第05讲 椭圆及其性质（复习课件）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 讲师：xxx 椭圆及其性质 1 01 考情解码·命题预警 智能导览·极速定位 02 体系构建·思维可视 知能解码 知识点1 椭圆的定义 知识点2 椭圆的简单几何性质 题型破译 题型1 椭圆的定义及其应用 题型2 椭圆的标准方程 题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴 题型4 椭圆中的焦点三角形 题型5 离心率 03 核心突破·靶向攻坚 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 题型7 椭圆的实际应用 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程； 2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）； 3.掌握椭圆的简单应用. 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，18题，17分 全国二卷，16题，15分 北京卷，19题，15分 新课标I卷，第16题，15分 新课标Ⅱ卷，第5题，5分 新课标I卷，第5题，5分 全国甲卷（理数），第12题，5分 北京卷，第19题，15分 考情透视·目标导航 4 考情分析 椭圆及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、方程及其性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大； 与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解. 复习目标 1.通过对椭圆定义的探究过程，体会从具体实例中抽象出数学概念的方法，培养观察、分析、归纳和概括的能力.例如，从生活中常见的椭圆形状物体（如鸡蛋、行星轨道模型等）出发，引导学生思考如何用数学语言描述其特征，进而得出椭圆的定义. 2.在推导椭圆标准方程的过程中，学会运用坐标法解决几何问题，提高运用代数方法研究几何问题的能力，体会数形结合思想的应用.如在建立平面直角坐标系后，将椭圆上点满足的几何条件转化为代数方程，通过化简方程得到椭圆的标准方程，在这个过程中深刻理解数与形之间的相互转化. 3.通过对椭圆几何性质的研究，掌握从方程研究曲线性质的一般方法，培养逻辑推理能力。例如，根据椭圆的标准方程，通过分析方程中(x)，(y)的取值范围得出椭圆的范围，从方程的形式判断椭圆的对称性等，逐步建立起从方程到曲线性质的推理逻辑. 考情透视·目标导航 5 02 体系构建·思维可视 知识导图·思维引航 03 核心突破·靶向攻坚 ——知能解码 题型破译 知能解码 知识点1 椭圆的定义 焦点 常数 焦距 题型破译 知能解码 【自主检测】 【详解】 知识点1 椭圆的定义 题型破译 知能解码 知识点2 椭圆的简单几何性质 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 题型破译 知能解码 知识点2 椭圆的简单几何性质 2a 2b x轴和y轴 原点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c 题型破译 知能解码 知识点2 椭圆的简单几何性质 e 0<e<1 a2＝b2＋c2 题型破译 知能解码 知识点2 椭圆的简单几何性质 题型破译 知能解码 【自主检测】 【详解】 知识点2 椭圆的简单几何性质 故选：ACD 03 核心突破·靶向攻坚 ——题型破译 题型破译 知能解码 【例1-1】 题型1 椭圆的定义及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 【例1-2】 题型1 椭圆的定义及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型1 椭圆的定义及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式1-1】 题型1 椭圆的定义及其应用 题型破译 知能解码 题型1 椭圆的定义及其应用 【详解】 故选：ABD 题型破译 知能解码 【变式1-2】 题型1 椭圆的定义及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 【变式1-3】 题型1 椭圆的定义及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 【例2-1】 题型2 椭圆的标准方程 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【例2-2】 题型2 椭圆的标准方程 【详解】 题型破译 知能解码 题型2 椭圆的标准方程 【详解】 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式2-1】 题型2 椭圆的标准方程 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式2-2·变考法】 题型2 椭圆的标准方程 【详解】 题型破译 知能解码 【变式2-3·变载体】 题型2 椭圆的标准方程 【详解】 题型破译 知能解码 题型2 椭圆的标准方程 【详解】 题型破译 知能解码 题型2 椭圆的标准方程 【详解】 题型破译 知能解码 【例3-1】 题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 【例3-2】 题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【例3-3】 题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式3-1】 题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【变式3-2】 题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴 【详解】 故选：AD. 题型破译 知能解码 【例4-1】 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 题型破译 知能解码 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【例4-2】 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 题型破译 知能解码 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 题型破译 知能解码 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 故选：BCD. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式4-1】 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 题型破译 知能解码 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 题型破译 知能解码 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 题型破译 知能解码 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 故选：ACD. 题型破译 知能解码 【变式4-2·变载体】 题型4 椭圆中的焦点三角形 【详解】 题型破译 知能解码 【例5-1】 题型5 离心率 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 【例5-2】 题型5 离心率 【详解】 题型破译 知能解码 题型5 离心率 【详解】 题型破译 知能解码 题型5 离心率 【详解】 故选：ABD. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式5-1】 题型5 离心率 【详解】 题型破译 知能解码 题型5 离心率 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【变式5-2】 题型5 离心率 【详解】 题型破译 知能解码 题型5 离心率 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式5-3】 题型5 离心率 【详解】 题型破译 知能解码 题型5 离心率 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【变式5-4】 题型5 离心率 【详解】 题型破译 知能解码 题型5 离心率 【详解】 题型破译 知能解码 【例6-1】 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 【详解】 故选：BD. 题型破译 知能解码 【例6-2】 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 【详解】 题型破译 知能解码 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 【详解】 故选：BC. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式6-1】 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 【详解】 题型破译 知能解码 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 【详解】 故选：BC. 题型破译 知能解码 【变式6-2】 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 【详解】 题型破译 知能解码 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 【详解】 题型破译 知能解码 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 【详解】 题型破译 知能解码 题型6 与椭圆有关的范围(最值) 【详解】 故选：ABD. 题型破译 知能解码 【例7-1】 题型7 椭圆的实际应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型7 椭圆的实际应用 【详解】 故选：ABD. 题型破译 知能解码 【例7-2】 题型7 椭圆的实际应用 题型破译 知能解码 题型7 椭圆的实际应用 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式7-1】 题型7 椭圆的实际应用 题型破译 知能解码 题型7 椭圆的实际应用 题型破译 知能解码 题型7 椭圆的实际应用 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式7-2】 题型7 椭圆的实际应用 题型破译 知能解码 题型7 椭圆的实际应用 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 【变式7-3】 题型7 椭圆的实际应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型7 椭圆的实际应用 【详解】 04 真题溯源·考向感知 真题溯源·考向感知 【详解】 【1】 故选：A. 86 真题溯源·考向感知 【详解】 【2】 87 真题溯源·考向感知 【详解】 88 真题溯源·考向感知 【3】 89 真题溯源·考向感知 【详解】 90 真题溯源·考向感知 【详解】 91 真题溯源·考向感知 【详解】 92 真题溯源·考向感知 【详解】 93 真题溯源·考向感知 【详解】 【4】 94 真题溯源·考向感知 【详解】 95 真题溯源·考向感知 【详解】 96 真题溯源·考向感知 【详解】 97 真题溯源·考向感知 【详解】 98 真题溯源·考向感知 【详解】 99 真题溯源·考向感知 【详解】 100 真题溯源·考向感知 【详解】 101 真题溯源·考向感知 【详解】 102 真题溯源·考向感知 【详解】 103 真题溯源·考向感知 【详解】 【5】 104 真题溯源·考向感知 【详解】 105 真题溯源·考向感知 【详解】 106 真题溯源·考向感知 【详解】 【6】 107 真题溯源·考向感知 【详解】 108 真题溯源·考向感知 【详解】 109 真题溯源·考向感知 【详解】 110 真题溯源·考向感知 【详解】 【7】 111 真题溯源·考向感知 【详解】 112 真题溯源·考向感知 【详解】 113 真题溯源·考向感知 【详解】 114 真题溯源·考向感知 【详解】 【8】 115 真题溯源·考向感知 【详解】 116 真题溯源·考向感知 【详解】 117 05 课本典例·高考素材 课本典例·高考素材 【详解】 故选：D. 【1】 119 课本典例·高考素材 【详解】 【2】 120 课本典例·高考素材 【详解】 【3】 121 课本典例·高考素材 【详解】 【4】 122 课本典例·高考素材 【详解】 123 课本典例·高考素材 【详解】 【5】 124 课本典例·高考素材 【详解】 【6】 125 课本典例·高考素材 【详解】 【7】 126 讲师：xxx 感谢观看 THANK YOU 127 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. （2025·湖南娄底·二模）已知椭圆C： 上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ． 故答案为：3． 若椭圆的焦点在x轴上，则 ，由得 （舍去）； 若椭圆的焦点在y轴上，则 ，由 得 . 1..椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 顶点 轴长 短轴长为 ，长轴长为 焦点 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴： ，对称中心： 离心率 ＝ ( ) a，b，c的关系 （多选）已知椭圆 ，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 对于椭圆 ，，则 ，则 ，对于A，椭圆的长轴长为 ，故A正确；对于B，椭圆的焦点在 轴上，且 ，则焦点坐标为 ，故B错误；对于C，离心率 ，故C正确；对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为 ，故D正确； 设椭圆的右焦点为 ，连接 ， 根据椭圆的对称性，可知 ， ， ，又根据椭圆的定义，得 ， ， ， ， 所以 ， 又由椭圆 ，可知 ，所以 . 如图，把椭圆 的长轴分成8等份，过每个等分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的左焦点，则 . 故答案为：35． （1）由题意可知 ，且左准线为：. 过点 作准线 的垂线，垂足为 ，过 作此准线的垂线，垂足为 ，由椭圆第二定义有 . 从而 （定值）. 当且仅当点 是 与椭圆的交点时等号成立，此时点 . 给定点 ，已知点是椭圆 上的动点， 是左焦点. (1)当 取最小值时，求 点的坐标； (2)求 的最大值和最小值. 当取最小值时，点 的坐标为 . （2）设 是椭圆的右焦点，则 . 由椭圆第一定义有 ， . ，且 ， ， 的最大值和最小值分别为 和 . (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等. (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题. （多选）已知 为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为 ，点 在 上， ，且 为 上一个动点，则（   ） A． B． 的长轴长为4 C． 的最小值为 D． 的最大值是 设 ，因为，所以 ， 因为 ，所以 ，解得 ，A正确．因为点 在 上，所以 解得 则 的长轴长为 ，B正确． 的最小值为 ，C错误．因为 ，当且仅当 共线时等号成立，所以 的最大值为 ，D正确． 因为 ， 所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆. 易知 ，即 ， 所以 . （2025·甘肃金昌·二模）已知 是椭圆上的动点， ，且 ，则 . 故答案为：5． 设 ， 因为 ，可得 ， 可知动点M的轨迹是以 为焦点的椭圆， 且 ，则 ， 所以动点M的轨迹方程是 . 已知动点 满足，则动点M的轨迹方程是 ． 故答案为： ． 曲线 表示椭圆等价于，解得 且 ， 所以“ ”是“曲线 表示椭圆”的必要不充分条件. “ ”是“曲线 表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （1）由题意可得 解得 故 的方程为 . （2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆 上任意一点到 的两个焦点 的距离之和为 . (1)求 的方程； (2)已知直线 与 相交于A，B两点，若 ，求 的值. （2）联立 ，得. ，解得 .设 ，则 ， ， 解得 ，即 的值为 . 由方程 ，可得 ， 即 到 的距离与到直线 的距离之比为 ， 由圆锥曲线的定义可知，表示的曲线为椭圆． 方程 表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．不能确定 因为 ，所以， 设 ，则 ， ，所以 ， ． 因为 ，所以 ， 在 中， ，即 ，解得 ， 所以 为等腰直角三角形，所以 为椭圆 的上顶点，所以 ， 所以 ，所以椭圆 的标准方程为 ． 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过右焦点的直线 交 于 两点，且 ， ，则椭圆 的标准方程为 ． 故答案为： ． （1） ，且过椭圆的中心 ， . . 已知点 是椭圆 上的三点，其中点 是椭圆的右顶点，直线 过椭圆的中心 ，且 ， ，如图所示. (1)求点 的坐标及椭圆 的方程； (2)若椭圆 上存在两点 ，使得直线 与直线 关于直线 对称，求直线 的斜率. 又 点的坐标为 . 是椭圆的右顶点， ，则椭圆方程为： . 将点 代入方程，得 ， 椭圆 的方程为 . （2）直线 与直线 关于直线 对称， 设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，从而直线 的方程为： ， 即 ，     由 ，消去，整理得： . 是方程的一个根， ，即 .同理可得： . ， ， ， 则直线 的斜率为定值 . 由题：焦距为4，所以 若焦点在 轴上，则 ,此时离心率为 ， 若焦点在 轴上，则 （舍）， 已知椭圆 的焦距为4，则离心率 （   ） A． B． C． D． 由 及余弦定理，得， 整理得 ， 即 ，故该椭圆的长轴长为 . （2025·河南·三模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且 ， ，当 在变化时，点 总在椭圆 上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 由题可知 ，所以. （多选）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，则 （   ） A． B． C．1 D． 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y= b；令y=0，得x= a. 这说明 (-a,0)， (a,0)是椭圆与x轴的两个交点， (0,-b), (0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段 ， 分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长 =2a，短轴长 =2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. _1234567893.txt ῿Times New Roman|Times New Roman˿宋体�䄨�䂀�㼀휊㲣香㸙쳌㷌쳌㽌����尩㼏슏뵵휊㶣휊㶣슏뵵�㺀��香㸙晦㻦쳌㵌香㸙쳍䀌��������香㿙��쳌㽌쳌㹌쳌㽌�㺀�����㾀쳌㷌쳌㷌쳌㷌쳌㻌��㌳㼳쳌㷌쳍㷌��휊㶣��슏㷵슏㷵쳌㷌쳌㷌�䂠쳌㷌휊㲣쳌㵌휊㴣�㾀쳌㵌尩㾏香㾙晦㾦��������������āȀ� ā����������଀����������������⊲"䁀����ð³³ÿ���仁a ð謢"à⮊â謮Wðð���ÿ�����������Ā��䄀������Ā®������Ā�����������ā��1�������ꐀ춱홃ਣ� _1234567895.txt ῿Times New Roman|Times New Roman˿宋体�䄨�䂀�㼀휊㲣香㸙쳌㷌쳌㽌����尩㼏슏뵵휊㶣휊㶣슏뵵�㺀��香㸙晦㻦쳌㵌香㸙쳍䀌��������香㿙��쳌㽌쳌㹌쳌㽌�㺀�����㾀쳌㷌쳌㷌쳌㷌쳌㻌��㌳㼳쳌㷌쳍㷌��휊㶣��슏㷵슏㷵쳌㷌쳌㷌�䂠쳌㷌휊㲣쳌㵌휊㴣�㾀쳌㵌尩㾏香㾙晦㾦��������������āȀ� ā����������଀����������������⊲"䁀����ð³³ÿ���仁a ð謢"à⮊â謮Wðð���ÿ�����������Ā��䈀������Ā®������Ā�����������ā��1�������탒홃ਣ� _1234567897.txt ῿Times New Roman|Times New Roman˿宋体�䄨�䂀�㼀휊㲣香㸙쳌㷌쳌㽌����尩㼏슏뵵휊㶣휊㶣슏뵵�㺀��香㸙晦㻦쳌㵌香㸙쳍䀌��������香㿙��쳌㽌쳌㹌쳌㽌�㺀�����㾀쳌㷌쳌㷌쳌㷌쳌㻌��㌳㼳쳌㷌쳍㷌��휊㶣��슏㷵슏㷵쳌㷌쳌㷌�䂠쳌㷌휊㲣쳌㵌휊㴣�㾀쳌㵌尩㾏香㾙晦㾦��������������āȀ� 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Roman˿宋体�䄨�䂀�㼀휊㲣香㸙쳌㷌쳌㽌����尩㼏슏뵵휊㶣휊㶣슏뵵�㺀��香㸙晦㻦쳌㵌香㸙쳍䀌��������香㿙��쳌㽌쳌㹌쳌㽌�㺀�����㾀쳌㷌쳌㷌쳌㷌쳌㻌��㌳㼳쳌㷌쳍㷌��휊㶣��슏㷵슏㷵쳌㷌쳌㷌�䂠쳌㷌휊㲣쳌㵌휊㴣�㾀쳌㵌尩㾏香㾙晦㾦��������������āȀ� ā����������଀����������������⊲"䁀����ð³³ÿ���仁a ð謢"à⮊â謮Wðð���ÿ�����������Āŕ������Ā�����������ȁ��B������긁������������������Ā��㄀�������ȁ��B������긁������������������Ā��㈀��������䈀荏ὄႩ� _1234567896.txt ῿Times New Roman|Times New Roman˿宋体�䄨�䂀�㼀휊㲣香㸙쳌㷌쳌㽌����尩㼏슏뵵휊㶣휊㶣슏뵵�㺀��香㸙晦㻦쳌㵌香㸙쳍䀌��������香㿙��쳌㽌쳌㹌쳌㽌�㺀�����㾀쳌㷌쳌㷌쳌㷌쳌㻌��㌳㼳쳌㷌쳍㷌��휊㶣��슏㷵슏㷵쳌㷌쳌㷌�䂠쳌㷌휊㲣쳌㵌휊㴣�㾀쳌㵌尩㾏香㾙晦㾦��������������āȀ� ā����������଀����������������⊲"䁀����ð³³ÿ���仁a ð謢"à⮊â謮Wðð���ÿ�����������Ā��䈀������Ā®������Ā�����������ā��2�������Ā홃ਣ� _1234567894.txt ῿Times New Roman|Times New Roman˿宋体�䄨�䂀�㼀휊㲣香㸙쳌㷌쳌㽌����尩㼏슏뵵휊㶣휊㶣슏뵵�㺀��香㸙晦㻦쳌㵌香㸙쳍䀌��������香㿙��쳌㽌쳌㹌쳌㽌�㺀�����㾀쳌㷌쳌㷌쳌㷌쳌㻌��㌳㼳쳌㷌쳍㷌��휊㶣��슏㷵슏㷵쳌㷌쳌㷌�䂠쳌㷌휊㲣쳌㵌휊㴣�㾀쳌㵌尩㾏香㾙晦㾦��������������āȀ� ā����������଀����������������⊲"䁀����ð³³ÿ���仁a ð謢"à⮊â謮Wðð���ÿ�����������Ā��䄀������Ā®������Ā�����������ā��2�������뼀홃ਣ� _1234567891.txt ῿Times New Roman|Times New Roman˿宋体�䄨�䂀�㼀휊㲣香㸙쳌㷌쳌㽌����尩㼏슏뵵휊㶣휊㶣슏뵵�㺀��香㸙晦㻦쳌㵌香㸙쳍䀌��������香㿙��쳌㽌쳌㹌쳌㽌�㺀�����㾀쳌㷌쳌㷌쳌㷌쳌㻌��㌳㼳쳌㷌쳍㷌��휊㶣��슏㷵슏㷵쳌㷌쳌㷌�䂠쳌㷌휊㲣쳌㵌휊㴣�㾀쳌㵌尩㾏香㾙晦㾦��������������āȀ� ā����������଀����������������⊲"䁀����ð³³ÿ���仁a ð謢"à⮊â謮Wðð���ÿ�����������ĀЖ���������㠀횘쁃घ� _1234567892.txt ῿Times New Roman|Times New Roman˿宋体�䄨�䂀�㼀휊㲣香㸙쳌㷌쳌㽌����尩㼏슏뵵휊㶣휊㶣슏뵵�㺀��香㸙晦㻦쳌㵌香㸙쳍䀌��������香㿙��쳌㽌쳌㹌쳌㽌�㺀�����㾀쳌㷌쳌㷌쳌㷌쳌㻌��㌳㼳쳌㷌쳍㷌��휊㶣��슏㷵슏㷵쳌㷌쳌㷌�䂠쳌㷌휊㲣쳌㵌휊㴣�㾀쳌㵌尩㾏香㾙晦㾦��������������āȀ� ā����������଀����������������⊲"䁀����ð³³ÿ���仁a ð謢"à⮊â謮Wðð���ÿ�����������ĀЖ���������㠀횘쁃घ� _1234567890.txt ῿Times New Roman|Times New Roman˿宋体�䄨�䂀�㼀휊㲣香㸙쳌㷌쳌㽌����尩㼏슏뵵휊㶣휊㶣슏뵵�㺀��香㸙晦㻦쳌㵌香㸙쳍䀌��������香㿙��쳌㽌쳌㹌쳌㽌�㺀�����㾀쳌㷌쳌㷌쳌㷌쳌㻌��㌳㼳쳌㷌쳍㷌��휊㶣��슏㷵슏㷵쳌㷌쳌㷌�䂠쳌㷌휊㲣쳌㵌휊㴣�㾀쳌㵌尩㾏香㾙晦㾦��������������āȀ� ā����������଀����������������⊲"䁀����ð³³ÿ���仁a ð謢"à⮊â謮Wðð���ÿ�����������Ā�������Ȁ�����������ȁ��x������괁������������������Ā��㈀�����������������ȁ��a������괁������������������Ā��㈀�������ĀВ��������Ā�������Ȁ�����������ȁ��y������괁������������������Ā��㈀�����������������ȁ��b������괁������������������Ā��㈀�������ĀЙ��������Ā��㄀�������ꈀ߄潅絋� 已知椭圆方程 ，则.根据椭圆的性质 ，可得 ，那么椭圆的焦点坐标为 . 因为椭圆的焦点在圆 上，将焦点坐标 代入圆的方程可得： 即 ，移项可得 . 因为 ，所以 . 由 ， . 根据椭圆离心率公式 ，可得 . 此椭圆的离心率为 . （2025·重庆·三模）已知椭圆 的焦点在圆 上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． ， ，解得 . 该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值， 短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值， 椭圆 的焦距为 ， 椭圆 的离心率 A，D项正确，B，C项错误. （多选）如图所示，将椭圆 绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为 ，则椭圆 的（    ） A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 依题意， ，， 解法一：不妨设点 位于第一象限，设 ， ，则 ①，且 . 因为 ，所以 ，所以 ②. 由①②解得： ， . 因为 平分 ，由角平分线定理可得 ，故 ， （2025·福建福州·三模）设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上， 为 的平分线与 轴的交点.若 ，则 （   ） A． B． C． D． 所以 ，即， 故 ，所以 . 解法二：不妨设点 位于第一象限，设 ， ，则 ①，且 . 因为 ，所以 ，所以 ②. 由①②解得： ， . 由 ，得 ， 所以 . 对于A选项，在椭圆 中，， ， ， ，则 、 ， 设点 ， ， ，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， （多选）已知 是椭圆 上一点， 、 为其左、右焦点，且 的面积为 ，则下列说法正确的是（    ） A． 点纵坐标为 B． 的周长为 C． D． 的内切圆半径为 的周长为，故选项B正确；对于C选项，设 ， ，可得 ， 由余弦定理可得 ， 所以 ， 所以 ，解得，故选项C正确， 对于D选项，设 的内切圆半径为 ， 则 ， ，故选项D正确. 由题设有椭圆的长半轴长 ，短半轴长， 半焦距 ，故 ， 对于A，当 为短轴顶点时， 的面积的最大， （多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为， ，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A． 的面积的最大值为12 B． 的平分线必过椭圆的中心 C．若 ，则 D．设 ，椭圆C上存在点P，使得 此时面积为 ，故A正确； 对于B，若 的平分线必过椭圆的中心， 因为 ，则此时 为等腰三角形，故 ， 故此时 为短轴顶点，故当 不为短轴顶点时， 的平分线不过椭圆的中心， 故B错误； 对于C，因为 ，故 ， 由余弦定理可得 ， 故 ，故 ， 所以 ，故 ，故C正确； 对于D，设 ，则 ， 故 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 而 ，故 ， 所以 即，故 ， 所以 ，因为 ，故 符号该不等式， 故椭圆C上存在点P，使得 ，故D正确； 如图所示，根据椭圆的定义可知， ①，由题意知②， 联立①②方程组可解得 . 而 ，所以 ，即 为直角三角形， . 由于 在第二象限，所以 点的坐标为 . 因为 ，所以直线 的斜率为 . 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ， 是 上在第二象限内的一点，且 ，则直线 的斜率为 ． 故答案为： ． 由题意，如图，P，D是内切圆与 的切点， 因为左、右焦点分别为 ，上顶点为A，椭圆参数关系 ，由 ，结合对称性、圆的切线性质， 令 ，且 ， 所以 ， 所以 ，可得 ，故 ， 设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为A，直线 交M于另一点B， 的内切圆与 相切于点C，若 ，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 对于 ，设，因为 是椭圆 的焦点，所以 ； 又因为 是双曲线 的焦点，所以 （多选）已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点 是他们的一个公共点，且 则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 的最小值为 所以 ，故A正确； 对于B，由题意可得 ，两式平方整理得 ， 在 中，由 ，得 ，即 ， 又由 ， ，可得 ，解得 ，故B正确； 对于C，由B可得 ，即，即 ，故C错误；对于D，由C可得 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 ，故D正确． 设 ，， ， ， ， ，又 ， ，解得 ， ，此时 ， ， ， 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 在 上，点 在 轴上， ， ，则 的离心率为（    ） A． B． C． D． ，解得，又点 在 上， ， ， ，又 ，即 ，解得 ， ，即 . 由离心率 ，得 ，结合 ，解得 . 将点 代入椭圆方程，得 ，解得 ，故椭圆方程为 . 设 ，则切线 的方程为 . 当 时，即 ，此时直线 方程为 ，满足 ， 已知椭圆 （ ）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 当 时，即，此时直线 方程为 ，满足 当 ， 时，得斜率关系 ，则不满足 ， 结合选项，正确答案为 . 由题意知 ，由知 为平行四边形，则 、 关于 轴对称，设 ， （不妨设 ），将 点坐标代入椭圆方程可得 ，因为 ，设 （2025·山东泰安·模拟预测）已知 为椭圆的左顶点， 、 是椭圆上的点.若四边形 满足 ， ，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 为直线的倾斜角，则 ，所以 ，所以 ， .所以椭圆离心率的取值范围为 .    设椭圆 的半焦距为，则 ， ，因为 为等腰三角形，且 为钝角，则 ，设点 ，则 ， ，则 ，可得 ，又因为 ，故 ， 所以 已知椭圆 的左、右焦点分别为、 ，椭圆 上存在一点 ，使得 为等腰三角形，且 为钝角，则椭圆 的离心率的取值范围为 . ，所以，化简得出 . 故答案为： ． 椭圆 即为，故 ， 对于A， ，故A错误；对于B， 的周长为 ，故B正确；对于C， 的最小值为 ，故C错误；对于D， ，当且仅当 时等号成立，故D正确， （多选）已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B． 的周长为12 C． 的最小值为3 D． 的最大值为16 由题意有 ，所以椭圆方程为，所以 ，所以椭圆的长轴长为 ，故A错误； 离心率为 ，故B正确；又因为 ，故C正确；设 ， （多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点A，B均在C上，其中 ，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点 在椭圆C内 D． 的值可以是6 ，所以 ， 又 ，所以 ，又 ，故D错误， 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质. (2)利用函数，尤其是二次函数. (3)利用不等式，尤其是基本不等式. （多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 ）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为 C． D．恰好存在两个点P使得 对于椭圆 ，，故椭圆长轴长为 ，A错误；椭圆离心率为 ，B正确； 点 ）是椭圆E上的一个动点，则 ，即 ，C正确；由 可知P点位于以 为直径的圆上， ， 则该圆方程为 ，联立 ，解得 ， 则 或或 或 ，故满足题意的点P有4个，D错误， （多选）椭圆 的左右焦点分别为， ，点 在 上，双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则下列选项正确的是（   ） A．存在点 ，使得 B．若 ，则 C．若 是等腰三角形，则满足条件的 点有4个 D．若 是椭圆 与双曲线 的交点，且 在第二象限， 交 轴于 点， 平分 ，则双曲线的离心率为 对于A：椭圆 的左右焦点分别为， ， 点 在 上，所以 ，故A正确； 对于B：因为 ， 在 中由余弦定理 ， 即 ，即 ，所以 ，故B正确； 对于C：若 是等腰三角形，若 或 ，由对称性可知满足条件的 点有 个； 若 ，又 ，则 ，此时点 在椭圆的短轴的顶点处，即满足条件的 点有 个； 综上可得，满足条件的 点有 个，故C错误； 对于D：记双曲线 的实半轴长为 ， 在第二象限， 所以 ，， 设 ，因为 交 轴于点 ，且 平分 ， 所以 ， 在 中，由余弦定理可知， ， 设 ，则 ， 由角平分线定理可知， ，即 ，解得 ， 在 中， ， 所以 ，因为，解得 ， 因此，双曲线 的离心率 ，故D正确. 对于选项A：设切线 上一动点为， 一方面根据椭圆定义得到 ， 当且仅当点 在切点 时，取到等号； 另一方面，设右焦点 关于切线 的对称点为 ， 设左焦点 关于切线 的对称点为 ， 则 ， （多选）已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 为坐标原点， 是椭圆的一条切线，切点为 ， ， 在直线 上的投影分别为 ， ，则（    ） A． B． C． D． 当且仅当点 ，， ，三点共线时，取到等号； 所以 ， ， 三点共线，所以 ，故选项A正确； 对于选项B：由前面分析得到 ，同理 ， 所以 ，故选项B正确；对于选项C：举反例说明，如取切点 在椭圆上顶点时，则 ，而所给椭圆中 与 的大小不确定，故选项C不正确；对于选项D：设 ， ， ， 所以 ， ，则 ， 又在 中， ， 化简得 ，即 ， 所以 ，故选项D正确. 小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心 且与太阳平行光线垂直的平面为 ，地面所在平面为 ，篮球与地面的切点为 ，球心为 ，球心 在地面的影子为点 ；已知太阳光线与地面的夹角为 ；如图， 为球 的一条直径， 为 在地面的影子，点 在线段 上，小明经过研究资料发现，当 时，篮球的影子为一椭圆，且点 为椭圆的焦点，线段 为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用 表示）. A． B． C． D．   设篮球半径为 ，显然平面平面 ，连接 平面 ， 过 作 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 交 于 ，则 ， 于是椭圆长轴长 ，在四边形 中， ，令椭圆半焦距为 ，而 ，则 ， 解得 ，所以该椭圆的离心率为 . 我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即 ．现将椭圆绕 轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（    ）    A． B． C． D． 构造一个底面半径为 ，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体． 当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为 时，设小圆锥底面半径为 ， 则 ，即 ，故新几何体的截面面积为 ． 把 代入 ，即 ，解得 ， 故半椭球的截面面积为 ， 由祖暅原理，可得椭球的体积为： 圆柱 圆锥 ． 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为 时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则 （    ） A． B． C． D． 因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长 ，在中， ，由正弦定理得： EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ，    如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .    对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为 ，与圆柱面相交于，此时可知 即为椭圆的长轴 ，在直角三角形 中 ， ,又 ，所以 ， 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即 ， 所以椭圆的标准方程为 或 ， 故答案为： 或 .    故答案为： 或 . （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点M的轨迹方程为（    ） A． （ ） B． （ ） C． （ ） D． （ ） 设点 ，则， 因为 为 的中点，所以 ，即 ， 又 在圆 上， 所以 ，即 ， 即点 的轨迹方程为 . （2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆 的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点 的直线l与C交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ，求 ． （1）因为长轴长为4，故 ，而离心率为，故 ， 故 ，故椭圆方程为： . （2）由题设直线 的斜率不为0，故设直线 ， ， 由 可得， 故 即 ， 且 ， 故 ， 解得 ， 故 . （2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆 的离心率为，下顶点为A，右顶点为B， ． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足 ． （i）设 ，求 的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点， 是C上的动点，直线OR的斜率为直线 的斜率的3倍，求 的最大值． （1）由题可知, ，所以 ，解得 ， 故椭圆C的标准方程为 ； （2）(ⅰ)设 ，易知 ， 法一：所以 ，故 ，且 ． 因为 ， ，所以 ， 即 ，解得，所以 ， 所以点 的坐标为 . 法二：设 ，则 ，所以 ， ，故 点 的坐标为 . (ⅱ)因为 , ,由 ,可得 ,化简得 ,即 , 所以点 在以 为圆心, 为半径的圆上（除去两个点）, 为 到圆心 的距离加上半径, 法一：设 ,所以 ,当且仅当 时取等号, 所以 . 法二：设 ，则 ， ，当且仅当 时取等号, 故 . （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 和为椭圆 上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程． （1）由题意得 ，解得， 所以 . （2）法一： ，则直线的方程为 ，即 ， ，由（1）知 ， 设点 到直线 的距离为 ，则 ， 则将直线 沿着与 垂直的方向平移 单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点 ， 设该平行线的方程为： ， 则 ，解得或 ， 当 时，联立 ，解得 或 ， 即 或 ， 当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ， 当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ， 当 时，联立 得 ， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线 的方程为 或 . 法二：同法一得到直线 的方程为 ， 点 到直线 的距离 ， 设 ，则 ，解得 或 ， 即 或 ，以下同法一. 法三：同法一得到直线 的方程为 ， 点 到直线的距离 ， 设 ，其中 ，则有 ， 联立 ，解得 或 ， 即 或 ，以下同法一； 法四：当直线 的斜率不存在时，此时 ， ，符合题意，此时 ，直线 的方程为 ，即 ， 当线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 联立椭圆方程有 ，则 ，其中 ，即 ， 解得 或 ， ， ， 令 ，则 ，则 同法一得到直线 的方程为 ， 点 到直线 的距离 ， 则 ，解得， 此时 ，则得到此时 ，直线 的方程为 ，即 ， 综上直线 的方程为 或 . 法五：当 的斜率不存在时， 到 距离 ， 此时 不满足条件. 当 的斜率存在时，设 ，令 ， ，消可得 ， ，且 ，即 ， 到直线 距离 ， 或 ，均满足题意， 或 ，即 或 . 法六：当 的斜率不存在时， 到 距离 ， 此时 不满足条件. 当直线 斜率存在时，设 ， 设 与 轴的交点为 ，令 ，则 ， 联立 ，则有， ， 其中 ，且 ， 则 ， 则 ，解得 或 ，经代入判别式验证均满足题意.则直线 为 或 ，即 或 . （2024·北京·高考真题）已知椭圆 ：，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ． (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． （1）由题意 ，从而， 所以椭圆方程为 ，离心率为 ； （2）直线 斜率不为0，否则直线 与椭圆无交点，矛盾， 从而设 ， ， 联立 ，化简并整理得， 由题意 ，即 应满足 ， 所以 ， 若直线 斜率为0，由椭圆的对称性可设 ， 所以 ，在直线 方程中令 ， 得 ， 所以 ， 此时 应满足 ，即 应满足 或 ， 综上所述， 满足题意，此时 或 . （2023·北京·高考真题）已知椭圆 的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ． (1)求 的方程； (2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证： ． （1）依题意，得 ，则， 又 分别为椭圆上下顶点， ，所以 ，即 ， 所以 ，即 ，则 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）因为椭圆 的方程为，所以 ， 因为 为第一象限 上的动点，设 ，则 ，        易得 ，则直线 的方程为 ， ，则直线 的方程为 ， 联立 ，解得，即 ， 而 ，则直线 的方程为 ， 令 ，则 ，解得 ，即 ， 又 ，则 ， ， 所以 ， 又 ，即 ， 显然， 与 不重合，所以 . （2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率为．左顶点为 ，下顶点为 是线段 的中点（O为原点）， 的面积为 ． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于 两点．在 轴上是否存在点 ，使得 恒成立．若存在，求出点 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． （1）因为椭圆的离心率为 ，故， ，其中 为半焦距， 所以 ，故 ， 故 ，所以 ， ，故椭圆方程为： . （2）若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，设 ， 由 可得 ， 故 且 而 ， 故 ， 因为 恒成立，故 ，解得 . 若过点 的动直线的斜率不存在，则 或 ， 此时需 ，两者结合可得. 综上，存在 ，使得 恒成立. （2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆 的右焦点为，点 在 上，且 轴． (1)求 的方程； (2)过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明： 轴． （1）设 ，由题设有且 ，故 ，故 ，故 ，故椭圆方程为 . （2）直线 的斜率必定存在，设 ， ， ， 由 可得， 故 ，故 ， 又 ， 而 ，故直线 ，故 ， 所以 ， 故 ，即 轴. 椭圆 的长轴长为，短轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ，椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ， 焦距为 ，离心率为 ， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 椭圆 与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 由 ，则，由 在椭圆上，故有 , 又 ，所以 . 若椭圆 上一点到焦点 的距离为6，则点 到另一个焦点 的距离 ． 故答案为：14． 圆 的圆心为，半径 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，所以圆 与圆 的关系是内含. 设动圆圆心为 ，动圆半径为 ， 由于 ， 所以 点的轨迹是以 为焦点，即 ， ， 的椭圆， 所以点 的轨迹方程为 .    如图，一动圆与圆 外切，与圆 内切，求动圆圆心的轨迹方程． 根据椭圆的方程 ，得， ， ， 所以，椭圆的长轴长 ，短轴长 ， 离心率 ，焦点为 ， ， 顶点为 ， ， ， ． 将方程变形为 ， 求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆． 根据 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标（如下表所示）： x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．    设点M的坐标为 ，点P的坐标为，则点D的坐标为 ， 由点M是线段 的中点，得 ， ． 因为点 在圆 上， 所以 ① 把 ， 代入方程①，得 ， 即 ．所以点 的轨迹是椭圆． 如图，在圆 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段 的中点M的轨迹是什么？为什么？    (1）当 时，且 ，故方程 表示椭圆；（2）当 时， ，方程 ，故表示双曲线； 根据下列条件判断方程 表示什么曲线. (1) ； (2) . 因为 ， 由于 是等边三角形，所以 ， 从而有 ． 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 已知椭圆C的焦点为 ，短轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求椭圆C的离心率． $$