广东河源市紫金县敬梓中学等校2026年春季学期期中阶段测评 八年级 数学 试卷

226年春季学期期中阶段测评 八年级数学试卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 学校： 姓名： 班级： 评分： 一、单选题（每小题3分，共30分） 1.如所示图形中，既是轴对称图形但又是中心对称图形的是( 2.下列命题的逆命题是假命题的是() A.全等三角形的对应角相等 B.等腰三角形的两底角相等 C.三个角都相等的三角形是等边三角形 D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 3.如图①是小明设计的一款凳子，其侧面示意图如图②所示，点B.刀，`，F在同一条直 线上，且BD=EC,AC=FD,AC∥FD,若∠A=30°，∠ACE=75°，则∠E的度数为() D 图① 图② A.30° B.45° C.55° D.65° 4.如图，已知∠AOB.小明按如下步骤作图： (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D,交OB于点E. (2)分别以D,.E为圆心，大于号DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C, 画射线OC.根据上述作图过程，下列结论错误的是（) A.OD=OE B.线段DE垂直平分线段OC C.点D和点E关于射线OC对称 D.∠AOB=2∠AOC 试卷第1页，共6页 5.如图，△EB≌△DC,4E⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,∠B=30°，则∠D 等于() A E A.60° B.15 C.45 D.30° [-x-1<0 6.关于x的不等式组 x-2≤0’ 其解集在数轴上表示正确的是（) B. c01 D. =2101五3→ 7.如图，在VABC中，∠A=60°，△ABC的两条角平分线BE和CD相交于点P,连接4P, 下列结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC;③点P到边AB,AC,BC的距离相等： ④BD+CE=BC;错误的结论个数是() D E B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.如图，在VABC中，AD L BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,若∠DAE=12°， ∠B=45°，则∠C的度数为() A.66 B.67 C.68 D.69 9.如图所示，AE是VABC的角平分线，AD⊥BC于点D,若∠BAC=120°，∠C=40°， 则∠DAE的度数是() ED 试卷第2页，共6页 A.20° B.25° C.10° D.15° 10.己知一次函数=x与y2=x+b的图像如图所示，卜列结论错误的是（) y,= y=ax+b A.abk<0 B,关于x的方程=ax+b的解是x=2 C.当x>2时，4>y2 D.若(3，m)和(4，n)在y2=ax+b的图象上，则m<n 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若a>b,则-4a_-4b, 12.在平面直角坐标系中，点A坐标为(-5.-3)，则点A关于原点中心对称的坐标是 13,一次函数y=a+b与y2=x+a的图象如图所示，.当x>3时， .（填>” 或“<”) 2=x十a 'y=+b 14.如图，在VABC中，∠B=72,∠C=36°，分别以点A和点C为圆心，大于4C的长 为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M、N,连接MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD 的度数为。 试卷第3页，共6页 M 15.如图，VABC是等边三角形，BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上，且CE=2, ∠E=30°，则AB的长为 A 三、解答题（每小题7分，共21分） 16.解不等式组 [2x-123(x-2）并在数轴上表示它的解集 -2x<4 4-32点0123456节 17.如图，在平面直角坐标系中，A(3,4),B(4,2),G(1,1). A -3 2 5-4-3-2-g0 2345 -4 -5 (I)画出VABC关于y轴的对称图形△AB,C: (2)画出△AB,C,沿y轴向下平移4个单位长度后得到的△A,B,C2, 计类第而扯6而 37 18.围棋起源十中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国 象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂、某学校为活跃 学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2 副象棋和3副围棋共需165元. (I)求每副象棋和围棋的价格： (2)若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副 围棋？ 四、解答题（每小题9分，共27分) 19.如图，在直角VABC中，∠C=90°. B (I)尺规作图：作∠B的平分线，交AC于点D,在AB上截取BE=BC,连接DE(只保留 作图痕迹，不写作法)： ②准(1)的条件下，若A=30,CD号，求4C的长。 20.学校开展大课间活动，需要购买A、B两种跳绳.已知购进10根A跳绳和5根B种跳绳 共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元. (1)购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？ (2)若班级计划购买小B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，那么 哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 21.如图，在等边三角形ABC中，AD L BC于点D,以AD为一边向右作等边三角形ADE, DE与AC交于点F. B D (1)试判断DF与EF的数量关系，并给出证明. 试卷第5而.共6页 (2)若CF的长为4cm,试求等边三角形ABC的边长. 五、解答题(22题13分、23题14分，共27分) 22.综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的 等腰三角形组成的图形叫手拉手模型. (I)如图1，已知VABC和VADE都是等边三角形，连接BE,CD.求证：BE=CD: B 图1 图2 图3 【模型应用】 (2)如图2，已知VABC和VADE都是等边三角形，将VADE绕点A旋转一定的角度.当 点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD=BE: 【类比探究】 (3)如图3，已知VABC和VADE都是等边三角形.当点D在射线BC上时，过点E作 EF LAB于点F.直接写出线段AB,B以与BD之间存在的数量关系， 23.(1)如图1，△ABC中，∠ACB-90°，CA=CB,点D在CA上，点E在CB上，且CD=(E, 则易证得AD与BE的数量关系是 (2)如图2，若把△DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD、BE,判断AD与BE是否 相等？若相等请证明；若不相等，说明理由 (3)如图3，若把△ACB和△CDE都改为一般的等腰三角形，且∠ACB=∠DCE,则AD=BE 还成立吗？若成立，请给出证明过程：若不成立，请说明理由： 试卷笙6而.北6而 参考答案 题号 2 3 4 5 7 9 10 答案 C A A A A D D 1.C 【难度】0.85 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着 一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕 着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称 图形是解题的关键 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形故本选项不合题意： B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意： C、既是轴对称图形，又是中心对称图形.故本选项符合题意 D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 2.A 【难度】0.65 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和 判定 【分析】本题考查逆命题的真假判断，全等三角形，等腰三角形，等边三角形，垂直平分 线的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键.需要写出每个命题的逆命题，并根据 相关知识判断其真假· 【详解】解：选项A的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，但对应角相等的三角形不 一定全等（可能相似），.A选项逆命题是假命题· 选项B的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，这是真命题（等角对等边） 选项C的逆命题是等边三角形的三个角都相等，这是真命题（等边三角形性质） 选项D的逆命题是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，这是真命题（垂直平 分线判定定理) 故选：A 3.B 【难度】0.75 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的 外角的定义及性质 【分析】先根据三角形外角的性质得出∠B=45°，再根据“SAS”证明△ABC≌△FED,最 后根据全等三角形对应角相等，得出∠E=∠B=45° 【详解】解：∠4=30°，∠4CE=75°， .∴.∠B=∠4CE-∠.4=45° .·BD=EC .BD+DC=EC+DC. 即BC=DE, 4C∥FD .∠.ACB=∠EDF, .AC=FD △.ABC≌△FED(SAS) .∠E=∠B=45° 4.B 【难度】0.65 【知识点】作角平分线（尺规作图）、线段垂直平分线的判定、全等的性质和SS$综合(SS S)、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了尺规作图一作角平分线、垂直平分线、轴对称、全等三角形的判 定与性质等知识，熟练掌握角平分线的作法是解题关键.根据作图可知OD=OE,即可判 断选项A;由作图可知OD=OE,CD=CE,易知OC垂直平分线线段DE,即可判断选项 B;结合垂直平分线的性质可知点D和点E关于射线OC对称，即可判断选项C,证明 VOCD≌VOCE,易得∠.4OC=∠BOC,即可判断选项D 【详解】解：由题目中描述可知，OD=OE,故选项A正确，不符合题意： 如下图，连接DE,CD,CE 由作图可知，OD=OE,CD=CE, .点O、C在线段DE的垂直平分线上， ∴.OC垂直平分线线段DE,故选项B错误，符合题意； :OC垂直平分线线段DE, ∴.点D和点E关于射线OC对称，故选项C正确，不符合题意； 作图可知，OD=OE,CD=CE, 又OC=0C. .VOCD≌VOCE(SSS) .∠AOC=∠BOC .∠.OB=2∠4OC,故选项D正确，不符合题意· 故选：B 5.A 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并 准确识图判断出对应角是解题的关键 依据直角三角形两锐角互余，即可得到∠4的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即 可得到结论 【详解】解：1E⊥BC、∠B=30° ∴.RIV.ABE中，∠A=60°， 又a.1EB≌△DFC, .∠D=∠1=60°， 故选：A. 6.A 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大 大小小无解”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案， -r-1<0 x- -s0 【详解】解：〔 2 解不等式-r-1<0, 移项得-r<1, 系数化为1得x>-1: r-2 ≤0 解不等式2 去分母得r-2s0, 移项得r≤2， ∴原不等式组的解集为-1<x≤2， 数轴表示如下所示： 210十33→ 7.A 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理可判断⊙；过点P作PF⊥4B于点F, PG⊥HC于点G,PH⊥BC于点H,在BC上截取BM=BD,连接PM,根据角平分线 的性质可判断②；根据角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定和性质可判断 ⑨. 【详解】解：①Q∠B.C=60°， ∠.1Bc+∠HcB=1S0°-∠B.C=120° QBP平分∠.ABC,CP平分∠.4CB ∠Pac-ac∠PcB-∠acB ∠PBc-∠PcB=∠HBC-∠HCB=60 ∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB=120° ·故⊙不符合题意： 过点P作PF⊥AB于点F,PG⊥4C于点G,PH⊥BC于点H,在BC上截 取BM=BD,连接PM,如图所示： @QBP平分∠4BC,PF⊥4B,PH⊥BC, PF PH 同理可得PH=PG, .PF=PG QPF⊥AB,PG⊥AC, 4P平分∠B4C, :故②不符合题意； O由@知：PF=PG=PH, ·故③不符合题意： ④在ABDP和VB.MP中， BD=BM ∠DBP=∠MBP BP=BP ∴.ABDP≌A BMP(SAS) .PD=PM,∠BDP=∠BMP, ∠FDP=∠PH, QPF⊥AB,PG⊥.4C, ∠AFP=∠AGP=90°. ∠FPG=180°-∠B.AC=120°， Q∠BPC=120°，∠DPE=∠BPC, ∠DPE=∠FPG, .∠DPF=∠EPG, 在VDPF和aEPG中， I∠DPF=∠EPG PF=PG IDFP=∠EGP ∴.△DPF≌△EPG(ASA) PD=PE,∠FDP=∠GEP .PM=PE,∠Pc=∠PEG, 在△PMC和VPEC中， (∠PIC=∠PEC PCM=∠PCE PC=PC ∴.△PMC≌△PEC(AAS) .CM=CE .BC BAM +CM BD+CE .故④不符合题意 综上所述，错误的有0个， 故选：A. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，添 加合适的辅助线是解题的关键. 8.D 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、角平分线 的有关计算 【分析】根据垂直，可得∠4DB,进而可求∠BD,∠B.4E,再根据角平分线，可得 ∠B4C,最后根据三角形内角和，计算即可求解 【详解】解：Q4D⊥BC, ∠4DB=90° Q∠B=450 .∠B.4D=90°-∠B=45°， Q∠D.HE=I2°， ∠B.E=∠B4D-∠D.HE=45°-12°=33°， QAE平分∠B.4C, .∠BAC=2∠B.1E=66° .∠C=180°-∠B-∠B.4C=180°-45°-66°=69° 9.C 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、与三角形 的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形角平分线，高线性质，直角三角形性质，解题的关键在于熟练 掌握相关知识 根据角平分线性质得到∠BE=∠CAE=60°，结合高线和直角三角形性质推出 ∠DAE=∠C.E-∠CAD,即可解题 【详解】解：QdE是ViBC的角平分线，∠B.4C=120°， .∠B.4E=∠C4E=60° QAD⊥BC于点D,∠C=40°， .∠D4C=90°-∠C=50° .∠D.AE=∠CAE-∠C.4D=60°-50°=10°； 故选：C. 10.D 【难度】0.65 【知识点】比较一次函数值的大小、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知函数经过 的象限求参数范围、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，两直线交点求对应方程的解，掌握一次函数图 象的性质，两直线交点的含义是关键.根据函数图象经过的象限可判定bk的符号，根 据两直线的交点可得对应方程的解，根据函数图象的平移可得图象经过的象限，由此即可 求解 【详解】解：根据图示可得，一次函数上=经过第一、三象限， ∴.k>0 一次函数八=r+b图象经过点第一、二、四象限， a<0.b>0 ∴abk<0,故A选项正确，不符合题意 两直线的交点的横坐标为r=2, ∴关于r的方程kr=ar+b的解是x=2,故B选项正确，不符合题意； 根据函数图象，当x>2时，>，故C选项正确，不符合题意； :a<0,(3m)和(4.)在八=ar+b的图象上， ∴少随r的增大而减小， .m>”,故D选项错误，符合题意； 故选：D 11.< 【难度】0.75 【知识点】不等式的性质 【分析】不等式的性质：①不等号的两边同时加上（减去）同一个数或式子，不等号的方 向不变；②不等号的两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；③不等号的 两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质进行判断即 可. 【详解】解：a>b, ∴.-40<-4b 12.(5.3) 【难度】0.94 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的特征，直接利用关于原点对称点的横、纵坐标 均互为相反数得出答案 【详解】解：点（5-3)于原点中心对称的坐标是5,3)， 故答案为：(6.3) 13.< 【难度】0.94 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，根据函数图象，结合两直线的交 点横坐标进行解答即可 【详解】解：由图可知当r>3时，一次函数=+b的图象位于八=r+的图象下方， .当x>3时，<5， 故答案为：<. 14.36°36度 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟 练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.分别求出∠B4C,∠DAC的大小，可得结 论 【详解】解：∠B=72°，∠C=36°， .∠B.1C=180°-∠B-∠C=72° 由作图可知N'垂直平分线段4C, ∴.4D=CD ∴.∠D4C=∠C=36° ∴.∠B.4D=∠B.4C-∠D4C=72°-36=36°. 故答案为：36°. 15.4 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三 角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键， 先利用三线合一定理得到∠BDC=90°.∠CBD=30°，则可证明BC=2CD,再证明VCDE 是等腰三角形即可解答 【详解】解：V1BC是等边三角形， .∠.HBC=∠.1CB=60°.B.1=BC, :BD平分∠ABC, ∴.∠DBC=∠E=30°，BD⊥4C, .∴.∠BDC=90° ∴.BC=2CD .∠.HCB=∠E+∠CDE ∴.∠CDE=∠E=30° .CD=CE=2 ∴.BC=2CD=4,即AB=4. 故答案为：4. 16.-2<r≤5，数轴表示见解析 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，正确掌握解题步骤是解题关键， 分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案； 2r-123(x-2)① 【详解】 -2x<4① 解：解不等式①得：x≤5， 解不等式②得：x>-2, 在同一数轴上表示不等式⊙②的解集如图所示： 4-32-01234567分 ∴.原不等式组的解集是-2<x≤5 17.(1)画图见解析 (2)画图见解析 【难度】0.85 【知识点】平移（作图）、画轴对称图形 【分析】（1)根据轴对称的性质作图即可； （2)根据平移的性质作图即可； 本题考查了作轴对称图形，平移作图，掌握轴对称和平移的性质是解题的关键 【详解】(1)解：如图所示，△4B,C即为所求； A B 5-4-3-}- 12345 5 (2)如图所示，△4BC:即为所求 18.(1)每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元 (2)最多能购买40副围棋 【难度】0.85 【知识点】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1)设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为'元，根据题意列出二元一次 方程组，即可求解 (2)设购买m副围棋，则购买(100-”)副象棋，根据题意列出一元一次不等式，解不等 式即可求解. 【详解】(1)解：设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为r元. f3x+=125 依题意得2r+3r=165 r=30 解得'=35 答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元· (2)设购买副围棋.则购买(100-m)副象棋 依题意得：30(100-m)+35m≤3200 解得m≤40 答：最多能购买40副围棋 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程 组与不等式是解题的关键 19.(1)见解析 (2)2 【难度】0.65 【知识点】作角平分线（尺规作图）、含30度角的直角三角形、作线段（尺规作图）、等腰三角 形的性质和判定 【分析】本题考查作角平分线，作线段，涉及含30°的直角三角形的性质，等角对等边 等，熟练掌握相关知识是解题的关键， (1)根据尺规作一个角的平分线，作线段的方法，进行作图即可； (2)求出∠.ABC=90°-∠.1=60°，再由BD是∠B的平分线，可得 ∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，继而得8 BD=2CD=4 3,∠.4=∠4BD=30°，即可解答. 【详解】（(1)解：作图如图所示： (2)∠C=90°，∠.1=30° ∠.4BC=90°-∠4=60°， BD是∠B的平分线， CD=2 3 ,∠，HBD=∠CBD=∠，HBC=30 、BD=2CD:3 ∠.1=∠HBD=30°， D=BD=4 3 ∴AC=AD+CD=2 20.(1)购进一根.1种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元 (2)购买25根1种跳绳，20根B种跳绳总费用最少，最少费用是550元 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）、其他问题（一次函数的实际应用）、一 元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应 用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键· (1)设购进一根1种跳绳需r元，购进一根8种跳绳需y元.根据“购进10根1跳绳和5根 B种跳绳共需175元；购进15根1种跳绳和10根B种跳绳共需300元”列出二元一次方程，解 方程即可得出答案； (2)设购买1种跳绳川根，则购买B种跳绳(45-m）根，根据“所花费用不少于548元且不 多于560元”列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出的值，设购买跳绳所需总费用 为"元，则v=-5训+675，再根据一次函数的性质即可得出答案 【详解】（1)解：设购进一根4种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需元. 10x+51=175 根据题意，得15.r+10=300 [r=10 解得=15 答：购进一根4种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元. (2)解：Q该班级计划购买.1，B两种跳绳共45根，设购买1种跳绳根， ·购买8种跳绳(45-m)根 10m÷15(45-m)≤560 根据题意，得10m-15(45-m)≥548 解得23≤m≤25.4 又Q"为整数， m可以取23,24,25 共有3种购买方案 方案1：购买23根1种跳绳，22根B种跳绳； 方案2：购买24根.1种跳绳，21根B种跳绳； 方案3：购买25根.4种跳绳，20根B种跳绳 设购买跳绳所需总费用为r元，则1v=10m+15(45-m)=-5m+675 Q-5<0」 随的增大而减小， 当m=25时，r取得最小值.