代入得，化简得，即. 双曲线的渐近线方程为，整理为和. 圆心为，半径，分别计算圆心到两条渐近线的距离： ①到的距离. ②到的距离，直线和圆无交点. 因此只能取渐近线， 由弦长公式 得，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得. 【详解】（1），且 因此，是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）：，因此 令 两式相减得： 所以，. 16．（2026·湖南·二模）为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响． (1)求问题1回答正确的概率； (2)记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P ，. 【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）解：设“甲抢到问题1”为事件A，“乙抢到问题1”为事件B，“丙抢到问题1”为事件C，“问题1被回答正确”为事件D，由题意知： ， 由全概率公式得： . （2）由题意知：X的可能取值为0,1,2,3， 则有， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则. 17．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）如图，在直三棱柱中，，，，P为棱上的动点，点Q为的中点. (1)若， （i）证明：平面； （ii）求直线与直线的所成角的余弦值； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2)2 【分析】（1）（i）可利用中位线找平行关系，利用线面平行的判定定理证明即可；（ii）通过建立空间直角坐标系，再利用向量夹角公式计算即可； （2）设出P点坐标，分别求出两个平面的法向量，再利用法向量夹角公式建立方程求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以P为的中点， 连接，因为Q为的中点，所以，且Q为的中点， 所以为的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （ii）取的中点O，的中点E，连接，， 因为三棱柱为直棱柱，且的中点为，的中点E， 所以平面，又因为，且的中点为，所以， 所以，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，， 所以，则，，，， 所以，， 所以， 故直线与直线的所成角的余弦值为. （2）在（ii）的坐标系下，设（）， 又，则， 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，， 所以， 易知为平面的一个法向量， 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以. 18．（2026·浙江台州·二模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°. 【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得； （2）（i）设过点P的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可得；（ii）利用相切关系求得，结合（2）所得，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得，即可得. 【详解】（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为. （2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立， 消去y并整理得， 由，即，解得，. 所以切线方程分别为，. （ⅱ）设且，则且，联立， 所以，则， 由相切关系知，则， 所以，则， 由，则， 所以，则，得， 所以，即， 由，联立直线得，则， 由，联立直线得，，则， 因为，，， 所以，即， 故为定值，且定值为90°. 19．（2026·广东东莞·二模）设a为非负实数，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值. 【答案】(1)减区间为，增区间为； (2). 【分析】（1）对函数求导并结合余弦函数单调性解不等式即可求得单调区间； （2）根据不等式恒成立构造函数，结合（1）中单调性对参数进行分类讨论求出可求得结论. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，，令，得， 令，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由恒成立，可得， 令，则 因为， 当时，由（1）知，在上单调递增，在单调递减， 故此时， 所以的最小值为； 当时，， 当时，易得为减函数， 又时，， 由零点存在性定理得，存在，使得， 在上单调递增，在单调递减， 故此时， 此时， 综上可知当时，的最小值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $