椭圆的十大定义课件-2026届高三数学一轮复习

椭 圆的十大定义 第一定义 ★定义1.标准定义 椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集 P={MMF+|M=2a},于是，假设焦点F,的坐标分别为(-c,0),(c,0),点P(x, y),那么：√(x+c2+y+√(x-c)+y=2a①将①式左端的一个根号移到右端，再两 边平方整理可得： a2-cx=aW(x-c2+y② 对②式继续平方，再整理可得： (a2-c2)x2+a22=a2(a2-c2)③ 由定义可知：a>c,令6=a2-c,那么可得椭圆标准方程三+兰=1a>b>0④. Q 6 这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在x轴上椭圆标准方程④. 第二定义 ★定义2.椭圆的第二定义 继续定位到②式，a2-cx=a√(x-c2+y -c+= a-x a ⑥式表明椭圆上的点P到右焦点乃的距离与到直线x= 的距离之比是离心率e. 第三定义 ★定义3.椭圆第三定义 由④式，+ =1s+ae-a 赋表知酮 62 x+a x-a 上的点P到左右两顶点的斜率之积为一个定值 实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设A,B是椭圆上任意两点且 关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点P(不与A,B重合)到A,B点的斜率之积为一 个定值 证明：设A,B的坐标分别为(xo,y0),(-x,-0),P(x,y),则由于三点均在椭圆上，故满 足：+=1+=1即+装=+必= 62- b2x-xo x+xo e 定义4 ★定义4.如图，圆(c+1)2+=16的圆心为B,点A(1,0),点C为圆上任意一点，求线段AC的垂 直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程. 解析：连接PA,如下图：由题意可知，B(-1,0),圆的半径r=|BC=4,且A(1,0), 由垂直平分线定理可知，IPA=|PC,故PB+|PA=|PB+PC=|BC=4>|AB\ 三2，由椭圆定义可可知，P的轨迹为椭圆，设P的轨迹方程为：发+=1(Q>b>0 B 从而2a=4,即a=2,又因为A(1,0)、B(-1,0),所以c=1,又由b2=a2-c2可知，b= 5,从而P的轨迹方程为：号+号-1 ★定义5. 己知动圆P和圆M:(x+1)2 求动圆圆心P的轨迹 y2=1外切，并和圆N:c-1)2+y2=9内切， 解 如图所示，设动圆P的半径为， 则 PM=1+r,PN|=3-r, 所以 |PM|+|PN=4>|MN=2, 即动点P到两定点M,N的距 y 离的和是常数 又根据椭圆的定义，知 动点P的轨迹是以M,N为焦 点的椭圆，左顶点除外， 其中a=2,c=1,则b2=3. 故动点P的轨迹方程为 22 Av? =1(x≠一2). ★定义6.丹德林双球的定义 如下图所示，在圆锥内放入两个球O1,O2,它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相 切)，切点圆分别为⊙C,⊙C2.这两个球都与平面α相切，切点分别为，乃，丹德林 (G.Dandelin)利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆，F,为此椭圆的 两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球， ::士 B D ★定义7.压缩变换 (苏教版)将圆x2+y=4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线 的方程，并说明它是什么曲线： 解析：设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆x2+=4上的对应点的坐标为(x,y). 由题意可得 x=x. y=2y 因为2+P=4,所以x2+42=4,即买+=1.这就是所得曲 线的方程，该曲线是一个椭圆. 16.椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成.运用椭圆与圆 之间的这种关系，你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗？ 定义8.矩形分割 11.如图，矩形ABCD中，| 形四条边的中点，R,S, 证明直线ER与GR'、ES b>0)上. G D A (第11题) 4B=2a,IBC=2b(a>b>0).E,F,G,H分别是矩 T是线段OF的四等分点，R',S',T是线段CF的四等分点 与GS、ET与GT'的交点L.M,V都在椭圆后+芳=1a> 解折：由题得B0,A宁a0,所以k领=力。=兽，所以直线ER的方程为y a 0.由题得G0Ra,豹，所议么》 0-a b,所以直线GR的方程 为y=-品x+6,②，联立方程0②解之得x=普y=钟，所以直线BRGR的交点为 以00)， 64a2 22562 代入椭圆方程得 289 289 =1,所以直线ER,GR的交点L在椭圆上.同理S与 b2 GET与G的交点M,N都在稀图名十Y =1(a>b>0)上. 定义8.矩形分割 2.(苏教版选修第一册P87）把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点 是否在一个椭圆上，为什么？ 解析：设矩形AABB的长AA=a,宽AB=b,以AA的中点O为原点，AA所在的直线 为x轴，AA的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A(-受，0)A受，0)，B(受，)，由于整 个图形关于y轴对称，我们只研究第一象限，设M点是BB上自右到左的第 k(0<k≤n,k∈N）个分点，N点是AB上自上到下的第k(0<k≤n,k∈N)个分点，则 M(号-ab,N(受地）)， 所以AMg=一治(-号)①，ANy=他(e+号)②，①，②式相乘且整理得 =1③，因为点P(x,y)是直线AM与AN的交点，所以点P(x,y)满足方程③ ( 故点P在椭圆上. 定义9.达芬奇椭圆仪 15.(阅读题)猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪 架立在光滑地板上的梯子 抵墙下滑，一只猫坐在梯子的正中间不动.试求在梯子下滑过程中猫的运动 轨迹.在这一生动有趣的叙述后面，我们可见到下面的数学问题： 已知一个直角，一条长度为d的线段的两个端点分别在这个直角的两 边上滑动，求线段中点的轨迹. 这个问题在习题2.1第13题中已经得到解决. 如果这只猫没有坐在梯子的正中间，那么在梯子下滑过程中，它沿怎样 的一条路线运动？下面我们用解析法求猫运动的轨迹. y B M A (2) (第15题) 本期做一个精圆规尺一 以直角的两边所在的直线分别作为x轴和y轴，建立直角坐标系 (图(1)，过点M作MC⊥AO于点C,MD⊥BO于点D.设BM=a, AM=b,M(x,y),A(m,0),B(0,n).根据△BMD△BAO,得 a+b' 即 (a+b)x 同理得 n= (a+b)y b 因为m2+n2=(a+b)2,将上面的m,n代入并化简，得 62 =1. 其中x,y均为正数.因此，这只猫沿着一段椭圆弧运动. 上面的结果与用来作椭圆的“达·芬奇椭圆仪”（图(2）)的工作原理非 常相似.制作椭圆仪的方法如下：用两根木条钉成十字架，木条中间挖一道 槽.在另一活动木条PBA的P处钻一小孔，可以容纳笔尖，A,B是两个 螺钉，可以放松移动以配合AP=a,BP=b的长度.当A,B各在一条槽 内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆.你能解释它的原理吗？尝试用GGB 软件来模拟这一过程. 定义9.达芬奇椭圆仪 15.(阅读题)猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪 架立在光滑地板上的梯子 抵墙下滑，一只猫坐在梯子的正中间不动.试求在梯子下滑过程中猫的运动 轨迹.在这一生动有趣的叙述后面，我们可见到下面的数学问题： 已知一个直角，一条长度为d的线段的两个端点分别在这个直角的两 边上滑动，求线段中点的轨迹 这个问题在习题2.1第13题中已经得到解决。 如果这只猫没有坐在梯子的正中间，那么在梯子下滑过程中，它沿怎样 的一条路线运动？下面我们用解析法求猫运动的轨迹， y B B M A x (1) (2) (第15题) 证明 设P(x,y)，A0,m,Bn,0) (b-aly 由bAP=aBPa>b),得：b(x,y-m)=a(x-,y),则 b n= (a-b)x 在直角△A0B中，OA2+0B2=AB2=(AP-BP，m2+2=(a-b)2, 所以色色=6-，化简，得 +6=1a>b>0) 定义9.达芬奇椭圆仪 (2015年湖北卷理科数学)（苏教版87页）一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中 点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽 AB滑动，且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O 转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在 的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.求曲线C的轨迹方程； 图1 解析：设点D(t,0)(t≤2)，N(a,6,M(x,),依题意，M而=2D,且D=O=1 t-x=2x0-2t →(t-x,-y）=2(x0-t,h) ∫(x-t)2+6=1 x6+6=1 即{y=-20 ,由于当点D不动时， t(t-2xo)=0 图2 点N也不动，所以t不恒等于0，于是t=2,故=票w=-号，代入云+6=1，可得 需+号-1，即所求的曲线C的方程为荒+号-1 定义10折纸 (苏教版81页)准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F,将纸片折起，使圆周 过点F(如图)，然后将纸片展开，就得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这 样继续折下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？ 解析：如图所示：设圆心为点O,圆O的半径为T,设点F关于直线的对称点为M,连接 MO交直线l于点P,连接PF,由对称性可得|FP=PM,所以，lPF+|PO=|PM+ IPO=|OM=(定值)，又因为OF列<|1OM|,由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以F、O 为焦点的椭圆。 十大定义在各教材呈现数量统计与高考考情 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人教 A版 苏教 V V V 版 北师 大版 全国