最小值为-5×25+675=550（元） 答：购买25根4种跳绳，20根B种跳绳总费用最少，最少费用是550元· 21.(I)DF=EF,证明见解析 (2)16cm 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角 所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 (I)根据等边三角形可得∠B.4C=∠D.4E=60°，推出BD=Dc,∠B.4D=∠D.4C,得到 ∠DAC=∠CHE,即可得证 (2)求出∠CDF,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可. 【详解】(I)解：(1)DF=EF,证明如下： VHBC和VADE均是等边三角形 ∴∠B.4C=∠D.AE=60°，AD=4E AD⊥BC, ∴.BD=DC ∠B4D=ZD1C-x60=30 .∠C.4E=60°-30°=30° .∠DHC=∠CHE,即AF平分∠D1E, 又4D=4E, ∴.DF=EF; (2)解：由(I)得，AD=AE,AF平分∠D.HE, ∴F⊥DE, .∴.∠CFD=90° :∠FCD=60° ∴.∠CDF=90°-60°=30°， .CF 4cm, .DC=2CF =8cm, .BC =2DC =16cm, 即等边三角形ABC的边长为16cm. 22.(1)见解析(2)见解析(3)2BF=4B-BD 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质， 熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键， (I)由等边三角形的性质可得4B=4C,D=4E,∠B.4C=∠D4E=60°，从而得出 ∠CHD=∠B.E,再证明VCHD≌VBE(SAS),即可得证： (2)由等边三角形的性质可得4B=4C,4D=AE,∠B.1C=∠DHE=60°，从而得出 ∠C.D=∠B.E,再证明VCD≌VB.E(SAS),得出BE=CD,即可得证； (3)由等边三角形的性质可得B=4C,D=4E,∠BC=∠DE=60°，从而得出 ∠CD=∠B.E,再证明VCD≌VB.E(SAS),得出BE=CD,∠.HBE=∠4CD=60°，再由 CD=BC-BD=4B-BD,得出BE=AB-BD,求出∠BEF=30°，由直角三角形的性质 可得BE=2BF,即可得解. 【详解】(I)证明：VABC和VDE都是等边三角形 .AB=AC,AD=AE,∠BC=∠DE=60°， ∴∠B.C+∠BAD=∠DAE+∠BAD,即∠CAD=∠BE, 在VC.AD和VBE中， [HC=AB I∠C.AD=∠B.AE 4D=.4E .VCHD≌VB.HE(SAS) ∴.CD=BE; (2)证明：V1BC和V.4DE都是等边三角形， AB=AC=BC,4D=4E,∠BC=∠DE=60°， ∴.∠B.AC+∠B.AD=∠DAE+∠B.HD,即∠CHD=∠BE, 在VC4D和VB.4E中， [AC=.4B ∠CAD=∠BHE AD=AE ..VC.ID:VB.HE (SAS) ∴CD=BE .AB+BD=BC-BD=CD=BE; (3):VABC和VADE都是等边三角形 ∴AB=4C=BC,AD=AE,∠B.AC=∠DE=60°， ∴∠B.4C-∠B.4D=∠D4E-∠B.4D,即∠CAD=∠B.4E, 在VC.AD和VB,4E中， [AC=.AB ∠CAD=∠B.AE AD=AE .VC.HD≌VB.HE(SAS) ∴.CD=BE,∠.ABE=∠4CD=60°、 .·CD=BC-BD=.AB-BD ∴BE=AB-BD, EF⊥AB, ∴.∠BEF=90°-∠ABE=30°， ∴.BE=2BF, .2BF =AB-BD. 23,（1)AD=BE;(2)AD=BE,见解析；(3)AD=BE还成立，见解析 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、其他问题（旋转综合题） 【分析】(I)根据CA=CB,CD=CE,即可得出结果； (2)根据题意证明AMCD≌△BCE,即可得出结果； (3)证明AACD≌△BCE即可 【详解】解：(I)CA=CB,CD=CE, ∴.CH-CD=CB-CE, 即AD=BE; (2)AD=BE .∠ACB=LDCE=90° ∠ACD=∠ACB-∠DCB, LBCE=LDCE-∠DCB, ∴.∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中， CA=CB,LACD=LBCE,CD=CE. ∴.△ACD≌△BCE, ∴.AD=BE: (3)AD=BE还成立· LACB=LDCE LACD-∠ACB-∠DCB. ∠BCE=∠DCE-∠DCB, ∴.∠ACD=LBCE 在△ACD和△BCE中 CA=CB,LACD=LBCE,CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE. ..AD=BE. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握全等三角 形的判定与性质是解本题的关键，