精品解析：广东省河源市紫金县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

机密★启用前 2024—2025学年度第二学期期中综合测评 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的形状为（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 2. 等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 10 D. 12或15 【答案】B 【解析】 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6 此时，不满足三角形的三边关系定理 （2）当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6 此时，满足三角形的三边关系定理 则其周长为 综上，该三角形的周长为15 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 3. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质逐项分析判定即可． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴，，即平分， ∴， 故选项A、C、D正确，不符合题意， 而已知条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 故选：B． 4. 下面四个图标中，中心对称图形个数是（ ） A. 0 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第1个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和第四个图形不是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称的定义，掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这个图形就叫做中心对称图形是解答本题的关键． 5. 不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：3x＋1＜2x 解得： 在数轴上表示其解集如下： 故选B 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“小于向左拐”是解本题的关键． 6. 小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（　　） A. 5×2+2x≥30 B. 5×2+2x≤30 C. 2×2+2x≥30 D. 2×2+5x≤30 【答案】D 【解析】 【分析】设小明还能买x支签字笔，则小明购物的总数为元，再列不等式即可. 【详解】解：设小明还能买x支签字笔， 则： 故选： 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，确定购物的总金额不大于所带钱的数额这个不等关系是解题的关键. 7. 已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质分别判断即可． 【详解】解：∵a＞b，则 ①当a=0时，，故错误； ②当a＜0，b＜0时，，故错误； ③若，则，即，故错误； ④若，则，则，故正确； 故选A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边发生变化时，不等号的变化． 8. 在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等边对等角，先由角平分线的定义得，再由，得出进行角的等量代换以及等角对等边，则，，即可作答． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，， ∴， 故选：D． 9. 如图，在△ABC中，∠CAB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，则∠EAB的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 28° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得∠EAC=60°，∠EAB=∠CAB-∠EAC，即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC的绕点A顺时针旋转60°得到△ADE， ∴∠EAC=60°， ∵∠CAB=90°， ∴∠EAB=90°-60°=30°． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．一个机器人（看成点）从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；机器人照此规律跳下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性以及找出点的循环数是解题的关键．根据中心对称的性质可得，，，，，坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：点，，的坐标分别为，，， 又与点关于点成中心对称， 点坐标为， 与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 个点一循环， ， 点的坐标为， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作PE⊥OA,再根据角平分线的性质得出PE=PD即可得出答案． 【详解】过P作PE⊥OA于点E， ∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB， ∴PE＝PD， ∵PD＝2， ∴PE＝2， ∴点P到边OA的距离是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查角平分线的性质,关键在于牢记角平分线的性质并灵活运用． 12. 如图，在中，，，于点，则=___________° 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等、直角三角形两锐角互余是解题的关键． 先根据等腰三角形性质求出底角的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则关于的不等式的解集是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据增减性判断出，再根据不等式的解集即为一次函数图象在x轴上方的自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，且随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知一次函数图象的性质是解题的关键． 14. 如图，在中，，边上有一动点P，将绕点C逆时针旋转得，点P的对应点为，连接，则长的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据题意得出是等腰直角三角形，可得到当长最小时的长度最小，然后根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，作于点H， ∵将绕点C逆时针旋转得，点P的对应点为， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当长最小时的长度最小， ∴当时，即H点与P点重合时，长最小，即的长度最小， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形旋转变换，全等三角形的性质，垂线段最短以及勾股定理等知识，解题的关键是根据题意得到时的长度最小． 15. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出进而发现规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 故答案是：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点O成中心对称的； （2）在x轴上找一点P，使得的值最小，并写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图， 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称变换、最短路径等知识，熟练掌握中心对称的性质、轴对称的性质是解题关键． （1）首先根据中心对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）首先确定点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可确定点P位置，并确定其坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求， 点P的坐标为． 18. 如图，已知，，垂足分别为N、M，，与相交于点P，连接．求证：点P在的平分线上． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴平分，即点P在的平分线上． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出，再由角平分线的判定定理即可证明． 【详解】略 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握这两个定理是解题关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若的周长为cm，cm，求的周长． 【答案】（1） （2）cm 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论即可． （1）根据题意可得，；结合得，推出，即可求解； （2）由题意得，推出cm；根据可得的周长，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）∵是的垂直平分线，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为cm，cm， ∴， ∴cm， ∵， ∴的周长（cm）． 20. 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，且与的图象交于点． （1）求，的值； （2）若，则的取值范围是__________； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可； （2）利用图象法解不等式即可； （3）连接，利用分割法求面积即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：点在的图象上， ∴， ∴； ∴， ∵，在直线上， ∴， ∴； 【小问2详解】 由图象，得：当，直线在直线的上方， ∴时，； 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，当时，， ∴， ∵，当时，， ∴， 连接， 则：四边形的面积． 21. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． （1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ （2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 【答案】（1）每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； （2）至少要购进A型早餐机5台． 【解析】 【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得： ， 解得：， 答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； 【小问2详解】 解：设购进A型早餐机n台，依题意得： 80n+120（20﹣n）≤2200， 解得：n≥5， 答：至少要购进A型早餐机5台． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键的是理解题意找出等量关系列出方程，以及根据条件列出不等式求解． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点． （1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论． 【答案】（1）△DEF是等边三角形， 证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA． 又∵AD＝BE＝CF， ∴DB＝EC＝FA． ∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴DF＝ED＝FE． ∴△DEF是等边三角形． （2）AD＝BE＝CF成立．证明如下：如图， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°． ∴∠1＋∠2＝120°． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠2＋∠3＝120°， ∴∠1＝∠3. 同理∠3＝∠4， ∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS）， ∴AD＝BE＝CF． 【解析】 【分析】（1）由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF＝DE＝EF，即△DEF是等边三角形； （2）先证明∠1＋∠2＝120°，∠2＋∠3＝120°．可得∠1＝∠3，同理∠3＝∠4.则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD＝BE＝CF． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，． （1）点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________； （2）在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积12 （2）存在，的坐标为或 （3） ，理由如下： 过点作交轴于，如图所示： ∴ ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）； （2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标； （3）当点P在线段BD上，作交轴于，根据平行线的性质由得，再根据平行线的性质，，从而得到结论． 【小问1详解】 解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ； 【小问2详解】 解：存在．理由如下： 设点的坐标为， ∵的面积是的面积的2倍， ∴，解得或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系，也考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2024—2025学年度第二学期期中综合测评 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的形状为（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 2. 等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 10 D. 12或15 3. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 4. 下面四个图标中，中心对称图形个数是（ ） A. 0 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（　　） A. 5×2+2x≥30 B. 5×2+2x≤30 C. 2×2+2x≥30 D. 2×2+5x≤30 7. 已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，在△ABC中，∠CAB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，则∠EAB的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 28° D. 30° 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．一个机器人（看成点）从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；机器人照此规律跳下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是_____． 12. 如图，在中，，，于点，则=___________° 13. 一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则关于的不等式的解集是__________________． 14. 如图，在中，，边上有一动点P，将绕点C逆时针旋转得，点P的对应点为，连接，则长的最小值为_________． 15. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组： 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点O成中心对称的； （2）在x轴上找一点P，使得的值最小，并写出点P的坐标． 18. 如图，已知，，垂足分别为N、M，，与相交于点P，连接．求证：点P在的平分线上． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若的周长为cm，cm，求的周长． 20. 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，且与的图象交于点． （1）求，的值； （2）若，则的取值范围是__________； （3）求四边形的面积． 21. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． （1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ （2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点． （1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，． （1）点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________； （2）在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $