精品解析：广东广州大学附属中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题

广大附中2025-2026学年七年级下学期期中考试数学（问卷） 考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：以及含的式子、带根号且开不尽方的数、无限不循环小数． 【详解】这三个都是有理数，属于无限不循环小数，属于无理数 故选：C 2. 下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A. B. C.     D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角， 3. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 【详解】解：如下图进行标注， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，确定点的坐标．由点A所在的象限确定点A的横坐标与纵坐标的符号，再由点A到轴的距离是3，到轴的距离是5，即可确定点A的两个坐标，从而可得答案． 【详解】解：∵点A在第二象限， ∴； ∵点A到轴的距离是3，到轴的距离是5， ∴， ∴点A的坐标为； 故选：A． 5. 下列计算正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的概念是关键；根据算术平方根的定义，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A、 ，但选项结果为，错误． B、 ，（因，其平方为），错误． C、表示16的算术平方根，结果为，而非，错误． D、 ，故，正确． 故选：D． 6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有人和车若干，若每辆车坐3个人，则空出两辆车；若每辆车坐2个人，则有9个人需要步行，问人和车各有多少？如果设有个人，辆车，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7. 下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④若，则；⑤实数和数轴上的点一一对应；⑥无理数都是无限小数．其中真命题的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质 平行公理 点到直线的距离定义 立方根的性质 实数与数轴和无理数的概念逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题是假命题； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原命题是真命题； ④若，则，即，原命题是真命题； ⑤实数和数轴上的点一一对应，原命题是真命题； ⑥无理数都是无限不循环小数，因此无理数都是无限小数，原命题是真命题． ∴真命题有4个． 8. 小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（ ） A. 8 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 9. 春节期间商场优惠促销，将甲，乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲，乙两种服装各1件，共付182元，两种服装的标价之和为210元，则甲，乙两种服装的标价分别为（ ） A. 70元，140元 B. 50元，100元 C. 56元，126元 D. 140元，70元 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲，乙两种服装的标价分别为x元，y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设甲，乙两种服装的标价分别为x元，y元， 根据题意有：， 解得：， 则甲，乙两种服装的标价分别为70元，140元， 故选：A． 10. 已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键． 将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误； 【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：， ∴当时，方程组的解也是的解，①正确； 方程组，得：，当，解得：；故②正确； 设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误； 解方程，解得：， 当 时，，， 当 时，，， 当 时，，， 因此存在三对自然数解，④错误； 综上所述：①②正确， 故选：A； 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：4________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 13. 已知一个正数的两个平方根分别是a和，则a的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：8． 14. 对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则________． 【答案】11 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入，再把代入计算即可求出值． 【详解】∵，， ∴根据题中的新运算，得 解得 ∴， ∴． 故答案为：11 15. 在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据轴可知点的纵坐标，根据可知或即可解答． 【详解】解：∵线段轴，点的坐标是， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴设， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了平行于轴的点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，掌握平行于轴的点的坐标特征是解题的关键． 16. 将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键：（1）当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；（2）当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 如图1，当时，延长交于点， ①在上方时， ，，， ， ， ， ， ， 即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， ； 当时，延长交于点I， 在上方时，， ，， ， ， ， ， ， 即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， （不符合题意，舍去）， 综上，所有满足条件的的值为15或60或105， 故答案为：15或60或105． 三、解答题（本大题共9小题，满分110分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，利用有理数的乘方法则，算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为． 19. 求下列各式中的x： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴或． 【小问2详解】 解： ∴ ∴． 20. 如图，已知，， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键． （1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论； （2）根据，，得到，，进而得出，又根据，得到，最后根据平角的定义可求出的度数，从而可求得的度数． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 21. 实数和在数轴上对应的点如图所示． （1）将和对应的点标在数轴上，并将，，，按从小到大的顺序用“”排列； （2）若实数为8的立方根，求代数式的值． 【答案】（1）见解析， （2）2 【解析】 【分析】（1）先在数轴上表示出和对应的点，再根据数轴上左边的数小于右边的数可得答案； （2）根据立方根的定义求出c的值，再判断出，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减运算法则化简即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，则； 【小问2详解】 解：∵实数为8的立方根， ∴； 由数轴可得， ∴， ∴ ． 22. 阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题． 解方程组： ，得，即．③ 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以原方程组的解为， 以上解方程组的方法叫做消常数项法． 请用上面的方法解方程组：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，由可得，再进一步求解即可． 【详解】解：， ，得，即③， 把③代入①，得， 即． 把代入③，得． 则方程组的解是． 23. 水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 （1）请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ （2）小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】（1）正常收费标准为2元，超过部分4元 （2）不够交水费，还差30元 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【小问1详解】 解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． 【小问2详解】 解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 24. 请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分． （1）a＋b＋c＝　 　； （2）点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值； （3）如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【答案】（1）-5 （2）4 （3）D 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的非负性、二次方的非负性求出a、c的值，根据b为的整数部分，求出b的值，即可得出答案； （2）根据点P在一条平行于y轴的直线上，根据垂线段最短，即可得出点A与点P距离的最小值； （3）连接OD、OE，设点D的坐标为（m，n），根据，得出，根据平移的性质，得出E（2n，n），根据列出关于n的方程，解方程即可得出n的值，得出D点的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴的整数部分是2， ∴， ∴． 故答案为：-5． 【小问2详解】 解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c）， ∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3）， ∴， ∵S△PBC＝2S△ABC， ∴， ∵， ∴点P到BC的距离为：， ∵点B、C在y轴的直线上， ∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8， ∴点P在直线或直线上， ∵点A到直线的最小距离为，点A到直线的最小距离为： ∴点A与点P之间最小距离为：． 【小问3详解】 解：连接OD、OE，如图所示： 设点D的坐标为（m，n）， ∵， ∴， ∴， ∴D点坐标为（2n-4，n）， ∵点D向右平移4个单位长度得到点E， ∴E（2n，n）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了点与坐标的关系，非负性的应用，平移的性质，利用等积法求解等知识，能灵活应用相关知识点，是解题的关键． 25. 综合与实践：后视镜的视角问题 【素材一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【素材二】三角形三个内角的和等于． 如图2，小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，不小于，不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内． 【问题解决】 （1）如图2，当时， ①若，求反射角的大小； ②若入射光线恰好平行于，求此时的大小； 【拓展应用】 （2）如图3，，为入射光线，，为反射光线，，为法线．司机在调节左侧后视镜(即的大小)和移动眼睛的位置时，满足大于．若的大小始终不变，试判断的值是否会发生变化，并说明理由； （3）汽车起步时，司机要观察汽车周围环境，如图4，汽车尾部左侧有一障碍物，但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌，此时_______(填写序号)，司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌． ①人眼沿射线方向向前移动； ②人眼沿射线方向向右移动； ③后视镜绕点逆时针转动； ④后视镜绕点顺时针转动． 【答案】（1）①，②； （2）的值始终不变，等于的大小，理由见解析； （3）①②④ 【解析】 【分析】本题结合光的反射定律考查平行线的性质、三角形内角和定理，关键是通过构建角的等量关系，将光学规律与几何定理结合，转化未知角为已知角求解． （1）利用，结合求出与交点处的同旁内角；再根据法线与镜面垂直，结合求出相关角；最后在三角形中用内角和定理算出反射角． ②先由法线与镜面垂直求出；再根据、得及内错角相等，结合反射角等于入射角得到；最后利用平行线的内错角相等求出． （2）先根据反射定律，将转化为，转化为；再利用三角形角的关系得到，将转化后的角代入等式；最后通过移项化简，推导得出与定值的关系，判断其值是否变化． （3）分析每种操作对视野范围的影响，人眼沿向前移动或沿向右移动，会减小相关角的度数，增大反射角，扩大视野；后视镜绕点顺时针转动可扩大侧后方视野，逆时针转动则缩小视野；据此排除不符合要求的操作，选出能观察到障碍物全貌的选项． 【详解】（1）①解：如图，设与交于点． ，， ∴， ∴， ， ， ， ∴在中，； ②解：， ， ， ，， ∴，， 根据题意，， ∴， ∴； （2）解：的值不会发生变化，理由如下： 设与交于点， ∵是入射光线，是反射光线，是法线， ∴，． 同理，是入射光线，是反射光线，是法线， ∴，． ∴. ∵， ∴， 移项化简，得． ∵为定值， ∴的值始终不变． （3）解：①人眼沿射线向前移动，的角度减小，则反射角角度增大，视野范围扩大，符合题意； ②人眼沿射线向右移动，的角度减小，同理，符合题意； ③后视镜绕点逆时针转动，此时入射点上移，的角度增大，则反射角角度减小，视野范围缩小，不符合题意； ④相反，后视镜绕点顺时针转动，可增大视野，符合题意； 故答案为：①②④． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广大附中2025-2026学年七年级下学期期中考试数学（问卷） 考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A. B. C.     D. 3. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（  ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有人和车若干，若每辆车坐3个人，则空出两辆车；若每辆车坐2个人，则有9个人需要步行，问人和车各有多少？如果设有个人，辆车，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④若，则；⑤实数和数轴上的点一一对应；⑥无理数都是无限小数．其中真命题的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（ ） A. 8 B. C. D. 2 9. 春节期间商场优惠促销，将甲，乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲，乙两种服装各1件，共付182元，两种服装的标价之和为210元，则甲，乙两种服装的标价分别为（ ） A. 70元，140元 B. 50元，100元 C. 56元，126元 D. 140元，70元 10. 已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：4________． 12. 若，则_____． 13. 已知一个正数的两个平方根分别是a和，则a的值为______． 14. 对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则________． 15. 在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为_______． 16. 将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分110分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： ． 18. 解二元一次方程组：． 19. 求下列各式中的x： （1） （2） 20. 如图，已知，， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 实数和在数轴上对应的点如图所示． （1）将和对应的点标在数轴上，并将，，，按从小到大的顺序用“”排列； （2）若实数为8的立方根，求代数式的值． 22. 阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题． 解方程组： ，得，即．③ 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以原方程组的解为， 以上解方程组的方法叫做消常数项法． 请用上面的方法解方程组：； 23. 水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 （1）请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ （2）小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 24. 请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分． （1）a＋b＋c＝　 　； （2）点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值； （3）如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 25. 综合与实践：后视镜的视角问题 【素材一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【素材二】三角形三个内角的和等于． 如图2，小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，不小于，不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内． 【问题解决】 （1）如图2，当时， ①若，求反射角的大小； ②若入射光线恰好平行于，求此时的大小； 【拓展应用】 （2）如图3，，为入射光线，，为反射光线，，为法线．司机在调节左侧后视镜(即的大小)和移动眼睛的位置时，满足大于．若的大小始终不变，试判断的值是否会发生变化，并说明理由； （3）汽车起步时，司机要观察汽车周围环境，如图4，汽车尾部左侧有一障碍物，但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌，此时_______(填写序号)，司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌． ①人眼沿射线方向向前移动； ②人眼沿射线方向向右移动； ③后视镜绕点逆时针转动； ④后视镜绕点顺时针转动． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $