一次函数性质、面积及实际应用 讲义 2025-2026学年 人教版 八年级数学下册

一次函数性质、面积及实际应用 一次函数性质、面积及实际应用 1 【知识梳理：一次函数性质】 1 【题型演练】 3 【题型一：一次函数图像性质】 3 【题型二：方程与不等式】 13 【题型三：一次函数与几何综合】 21 【知识梳理：面积问题】 34 【题型演练】 35 【知识梳理：实际应用】 57 【题型演练】 57 1 学科网（北京）股份有限公司 一次函数性质、面积及实际应用 【知识梳理：一次函数性质】 知识点1：一次函数定义 ①形式上：一般地，形如____________（k≠0）的函数，叫作一次函数. ②本质上：左边是变量y，右边是形如kx+b的关于x的____________. 正比例函数：对于一次函数y=kx+b（k≠0），当_______时，表达式y=kx+b（k≠0）就成为y=kx（k≠0），这时y是x的正比例函数.所以，正比例函数是一次函数的特例. 一次函数过定点问题：如 y = k(x - n)+m 表示过定点 (n, m) 的直线。 知识点2：一次函数解析式求解 待定系数法： 第一步“设”：设函数的表达式为y=kx+b(其中k、b是待定系数，且k≠0); 第二步“列”：将已知的x、y的对应值代入所设表达式中，列出关于k、b的方程组； 第三步“解”：解方程组，求出k与b的值； 第四步“答”：将所求k、b的值代回所设的表达式中，写出函数的表达式. 知识点3：一次函数图像性质 （1）一次函数的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过原点(0,0)的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 一次函数的性质： （1）k决定直线的倾斜方向和程度（|k|越大直线越陡），b决定直线与y轴交点的纵坐标。 （2）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而增大． （3）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而减小．反之亦成立． k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点4：一次函数的图像变换 平移：“上加下减”在常数项，“左加右减”在自变量。平移前后k不变。 【注意】两直线平行，两直线的斜率k值相等。 对称： 关于x轴对称：y = -kx - b（k、b 均变号）； 关于y轴对称：y = -kx + b（k变号，b不变）； 关于原点对称：y = kx - b（k不变，b变号）。 旋转：绕原点旋转90°可利用坐标变换(x,y)→(-y,x)或(y,-x)，结合垂直关系看，求解新解析式。 知识点5：一次函数与方程不等式 与一元一次方程的关系：方程kx + b = 0的解 ⇔ 直线y = kx + b与x轴交点的横坐标。 与一元一次不等式的关系：kx + b > 0的解集对应图象在x轴上方的部分；kx + b < 0对应下方部分。 两直线交点：联立方程组，解即为交点坐标。 【题型演练】 【题型一：一次函数图像性质】 1．已知点都在直线上，则与的大小关系是．（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，直接把点，代入直线，求出与的值，并比较其大小即可，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：点都在直线上， ， ， ， 故选：A． 2．若三点 都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，根据，可得随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：∵三点 都在函数的图象上， 而， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：A． 3．关于函数（k为常数），下列说法不正确的是（    ） A．当时，该函数是一次函数 B．若点，在该函数图象上，且，则 C．若该函数图象不经过第四象限，则 D．该函数图象恒过点 【答案】C 【知识点】识别一次函数、已知函数经过的象限求参数范围、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的性质等； A.由一次函数的定义得即可判断； B.将点，代入解析式，由，即可判断； C.当时，当时，即可判断； D.解析式化为，当时，即可判断； 理解一次函数定义及性质是解题的关键． 【详解】解：A.由一次函数的定义得，结论正确，不符合题意； B.，，，，解得：，结论正确，不符合题意； C.当时，，，此时不经过第四象限；当时，函数图象不经过第四象限，，解得；，结论错误，符合题意； D.，当时，，，函数图象恒过点，结论正确，不符合题意； 故选：C． 4．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数的图像与x轴的交点坐标是 B．函数值随自变量的增大而减小 C．函数的图像不经过第三象限 D．函数的图像向下平移4个单位长度得到 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的增减性，一次函数图像与系数的关系以及一次函数图像与平移进行分析判断即可． 【详解】解：A、当时，，解得，函数的图像与x轴的交点坐标是不是，故符合题意； B、由于中的k＝−3＜0，可知函数值随自变量的增大而减小正确，故不符合题意； C、由于中的k＝−3＜0，b＝4＞0，所以函数的图像不经过第三象限正确，故不符合题意； D、一次函数的图像向下平移4个单位长度得到y＝−x＋4−4＝−3x正确，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、一次函数增减性、平移的性质以及一次函数图像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 5．一次函数）中，当时，可以消去a，得．结合一次函数图象可知，无论a取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”，若一次函数的图象为“点旋转直线”那么它的图象一定经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式 【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可． 【详解】解：一次函数整理得 ， ∴令，则， ∴， ∴它的图象一定经过点． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6．在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的图象 【分析】向上平移，则，根据图像位置与系数的关系判断． 【详解】解：由题知，， ∵ ∴位于第一、二、三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键． 7．将函数的图象平移，使它经过点，则平移后的函数表达式是____． 【答案】y＝3x﹣2 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案． 【详解】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的， ∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b． ∵经过点（1，1），则1×3+b＝1， 解得b＝﹣2， ∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2； 故答案为y＝3x﹣2． 【点睛】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识，结合题意，根据一次函数的性质可得：，原函数为，向上平移3个单位后得到，由各选项中点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，取k值为负的选项即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y随x的增大而减小， ∴， 原函数为，向上平移3个单位后得到 A．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； B．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； C．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； D．当，时，则，解得，符合题意，故该选项符合题意； 故选：D． 9．一次函数，当时，函数的取值范围是，那么代数式的值是______． 【答案】2 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数中所得性质是解决本题的关键． 先分析一次函数随的增大而减小，再将点带到一次函数解析式中可得d与m的关系，c与n的关系，代入即可求解． 【详解】解：一次函数中， 随的增大而减小， 当时，函数的取值范围是， ∴当时，；当时，， ，在一次函数图象上， ①，②， ， ． 故答案为：． 10．已知一次函数，当时，，则______． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，分两种情况，分别把，；，和，；，代入到函数解析式解答即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当，；，时， ， 解得； 当，；，时， ， 解得； ∴或， 故答案为：或． 11．若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、由不等式组解集的情况求参数 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a的不等式，求出此时a的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a的不等式组，再次求出a的取值范围，两项综合求出a最终的取值范围，则问题得解． 【详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式有解，则解为：， ∵不等式组有两个整数解， 则这两个整数解为3，2， ∴，解得； ∵一次函数不过第四象限， ∴则有，解得； 综上： ∴a的整数值有：3，4，5， 则其和为：3+4+5=12， 故选：C． 【点睛】本题考查了解不等式组和一次函数的图像的性质，根据不等式组只有两个整数解和函数不过第四象限等条件求出a的取值范围是解答本题的关键． 12．已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是关键；由图象知，且，解不等式组即可求解． 【详解】解：由图象知，函数图象从左往右是上升的，即；且图象与y轴交点位于y轴负半轴上，即， ∴， 解得：， 故选：D． 13．已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限， ∴b＞0，a＜0， 把（2，0）代入解析式y=ax+b得：0=2a+b， 解得：2a=-b =-2， ∵a（x-1）-b＞0， ∴a（x-1）＞b， ∵a＜0， ∴x-1＜， ∴x＜-1， 故选A． 14．在正比例函数（m为常熟，且）中，随的增大而增大，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的图象和性质．先根据正比例函数的增减性，可得m的取值范围，再求出于x轴的交点坐标和与y轴的交点坐标，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∴函数的图象大致是 ， 故选：D． 15．一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 16．如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k，m，n的大小关系是（    ）    A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m 【答案】A 【分析】根据函数图象所在象限可判断出k＞0，m＞0，n＜0，再根据直线上升的快慢可得k＞m，进而得到答案． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx，y＝mx的图象在一、三象限， ∴k＞0，m＞0， ∵y＝kx的图象比y＝mx的图象上升得快， ∴k＞m＞0， ∵y＝nx的图象在二、四象限， ∴n＜0， ∴k＞m＞n， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数图象，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线， 当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 【题型二：方程与不等式】 1．已知一次函数b(k、b为常数)的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题． 一次函数的图象在x轴上方时，，再根据图象写出解集即可． 【详解】解：函数的图象经过点， ∴当，直线在轴的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 故选：C． 2．一次函数y=kx和 y=-x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx>-x+3的解集是（     ）   A．x>1 B．x≥1 C．x< 2 D．x≤ 2 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】观察图象可得当时，函数y=kx的图象在函数y=-x+3的图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，函数y=kx的图象在函数y=-x+3的图象的上方， ∴关于x的不等式kx>-x+3的解集是． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 3．已知一次函数与大致图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两直线的交点的横坐标即可求解，从图象中获取相关信息是解题的关键． 【详解】解：由图得：一次函数与图象的交点为， 当时，x的取值范围为：， 故选：C． 4．如图，一次函数和与x轴的交点分别为和．则关于x的不等式组的解集是______． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】利用函数图象，写出两个函数图象在x轴上所对应的自变量的范围，然后根据不等式组解集的表示方法求解． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 【详解】解：一次函数和与x轴的交点分别为和 当时，；当时，， 关于x的不等式组的解集是 故答案为： 5．直线（k，b是常数）与直线（m为常数）相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，熟练掌握两条直线的交点坐标与二元一次方程解的关系是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解． 【详解】解：直线（k，b是常数）与直线（m为常数）相交于点， 方程组的解为， 故选：C． 6．如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 根据交点作答即可． 【详解】解：一次函数为常数且与正比例函数（为常数且的图象交于点， 关于的方程的解是， 即关于的方程的解是． 故答案为：． 7．下表分别是一次函数和的图象上部分点的坐标： x … 0 1 2 … … 2 … x … 2 … … 4 … 则方程组的解为___． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据待定系数法确定函数解析式后解答即可． 【详解】解：把和代入， 可得：， 解得：， 所以； 把代入，可得：， 解得：， 所以， 联立两个方程可得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查一次函数与方程组的关系，关键是根据两个函数的交点即为方程组的解集． 8．如图，直线与交点的横坐标为2，则以下结论正确的是（ ） A．， B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，及一次函数图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． 根据一次函数的性质得到，则可对A、B选项进行判断；利用直线交点的横纵坐标满足其解析式可对C选项进行判断；结合函数图象，当时，直线在直线的上方，即，从而可对D选项进行判断． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限，直线经过第一、三、四象限， ，所以A、B选项都不符合题意； 直线与交点的横坐标为2， 时，，所以C选项符合题意； 当时，，所以D选项不符合题意． 故选：C． 9．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有________． 【答案】①③④ 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次函数图象，先根据直线与y轴的交点位置可对①选项进行判断；根据一次函数的性质对②选项进行判断；根据交点坐标的意义可对③进行判断；结合函数图象写出一次函数的图象在的图象上方的取值范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数与的图象分别交y轴于点，， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第二、四象限， ， 一次函数的图象经过第一、三象限， ， ，所以②错误； 一次函数与的图象的交点P的横坐标为1， ，所以③正确； 当时，，所以④选项符合题意． 故答案为：①③④． 10．在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表： 2 下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、垂线段最短、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系、求一次函数解析式、一次函数与不等式的关系、两点间距离公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由表格结合直线的表达式即可判断①；先用a表示出m、n，然后判断的正负即可；③根据一次函数解析式判断③即可；先求得直线L过定点，然后根据两点之间垂线段最短以及两点间距离求解即可判定④． 【详解】解：由表格以及函数解析式可得：当时，，所以方程的解为，故①正确； 由题意可得：，解得：， ∵， ∴，不一定大于零， ∴不一定成立，即②错误； 若对于任意，总有，即的图象始终在的图象上方， ∴这两条直线平行， ∴， ∴，解得：， ∴，即③正确； ∵， ∴两式相加可得：， ∴，， ∴， 令，解得：， ∴直线l过定点， 根据垂线段最短，的最大值为原点O到定点的距离，即 ， ∴的最大值为． 【题型三：一次函数与几何综合】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段 ______． 【答案】/3.75 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数值，解答本题的关键是明确题意，需利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以先求出点和点的坐标，然后即可求得点的坐标，再根据勾股定理即可得到的长，再根据锐角三角函数即可求得的长． 【详解】解：一次函数， 当时，；当时，； 点的坐标为，点的坐标， 点是线段的中点， 点的坐标为， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 2． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ） A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－） 【答案】D 【知识点】配方法的应用、一次函数与几何综合 【详解】∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a）， 则 所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D. 3．如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入，即可得出点B的坐标． 【详解】解：当线段最短时，， 在中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 作于点H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即点B的横坐标为， 把点B的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．当直线过或时，求得，即可得到结论． 【详解】解：正方形的顶点的坐标为，边长为2， ， 当直线经过点时，，此时． 当直线经过点时，，此时． 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是． 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算．根据题意得到点到点之间的整点有3，4，5，6，7，8，9，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，，且轴， ∴，， ∴点到点之间的整点有3，4，5，6，7，8，9， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 6．如图，函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，则k的可能取值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象与系数的关系、正方形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键，依据题意得，直线是过原点的一条直线，又点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，且四边形为正方形，故，则直线过时，，即直线为，故此时也在该直线上，又当直线过时，则，可得直线，又函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合，故结合图象即可判断得解． 【详解】解：由题意得，直线是过原点的一条直线． 点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，且四边形为正方形， ∴， 直线过时，，即直线为，故此时也在该直线上． 又当直线过时，则，可得直线， 作出图象． 函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合， 结合图象可得，， 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式和平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可求解，熟知“过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形的面积”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵，， ∴， ∵直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线过点， ∴，解得：， 故选：． 8．如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积；求出CD的直线解析式为y=-x+3，设过B的直线l为y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有，即可求k． 【详解】解：由， ∴， ∴四边形分成面积， 可求的直线解析式为， 设过的直线为， 将点代入解析式得， ∴直线与该直线的交点为， 直线与轴的交点为， ∴， ∴或， ∴， ∴直线解析式为； 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 9．如图，直线AB的解析式为y＝2x+5，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为_____________． 【答案】 【知识点】面积及等积变换、证明四边形是矩形、已知两点坐标求两点距离、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据题意可以判断出四边形是矩形，连接，则有,在中，当时，有最小值，即可得到结果． 【详解】解：连接，如下图： ∵轴于点E，轴于点F ∴ 又∵ ∴四边形是矩形 ∴ 在中，当时，有最小值，如下图： ∵直线的解析式为： ∴令，则；令，则 即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的判定，直角三角形勾股定理，等面积法等相关知识点，根据知识点内容解题是关键． 10．如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，确定点H的运动轨迹是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，可得，点H的横坐标为，则点H在直线移动，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于H， 四边形是平行四边形， ， ， 、C分别为位于主干道和上， 点H的横坐标为， 点H在直线移动， 的最小值为， 的最小值为5， 故选：C． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）      A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【知识点】一次函数的规律探究问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】延长交轴于，交轴于，根据等边三角形的性质得，，，直线的解析式为，得，由直线的解析式得第一个等边三角形边长为1，解得，，把代入求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长． 【详解】解：延长交轴于，延长交轴于，   ，，均为等边三角形， ，，， 直线的解析式为：， ， 对于直线，，当时，， 点的坐标为， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， ， ， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， ， ， 同理得：，， 以此类推，第个等边三角形的边长为， 第2020个等边三角形的边长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质找出第个等边三角形的边长为是解题的关键． 【知识梳理：面积问题】 ① 公式法：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． 图1 图2 图3 ② 割补法：如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． ③ 等积变形 如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 图4 图5 图6 图7 ④ 铅锤法：如图7，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在内部的线段的长度h叫做的“铅锤高”。我们可得出一种计算三角形面积的铅锤法： 铅锤法的解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最值 【题型演练】 1．如图，直线经过点，与x轴交于点C，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)点D是直线上一点，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D的坐标为或． 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． （1）把点的坐标代入直线求得的值；然后将点A、B的坐标分别代入直线，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得答案； （2）根据函数图象写出的取值范围； （3）由三角形的面积公式，求出点D的纵坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：直线经过点， ． ． 将，分别代入直线，得． ． ； （2）解：由函数图象知，当时，的取值范围为：； （3）解：令，则，解得， ∴， ∴， 设点D的纵坐标为， 由题意得， ∴ 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴点D的坐标为或． 2．已知一次函数（，为常数且）的图象经过点和轴上一点，且与平行．    (1)求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象； (2)当时，请结合图象，直接写出的取值范围___________； (3)若点在直线上，且的面积等于，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，作图见解析； (2)； (3)或． 【知识点】比较一次函数值的大小、画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）一次函数与平行可求得的值，进而把代入一次函数，得出，从而求得一次函数的表达式，再画出图象即可； （2）当时，代入一次函数的表达式可得出对应的值，结合图像即可得解； （3）根据铅锤法求面积即可得解． 【详解】（1）解：∵一次函数（，为常数且）的图象经过点和轴上一点，且与平行， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为， 在平面直角坐标系内画如下图，    （2）解：当时，， 当时，， 即可图像可得时，， 故答案为； （3）解：设，与直线相交于点，    当时，， ∴， ∵的面积等于，点，与轴交于点， ∴， ∴， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，以及一次函数的图象和图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，，两直线相交于点E． (1)求k的值与线段的长； (2)若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标； (3)若F为线段上的动点，G为线段上的动点，当时，求点G的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算、三角形全等等，证明是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，得到k值，直线交x轴、y轴于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：、，则； （2）由，则，即可求解； （3）由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于C，则当时，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 将点D的坐标代入函数表达式得：， 解得，， 则直线的表达式为：， ∵直线交x轴、y轴于A、B两点， 当时，，当时，， ∴点A、B的坐标分别为：、， 则； （2）解：过点F作直线交x轴于点N，设点， 则直线的表达式为：， 则点，则， ∵，则， 解得：或， 则点F坐标为或； （3）解：如图， 当时，，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行于直线：， 则解析式为 联立， 解得 ∴F点坐标为， ∵且， ∴G坐标为即， 综上，点G坐标为． 4．如图-1，在菱形中，．点为边的中点，动点从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接．设点的运动时间为秒，记的面积为． (1)当________________秒时，点到达点处； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出的面积不大于2时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了动点问题、菱形的性质、含30度直角三角形的性质、函数图象与不等式等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． （1）先根据菱形的性质求得，再根据速度、路程、时间的关系即可解答； （2）分点P在上和上两种情况、分别根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、三角形面积公式求解即可； （3）先根据（2）得到的函数解析式画出函数图象，然后根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形，， ∴， ∴， ∴点到达点处时，． （2）解：①当点P在上时，即时， 如图：分别过D、E作，则， ∵在菱形中，． ∴，即， ∴， ∴的面积为，即； ②当点P在上时，即时， 如图：分别过E作，则 ∵在菱形中，，点为边的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴的面积为，即。 综上，关于的函数解析式为． （3）解：根据，画出函数图象如下： 由函数图象可得：的面积不大于2时自变量的取值范围为且． 5．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1． (1)点D的坐标是 （ ），直线的解析式是 ； (2)连接，求的面积． (3)点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】（1）根据D点横坐标及得出纵坐标进而得出D点坐标；最后通过两点坐标得出一次函数解析式； （2）根据各点坐标即三角形面积公式即可求出； （3）分情况讨论，利用图形面积的和差以及三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：将代入函数得D点纵坐标为2， 将点；，代入得： 解得， 故解析式为：， 故答案为：；； （2）解：如图： 易知，点A的坐标为，，点C的坐标为， ； （3）解：①如图，点P在之间： ； ②点P在B点下方，如图： ； ③点P在D点的上面 ； 综上所述：． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的图形的面积的求解，会分割图形面积是解题的关键． 6．如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是_____． 【答案】18 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出的长度是解决问题的关键，根据函数的图象、结合图形求出的值，即可得出矩形的周长． 【详解】解：动点从点出发，沿运动至点停止，而当点运动到点之间时，的面积不变，函数图象上横轴表示点运动的路程，时，开始不变，说明时，接着变化，说明， 矩形的周长． 故答案为：18． 7．如图1，在中，，点是的中点，动点从点出发沿运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（   ）    A．10 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是求出和的长．由图象可知：当时，等于4，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点和点重合，可得，由直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：由图象可知：当，即时， ∴，即， 解得， 点是的中点， ， 当时，面积发生转折，此时点和点重合， ， 在中，，，， ． 故选：C． 8．如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)5； (3)存在；或 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）用待定系数法即可求得直线的解析式，过点作轴，利用证明，结合其性质可得点的坐标； （2）根据中点坐标公式可得，延长至，使得，即点为的中点，可知，垂直平分，连接，则，得，当点在直线上时取等号，由勾股定理求得，利用待定系数法得直线的解析式为，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立方程组即可求得此时点的坐标为； （3）根据题意得，过点作轴交直线于，可知，分情况：当点在点右侧时，当点在点、点之间时，当点在点左侧时，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，，代入得，， 解得：， ∴， 过点作轴，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴垂直平分， 连接，则， ∴，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）存在，理由如下： ∵， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ∴，则， 当点在点右侧时，， ∴， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 【点睛】本题考查了图形与坐标，待定系数法求函数解析式，一次函数，两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．如图 1，在平面直角坐标系中，直线l1:yx5与x轴，y轴分别交于A．B两点.直线l2:y4xb与l1交于点 D(－3，8)且与x轴，y轴分别交于C、E. (1)求出点A坐标，直线l2的解析式； (2)如图2，点P为线段AD上一点(不含端点)，连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP 以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿着线段PD以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间与点P的坐标； (3)如图3，平面直角坐标系中有一点G(m，2)，使得SCEGSCEB，求点G的坐标. 【答案】（1）A（5，0），y4x-4； （2）8秒， P（-1,6）； （3）. 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】（1）根据l1解析式，y=0即可求出点A坐标，将D点代入l2解析式并解方程，即可求出l2解析式 （2）根据OA=OB可知ABO和DPQ都为等腰直角三角形，根据路程和速度，可得点Q在整个运动过程中所用的时间为，当C,P,Q三点共线时，t有最小值，根据矩形的判定和性质可以求出P和Q的坐标以及最小时间. （3）用面积法，用含m的表达式求出，根据SCEGSCEB可以求出G点坐标. 【详解】（1）直线l1:yx5，令y=0，则x=5， 故A（5，0）. 将点D(－3，8)代入l2:y4xb， 解得b=-4， 则直线l2的解析式为y4x-4. ∴点A坐标为A（5，0），直线l2的解析式为y4x-4. （2）如图所示，过P点做y轴平行线PQ，做D点做x轴平行线DQ，PQ与DQ相交于点Q，可知DPQ为等腰直角三角形，. 依题意有 当C,P,Q三点共线时，t有最小值，此时 故点Q在整个运功过程中所用的最少时间是8秒，此时点P的坐标为（-1,6）. （3）如图过G做x轴平行线，交直线CD于点H，过C点做CJ⊥HG．    根据l2的解析式，可得点H（），E（0，－4），C（-1，0） 根据l1的解析式，可得点A（5，0），B（0,5） 则GH= 又SCEGSCEB 所以,解得 故 【点睛】本题考查一次函数的综合题、待定系数法、平行线的性质、等高模型、垂线段最短等性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于压轴题. 10．如图，四边形为矩形，且点的坐标为，点为轴负半轴上一定点，点为轴负半轴上一点，且．点为边上一动点（点不与点重合），过点作直线，直线分别交轴，轴于点，连接交轴于点． (1)求点的坐标； (2)连接，若的最小值为10，求直线的解析式； (3)设，当点在边上运动时，S的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)点在运动过程中，S的值始终不变，值为 【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． （1）先求出C点坐标，再由求出E点坐标即可； （2）如图：作点A关于的对称点，连接，，当共线时取等号，的最小值为10，即，进而求出D点坐标，然后运用待定系数法求解即可； （3）设，由，求出，由，求出，然后代入计算即可解答． 【详解】（1）解：为矩形，点， 点， 又∵， ， 点的坐标为． （2）解：如图：作点A关于的对称点，连接，， ， ， 当共线时取等号， 又∵的最小值为10， ， 又∵点， 点，即， 在中，， ∴，解得：， ∴， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 又由（1）知 ，解得∶， 的解析式为． （3）解：定值为， 设， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴,,即, ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 【知识梳理：实际应用】 知识点1 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 知识点2 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 【题型演练】 1．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（       ） A．时，两架无人机都上升了 B．时，两架无人机的高度差为 C．乙无人机上升的速度为 D．时，甲无人机距离地面的高度是 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误； C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误； B．时，两架无人机的高度差为：，故正确； D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误； 故选：B． 2．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 3．A、B两地相距，甲车以的速度从A地驶往B地，乙车以的速度从B地驶往A地，两车同时出发，设乙车行驶的时间为，两车之间的距离为，则y与x之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意，得到两车相遇前后的函数表达式，结合两车的速度求解即可． 【详解】解：由题意，甲车全程用时，乙车全程用时； 两车相遇前的函数表达式为， 两车相遇后的函数表达式为， 当时，由得，即乙车行驶2小时后两车相遇， 当时，甲车到达B地，此时两车之间的距离为； 此后，乙车继续前行，两车之间的距离缓慢变大， 当时，乙车到达A地，此时两车之间的距离， 综上，选项A、B、D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 4．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为，其中描述正确的是_____（填入正确的序号） 【答案】①③④ 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用． ①观察图象即可；②根据速度路程时间和时间路程速度计算即可；③分别求出当时大巴士y与x的函数关系式和当时y与x的函数关系式，令两函数值相等，求出相遇x的值，即相遇时间即可；④根据速度路程时间计算即可． 【详解】解：大巴士遇到交通管制时已经行驶了， ①正确，符合题意； 大巴士行驶速度为， ， ， ②不正确，不符合题意； 当时，大巴士y与x的函数关系式为， 当时，小巴士行驶速度为，则y与x的函数关系式为， 当两辆巴士相遇时，得， 解得， 时，两辆巴士相遇， ③正确，符合题意； 由②可知，小巴士返回的速度为， ④正确，符合题意． 故答案为：①③④． 5．甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校的图书馆去看书，甲步行，乙骑自行车．图1中，分别表示甲、乙离开学校的路程与甲行走的时间之间的函数图象． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)设表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全关于的函数图象；（标注必要的数据） (3)当在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、求一元一次不等式的解集、动点问题的函数图象、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）设甲出发x分钟后相遇，列方程，计算相遇时的时间，可补全图象； （3）分相遇前后两种情况求解即可． 【详解】（1）解：设所在直线的表达式为，把代入得 解得， 所以所在直线的函数表达式； （2）甲的速度：， 乙的速度：， 设甲出发x分钟后两人相遇，则 ， 解得， 即甲出发15分钟后两人相遇，此时， 21分钟后乙到图书馆，甲距图书馆米， 因此图象如下： （3）设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为． ①当乙没出发时，， 解得； 当甲乙相遇前，即时 解得， ∵， 即时甲、乙两人之间的路程至少为； ②当甲乙相遇后，即时 ， 解得， 乙到达终点后， ， 解得； 即时甲、乙两人之间的路程至少为； 综上,当或分钟时甲、乙两人之间的路程至少为． 【点睛】本题考查一次函数，方程和不等式应用，确定数量关系或不等量关系是解答关键． 6．某科技公司对甲、乙两款人形机器人的行走性能进行测试．已知测试跑道的长为120m，甲、乙两款机器人同时从起点A向终点B行走，甲机器人以的速度匀速行走，乙机器人以的速度匀速行走了40s后，再以的速度匀速行走，结果两款机器人同时到达终点B．两款机器人距离起点A的路程y（m）与行走时间x（s）之间的函数关系如图所示． (1)求a的值； (2)甲、乙两机器人出发多长时间相距10m？ 【答案】(1) (2)20s或50s 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由函数图象获取信息，正确理解题意，读懂函数图象是解题的关键． （1）先求出甲机器人走完全程时间，然后再列一元一次方程求解； （2）分别求出和关于的函数关系式，再根据相距10m，得到，从而建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由图象可得，甲机器人走完全程时间为， ∴由题意可得，， 解得：； （2）解：由（1）可得， 设，代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，同理可求：； 当时，设， 代入，得：， 解得：， ∴， 当甲、乙两机器人相距10m时， 则或， 分别解得：或， ∴甲、乙两机器人出发20s或50s时相距10m． 7．端午节来临之际，西凉村为增强凝聚力，传承龙舟精神，准备购买若干条龙舟举办龙舟赛．经调查，某公司有A、B两种龙舟可供选择，每条A型龙舟售价比B型龙舟售价低0.4万元，用16万元购买A型龙舟和用20万元购买B型龙舟的数量相同． (1)求A，B两种龙舟的售价分别为多少万元？ (2)经协商，该公司承诺：每条A型龙舟在售价的基础上减免0.2万元；每条B型龙舟在售价的基础上打七五折．若购进的80条龙舟中，B型龙舟的数量不少于A型龙舟数量的2倍，该村应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1)每条A型龙舟售价为万元，则每条B型龙舟售价为万元； (2)购进A型龙舟26条，购进B型龙舟54条时，总费用最少． 【知识点】分式方程的经济问题、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设每条A型龙舟售价为万元，则每条B型龙舟售价为万元，根据“用16万元购买A型龙舟和用20万元购买B型龙舟的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进A型龙舟的数量为条，则购进B型龙舟的数量为条，列不等式求出的取值范围，令总费用为，根据题意，得出关于的函数关系式，再根据增减性求解即可． 【详解】（1）解：设每条A型龙舟售价为万元，则每条B型龙舟售价为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：每条A型龙舟售价为万元，则每条B型龙舟售价为万元； （2）解：设购进A型龙舟的数量为条，则购进B型龙舟的数量为条， 则， 解得：， 令总费用为， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，有最小值， 此时， 即购进A型龙舟26条，购进B型龙舟54条时，总费用最少． 8．某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架．其中A型无人机的抗损耐用率为．B型无人机的抗损耐用率为．已知若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元．（注：无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例．） (1)采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ (2)社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于，请问如何购买可以使得采购费用最低？ 【答案】(1)采购A型无人机每架需要200元，采购B型无人机每架需要300元； (2)当采购A型无人机架，采购B型无人机架，可以使得采购费用最低． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数应用． （1）设采购每架A型无人机需要元，采购每架B型无人机需要元，根据“若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元”列二元一次方程组求解即可； （2）设采购A型无人机架，采购B型无人机架，总费用为元，先根据总抗损耐用率不低于求得，再列得关于的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设采购A型无人机每架需要元，采购B型无人机每架需要元， 根据题意得， 解得， 答：采购A型无人机每架需要200元，采购B型无人机每架需要300元； （2）解：设采购A型无人机架，采购B型无人机架，总费用为元， ∵这两种无人机的总抗损耐用率不低于， ∴， 解得， ∵为整数， ∴， 由题意得， ∵， ∴随的增大而减少， ∴当时，有最大值，最大值为9400元， 此时， 答：当采购A型无人机架，采购B型无人机架，可以使得采购费用最低． 9．某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？ 【答案】(1)型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元 (2)购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出方程与不等式是解题的关键． （1）设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，根据题意，列出不等式，得到a的取值范围，再得到w关于a的函数关系式，然后一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据题意得： ， 解得：， ， 答：型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元； （2）解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，根据题意得： ， 解得：， ， 根据题意得：， ， 随着的增大而增大， 时，最小，， 答：购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元． 10．综合与实践 背景 6月下旬，华南地区高温高湿，某高端花圃为保障中秋花卉订单及名贵品种背景（如蝴蝶兰）的精细化栽培，采购了若干个新型材料制成的塑料花盆． 素材 如图为该塑料花盆叠放在一起的示意图，若一个塑料花盆高为，每增加一个花盆，高度增加 问题解决 任务一 若该花圃购买了n个塑料花盆，将其全部叠放在一起，则叠放高度（单位；）与塑料花盐个数n的表达式为：______； 任务二 若该花圃准备使用甲种纸箱来包装塑料花盆，已知该纸箱的高度为，其底面恰好可以放入1个花盆，每个纸箱的上下底都要装上厚的防震泡沫板，求每个甲种纸箱最多能装下多少个塑料花盆； 任务三 现塑料花盆供应商另提供了乙种纸箱，每个最多可以装下15个塑料花盆．已知甲、乙两种纸箱的单价分别为3元/个和2元/个，若该花圃要采购1200个塑料花盆，计划用甲、乙两种纸箱共70个来包装塑料花盆，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？ 【答案】（1）（2）20（3）甲种纸箱30个、乙种纸箱40个，170元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，根据变量的变化规律写出h与n的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据变量的变化规律解答即可； （2）根据题意列关于n的一元一次不等式并求其解集即可； （3）设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱个，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设包装费用为y元，写出y关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可． 【详解】解：（1）， 与n的表达式为 故答案为： （2）根据题意，得， 解得， 每个甲种纸箱最多能装下20个塑料花盆． （3）设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱个． 根据题意，得， 解得， 设包装费用为y元，则， ， 随x的增大而增大， ， 当时y值最小，y最小， 个 答：选用甲种纸箱30个、乙种纸箱40个使得支出的包装费用最少，最少是170元． 11．已知当地的商业用电收费规则为：月用电量不超过210度的部分，按元/度计费：月用电量超过210度但不超过400度的部分．按元/度计费：月用电量超过400度的部分．按元/度计费．设该餐厅月用电量为度，应缴电费为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若该餐厅上月缴纳电费230元，则该餐厅上月用电多少度？ 【答案】(1) (2)370度 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准列出对应的函数关系式即可； （2）可推出，则把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， 答：该餐厅上月用电370度． 12．阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元． (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式； (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量． 【答案】(1)该交183元电费 (2)y＝ (3)该居民家10月份的用电量为360度 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接列式进行求解； （2）根据题意可分当时，当时和当时，然后分类求解即可； （3）先判断出该居民家10月份的电费为第二档，再根据（2）中函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： （元）； 答：该交183元电费； （2）解：设电费为y元， ①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，y关于x的函数表达式为； （3）解：当时，； 当时，； ∵， ∴该居民家10月份的电费为第二档， 当时，则， 解得； 答：该居民家10月份用电360度． 13．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． $一次函数性质、面积及实际应用 次函数性质、面积及实际应用 .1 【知识梳理：一次函数性质】.1 【题型演练】 .3 【题型一：一次函数图像性质】 .3 【题型二：方程与不等式】 .6 【题型三：一次函数与几何综合】 9 【知识梳理：面积问题】 13 【题型演练】 .14 【知识梳理：实际应用】 .22 【题型演练】 .22 一次函数性质、面积及实际应用 【知识梳理：一次函数性质】 知识点1：一次函数定义 ①形式上：一般地，形如 (k0)的函数，叫作一次函数. ②本质上：左边是变量y,右边是形如kx+b的关于x的 正比例函数：对于一次函数y=kx+b(k0),当 时，表达式y=kx+b(k≠0)就成为 y=x(k0),这时y是x的正比例函数.所以，正比例函数是一次函数的特例. 因克量自变呈 y=a+b(k≠0) 一次项系数常数项 一次函数过定点问题：如y=k(区-n)+m表示过定点(n,m)的直线。 知识点2：一次函数解析式求解 待定系数法： 第一步“设”：设函数的表达式为y=kx+b(其中k、b是待定系数，且k0)方 第二步“列：将己知的x、y的对应值代入所设表达式中，列出关于k、b的方程组： 第三步“解”：解方程组，求出k与b的值： 第四步“答”：将所求k、b的值代回所设的表达式中，写出函数的表达式。 知识点3：一次函数图像性质 (1)一次函数y=kx+b(k,b为常数，且特0)的图象是一条直线.由于两点确定一条直线，画 一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了，为 了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0，)和(，0). (2)正比例函数yx(0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线.画正比例函数=kx(kO)的图 象时，只需取一点(1，)，再过原点和这一点画直线即可. 一次函数y=kx+b的性质： (1)k决定直线的倾斜方▣和程度(k越大直线越陡)，b决定直线与y轴交点的纵坐标。 (2)当心0时，一次函数y=+b的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大 而增大 (3)当<0时，一次函数y=x+b的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大 而减处.反之亦成立. 1 k,b的符号与一次函数图象的关系： b>0 b0(正比例函数) b<0 k>0 图象经过的象限 二、 三 一、三、四 k<0 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点4：一次函数的图像变换 平移：“上加下减在常数项，“左加右减”在自变量。平移前后k不变。 【注意】两直线平行，两直线的斜率k值相等。 对称 关于x轴对称：y=kx-b(k、b均变号)： 关于y轴对称：y=kx+b(k变号，b不变)： 关于原点对称：y=kx-b(k不变，b变号)。 旋转：绕原点旋转90可利用坐标变换(xy)→(y,x)或y,-x),结合垂直关系看k1k2=-1,求解 新解析式。 知识点5：一次函数与方程不等式 与一元一次方程的关系：方程kx+b=0的解台直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 与一元一次不等式的关系：kx+b>0的解集对应图象在x轴上方的部分；kx+b<0对应下 方部分。 两直线交点：联立方程组，解即为交点坐标。 【题型演练】 【题型一：一次函数图像性质】 1.已知点(4.(2，)都在直线y=分x+2上，则与的大小关系是.（) A.y>y B.为=y2 C.<y2 D.不能比较 2.若三点(3川子6 都在函数y=x(k<0)的图象上，则y、y,、y,的大 小关系为() A.y>y2>y; B.2>>y3 C.y>> D.y3>y2>y 3.关于函数y=+k-2(k为常数)，下列说法不正确的是() A.当k≠0时，该函数是一次函数 B.若点A(-1,),B(3,y2)在该函数图象上，且y<y,则k>0 C.若该函数图象不经过第四象限，则k>2 D.该函数图象恒过点(（-1，-2) 4.对于一次函数y=-3x+4,下列结论错误的是（) A.函数的图像与x轴的交点坐标是(0,4) B.函数值随自变量的增大而减小 C.函数的图像不经过第三象限 D.函数的图像向下平移4个单位长度得到y=-3x 5.一次函数y=ax-a+3(a≠0)中，当x=1时，可以消去a,得y=3.结合一次函数图象 可知，无论a取何值，一次函数y=ax-a+3(a≠0)的图象一定过定点(1,3)，则定义像这样 的一次函数图象为“点旋转直线”，若一次函数y=(a-3)x+a+3(a≠3)的图象为“点旋转直 线”那么它的图象一定经过定点() A.(（-1,6) B.(1,6) C.(1,-6) D.(-1,-6) 6.在平面直角坐标系Oy中，若一次函数y=c+b的图像由直线y=x(k>O)向上平移3 个单位长度得到，则一次函数y=+b的图像经过的象限是() A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 7.将函数y=3x+1的图象平移，使它经过点(1,1)，则平移后的函数表达式是一 8.在平面直角坐标系中，一次函数y=c-3(≠0)的图象向上平移3个单位长度后经过点P, 且y随x的增大而减小，则点P的坐标可能是() A.(3,0 B.（-1,-2) C.(2,3) D.(-1,6) 8.一次函数y=-2x-3,当m≤x≤n时，函数y的取值范围是c≤y≤d,那么代数式d-C n-nl 的值是一 9.已知一次函数y=x+b,当-2≤x≤3时，-1≤y≤9，则k= x+a≤5x-2 11.若实数a使得关于x的不等式组 x-3<X,2有且只有2个整数解，且使得关于x的一 2 次函数y=(a+1)x-a+5不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为() A.7 B.9 C.12 D.14 12.己知一次函数y=(m+3)x+m-2的图象如图所示，则m的取值范围为() y 0 A.m>-3 B.m<2 C.<-3或m>2D.-3<m<2 4 13.己知一次函数y=x+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2,0)，则关于 x的不等式a(x-1)-b>0的解集为 A.x<-1 B.x>-1 c.x>1 D.x<1 14.在正比例函数y=x(为常熟，且m≠0)中，y随x的增大而增大，则函数y=-x-m 的大致图象为() 15.一次函数y=c+b与y-冬：(k,b为常数，且协≠0，它们在同-坐标系内的图象 可能为() 16.如图，正比例函数y=kx,y=mx,y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则 比例系数k,m,n的大小关系是() y=mx y=nx A.n<m<k B.m<k<n C.k<m<n D.k<n<m 5 【题型二8方程与不等式】 1.已知一次函数y=+b(k、b为常数)的图象如图所示，那么关于x的不等式+b>0的 解集是() v=kx+b 4-32-10134 4 A.x>0 B.x<0 C.x<2 D.x>2 2.一次函数y=x和y二x+3的图象如图所示，则关于x的不等式>-x+3的解集是() y=k y=-x+3 A.x>1 B.x21 C.x<2 D.x≤2 3.已知一次函数片=kx+b与y=kx+b大致图象如图所示，当乃>，时，x的取值范围 是() yi=kix+bi V2=K2X+b2 A.x>3 B.x<3 C.x<2 D.x>2 6 4.如图，一次函数y=ax+b(a≠0)和y=x+n(m≠0)与x轴的交点分别为A(-3,0)和 ax+b>0 B(1,O).则关于x的不等式组 的解集是 mx+n≥0 y-ax+b B A 衣 J=72.x+n 5.直线y=c+b(k,b是常数)与直线y=x(m为常数)相交于点P(-3,1),则方程组 x-=-b的解为() 1x-y=0 x=3 x=1 x=-3 x=-9 A. B. C. D. y=-1 y=-3 y=1 y=3 6.如图，一次函数片=m+b(a,b为常数且a<0)与正比例函数，=x(k为常数且k>0)的图 象交于点P(-4,-2),则关于x的方程(a-k)x+b=0的解是 y=ax+b 7.下表分别是一次函数y=kx+b和y=kx的图象上部分点的坐标： 0 y=kx+b … -1 -4 y=kax -1 y=kx+b 则方程组 y=kx 的解为一 > 8.如图，直线y=x+1与y,=bx+m交点的横坐标为2，则以下结论正确的是() A y2=bx+m Yi=ax+ A.a>0,b<0 B.>0 C.当x=2时，y=乃 D.当x>2时，>% 9.如图，一次函数y=+b与y=cx+d的图象交于点P.下列结论：①d<b;②aC>0: ③a+=e+d;④当x>1时，ax+b<cx+d.其中正确的结论有 y=ax+b y=cx+d 10.在平面直角坐标系xOy中，直线：y=x+n(,n为常数，且m≠0)上的两点的横坐 标和纵坐标的对应值如下表： -1 a 2-a 下列结论：①方程x+n=a的解为x=-1;②若a>0,则wm>0.③若对于任意x,总 有0.6x+1>+,则n=07:©过点0作0PL1,垂足为P,则OP的最大值为5.其 2 中正确的结论有 ,(填写所有正确结论的序号) 8 【题型三：一次函数与几何综合】 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4x+8的图象分别与x、y轴交于点A、B, 点M是线段AB的中点，连接OM,作MN⊥OM于点M交y轴于点N,则线段MN= B M 2.如图，点A的坐标为1，O),点B在直线y=一x上运动，当线段AB最短时，点B的坐 标为() B A.(0,0) B.(-3,) c.(5,-5) 2 2 D.(3,-3) 3.如图，点A的坐标为(-1,0)，直线y=x-2与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B在直 线y=x-2上运动.当线段AB最短时，点B的坐标为() y=x-2 B.,-1) 5-3 D.(0,-2) 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(2,0)，边长为2，若 直线y=-x+b与正方形ABCD有交点，则b的取值范围是() D A B A.2≤b≤4 B.3≤b≤5 C.4≤b≤6 D.2≤b≤6 5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A(3,1),C(9,3),且AB∥x轴，直线 I:y=3x+b与线段CD交于点E,当线段DE上有3个整点（包含线段端点）时，b的取值 范围为 6.如图，函数y=的图象与正方形ABCD的边AB和AD同时相交，且交点不与顶点A、 B、D重合.已知点A的坐标为(1,2)，点C的坐标为(2,1)，点D的坐标为(2,2)，则k的可 能取值为() y=kx /D 2 17B 7012 A.k=1 B.k=2 C.k=3 10 7.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC是平行四边形，A(6,0),C(1,4),直线 y=x-1与BC,OA分别交于M,N,且将口OABC的面积分成相等的两部分，则k的值 是() B A. 8.6 c.1 D. 21 2 8.如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-4,0),B(-2,-1),C(3,0),D(0,3),当过点B的直 线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线I所表示的函数表达式为() B A.y= 0tx6 11 C.y=x+1 D.y=4+ 9.如图，直线AB的解析式为y=2x+5,与y轴交于点A,与x轴交于点B,点P为线段AB 上的一个动点，作PE⊥y轴于点E,PF⊥x轴于点F,连接EF,则线段EF的最小值为 11 10.如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域OABC.点O为科技展览 中心，A、C分别为位于主干道x=1和x=4上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置）， 点B为园区管理中心.现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路OB 的最小长度是() A.3 B.√17 C.5 D.√26 1.如图，在平面直角坐标系中，直线a的解析式为)=5x+1,直线b的解析式为y= 3t, 直线a交y轴于点A,以OA为边作第一个等边三角形△OAB,交直线b于点B,过点B作y轴 的平行线交直线于点A,以AB为边作第二个等边三角形△ABB,交直线b于点B,…, 顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为() B B A.22019 B.22000 C.4038 D.4040 12 【知识梳理：面积问题】 ①公式法：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面 积，直接用面积公式 4p 图1 图 图3 ②割补法：如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角 形的面积，用“割”或“补”的方法. ③等积变形 如图4，同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等。 如图5，同底三角形的面积比等于高的比. 如图6，同高三角形的面积比等于底的比. 图4 图5 图6 图7 ④铅锤法：如图7，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线 之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度h叫做 4ABC的铅锤高”。我们可得出一种计算三角形面积的铅锤法：SAABC=h 铅锤法的解题思路： 1.设动点P的坐标为(t,at2+bt+c),过点P做辅助线： 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式（一般为二次函数的形式）： 3.写出表示面积的二次函数的顶点式，求出最值，即可得到三角形面积的最值 模型1 模型2 模型3 2CD·lx-xA S△AB= 2AD·lxB-xe =BD.Ie-al 13 【题型演练】 1.如图，直线y=x+b(k≠0)经过点A(0,3),与x轴交于点C,与直线y=-2x交于点 B(-1,m). ⊙ 0 (1)求直线AC的解析式； (2)当+b>-2x时，直接写出x的取值范围： (3)点D是直线AC上一点，若S△ocD=2SocB,求点D的坐标. 2.已知一次函数y=x+b(k,b为常数且k≠0)的图象经过点A(2,0)和y轴上一点B, 且与y= 2平行. 2 1 -3-2-10 123 -1 -2 -3 (1)求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象： (2)当-2<x<4时，请结合图象，直接写出y的取值范围 ③)若点P在直线x三1上，且△ABP的面积等于号，求点P的坐标 14 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8交x轴、y轴于A、B两点，直线y=x+5 交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，OC=OD,两直线相交于点E. A 0 D A 0 D 备用图 (1)求k的值与线段AB的长： (2)若F为直线AB上一动点，连接FC、FD,当S△cDr=10时，求点F的坐标： (3)若F为线段AE上的动点，G为线段DE上的动点，当△ODG≌△GFO时，求点G的坐 标 15 4.如图-1，在菱形ABCD中，∠A=30°，AB=4.点E为边CD的中点，动点P从点A出发， 沿折线A→B→C方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C时停止运动，连接 EP,EB,设点P的运动时间为x秒，记△EPB的面积为y. 7 6 B 01234567 图-1 图-2 (1)当x= 秒时，点P到达点C处： (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. (3)在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出(2)中的函数图象并根据图象直接写出 △EPB的面积不大于2时自变量x的取值范围. 16 5.如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A,一次函数y=c+b的图象经过点B(0,-1), 与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D,且点D的横坐标为1. y=kx+b y=x+1 D A (1)点D的坐标是()，直线BD的解析式是_： (2)连接AC,求△ACD的面积. (3)点P是直线BD上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为，△ADP的面积为S,请 直接写出S与m之间的关系式. 17 6.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点 P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的周长是 D 04 图1 图2 7.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90,点D是BC的中点，动点P从点C出发沿C-A-B运 动到点B停止，设点P的运动路程为x,△PCD的面积为y,y与x的图象如图2所示，则 Rt△ABC的面积为() B D 410 P 图1 图2 A.10 B.16 C.20 D.40 18 8.如图1，已知直线1与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,3),以A为直角顶点在第 一象限内作等腰Rt△ABC,其中上∠BAC=90°，AB=AC, 图1 图2 备用图 (1)求直线1的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是BC的中点，点P是直线1上一动点，连接PM、PC,求PM+PC的最 小值，并求出当PM+PC取最小值时点P的坐标： (3)在（2)的条件下，当PM+PC取最小值时，在直线PM上是否存在一点Q,使 S4?若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，请 19 9.如图1，在平面直角坐标系中，直线ly-x+5与x轴，y轴分别交于A.B两点.直线l2:y-4x+b 与交于点D(-3,8)且与x轴，y轴分别交于C、E. (1)求出点A坐标，直线2的解析式： (2)如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP,一动点Q从C出发，沿线段CP以 每秒1个单位的速度运动到点P,再沿着线段PD以每秒√个单位的速度运动到点D停止， 求点Q在整个运动过程中所用最少时间与点P的坐标； (3)如图3，平面直角坐标系中有一点G(m,2),使得Sc6Sc8,求点G的坐标. y B B C C E h 图1 图2 图3 20 10.如图，四边形OABC为矩形，且点B的坐标为(6,3)，点D为x轴负半轴上一定点，点E 为y轴负半轴上一点，且OE=OC,点F为边BC上一动点（点F不与点C重合），过点F作 直线I∥DE,直线I分别交x轴，y轴于点G,M,连接DF,DF交y轴于点N. M G (1)求点E的坐标： (2)连接AF,若AF+DF的最小值为10，求直线DE的解析式： 3)设S=1-1 CNCM,当点P在边BC上运动时，S的值是否会发生变化？如果不变，求s的 值；如果变化，求$的最大值. 21 【知识梳理：实际应用】 知识点1一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系， 当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所 需要的结果。 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解 题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径 知识点2用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手 段.读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义。 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数y1,y2,当自变量的值为x时，函数值都为yo或当函 数值为yo时，自变量的值都为xo 当自变量的值x>xo时，函数值y1>y2,即对同一自变量x的值， 图象在上面的函数值大 当自变量的值x<x时，函数值y1<y2,即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 【题型演练】 1.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上 升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x (单位：s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是() y/m A.5s时，两架无人机都上升了40m B.10s时，两架无人机的高度差为30m 40 C.乙无人机上升的速度为6m/s 30 D.10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 10 x/s 22 2.甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地.乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶.甲 车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段 表示从开始到相遇止，两车之间的距离y(k)与甲车行驶的时间x(h)的函数关系的图象， 则() y/(km) 80 60 1.5 bcd x/(h) A.甲车速度是120km/h B.A、B两地的距离是360am C.乙车出发4.5h时甲车到达B地 D.甲车出发4.5h最终与乙车相遇 3.A、B两地相距360am,甲车以100am/h的速度从A地驶往B地，乙车以80am/h的速度 从B地驶往A地，两车同时出发，设乙车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(), 则y与x之间的函数关系的图象是() 个y/km 个y/km 720 A. 360 B.360 288 23.6 x/h 2 4.5x/h 个y/km 个y/km 720------ C.360 D. 360 288 288 0 23.64.5x/h 0 23.64.5x/h 23 4.某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同 的路线同时前往目的地.小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留 了一会后继续保持原速前往.如下图是两辆巴士距学校的距离y(km)与行驶时间x(h)之间 的图象.结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时己经行驶了120km;②a=3: 三时，两辆巴士相遇：④小巴士返回的速度为60kmh,其中描述正 (填入正确的序号) 个 180- 120 22.5a 5 5.甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校1500m的图书馆去看书，甲步行， 乙骑自行车.图1中OD,Ac分别表示甲、乙离开学校的路程y(m)与甲行走的时间x(in) 之间的函数图象. Ad/m Ay/m 360 1500 D 240 A 6 21 25 x/min 6 121518212427x/mim 图1 图2 (1)求线段AC所在直线的函数表达式： (2)设d(m)表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全d关于x的函数图象；（标注必要的数 据) (3)当x在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为210m. 24 6.某科技公司对甲、乙两款人形机器人的行走性能进行测试.已知测试跑道AB的长为120m, 甲、乙两款机器人同时从起点A向终点B行走，甲机器人以2/s的速度匀速行走，乙机器 人以/s的速度匀速行走了40s后，再以2mm/s的速度匀速行走，结果两款机器人同时到达 终点B.两款机器人距离起点A的路程y(m)与行走时间x(s)之间的函数关系如图所示. y/m 120----- O 40 x/S (1)求a的值： (2)甲、乙两机器人出发多长时间相距10m? 7.端午节来临之际，西凉村为增强凝聚力，传承龙舟精神，准备购买若干条龙舟举办龙舟 赛.经调查，某公司有A、B两种龙舟可供选择，每条A型龙舟售价比B型龙舟售价低0.4 万元，用16万元购买A型龙舟和用20万元购买B型龙舟的数量相同. (1)求A,B两种龙舟的售价分别为多少万元？ (2)经协商，该公司承诺：每条A型龙舟在售价的基础上减免0.2万元；每条B型龙舟在售 价的基础上打七五折.若购进的80条龙舟中，B型龙舟的数量不少于A型龙舟数量的2倍， 该村应如何购买才能使总费用最少？ 25 8.某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架.其中A型无人 机的抗损耐用率为80%.B型无人机的抗损耐用率为95%.已知若采购10架A型号、30 架B型号无人机需要11000元：若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元.（注： 无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例.) (1)采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ (2)社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于85%，请问如何购买可以使得采购费用最 低？ 9.某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买A,B两种 型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买.其中A型机器人模型单价比B型机器人模 型单价多80元，购买3台A型机器人模型和购买5台B型机器人模型的费用相同. (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买A型和B型机器人模型共20台，且购买B型机器人模型的数量不超过A型 机器人模型数量的3倍，设购买A型机器人模型α台，购买A,B两种型号机器人模型共花 费W元，求出W关于的表达式，并求出购买多少台A型机器人模型时，w取值最小？最小 是多少？ 26 10.综合与实践 背 6月下旬，华南地区高温高湿，某高端花圃为保障中秋花卉订单及名贵品种背景（如 景 蝴蝶兰)的精细化栽培，采购了若干个新型材料制成的塑料花盆 2cm 素 如图为该塑料花盆叠放在一起的示意图，若一个塑料花 材 盆高为18cm,每增加一个花盆，高度增加2cm 18cm 问题解决 任 (1)若该花圃购买了个塑料花盆，将其全部叠放在一起，则叠放高度h(单位：cm) 务 与塑料花盐个数n的表达式为：一 任 (2)若该花圃准备使用甲种纸箱来包装塑料花盆，已知该纸箱的高度为60c,其底 务 面恰好可以放入1个花盆，每个纸箱的上下底都要装上2cm厚的防震泡沫板，求每 二 个甲种纸箱最多能装下多少个塑料花盆： (3)现塑料花盆供应商另提供了乙种纸箱，每个最多可以装下15个塑料花盆.已知 任 务 甲、乙两种纸箱的单价分别为3元/个和2元/个，若该花圃要采购1200个塑料花盆， 三 计划用甲、乙两种纸箱共70个来包装塑料花盆，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支 出的包装费用最少？最少是多少？ 27 11.己知当地的商业用电收费规则为：月用电量不超过210度的部分，按0.6元/度计费：月 用电量超过210度但不超过400度的部分.按0.65元/度计费：月用电量超过400度的部分.按 0.9元/度计费.设该餐厅月用电量为x度，应缴电费为y元 (1)求出y与x之间的函数关系式： (2)若该餐厅上月缴纳电费230元，则该餐厅上月用电多少度？ 12.阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元； 第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05 元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元. (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式： (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量. 28 13.为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费.具体情况 如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米72元 (1)若设居民每月的用水量为x立方米，每月所需的水费为y元.请写出超过15立方米不超 过30立方米部分、超出30立方米部分y与x的函数关系式： (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 29 一次函数性质、面积及实际应用 一次函数性质、面积及实际应用 1 【知识梳理：一次函数性质】 1 【题型演练】 3 【题型一：一次函数图像性质】 3 【题型二：方程与不等式】 6 【题型三：一次函数与几何综合】 9 【知识梳理：面积问题】 13 【题型演练】 14 【知识梳理：实际应用】 22 【题型演练】 22 1 学科网（北京）股份有限公司 一次函数性质、面积及实际应用 【知识梳理：一次函数性质】 知识点1：一次函数定义 ①形式上：一般地，形如____________（k≠0）的函数，叫作一次函数. ②本质上：左边是变量y，右边是形如kx+b的关于x的____________. 正比例函数：对于一次函数y=kx+b（k≠0），当_______时，表达式y=kx+b（k≠0）就成为y=kx（k≠0），这时y是x的正比例函数.所以，正比例函数是一次函数的特例. 一次函数过定点问题：如 y = k(x - n)+m 表示过定点 (n, m) 的直线。 知识点2：一次函数解析式求解 待定系数法： 第一步“设”：设函数的表达式为y=kx+b(其中k、b是待定系数，且k≠0); 第二步“列”：将已知的x、y的对应值代入所设表达式中，列出关于k、b的方程组； 第三步“解”：解方程组，求出k与b的值； 第四步“答”：将所求k、b的值代回所设的表达式中，写出函数的表达式. 知识点3：一次函数图像性质 （1）一次函数的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过原点(0,0)的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 一次函数的性质： （1）k决定直线的倾斜方向和程度（|k|越大直线越陡），b决定直线与y轴交点的纵坐标。 （2）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而增大． （3）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而减小．反之亦成立． k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点4：一次函数的图像变换 平移：“上加下减”在常数项，“左加右减”在自变量。平移前后k不变。 【注意】两直线平行，两直线的斜率k值相等。 对称： 关于x轴对称：y = -kx - b（k、b 均变号）； 关于y轴对称：y = -kx + b（k变号，b不变）； 关于原点对称：y = kx - b（k不变，b变号）。 旋转：绕原点旋转90°可利用坐标变换(x,y)→(-y,x)或(y,-x)，结合垂直关系看，求解新解析式。 知识点5：一次函数与方程不等式 与一元一次方程的关系：方程kx + b = 0的解 ⇔ 直线y = kx + b与x轴交点的横坐标。 与一元一次不等式的关系：kx + b > 0的解集对应图象在x轴上方的部分；kx + b < 0对应下方部分。 两直线交点：联立方程组，解即为交点坐标。 【题型演练】 【题型一：一次函数图像性质】 1．已知点都在直线上，则与的大小关系是．（   ） A． B． C． D．不能比较 2．若三点 都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．关于函数（k为常数），下列说法不正确的是（    ） A．当时，该函数是一次函数 B．若点，在该函数图象上，且，则 C．若该函数图象不经过第四象限，则 D．该函数图象恒过点 4．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数的图像与x轴的交点坐标是 B．函数值随自变量的增大而减小 C．函数的图像不经过第三象限 D．函数的图像向下平移4个单位长度得到 5．一次函数）中，当时，可以消去a，得．结合一次函数图象可知，无论a取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”，若一次函数的图象为“点旋转直线”那么它的图象一定经过定点（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 7． 将函数的图象平移，使它经过点，则平移后的函数表达式是____． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 8． 一次函数，当时，函数的取值范围是，那么代数式的值是______． 9． 已知一次函数，当时，，则______． 11．若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．7 B．9 C．12 D．14 12．已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 13．已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 14．在正比例函数（m为常熟，且）中，随的增大而增大，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 15．一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B． C． D． 16．如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k，m，n的大小关系是（    ）    A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m 【题型二：方程与不等式】 1．已知一次函数b(k、b为常数)的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．一次函数y=kx和 y=-x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx>-x+3的解集是（     ）   A． x>1 B．x≥1 C．x< 2 D．x≤ 2 3．已知一次函数与大致图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数和与x轴的交点分别为和．则关于x的不等式组的解集是______． 5．直线（k，b是常数）与直线（m为常数）相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是______． 7．下表分别是一次函数和的图象上部分点的坐标： x … 0 1 2 … … 2 … x … 2 … … 4 … 则方程组的解为___． 8．如图，直线与交点的横坐标为2，则以下结论正确的是（ ） A．， B． C．当时， D．当时， 9．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有________． 10．在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表： 2 下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） 【题型三：一次函数与几何综合】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段 ______． 2． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ） A． （0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－） 3．如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 6．如图，函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，则k的可能取值为（  ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 9．如图，直线AB的解析式为y＝2x+5，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为_____________． 10．如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（ ） A．3 B． C．5 D． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）      A． B． C．4038 D．4040 【知识梳理：面积问题】 ① 公式法：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． 图1 图2 图3 ② 割补法：如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． ③ 等积变形 如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 图4 图5 图6 图7 ④ 铅锤法：如图7，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在内部的线段的长度h叫做的“铅锤高”。我们可得出一种计算三角形面积的铅锤法： 铅锤法的解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最值 【题型演练】 1．如图，直线经过点，与x轴交于点C，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)点D是直线上一点，若，求点D的坐标． 2．已知一次函数（，为常数且）的图象经过点和轴上一点，且与平行．    (1)求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象； (2)当时，请结合图象，直接写出的取值范围___________； (3)若点在直线上，且的面积等于，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，，两直线相交于点E． (1)求k的值与线段的长； (2)若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标； (3)若F为线段上的动点，G为线段上的动点，当时，求点G的坐标． 4．如图-1，在菱形中，．点为边的中点，动点从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接．设点的运动时间为秒，记的面积为． (1)当________________秒时，点到达点处； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出的面积不大于2时自变量的取值范围． 5．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1． (1)点D的坐标是 （ ），直线的解析式是 ； (2)连接，求的面积． (3)点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式． 6．如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是_____． 7．如图1，在中，，点是的中点，动点从点出发沿运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（   ）    A．10 B．16 C．20 D．40 8．如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图 1，在平面直角坐标系中，直线l1:yx5与x轴，y轴分别交于A．B两点.直线l2:y4xb与l1交于点 D(－3，8)且与x轴，y轴分别交于C、E. (1)求出点A坐标，直线l2的解析式； (2)如图2，点P为线段AD上一点(不含端点)，连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP 以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿着线段PD以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间与点P的坐标； (3)如图3，平面直角坐标系中有一点G(m，2)，使得SCEGSCEB，求点G的坐标. 10．如图，四边形为矩形，且点的坐标为，点为轴负半轴上一定点，点为轴负半轴上一点，且．点为边上一动点（点不与点重合），过点作直线，直线分别交轴，轴于点，连接交轴于点． (1)求点的坐标； (2)连接，若的最小值为10，求直线的解析式； (3)设，当点在边上运动时，S的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的最大值． 【知识梳理：实际应用】 知识点1 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 知识点2 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 【题型演练】 1．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（       ） A．时，两架无人机都上升了 B．时，两架无人机的高度差为 C．乙无人机上升的速度为 D．时，甲无人机距离地面的高度是 2．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 3．A、B两地相距，甲车以的速度从A地驶往B地，乙车以的速度从B地驶往A地，两车同时出发，设乙车行驶的时间为，两车之间的距离为，则y与x之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 4．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为，其中描述正确的是_____（填入正确的序号） 5．甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校的图书馆去看书，甲步行，乙骑自行车．图1中，分别表示甲、乙离开学校的路程与甲行走的时间之间的函数图象． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)设表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全关于的函数图象；（标注必要的数据） (3)当在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为． 6．某科技公司对甲、乙两款人形机器人的行走性能进行测试．已知测试跑道的长为120m，甲、乙两款机器人同时从起点A向终点B行走，甲机器人以的速度匀速行走，乙机器人以的速度匀速行走了40s后，再以的速度匀速行走，结果两款机器人同时到达终点B．两款机器人距离起点A的路程y（m）与行走时间x（s）之间的函数关系如图所示． (1)求a的值； (2)甲、乙两机器人出发多长时间相距10m？ 7．端午节来临之际，西凉村为增强凝聚力，传承龙舟精神，准备购买若干条龙舟举办龙舟赛．经调查，某公司有A、B两种龙舟可供选择，每条A型龙舟售价比B型龙舟售价低0.4万元，用16万元购买A型龙舟和用20万元购买B型龙舟的数量相同． (1)求A，B两种龙舟的售价分别为多少万元？ (2)经协商，该公司承诺：每条A型龙舟在售价的基础上减免0.2万元；每条B型龙舟在售价的基础上打七五折．若购进的80条龙舟中，B型龙舟的数量不少于A型龙舟数量的2倍，该村应如何购买才能使总费用最少？ 8．某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架．其中A型无人机的抗损耐用率为．B型无人机的抗损耐用率为．已知若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元．（注：无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例．） (1)采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ (2)社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于，请问如何购买可以使得采购费用最低？ 9．某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？ 10．综合与实践 背景 6月下旬，华南地区高温高湿，某高端花圃为保障中秋花卉订单及名贵品种背景（如蝴蝶兰）的精细化栽培，采购了若干个新型材料制成的塑料花盆． 素材 如图为该塑料花盆叠放在一起的示意图，若一个塑料花盆高为，每增加一个花盆，高度增加 问题解决 任务一 若该花圃购买了n个塑料花盆，将其全部叠放在一起，则叠放高度（单位；）与塑料花盐个数n的表达式为：______； 任务二 若该花圃准备使用甲种纸箱来包装塑料花盆，已知该纸箱的高度为，其底面恰好可以放入1个花盆，每个纸箱的上下底都要装上厚的防震泡沫板，求每个甲种纸箱最多能装下多少个塑料花盆； 任务三 现塑料花盆供应商另提供了乙种纸箱，每个最多可以装下15个塑料花盆．已知甲、乙两种纸箱的单价分别为3元/个和2元/个，若该花圃要采购1200个塑料花盆，计划用甲、乙两种纸箱共70个来包装塑料花盆，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？ 11．已知当地的商业用电收费规则为：月用电量不超过210度的部分，按元/度计费：月用电量超过210度但不超过400度的部分．按元/度计费：月用电量超过400度的部分．按元/度计费．设该餐厅月用电量为度，应缴电费为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若该餐厅上月缴纳电费230元，则该餐厅上月用电多少度？ 12．阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元． (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式； (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量． 13．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ $一次函数性质、面积及实际应用 次函数性质、面积及实际应用 .1 【知识梳理：一次函数性质】.1 【题型演练】 .3 【题型一：一次函数图像性质】 .3 【题型二：方程与不等式】 ….13 【题型三：一次函数与几何综合】 21 【知识梳理：面积问题】 .34 【题型演练】 35 【知识梳理：实际应用】 57 【题型演练】 57 一次函数性质、面积及实际应用 【知识梳理：一次函数性质】 知识点1：一次函数定义 ①形式上：一般地，形如 (k0)的函数，叫作一次函数. ②本质上：左边是变量y,右边是形如kx+b的关于x的 正比例函数：对于一次函数y=kx+b(k0),当 时，表达式y=kx+b(k≠0)就成为 y=x(k0),这时y是x的正比例函数.所以，正比例函数是一次函数的特例. 因克量自变呈 y=a+b(k≠0) 一次项系数常数项 一次函数过定点问题：如y=k(区-n)+m表示过定点(n,m)的直线。 知识点2：一次函数解析式求解 待定系数法： 第一步“设”：设函数的表达式为y=kx+b(其中k、b是待定系数，且k0)方 第二步“列：将己知的x、y的对应值代入所设表达式中，列出关于k、b的方程组： 第三步“解”：解方程组，求出k与b的值： 第四步“答”：将所求k、b的值代回所设的表达式中，写出函数的表达式。 知识点3：一次函数图像性质 (1)一次函数y=kx+b(k,b为常数，且特0)的图象是一条直线.由于两点确定一条直线，画 一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了，为 了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0，)和(，0). (2)正比例函数yx(0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线.画正比例函数=kx(kO)的图 象时，只需取一点(1，)，再过原点和这一点画直线即可. 一次函数y=kx+b的性质： (1)k决定直线的倾斜方▣和程度(k越大直线越陡)，b决定直线与y轴交点的纵坐标。 (2)当心0时，一次函数y=+b的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大 而增大 (3)当<0时，一次函数y=x+b的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大 而减处.反之亦成立. 1 k,b的符号与一次函数图象的关系： b>0 b0(正比例函数) b<0 k>0 图象经过的象限 二、 三 一、三、四 k<0 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点4：一次函数的图像变换 平移：“上加下减在常数项，“左加右减”在自变量。平移前后k不变。 【注意】两直线平行，两直线的斜率k值相等。 对称 关于x轴对称：y=kx-b(k、b均变号)： 关于y轴对称：y=kx+b(k变号，b不变)： 关于原点对称：y=kx-b(k不变，b变号)。 旋转：绕原点旋转90可利用坐标变换(xy)→(y,x)或y,-x),结合垂直关系看k1k2=-1,求解 新解析式。 知识点5：一次函数与方程不等式 与一元一次方程的关系：方程kx+b=0的解台直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 与一元一次不等式的关系：kx+b>0的解集对应图象在x轴上方的部分；kx+b<0对应下 方部分。 两直线交点：联立方程组，解即为交点坐标。 【题型演练】 【题型一：一次函数图像性质】 1.已知点(4，)，(2,2)都在直线y=- 2x+2上，则与，的大小关系是.（) A.y>y B.y=y C.<y2 D.不能比较 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，直接把点(-4，y),(-3,y)代入直 线y=宁+2，求出男与头的位，关比较英大小同可，然一衣西数图象上名点的坐标一 定适合此函数的解析式是解答此题的关键， 【详解】解：点（4，).(2⅓)都在直线y=-2+2上， =- (←4042=2+2-4=2+2=-1+2=1. 1 4>1, .> 故选：A。 2.若三点(3子)经 都在函数y=x(k<O)的图象上，则y、y2、y的大 小关系为() A.乃>y2> B.y2>y>y3 C.>> D.y3>y2>y 【答案】A 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，根据k<0,可得y随x的增大而减小， 从而可得答案。 【解】解：三点（分（子）合） 都在函数y=kx(k<O)的图象上， 而k<0, ∴.y随x的增大而减小， y>y2>, 3 故选：A 3.关于函数y=x+k-2(k为常数)，下列说法不正确的是() A.当k≠0时，该函数是一次函数 B.若点A(-1,y),B(3y2)在该函数图象上，且乃<y2,则k>0 C.若该函数图象不经过第四象限，则k>2 D.该函数图象恒过点(-1，-2) 【答案】C 【知识点】识别一次函数、已知函数经过的象限求参数范围、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的性质等： A.由一次函数的定义得即可判断； B将点A(-1,),B(3y2)代入解析式，由片<y2,即可判断： C.当k-2=0时，当k-2≠0时，即可判断： D.解析式化为y=k(x+1)-2,当x+1=0时，即可判断： 理解一次函数定义及性质是解题的关键， 【详解】解：A由一次函数的定义得，结论正确，不符合题意： B.y=-2,y2=4h-2,y<y2,.-2<4h-2,解得：k>0,结论正确，不符合题意： C当k-2=0时，k=2,y=2x,此时不经过第四象限；当k-2≠0时，函数图象不 [k>0 经过第四象限， k-2>0 ,解得k>2;k≥2，结论错误，符合题意； D.y=k(x+1)-2,当x+1=0时，x=-1,y=-2,.函数图象恒过点（-1，-2)，结论正确， 不符合题意； 故选：C 4.对于一次函数y=-3x+4,下列结论错误的是（) A.函数的图像与x轴的交点坐标是(0,4) B.函数值随自变量的增大而减小 C.函数的图像不经过第三象限 D.函数的图像向下平移4个单位长度得到y=-3x 4 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点 问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的增减性，一次函数图像与系数的关 系以及一次函数图像与平移进行分析判断即可. 【详解】解：A、当y=0时，3+4=0，解得x=子函数的图像与x轴的交点坐标是 3 ,0 不是(0,4)，故符合题意： B、由于y=-3x+4中的k=-3<0,可知函数值随自变量的增大而减小正确，故不符合题意： C、由于y=-3x+4中的k=-3<0,b=4>0,所以函数的图像不经过第三象限正确，故不 符合题意： D、一次函数y=-3x+4的图像向下平移4个单位长度得到y=-x十4-4=-3x正确，故不符 合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、一次函数增减性、平移的性质以及一次函数图 像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键. 5.一次函数y=ax-a+3(a≠0)中，当x=1时，可以消去a,得y=3.结合一次函数图象 可知，无论a取何值，一次函数y=ax-a+3(a≠0)的图象一定过定点(1,3)，则定义像这样 的一次函数图象为“点旋转直线”，若一次函数y=(a-3)x+a+3(a≠3)的图象为“点旋转直 线”那么它的图象一定经过定点() A.(-1,6) B.（1,6) C.(1,-6) D.(-1,-6) 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式 【分析】把一次函数y=(a-3)x+a+3整理为y=ax+1)-3x+3,再令x+1=0,求出y的值即 可 【详解】解：一次函数y=(a-3)x+a+3整理得 y=a(x+1)-3x+3, .令x+1=0,则x=-1, .y=6, 5 ∴.它的图象一定经过点(-1,6) 故选：A. 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定 适合此函数的解析式是解答此题的关键 6.在平面直角坐标系xoy中，若一次函数y=c+b的图像由直线y=c(k>O)向上平移3 个单位长度得到，则一次函数y=+b的图像经过的象限是() A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数 的图象 【分析】向上平移，则b=3,根据图像位置与系数的关系判断. 【详解】解：由题知，b=3, ,k>0 位于第一、二、三象限. 故选：A. 【点睛】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键， 7.将函数y=3x+1的图象平移，使它经过点(1,1)，则平移后的函数表达式是 【答案】y=3x-2 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入 即可得出答案. 【详解】解：新直线是由一次函数y=3x+1的图象平移得到的， ,新直线的k=3,可设新直线的解析式为：y=3x+b. :经过点(1,1)，则1×3+b=1, 解得b=-2, '.平移后图象函数的解析式为y=3x-2; 故答案为y=3x-2. 【点睛】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k 6 和b的值的变化. 8.在平面直角坐标系中，一次函数y=-3(k≠0)的图象向上平移3个单位长度后经过点P, 且y随x的增大而减小，则点P的坐标可能是() A.(3,0 B.(-1,-2) C.(2,3) D.(-1,6) 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识，结合题意，根据一次函数的性质可得： k<0,原函数为y=-3,向上平移3个单位后得到y=,由各选项中点的坐标，利用 次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，取k值 为负的选项即可得出结论 【详解】解：，一次函数y随x的增大而减小， .k<0, 原函数为y=c-3,向上平移3个单位后得到y=x A.当x=3,y=0时，则0=k3,解得k=0,不符合题意，故该选项不符合题意： B.当x=-1,y=-2时，则-2=k(-1),解得k=2>0,不符合题意，故该选项不符合题意： C.当x=2,y=3时，则3=k2,解得k=1.5>0,不符合题意，故该选项不符合题意； D.当x=-1,y=6时，则6=k(-1),解得k=-6<0,符合题意，故该选项符合题意： 故选：D 9.一次函数y=-2x-3,当m≤x≤n时，函数y的取值范围是c≤ysd,那么代数式d-C n-n 的值是 【答案】2 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数中k=-2<0所得性质是解决本题的关键， 先分析一次函数y随x的增大而减小，再将点带到一次函数解析式中可得d与m的关系，c 与n的关系，代入即可求解， 【详解】解：一次函数中k=-2<0, y随x的增大而减小， ,当≤x≤n时，函数y的取值范围是c≤y≤d, .当x=m时，y=d;当x=n时，y=c, .(m,d),(n,c)在一次函数图象上， .d=-2-3①，c=-2n-3②， .d-c=2(n-m, d-c_2(n-m 2=2. n-m n-n 故答案为：2. 10.已知一次函数y=c+b,当-2≤x≤3时，-1≤y≤9，则k= 【答案】2或-2 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，分两种情况，分别把x=-2,y=-1; x=3,y=9和x=-2,y=9;x=3,y=-1代入到函数解析式解答即可求解，掌握一次函 数的性质是解题的关键。 【详解】解：当x=-2,y=-1:x=3,y=9时， [-1=-2k+b 9=3k+b [k=2 解得b=3 当x=-2,y=9；x=3,y=-1时， 「9=-2k+b -1=3次+b’ 「k=-2 解得b=5 .k=2或-2， 故答案为：2或-2. x+a≤5x-2 11.若实数a使得关于x的不等式组 x-3<X:2有且只有2个整数解，且使得关于x的一 2 次函数y=(a+1)x-a+5不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为() A.7 B.9 C.12 D.14 8 【答案】c 【知识点】己知函数经过的象限求参数范围、由不等式组解集的情况求参数 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于α的不等式，求出此 时a的取值范围：再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a的不等式组，再次求出 a的取值范围，两项综合求出a最终的取值范围，则问题得解. x+a≤5x-2① 【详解】 -3<2 ② 2 解不等式①得：x≥a+2 4 解不等式②得：x<4, 不等式有解，则解为： a+2≤x<4, 4. 不等式组有两个整数解， 则这两个整数解为3,2， 1<a+2s2,解得2<a≤6： 4 ,一次函数y=(a+)x-a+5不过第四象限， a+1>0 则有 -a+5≥0'解得-1<as5: 综上：2<a≤5 .a的整数值有：3,4,5， 则其和为：3+4+5=12， 故选：C. 【点睛】本题考查了解不等式组和一次函数的图像的性质，根据不等式组只有两个整数解和 函数不过第四象限等条件求出α的取值范围是解答本题的关键 12.己知一次函数y=(m+3)x+m-2的图象如图所示，则m的取值范围为() A.m>-3 B.m<2 C.m<-3或m>2D.-3<m<2 【答案】D 【知识点】己知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是关键；由图象知 m+3>0,且m-2<0,解不等式组即可求解 【详解】解：由图象知，函数图象从左往右是上升的，即m+3>0;且图象与y轴交点位于 y轴负半轴上，即m-2<0, +3>0 m-2<0' 解得：-3<m<2, 故选：D. 13.己知一次函数y=r+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2,0)，则关于 x的不等式a(x-1)-b>0的解集为 A.x<-1 B.x>-1 c.x>1 D.x<1 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【详解】解：，一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限， .b>0,a<0, 把(2,0)代入解析式y=ax+b得：0=2a+b, 解得：2a=-b b-2, a .a(x-1)-b>0, ∴.a(x-1)>b, a<0, ix1<b a x<-1, 故选A. 14.在正比例函数y=x(m为常熟，且m≠0)中，y随x的增大而增大，则函数y=-x-m 的大致图象为() 10 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的图象和性质.先根据正比例函数y=x的 增减性，可得m的取值范围，再求出y=-r-m于x轴的交点坐标和与y轴的交点坐标， 即可进行解答。 【详解】解：，正比例函数y=x的函数值y随x的增大而增大， .>0, .-m<0, ∴，函数y=-心-m的图象大致是 故选：D b 15.一次函数y=+b与y=x(k,b为常数，且b≠0)，它们在同一坐标系内的图象 可能为() 【答案】C 11 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y=c+b图象分析可得k、b的符 b 号，进而可得名的符号，从而判断yx的图象是否符合，进而比较可得答案。 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数y=+b图象可知k>0,b<0,则2<0： k 正比例函数y=x的图象可知之>0，故此选项不符合题意； b k k b 对于B、由一次函数y=+b图象可知k<0,b>0,则二<0： 正比例两数y名的图象可知会0，故北选项不符合感离： b k b 对于C由一次函数y=+b图象可知k<0,b>0,无0： 正比例函数y-无x的图象可知2<0，故此选项符合匙意： b 对于D、由一次函数y=c+b图象可知k>0,b>0,无>0： 正比例函数y=。x的图象可知之<0，故此选项不符合题意. 16.如图，正比例函数y=kx,y=mx,y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则 比例系数k,m,n的大小关系是() v=kx v=mx y=nx A.n<m<k B.m<k<n C.k<m<n D.k<n<m 【答案】A 【分析】根据函数图象所在象限可判断出k>0,m>0,n<0,再根据直线上升的快慢可得 k>m,进而得到答案. 【详解】解：，正比例函数y=kx,y=mx的图象在一、三象限， ∴.k>0,m>0, ,y=kx的图象比y=mx的图象上升得快， .∴.k>m>0 'y=x的图象在二、四象限， 12 .n<0, ..k>m>n, 故选：A. 【点睛】本题考查了正比例函数图象，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的 一条直线， 当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大：当k<0时，图象经过二、四象限， y随x的增大而减小。 【题型二：方程与不等式】 1.已知一次函数y=+b(k、b为常数)的图象如图所示，那么关于x的不等式+b>0的 解集是() 4 3 v=kx+b 1234 -2 -3H A.x>0 B.x<0 C.x<2 D.x>2 【答案】c 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的 方法解决问题. 一次函数y=x+b的图象在x轴上方时，y>0,再根据图象写出解集即可. 【详解】解：函数y=kx+b的图象经过点(2,0)， ∴.当x<2,直线y=c+b在x轴的上方， .关于x的不等式x+b>0的解集是x<2. 故选：C. 2.一次函数y=kx和y=-x+3的图象如图所示，则关于x的不等式>-x+3的解集是() 13 y=-x+3 A.x>1 B.x≥1 C.x<2 D.x≤2 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】观察图象可得当x>1时，函数y=的图象在函数y=二x+3的图象的上方，即可求 解. 【详解】解：观察图象得：当x>1时，函数y=的图象在函数y=x+3的图象的上方， .关于x的不等式r>-x+3的解集是x>1. 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解答是解题的关键. 3.已知一次函数乃=kx+b与y,=k2x+b,大致图象如图所示，当y>y时，x的取值范围 是() yA vI=kx+b y2-kxx+b, A.x>3 B.x<3 C.x<2 D.x>2 【答案】c 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两直线的交点的横坐标即可求解，从 图象中获取相关信息是解题的关键。 【详解】解：由图得：一次函数y=kx+b与y2=k,x+b,图象的交点为(2,3)， 14 当乃>2时，x的取值范围为：x<2, 故选：C 4.如图，一次函数y=ax+b(a≠0)和y=x+n(m≠0)与x轴的交点分别为A(-3,0)和 ax+b>0 B(1,O).则关于x的不等式组 的解集是 x+n≥0 v=ax+b B A y=mx+n 【答案】-3<x≤1 【知识点】求不等式组的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】利用函数图象，写出两个函数图象在x轴上所对应的自变量的范围，然后根据不等 式组解集的表示方法求解. 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低， 即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集， 【详解】解：一次函数y=ax+b(a≠0)和y=x+n(m≠0)与x轴的交点分别为A(-3,0)和 B(1,0) .当x>-3时，ax+b>0;当x≤1时，x+n20, ∴关于x的不等式组 mr+n≥0的解集是-3<rs1 r+b>0 故答案为：-3<x≤1 5.直线y=c+b(k,b是常数)与直线y=r(m为常数)相交于点P(-3,1),则方程组 x-y=-b的解为() x-y=0 x=3 x=1 x=-3 X=-9 A. B. y=-1 y=-3 y=1 D y=3 【答案】C 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 15 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，熟练掌握两条直线的交点坐标与 二元一次方程解的关系是解题的关键.根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组 的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解。 【详解】解：'直线y=+b(k,b是常数)与直线y=x(m为常数)相交于点P(-3,1), [y=mx x=-3 ∴方程组 y=在+b的解为 y=1, 故选：C. 6.如图，一次函数y=+b(a,b为常数且a<0)与正比例函数y,=x化为常数且k>0)的图 象交于点P(-4,-2),则关于x的方程(a-k)x+b=0的解是 2= y=ax+b 【答案】x=-4 【知识点】己知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数的交点问题， 根据交点作答即可 【详解】解：：一次函数y1=m+b(a,b为常数且a≠O)与正比例函数y2=x(k为常数且 k≠0)的图象交于点P(-4,-2), ∴关于x的方程ax+b=的解是x=4, 即关于x的方程(a-k)x+b=0的解是x=-4. 故答案为：x=-4. 7.下表分别是一次函数y=kx+b和y=kx的图象上部分点的坐标： y=kx+b 16 -4 y=k2x 1 y=kx+b 则方程组 y=k,x 的解为 x=1 【答案】 y=-1 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据待定系数法确定函数解析式后解答即可. 【详解】解：把(0，-4)和(1，-1)代入y=kx+b, 「b=-4 可得： k+b=-1' 解得： [k=3 b=-4 所以乃=3x-4: 把(2，-2)代入y=k2x,可得：-2=2k2, 解得：飞2=-1， 所以y2=-x, y=3x-4 联立两个方程可得： V=-x x=1 解得： (y=-1 x=1 故答案为： y=-1 【点睛】此题考查一次函数与方程组的关系，关键是根据两个函数的交点即为方程组的解集. 8.如图，直线y=+1与y,=bx+m交点的横坐标为2，则以下结论正确的是() 17 y2=bx+m yi=ax+1 A.a>0,b<0 B.>0 C.当x=2时，y=2 D.当x>2时，乃>2 【答案】C 【知识点】己知函数经过的象限求参数范围、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，及一次函数图象和性质，解题的关键是掌 握一次函数的性质。 根据一次函数的性质得到a>0,b>0,m<0,则可对A、B选项进行判断；利用直线交点的 横纵坐标满足其解析式可对C选项进行判断；结合函数图象，当x>2时，直线y2在直线 的上方，即y,>乃，从而可对D选项进行判断， 【详解】解：：直线y=ax+l经过第一、二、三象限，直线=bx+m经过第一、三、四 象限， ∴.a>0,b>0,m<0,所以A、B选项都不符合题意； :直线y=ax+1与2=bx+m交点的横坐标为2， ·x=2时，乃=，所以C选项符合题意： 当x>2时，片<y,所以D选项不符合题意. 故选：C. 9.如图，一次函数y=+b与y=cx+d的图象交于点P.下列结论：①d<b;②ac>0; ③+=e+d;④当x>1时，x+b<cx+d.其中正确的结论有 V y=ax+b y=cx+d 18 【答案】①③④ 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据两条直线的交点求不等式的解集、 一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图 象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集.也 考查了一次函数图象，先根据直线与y轴的交点位置可对①选项进行判断；根据一次函数 的性质对②选项进行判断：根据交点坐标的意义可对③进行判断；结合函数图象写出一次 函数y=+b的图象在y=cx+d的图象上方的取值范围，从而可对④进行判断： 【详解】解：一次函数y=+b与y=cx+d的图象分别交y轴于点(O,b),(0,d), .b>d,所以①正确： 一次函数y=m+b的图象经过第二、四象限， .a<0, :一次函数y=cx+d的图象经过第一、三象限， .c>0, ac<0,所以②错误： 一次函数y=+b与y=cx+d的图象的交点P的横坐标为1， a+b=c+d,所以③正确； 当x>1时，cx+d>ax+b,所以④选项符合题意. 故答案为：①③④ 10.在平面直角坐标系xOy中，直线：y=x+n(,n为常数，且m≠0)上的两点的横坐 标和纵坐标的对应值如下表： V Q 2-a 下列结论：①方程x+n=a的解为x=-1;②若a>0,则wm>0.③若对于任意x,总 有0.6x+1>m+,则n=0.7:④过点O作OP11,垂足为P,侧则0P的最大值为5.其 2 中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号) 【答案】①③④ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、垂线 19 段最短、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系、求一次函数解析式、一次函数与不等式的 关系、两点间距离公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键， 由表格结合直线的表达式即可判断①：先用a表示出、n,然后判断m的正负即可；③ 根据一次函数解析式判断③即可；先求得直线L过定点C 然后根据两点之间垂线段 最短以及两点间距离求解即可判定④ 【详解】解：由表格以及函数解析式可得：当x=-1时，y=a,所以方程心+n=a的解为 x=-1,故①正确： 2(1-a) a=-m+n 由题意可得： 3 l2-a=2m+n' 解得： N= a+2 3 a>0, n=a+2 3 >0,1= 21-@不一定大于零， 3 ∴.m>0不一定成立，即②错误： 若对于任意x,总有0.6x+1>x+n,即y=0.6x+1的图象始终在y=x+n的图象上方， 这两条直线平行， =0.6, .0.6= 2(1-a) ,解得：a=0.1, 3 ∴.n 0.1+2-0.7,即③正确： 3 a=-m+n 2-a=2+n1 ∴.两式相加可得：m+2n=2, .y=x+n,m=2-2n, .y=(2-2n)x+n=2x-2x+n=2x+n4-2x), 令1-2x=0解得：y=2x分1， 直线过完点c， 根据垂线段最短，OP的最大值为原点O到定点C 的距离，即 20 oc 二OP的最大值为5 2 【题型三：一次函数与几何综合】 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= 3+8的图象分别与x、y轴交于点A、8, 点M是线段AB的中点，连接OM,作MN⊥OM于点M交y轴于点N,则线段MN= B A 【答案】 43.75 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数值，解答本题的关键是明确 题意，需利用数形结合的思想解答， 根据题意，可以先求出点A和点B的坐标，然后即可求得点M的坐标，再根据勾股定理即 可得到OM的长，再根据锐角三角函数即可求得N的长. 【详解】解：一次函数yr+8 .当x=0时，y=8；当y=0时，x=6: ∴点A的坐标为(6,0)，点B的坐标(0,8) :点M是线段AB的中点， ∴点M的坐标为(3,4)， .OM=V32+4=5, .N⊥OM, tan☑MoN=N-3 OM 4' 21 即N3 54 解得W= 4 故答案为： 15 2.如图，点A的坐标为(1，O),点B在直线y=一×上运动，当线段AB最短时，点B的坐 标为() B A.(0,0) B.(-3,) c.(5,-5)0.3,-y 2, 2 【答案】D 【知识点】配方法的应用、一次函数与几何综合 【详解】，B在直线y=x上，.设B坐标为(a,a), 则48f=a-+i=2a-2a+1=24a-+ 所以，当a即8（分，一宁》时，A8最缸放选D 3.如图，点A的坐标为(-1,0)，直线y=x-2与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B在直 线y=x-2上运动.当线段AB最短时，点B的坐标为() y=x-2 A ) B B.(1,-1) c引 D.(0,-2) 【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，当线段 22 AB最短时，AB⊥BC,判定出ABC是等腰直角三角形，得出AB=CB,作BH⊥AC于 点H,根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出 AH=CH=B班-多，进而得出OA-号即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入y=x-2。 即可得出点B的坐标 【详解】解：当线段AB最短时，AB⊥CD, 在y=x-2中，当x=0时，y=-2;当y=0时，x=2, .C(2,0),D(0,-2), ∴.OC=OD=2, ∴.∠OCD=∠ODC=45°. ,AB⊥CD, ,∠OAB=45°， ∴.∠OAB=∠OCB=45°， ∴ABC是等腰直角三角形， .AB=CB 作BH⊥AC于点H,则△ABH,△CBH都是等腰直角三角形， y=x-2 A OH .) 2 2 0H=2-31 22’ 即点B的横坐标为分， 把点B的横坐标代入y=x-2,可得：y=-3 B13 22 故选：A. 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(2,0)，边长为2，若 23 直线y=-x+b与正方形ABCD有交点，则b的取值范围是() B A.2≤b≤4 B.3≤b≤5 C.4≤b≤6 D.2≤b≤6 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法 正确求出函数的解析式.当直线y=-x+b过A或C时，求得b,即可得到结论. 【详解】解：：正方形ABCD的顶点A的坐标为(2,0)，边长为2， .C(4,2), 当直线y=-x+b经过点A时，0=-2+b,此时b=2. 当直线y=-x+b经过点C时，2=-4+b,此时b=6. 所以，直线y=-x+b与正方形ABCD有交点，则b的取值范围是2≤b≤6 故选：D 5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A(3,1),C(9,3),且AB∥x轴，直线 :y=3x+b与线段CD交于点E,当线段DE上有3个整点（包含线段端点）时，b的取值 范围为 【答案】-15<b≤-12 【知识点】一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算.根据题意得到点D到点C之 间的整点有3,4,5,6,7,8,9，结合题意得到点E的横坐标的范围为5≤xg<6,分别 24 代入计算即可求解 【详解】解：，四边形ABCD是矩形，顶点A(3,1),C(9,3),且AB∥x轴， D(3,3),B(9,1), ,点D到点C之间的整点有3,4,5,6,7,8,9， ,线段DE上有3个整点（包含线段端点）时，即点E的横坐标的范围为5≤x。<6, 6 5 4 2 B 123456789x 当x:=5,即点(5,3)在直线：y=3x+b上时，3=3×5+b, 解得，b=-12, 当点xg=6,即点(6,3)在直线：y=3.x+b上时，3=3×6+b, 解得，b=-15, ,b的取值范围为-15<b≤-12， 故答案为：-15<b≤-12. 6.如图，函数y=的图象与正方形ABCD的边AB和AD同时相交，且交点不与顶点A、 B、D重合.已知点A的坐标为(1,2)，点C的坐标为(2,1)，点D的坐标为(2,2)，则k的可 能取值为() v-kx /B 012 A.k=1 B.k=2 C.k=3 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 25 【分析】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象与系数的关系、正方形的性质， 解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键，依据题意得，直线y=kx是过原点 的一条直线，又点A的坐标为(1,2)，点C的坐标为(2,1)，点D的坐标为(2,2)，且四边形 ABCD为正方形，故B(1,1),则直线y=x过B(1,1)时，k=1,即直线为y=x,故此时D(2,2) 也在该直线上，又当直线y=过A(1,2)时，则k=2,可得直线y=2x,又函数y=kx的图 象与正方形ABCD的边AB和AD同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合，故结合图象即 可判断得解 【详解】解：由题意得，直线y=k是过原点的一条直线， :点A的坐标为(1,2)，点C的坐标为(2,1)，点D的坐标为(2,2)，且四边形ABCD为正方 形， .B(1,1), 直线y=过B(1,1)时，k=1,即直线为y=x,故此时D(2,2)也在该直线上. 又当直线y=x过A(1,2)时，则k=2,可得直线y=2x, 作出图象 V v=kx A D :函数y=x的图象与正方形ABCD的边AB和AD同时相交，且交点不 71B 0 1 与顶点A、B、D重合， .结合图象可得，1<k<2, 故选：D 7.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC是平行四边形，A(6,0),C(1,4),直线 y=x-1与BC,OA分别交于M,N,且将口OABC的面积分成相等的两部分，则k的值 是() 26 A 6 B. C.1 D 21 7 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式和平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即 可求解，熟知“过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形的面积”是解题的关键. 【详解】解：如图，连接AC,OB交于点E, N A ,四边形OABC是平行四边形， ,AE=CE,即E为AC中点， A(6,0),C(1,4, ,直线y=kx-1将口OABC的面积分成相等的两部分， 7 直线y=-1过点22 2=7k-1,解得：= 2 7’ 故选：B 8.如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4,0),B(-2,-1),C(3,0),D(0,3),当过点B的直 线I将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线I所表示的函数表达式为() 11 6 A.y= 0t 5 C.y=x+1 2 【答案】D 27 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】由已知点可求四边形AsCD分成面积-子XACx,+3头子水4=14：求出cD的 直线解析式为y=x+3,设过B的直线I为y=kx+b,并求出两条直线的交点，直线1与x轴的 交点坐标， 即可求k. 【详解】解：由A(-4,0),B(-2,-1),C(3,0),D(0,3), .AC=7,D0=3, 四边形ABCD分成面积-子×4Cx,3头7x414, 可求CD的直线解析式为y=-x+3, 设过B的直线l为y=+b, 将点B代入解析式得y=x+2k-1, 4-2k5k-1 ∴直线CD与该直线的交点为 k+1’k+1 直线y2-1与轴的交点为可 :k=或k=0, 4 .k=3 Γ41 53 ∴.直线解析式为y=二x+ 4 2 故选D. 【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练 待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键。 9.如图，直线AB的解析式为y=2x+5,与y轴交于点A,与x轴交于点B,点P为线段AB 上的一个动点，作PE⊥y轴于点E,PF⊥x轴于点F,连接EF,则线段EF的最小值为 28 B F 【答案】 【知识点】面积及等积变换、证明四边形是矩形、己知两点坐标求两点距离、一次函数图象 与坐标轴的交点问题 【分析】根据题意可以判断出四边形OEPF是矩形，连接OP,则有OP=EF,在△OAB中， 当OP⊥AB时，OP有最小值，即可得到结果 【详解】解：连接OP,如下图： B ,PE⊥y轴于点E,PF⊥x轴于点F ∴.∠PE0=90,∠PFO=901 又，∠E0F=90 ∴.四边形OEPF是矩形 ∴.OP=EF 在RtoeOAB中，当OP⊥AB时，OP有最小值，如下图： ,直线AB的解析式为：y=2x+5 29 令x=0,则y=5;令y=0,则x=- 5 即40,1，BC0 0A=5,0B=2 六AB2=04+0B=25+25125 44 .AB>0 ·AB-5V5 2 .OB.OA=AB.OP ..Op= OB.OA 25 2 AB 255 V5 即EF=OP=√5 故答案为：√5 【点睛】本题考查矩形的判定，直角三角形勾股定理，等面积法等相关知识点，根据知识点 内容解题是关键， 10.如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域OABC.点O为科技展览 中心，A、C分别为位于主干道x=1和x=4上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置）， 点B为园区管理中心.现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路OB 的最小长度是( A.3 B.7 C.5 D.√26 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，确定点H的运动轨迹是解题的关键. 由平行四边形的性质可得OH=BA4=CH,可得OB=20H,点H的横坐标为子，则点 H在直线=移动，即可求解。 【详解】解：如图，连接AC交OB于H, 30 :四边形OABC是平行四边形， ∴.OH=BH,AH=CH, ∴.OB=2OH, :A、C分别为位于主干道x=1和x=4上， :点H的横坐标为2， ∴点H在直线x= 移动： 2 :OH的最小值为2： .OB的最小值为5， 故选：C 11.如图，在平面直角坐标系中，直线a的解析式为y=x+1,直线b的解析式为y=5, 3 直线a交y轴于点A,以OA为边作第一个等边三角形△OAB,交直线b于点B,过点B作y轴 的平行线交直线a于点A,以AB为边作第二个等边三角形△ABB,交直线b于点B,…, 顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为() A B A.22019 B.22000 C.4038 D.4040 【答案】A 【知识点】一次函数的规律探究问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾 股定理解三角形 【分析】延长AB交x轴于D,A,B,交x轴于E,根据等边三角形的性质得OA=OB,AB=BB, 48=品，8，直线b的解析式为y=V5 令<B○D=30°，由直线a的解析式y=E 31 个等边三角形边长为1，解R△08D得0D怎，D=宁把9代入y-在+1求得 2 A的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第 2020个等边三角形的边长. 【详解】解：延长AB交x轴于D,延长AB交x轴于E, V a B :△OAB,△BAB,△BAB2均为等边三角形， B B ..OA=OB,AB=BB,A.B =B,B, ~直线6的解折式为：y- 3t, ∠B0D=30, 对于直线a,y=3x+1,当x=0时，y=1, ∴点A的坐标为(0,1)， ..OA=OB=1, 在Rt△OBD中，OB=1,∠BOD=30°， .a-o-OD-3 对于y=x+1,当=5时，y= 5 2 一点4的坐标为5，马 40多 .AB=BB=AD-BD=2=2, .OB =OB +BB =3, 在Rt△OBE中，OB1=3,∠B,OE=30°， 32 2'03 ..BB= :点，的幽标为 对于y=x+1,当x=35时，y 11 2 2N 48= 21 ∴.AB=AE-BE=4=22, 同理得：AB,=2,…, 以此类推，第n个等边三角形的边长为2”1， ∴.第2020个等边三角形的边长为22019. 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、含30度角直角三 角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质找出第个等边三角形的边长为2”-1是解题 的关键. 33 【知识梳理：面积问题】 ①公式法：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面 积，直接用面积公式 4p 图1 图 图3 ②割补法：如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角 形的面积，用“割”或“补”的方法. ③等积变形 如图4，同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等。 如图5，同底三角形的面积比等于高的比. 如图6，同高三角形的面积比等于底的比. 图4 图5 图6 图7 ④铅锤法：如图7，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线 之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度h叫做 4ABC的铅锤高”。我们可得出一种计算三角形面积的铅锤法：SAABC=h 铅锤法的解题思路： 1.设动点P的坐标为(t,at2+bt+c),过点P做辅助线： 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式（一般为二次函数的形式）： 3.写出表示面积的二次函数的顶点式，求出最值，即可得到三角形面积的最值 模型1 模型2 模型3 2CD·lx-xA S△AB= 2AD·lxB-xe =BD.Ie-al 34 【题型演练】 1.如图，直线y=hx+b(k≠0)经过点A(0,3),与x轴交于点C,与直线y=-2x交于点 B(-1,m). (1)求直线AC的解析式； (2)当+b>-2x时，直接写出x的取值范围： (3)点D是直线AC上一点，若S△ocD=2SocB,求点D的坐标. 【答案】(1)y=x+3 (2)x>-1 (3)点D的坐标为(1,4)或(-7，-4) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一 次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求解 析式是关键。 (1)把点B的坐标代入直线y=-2x求得m的值；然后将点A、B的坐标分别代入直线 y=c+b,列出关于系数的方程组，通过解方程组求得答案； (2)根据函数图象写出x的取值范围； (3)由三角形的面积公式，求出点D的纵坐标，进而即可求解. 【详解】（1)解：'直线y=-2x经过点B(-1,m), ∴.l=-2×(-1)=2. .B(-1,2) b=3 将A(0,3),B(-1,2)分别代入直线y=c+b,得 -k+b=21 35 b=3 k=1 .y=x+3; (2)解：由函数图象知，当+b>-2x时，x的取值范围为：x>-1; (3)解：令y=0,则0=x+3,解得x=-3, .C(-3,0), ∴So0m=7×3x2=3, 2 设点D的纵坐标为hp, 由题意得Socn=2SocB=6, ÷3=6 解得h2=4或hp=-4, 当h2=4时，4=x+3,解得x=1: 当h。=-4时，-4=x+3,解得x=-7; ,点D的坐标为(1,4)或(-7,4) 2.已知一次函数y=c+b(k,b为常数且k≠0)的图象经过点A(2,0)和y轴上一点B, 且与y= 2t平行. 3 3-2-10 123衣 -1 -2 -3 (1)求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象： (2)当-2<x<4时，请结合图象，直接写出y的取值范围 (B)若点P在直线x=1上，且△BP的面积等于，求点P的坐标。 36 1 【答案】(1)一次函数的表达式为y=-二x+1,作图见解析： 2 (2)-1<y<2: 3)P(1,2)或P(1,-1). 【知识点】比较一次函数值的大小、画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、 求一次函数解析式 【分析】1)一次函数y=c+b与y=平行可求得k的值，进而把420)代入一次函数. 得出b,从而求得一次函数的表达式，再画出图象即可； (2)当x=-2时，x=4代入一次函数的表达式可得出对应y的值，结合图像即可得解： (3)根据铅锤法求面积即可得解. 【详解】(1)解：：一次函数y=c+b(k,b为常数且k≠0)的图象经过点A(2,0)和y轴 上一点，且与y平行 /k=-1 2 0=2k+b 1 解得 k=-2, b=1 1 ∴.一次函数的表达式为y=- x+1, 1 在平面直角坐标系内画y=-二x+1如下图， y+13 -3-2-10123龙 -1 -2 -3 (2)解：当x=-2时，=(-2+1=2. 1 当x=4时，y=-2×4+1=-1, 即可图像可得-2<x<4时，-1<y<3, 故答案为-1<y<2: 以 (3)解：设P(1,m,x=1与直线y=-二x+1相交于点D, y=- x+13 2 B D 3-2-10 五23龙 -1 2 -3 1 1 当x=1时，y=- :AABP的面积等于子点420)，=方+1与y箱交于点8， 2 2=2 3 113 解得m=2或m=-1, .P(1,2)或P(1,-1). 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，以及一次函数的图象和图象上点的 坐标特征，掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键。 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+8交x轴、y轴于A、B两点，直线y=:+5 3 交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，OC=OD,两直线相交于点E. O D A 0 备用图 (1)求k的值与线段AB的长： (2)若F为直线AB上一动点，连接FC、FD,当SACDE=10时，求点F的坐标； (3)若F为线段AE上的动点，G为线段DE上的动点，当△ODG≌△GO时，求点G的坐 38 标. 【答案】(1)k=-1,AB=10: a后93： 1124 377 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算、三角形全等 等，证明Scor=Scow是解题的关键 (1)由特定系数法求出函数表达式。得到k值，直线子+8交x轴、y轴于A、5两点， 则点A、B的坐标分别为：(-6,0)、(0,8)，则AB=10; (2)由N/CD,则8=SmDNxy时子Bu+85水510，即可求解， 17 (3)由△ODG2△GFO,得到FD=OD=5,即可求解. 【详解】(1)解：直线y=x+5交y轴于C,则当x=0时，y=5, C(0,5), .0C=5, .OC=OD ..OD=5 .D(5,0) 将点D的坐标代入函数表达式得：0=5k+5, 解得，k=-1, 则直线CD的表达式为：y=-x+5, :直线y=4x+8交x轴、y轴于A、B两点， 3 当x=0时，y=8,当y=0时，x=-6, ∴点A、B的坐标分别为：（-6,0)、(0,8)， 则AB=V-6-0)2+(0-8)2=10: (2)解：过点F作直线N∥CD交x轴于点N,设点Fm,m+8 39 E A D 则直线N的表达式为：y=-(x-m)+ 3+8, 则点N居+80，则D子n85小， N/CD,则Sm=Dx左G”+8水=10， 1 17 解得：一3度 360 则点F坐标为77 或(-3,4)； (3)解：如图， 当△ODG≌△GFO时，OD=GF,OF=DG, ,四边形DOFG是平行四边形， ∴.OF平行于直线CD:y=-x+5, 则OF解析式为v=-x y=-x 联立 4 y=。x+8 3 24 x=- 7 解得 24 7 40 2424Y F点坐标为 77 OD=GF=5且OD∥GF, 24 24 5,7 1124 G坐标为 > 7’7 1124 综上，点G坐标为77) 4.如图-1，在菱形ABCD中，∠A=30°，AB=4,点E为边CD的中点，动点P从点A出发， 沿折线A→B→C方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C时停止运动，连接 EP,EB,设点P的运动时间为x秒，记△EPB的面积为y, 7 6 2 01234567主 图-1 图-2 (1)当x= 秒时，点P到达点C处： (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. (3)在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出(2)中的函数图象并根据图象直接写出 △EPB的面积不大于2时自变量x的取值范围. 【答案】(1)x=4 -2x+4(0≤x<2) (2)y= x-2(2<x≤4) (3)1≤x≤4且x≠2 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、含30度角的直角 三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了动点问题、菱形的性质、含30度直角三角形的性质、函数图象与 不等式等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键， (1)先根据菱形的性质求得BC+AB=8,再根据速度、路程、时间的关系即可解答： (2)分点P在AB上和BC上两种情况、分别根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、 三角形面积公式求解即可； (3)先根据(2)得到的函数解析式画出函数图象，然后根据函数图象即可解答. 41 【详解】(1)解：，菱形ABCD,AB=4, .BC=AB=4, .BC+AB=8, “点P到达点C处时，x=8=4 2 (2)解：①当点P在AB上时，即0≤x<2时， 如图：分别过D、E作DF⊥AB,EG⊥AB,则BP=4-2x, B F A 在菱形ABCD中，∠A=30°，AB=4. :CD∥AB,AD=AB=4,即DF=AD=2, 2 .EG=DF=2, Aa阳的面积为8PBG=0-2)x2=4-2x,即y=-2x+40≤<2)： ②当点P在BC上时，即2<x≤4时， 如图：分别过E作EH L BC,则BP=2x-4 D '在菱形ABCD中，AB=4,点E为边CD的中点， 1D=2, CD=AB=4,即CB= ∠A=30°， :m-cR-1. A8的面积为P-Bm-x-4x1=-2,即v=-22<54), -2x+4(0≤x<2) 综上，y关于x的函数解析式为y= x-2(2<x≤4) -2x+4(0≤x<2) (3)解：根据y 画出函数图象如下： x-2(2<x≤4) 42 6 5 4 32 O1234567x 图-2 由函数图象可得：△EPB的面积不大于2时自变量x的取值范围为1≤x≤4且x≠2 5.如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A,一次函数y=+b的图象经过点B(0,-1), 与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D,且点D的横坐标为1. y=kx+b y=x+1 D B (1)点D的坐标是()，直线BD的解析式是_： (2)连接AC,求△ACD的面积 (3)点P是直线BD上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m,△ADP的面积为S,请 直接写出S与之间的关系式. 【答案】(1)1,2)；y=3x-1 a [1-(m<1) 3)S= -1(>1) 【知识点】一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】(1)根据D点横坐标及y=x+1得出纵坐标进而得出D点坐标；最后通过两点坐标 43 得出一次函数解析式： (2)根据各点坐标即三角形面积公式即可求出； (3)分情况讨论，利用图形面积的和差以及三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】(1)解：将x=1代入函数y=x+1得D点纵坐标为2， 将点B(0,-1)；D1,2),代入y=ac+b得： [k+b=2 b=-1 k=3 解得 b=-1’ 故解析式为：y=3x-1, 故答案为：(1,2)：y=3x-1: (2)解：如图： D A ○ 易知，点A的坐标为(0)，AB=1+1=2,点C的坐标为兮0)， (3)解：①如图，点P在BD之间： 44 D > 0 B P/ So=S60-S=-21对-2xm月 =1-(0≤m<1): ②点P在B点下方，如图： D P 0 B P SA0=3.eo+及.4an=2xl×+2x(-m× =1-(m<0): ③点P在D点的上面 A B S.PD=.Am-8. m-1; 2 1-mm<1) 综上所述：S= -1(m>1) 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的图形的面积的求 解，会分割图形面积是解题的关键 6.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CDDA运动至点A停止，设点 P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的周长是 D 9 图1 图2 【答案】18 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出AB,BC的 长度是解决问题的关键，根据函数的图象、结合图形求出AB,BC的值，即可得出矩形ABCD 的周长。 【详解】解：：动点P从点B出发，沿BC,CD,DA运动至点A停止，而当点P运动到点C,D 之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变， 46 说明BC=4,x=9时，接着变化，说明CD=9-4=5, AB=5,BC=4, ∴.矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=18. 故答案为：18. 7.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90,点D是BC的中点，动点P从点C出发沿C-A-B运 动到点B停止.设点P的运动路程为x,△PCD的面积为y,y与x的图象如图2所示，则 Rt△ABC的面积为() VA B D 图1 图2 A.10 B.16 C.20 D.40 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图 象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问 题、解决问题的能力.解决本题的关键是求出AC和BC的长.由图象可知：当x=4时，y等 于4，由此可得出CD的长，进而得出BC的长；当x=10时，面积最大，且面积发生转折， 此时点P和点A重合，可得AC=10,由直角三角形的面积公式求出面积即可. 【详解】解：由图象可知：当x=4,即CP=4时，△PCD=4 .8.c=PC.CD=4,x4.CD=4, 2 解得CD=2, 点D是BC的中点， .BC=4, 当x=10时，面积发生转折，此时点P和点A重合， ∴.AC=10, 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AC=10, S24C8C=x10x4=20 2 故选：C. 47 8.如图1，已知直线1与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,3),以A为直角顶点在第 一象限内作等腰Rt△ABC,其中上∠BAC=90°，AB=AC, 图1 图2 备用图 (1)求直线1的解析式和点C的坐标： (2)如图2，点M是BC的中点，点P是直线1上一动点，连接PM、PC,求PM+PC的最 小值，并求出当PM+PC取最小值时点P的坐标： (3)在（2)的条件下，当PM+PC取最小值时，在直线PM上是否存在一点Q,使 -0s?若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由。 S△AP阳=9 【答案】(1)y=-3x+3;(4,1) (215: 3)存在： 93(2) 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、全等的性质和ASA (AAS)综合(ASA或者AAS)、已知两点坐标求两点距离 【分析】(1)用待定系数法即可求得直线I的解析式，过点C作CD⊥x轴，利用AAS证明 △AOB≌△CDA,结合其性质可得点C的坐标； (2)根据中点坐标公式可得M(2,2),延长CA至E,使得CA=AE,即点A为CE的中点， 可知E(-2,-1),AB垂直平分CE,连接PE,则PE=PC,得PM+PC=PM+PE≥EM,当 点P在直线EM上时取等号，由勾股定理求得M=5,利用待定系数法得直线EM的解析 31 式为y= ,当点P在直线EM上时，即直线EM与直线AB相交，联立方程组即可求 得此时点P的坐标为 (3)根据题意得SPe= 0 -103_5 SA08=g23 过点A作AF⊥x轴交直线PM于F,可知 48 分情况：当点Q在点F右侧时，当点Q在点P、点F之间时，当点2在点P左侧 时，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】(1)A(1,0),B(0,3), .OB=3,OA=1, 设直线l的解析式为y=x+n, 将A(1,0),B(0,3),代入y=x+n得， m+n=0 n=3, =-3 解得： (n=3’ ∴y=-3x+3, 过点C作CD⊥x轴，则∠AOB=∠CDA=∠BAC=90°， .∠BAO+∠CAD=∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠BAO=∠ACD, D 又AB=AC, ∴.△AOB≌aCDA(AAS), .AD=OB=3,OA=CD=1, .OD=4, 则点C的坐标为(4,1)： (2)由(1)可知，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(4,1)， ,点M是BC的中点， .点M的坐标为 4+01+3 、2,2 即：M(2,2), 延长CA至E,使得CA=AE,即点A为CE的中点， .点E的坐标为(2×1-4,2×0-1)，即E(-2,-1), 49 P ∠BAC=90°， .AB垂直平分CE, 连接PE,则PE=PC, ∴.PM+PC=PM+PE≥EM,当点P在直线EM上时取等号， 由勾股定理可得：EM=V(-2-2+(-1-2)=5, 设直线EM的解析式为：y=mx+h, 3 2%+h=2 nh=- 4 -2+=-1解得： 则 1 乃= ·直线BM的解析武为：y=3x+ 4 当点P在直线EM上时，即直线EM与直线AB相交， [y=-3x+3 2 x= 得 31,解得： 3； 2 y=1 即此时点P的坐标为 综上，PM+PC的最小值为5，此时点P的坐标为 (3)存在，理由如下： ,S△AOB= 0Ao8= 1x33 1 1035 9 过点A作AF⊥x轴交直线PM于F, t时=1，剥-分即F) a-子则w分化分经引品 当点Q在点P右侧时，e方4P(。x)星化-)， 50 88194}子k 3 10 解得：x2= 3 10 当。=3时，% 310.1 +=3， 432 即此时点Q的坐标为 当点Q在点P、点F之间时，SAPo<SaMP 24,不符合题意； 5 当点Q在点左时、风g=方4F(化-)小方子1-) B M S.=SAF-S.ARP= ×3x1-xg)厂243 55 241 解得：x2=-2, 当5-2时，。(-2到+3-1， 3 2 即此时点2的坐标为(-2，-1)： 综上，在在点e的华标为（侣3或(2-），及e=号 【点睛】本题考查了图形与坐标，待定系数法求函数解析式，一次函数，两直线交点坐标与 二元一次方程组解的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是 解题的关键。 9.如图1，在平面直角坐标系中，直线hyx+5与x轴，y轴分别交于A.B两点.直线l2:y-4x+b 与lh交于点D(一3,8)且与x轴，y轴分别交于C、E. (1)求出点A坐标，直线2的解析式： (2)如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP,一动点Q从C出发，沿线段CP以 51 每秒1个单位的速度运动到点P,再沿着线段PD以每秒√个单位的速度运动到点D停止， 求点Q在整个运动过程中所用最少时间与点P的坐标： (3)如图3，平面直角坐标系中有一点G(m,2),使得Sc6ScE8,求点G的坐标. 图1 图2 图3 【答案】(1)A(5,0),y-4x-4: (2)8秒，P(-1,6) aa(原 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】(1)根据1解析式，y=0即可求出点A坐标，将D点代入2解析式并解方程，即可 求出2解析式 (2)根据OA=OB可知△ABO和ADPQ都为等腰直角三角形，根据路程和速度，可得点Q 在整个运动过程中所用的时间为PC+PO,当C,P,Q三点共线时，t有最小值，根据矩形的 判定和性质可以求出P和Q的坐标以及最小时间. (3)用面积法Sc=SHEGSAHCG,用含m的表达式求出ScEG,根据Sc6ScEB可以求出 G点坐标. 【详解】(1)直线l1yx+5,令y=0,则x=5, 故A(5,0). 将点D(一3,8)代入2：y-4x+b, 解得b=-4, 则直线2的解析式为y一4x4. .点A坐标为A(5,0),直线2的解析式为y-4x-4. 52 (2)如图所示，过P点做y轴平行线PQ,做D点做x轴平行线DQ,PQ与DQ相交于点Q, 可知ADPQ为等腰直角三角形，DP=√2QP D P B H 依题意有t- PC PD-PC*PO 1√2 当C,P,Q三点共线时，t有最小值，此时PC+PO=8 故点Q在整个运功过程中所用的最少时间是8秒，此时点P的坐标为(-1,6)· (3)如图过G做x轴平行线，交直线CD于点H,过C点做CJ⊥HG. D 2 上的解析武，可得点H(-,2),E(0,一4)，C 根据1的解析式，可得点A(5,0),B(0,5) 周e到 1 2*9x1s 9 2 及m=-8子nGK-分x-c字 3 2 又S CEGS CEB 53 9 所以2+2 解得 4%15 3 4 4 故G(2 【点睛】本题考查一次函数的综合题、待定系数法、平行线的性质、等高模型、垂线段最短 等性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于压 轴题 10.如图，四边形OABC为矩形，且点B的坐标为(6,3)，点D为x轴负半轴上一定点，点E 为y轴负半轴上一点，且OB=OC,点F为边BC上一动点（点F不与点C重合），过点F作 直线l∥DE,直线l分别交x轴，y轴于点G,M,连接DF,DF交y轴于点N. M G (1)求点E的坐标： (2)连接AF,若AF+DF的最小值为10，求直线DE的解析式： 3)设5=11 CNCM:当点P在边BC上运动时，S的值是否会发生变化？如果不变，求s的 值；如果变化，求$的最大值. 【答案】(1)点E的坐标为(0，-3) 3 (2)y=- 3 B点F在运动过程中，S的省始终不变，值为 【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、根据 矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识 点，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键， (1)先求出C点坐标，再由OE=OC求出E点坐标即可； 54 (2)如图：作点A关于BC的对称点H,连接FH,FA,当D,F,H共线时取等号，FD+A 的最小值为10，即HD=10,进而求出D点坐标，然后运用待定系数法求解即可： (3)设D0=L,CF=m,由aMCT∽aEOD,求出CM=3m 由CNFOND,求出 CN=3m 然后代入计算即可解答. t+m 【详解】(1)解：：OABC为矩形，点B(6,3), .点C(03), 又，OE=OC, OE=3, ∴点E的坐标为(0，-3) (2)解：如图：作点A关于BC的对称点H,连接FH,FA, H M .FH=FA, D .FD+FA=FD+FH≥HD, 当D,F,H共线时取等号， 又，FD+FA的最小值为10， .HD=10, 又点B(6,3), ∴.点H(6,6),即A=6, 在Rt△HAD中，AD2+AH2=HD2, .AD2+62=102,解得：AD=8, .OD=HD-AD=2, 点D的坐标为(-2,0)， 55 设直线DE的解析式为y=c+b, 又由(1)知E(0,-3) 「-2k+b=0 b=-3 b=-3 ,解得：k= 3， 2 3 .DE的解析式为y=-二x-3. 2 (3)解：定值为 1 设DO=t,CF=m, :DE∥MF, ∴.∠CMF=∠DEO, ,四边形OABC为矩形， ∴.BC∥AD,∠BCO=∠AOC=90°，即∠MCF=∠DOE=90°， .△MCF∽AEOD, .CMCF ,即CL_, ·OEO 3=f,解得：CM=3m、 BC∥AD, .∠CN=∠NDO, .∠CNF=∠DNO, .ACNF∽aOND, CN CF ,即CW", 3 NO DO 3-CN,解得：CN- t+m S=1-1=1+m11 CN CM 3 3m 3 56 【知识梳理：实际应用】 知识点1一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系， 当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所 需要的结果. 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解 题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径 知识点2用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手 段.读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义。 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数y1,y2,当自变量的值为x时，函数值都为yo或当函 数值为yo时，自变量的值都为xo 当自变量的值x>xo时，函数值y1>y2,即对同一自变量x的值， 图象在上面的函数值大 当自变量的值x<x时，函数值y1<y2,即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 【题型演练】 1.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上 升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x (单位：s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是() y/m 分 40 30 δ x/s 57 A.5s时，两架无人机都上升了40m B.10s时，两架无人机的高度差为30m C.乙无人机上升的速度为6m/s D.10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键，根 据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项 中的说法是否正确，本题得以解决。 【详解】解：由图象可得， A.5s时，甲无人机上升了40m,乙无人机上升了40-30=10(m),故错误； C.甲无人机的速度为：40÷5=8(n/S),乙无人机的速度为：(40-30)÷5=2(/s),故错 误： B.10s时，两架无人机的高度差为：(8×10)-(30+2×10)=30(m),故正确； D.10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10=80(m),故错误； 故选：B. 2.甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地.乙车出发1后，甲车才沿相同的路线开始行驶.甲 车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段 表示从开始到相遇止，两车之间的距离y(k)与甲车行驶的时间x(h)的函数关系的图象， 则() y/(km) A 80------- 60 1.5 bcd x/(h) A.甲车速度是120km/h B.A、B两地的距离是360km C.乙车出发4.5h时甲车到达B地 D.甲车出发4.5h最终与乙车相遇 【答案】C 58 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题， 分析两车之间的距离y(km)与甲车行驶的时间x(h)的函数关系的图象，从图中找到关键信 息点进行求解. 【详解】解：点(0,60)中可知，乙1小时行驶了60km, .乙的速度60kam/h, 点(1.5,0)中可知，1.5h后，甲追上乙， 甲的速度为60x+1.5)=1o0km/n, 1.5 由点(b,80)可知，甲到B地，且甲乙相差80km,则： 80 b= +1.5=3.5, 100-60 点(c,a)可知，休息30分钟， ∴.c=3.5+0.5=4,a=80-60x0.5=50: 100+604+ 点(d,0)可知，甲乙再次相遇，d=4+,50 +名4 A.甲车的速度是100km/h,故A错误，不符合题意： B.由以上分析己知甲出发3.5h后到达B地，且甲速度为100kh,所以A,B两地为 100×3.5=350(km),故B错误，不符合题意； C.甲车3.5h到达B地，乙车比甲车早出发1h,所以乙车出发4.5h时甲车到达B地，故C 正确，符合题意： D.从图中15,0)和(d0)可知，甲出发1,5h和4与乙车相遇，故D错误，不符合题意。 故选：C 3.A、B两地相距360am,甲车以100am/h的速度从A地驶往B地，乙车以80am/h的速度 从B地驶往A地，两车同时出发，设乙车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(), 则y与x之间的函数关系的图象是() 59 个y/km y/km 720 A.360 B.360 288 0 23.6 x/h 2 4.5x/h 个y/km 个y/km 720-------- C.360 D. 360 288 288 23.64.5x/h 23.64.5x/h 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题（一次函数的实际应用） 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意，得到两车相遇前后的函数表达式，结合两车 的速度求解即可. 【详解】解：由题意，甲车全程用时360÷100=3.6(kmh),乙车全程用时360÷80=4.5(km/h); 两车相遇前的函数表达式为y=360-80x-100x=360-180x(0≤x≤2)， 两车相遇后的函数表达式为y=100t+80x-360=180x-360(2<x≤4.5)， 当y=0时，由360-180x=0得x=2,即乙车行驶2小时后两车相遇， 当x=3.6时，甲车到达B地，此时两车之间的距离为y=180×3.6-360=288: 此后，乙车继续前行，两车之间的距离缓慢变大， 当x=4.5时，乙车到达A地，此时两车之间的距离y=360, 综上，选项A、B、D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C. 4.某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同 的路线同时前往目的地.小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留 了一会后继续保持原速前往.如下图是两辆巴士距学校的距离y(km)与行驶时间x(h)之间 的图象，结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km;②a=3: 60 ③当x=!时，两辆巴士相遇，④小巴士返回的速度为6Okh,其中描述正确的是 4 (填入正确的序号) 180- 120 22.5a 【答案】①③④ 【知识点】行程问题（一次函数的实际应用） 【分析】本题考查一次函数的应用， ①观察图象即可；②根据速度=路程÷时间和时间=路程÷速度计算即可；③分别求出当 2.5≤x≤3.5时大巴士y与x的函数关系式和当2≤x≤5时y与x的函数关系式，令两函数值 相等，求出相遇x的值，即相遇时间即可；④根据速度=路程÷时间计算即可。 【详解】解：大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km, ∴①正确，符合题意； 大巴士行驶速度为120÷2=60(km/h), 2.5+(180-120)÷60=3.5(h), .a=3.5, ∴②不正确，不符合题意： 当2.5≤x≤3.5时，大巴士y与x的函数关系式为y=120+60(x-2.5)=60x-30 当2≤x≤5时，小巴士行驶速度为180=(5-2)=60(m/h),则y与x的函数关系式为 y=180-60(x-2)=-60x+300, 当两辆巴士相遇时，得60x-30=-60x+300, 11 解得x= 4 11 x=4时，两辆巴士相遇， ∴③正确，符合题意； 由②可知，小巴士返回的速度为60km/h, 61 ④正确，符合题意 故答案为：①③④ 5.甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校1500m的图书馆去看书，甲步行， 乙骑自行车.图1中OD,Ac分别表示甲、乙离开学校的路程y(m)与甲行走的时间x(nin) 之间的函数图象。 Ad/m Ay/m 360----- 1500 D 240 - B 6 21 25 x/min 6 121518212427x/min 图1 图2 (1)求线段AC所在直线的函数表达式： (2)设d(m)表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全d关于x的函数图象；（标注必要的数 据) (3)当x在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为210m. 【答案】(1)y=100x-600 (2)答案见解析 1sx≤43 3)35≤x≤或s 4 2 【知识点】行程问题（一元一次方程的应用）、求一元一次不等式的解集、动点问题的函数图 象、行程问题（一次函数的实际应用） 【分析】(1)根据待定系数法求解： (2)设甲出发x分钟后相遇，列方程，计算相遇时的时间，可补全图象； (3)分相遇前后两种情况求解即可， 【详解】(1)解：设AC所在直线的表达式为y=+b,把(6,0)、(21,25)代入得 [0=6k+b 1500=21k+b k=100 解得 b=-600’ 62 所以AC所在直线的函数表达式y=100x-600; (2)甲的速度：1500÷25=60(m/min), 乙的速度：1500÷(21-6)=100(mmin), 设甲出发x分钟后两人相遇，则 60x=100(x-6, 解得x=15, 即甲出发15分钟后两人相遇，此时d=0, 21分钟后乙到图书馆，甲距图书馆1500-60×21=240米， 因此图象如下： Ad/m 360 240 6 121518212425x/min (3)设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为210m. ①当乙没出发时，60x≥210， 解得x≥3.5： 当甲乙相遇前，即x≤15时 60x-(100.x-600)≥210 部得程。 x≥3.5， 即35srs39 时甲、乙两人之间的路程至少为210m: ②当甲乙相遇后，即x>15时 100x-600-60x≥210， 解得x≥8 乙到达终点后， 1500-60x≥210， 63 解得xs43」 2 即81 时甲、乙两人之间的路程至少为210m: 43 综上当35≤xs39或1≤x≤2分钟时甲、乙两人之间的路程至少为210m. 41 【点睛】本题考查一次函数，方程和不等式应用，确定数量关系或不等量关系是解答关键。 6.某科技公司对甲、乙两款人形机器人的行走性能进行测试.已知测试跑道AB的长为120m, 甲、乙两款机器人同时从起点A向终点B行走，甲机器人以2/s的速度匀速行走，乙机器 人以/s的速度匀速行走了40s后，再以2/s的速度匀速行走，结果两款机器人同时到达 终点B.两款机器人距离起点A的路程y(m)与行走时间x(s)之间的函数关系如图所示. y/m 120 O 40 (1)求a的值； (2)甲、乙两机器人出发多长时间相距10m? 【答案】a (2)20s或50s 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题（一次函数的实际应用） 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由函数图象获取信息，正确理解题意，读懂函数 图象是解题的关键。 (1)先求出甲机器人走完全程时间，然后再列一元一次方程求解： (2)分别求出y和yz关于x的函数关系式，再根据相距10m,得到y-y2=10,从而建 立一元一次方程求解。 【详解】(1)解：由图象可得，甲机器人走完全程时间为120÷2=60s, .由题意可得，40a+(60-40)x2a=120, 解得：a=3 2 (2)解：由(1)可得C(60,120), 64 设=kx,代入C(60,120)得：60k=120, 解得：k=2, ∴.m=2x(0≤x≤60)， 3 a= 六40a=40×g=60, 2 .D(40,60), 当0≤x≤40时，同理可求：2=x(0≤x≤40)： 当40<x≤60时，设yz=k2x+b2, 40k2+b2=60 代入D(40,60),C(60,120)得： 60k2+b,=1201 k2=3 解得： 1b,=-601 ,y2=3x-60(40<x≤60)， 当甲、乙两机器人相距10m时， 则2x-=10成2x6x60)10, 分别解得：x=20s或x=50s, .甲、乙两机器人出发20s或50s时相距10m. 7.端午节来临之际，西凉村为增强凝聚力，传承龙舟精神，准备购买若干条龙舟举办龙舟 赛.经调查，某公司有A、B两种龙舟可供选择，每条A型龙舟售价比B型龙舟售价低0.4 万元，用16万元购买A型龙舟和用20万元购买B型龙舟的数量相同. (1)求A,B两种龙舟的售价分别为多少万元？ (2)经协商，该公司承诺：每条A型龙舟在售价的基础上减免0.2万元；每条B型龙舟在售 价的基础上打七五折.若购进的80条龙舟中，B型龙舟的数量不少于A型龙舟数量的2倍， 该村应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1)每条A型龙舟售价为1.6万元，则每条B型龙舟售价为2万元； (2)购进A型龙舟26条，购进B型龙舟54条时，总费用最少， 65 【知识点】分式方程的经济问题、其他问题（一次函数的实际应用）用一元一次不等式解决 实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意， 找出数量关系是解题关键. (1)设每条A型龙舟售价为x万元，则每条B型龙舟售价为(x+0.4)万元，根据“用16万 元购买A型龙舟和用20万元购买B型龙舟的数量相同”列分式方程求解即可； (2)设购进A型龙舟的数量为a条，则购进B型龙舟的数量为(80-4)条，列不等式求出a 的取值范围，令总费用为y,根据题意，得出y关于α的函数关系式，再根据增减性求解即 可 【详解】(1)解：设每条A型龙舟售价为x万元，则每条B型龙舟售价为(x+0.4)万元， 16 由题意得： =20 xx+0.4 解得：x=1.6, 经检验，x=1.6是原方程的解， x+0.4=2, 答：每条A型龙舟售价为1.6万元，则每条B型龙舟售价为2万元； (2)解：设购进A型龙舟的数量为a条，则购进B型龙舟的数量为(80-a条， 则80-a≥2a, 解得：as80 令总费用为y, 由题意得：y=(1.6-0.2)a+2×0.75(80-a)=-0.1a+120, -0.1<0, .y随a的增大而减小， a为正整数， ∴.当a=26时，y有最小值， 此时80-a=54, 即购进A型龙舟26条，购进B型龙舟54条时，总费用最少. 8.某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架.其中A型无人 机的抗损耐用率为80%.B型无人机的抗损耐用率为95%.已知若采购10架A型号、30 66 架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元.（注： 无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例.) (1)采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ (2)社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于85%，请问如何购买可以使得采购费用最 低？ 【答案】(1)采购A型无人机每架需要200元，采购B型无人机每架需要300元： (2)当采购A型无人机26架，采购B型无人机14架，可以使得采购费用最低。 【知识点】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）、用一元一次不等式解决实际问题、其 他问题（一次函数的实际应用） 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数应用. (1)设采购每架A型无人机需要x元，采购每架B型无人机需要y元，根据“若采购10架 A型号、30架B型号无人机需要11000元：若采购20架A型号、20架B型号无人机需要 10000元”列二元一次方程组求解即可； (2)设采购A型无人机a架，采购B型无人机(40-)架，总费用为"元，先根据总抗损 耐用率不低于85%求得a≤26，再列得w关于a的一次函数，利用一次函数的性质求解即可. 【详解】(1)解：设采购A型无人机每架需要x元，采购B型无人机每架需要y元， 10x+30y=11000 根据题意得 20x+20y=10000’ x=200 解得 y=300 答：采购A型无人机每架需要200元，采购B型无人机每架需要300元： (2)解：设采购A型无人机a架，采购B型无人机(40-a@架，总费用为v元， 这两种无人机的总抗损耐用率不低于85%， :08a+0.9540-a≥0.85， 40 解得a526 ,a为整数， .a≤26， 由题意得1=200a+300(40-a)=12000-100a, 67 :-100<0, .随a的增大而减少， ,当a=26时，w有最大值，最大值为9400元， 此时40-a=14, 答：当采购A型无人机26架，采购B型无人机14架，可以使得采购费用最低. 9.某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买A,B两种 型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买.其中A型机器人模型单价比B型机器人模 型单价多80元，购买3台A型机器人模型和购买5台B型机器人模型的费用相同. (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买A型和B型机器人模型共20台，且购买B型机器人模型的数量不超过A型 机器人模型数量的3倍，设购买A型机器人模型台，购买A,B两种型号机器人模型共花 费w元，求出w关于a的表达式，并求出购买多少台A型机器人模型时，w取值最小？最小 是多少？ 【答案】(1)A型机器人模型的单价是200元，B型机器人模型的单价是120元 (2)购买5台A型机器人模型时，w取值最小，最小是2800元 【知识点】方案选择（一元一次方程的应用）、最大利润问题（一次函数的实际应用）、用一元 一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确 理解题意、找准相等与不等关系、得出方程与不等式是解题的关键 (1)设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是(x-80)元，根据题意， 列出方程，即可求解： (2)设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型(20-a)台，根据题意，列出不等 式，得到α的取值范围，再得到w关于α的函数关系式，然后一次函数的性质解答即可. 【详解】(1)解：设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是(x-80)元， 根据题意得： 3x=5(x-80), 解得：x=200, .x-80=200-80=120, 68 答：A型机器人模型的单价是200元，B型机器人模型的单价是120元： (2)解：设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型(20-a)台，根据题意得： 20-a≤3a, 解得：a≥5， .5≤a<20, 根据题意得：1v=200a+120(20-a)=80a+2400, .80>0, w随着x的增大而增大， .a=5时，W最小，W最小=80×5+2400=2800， 答：购买5台A型机器人模型时，w取值最小，最小是2800元 10.综合与实践 背 6月下旬，华南地区高温高湿，某高端花圃为保障中秋花卉订单及名贵品种背景（如 景 蝴蝶兰)的精细化栽培，采购了若干个新型材料制成的塑料花盆. 2cm 素 如图为该塑料花盆叠放在一起的示意图，若一个塑料花 材 盆高为18cm,每增加一个花盆，高度增加2cm. 18cm 问题解决 任 (1)若该花圃购买了n个塑料花盆，将其全部叠放在一起，则叠放高度h(单位；cn) 务 与塑料花盐个数n的表达式为：： 任 (2)若该花圃准备使用甲种纸箱来包装塑料花盆，已知该纸箱的高度为60c,其底 水 面恰好可以放入1个花盆，每个纸箱的上下底都要装上2c厚的防震泡沫板，求每 二 个甲种纸箱最多能装下多少个塑料花盆： 任 (3)现塑料花盆供应商另提供了乙种纸箱，每个最多可以装下15个塑料花盆.已知 务 甲、乙两种纸箱的单价分别为3元/个和2元/个，若该花圃要采购1200个塑料花盆， 三 69 计划用甲、乙两种纸箱共70个来包装塑料花盆，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支 出的包装费用最少？最少是多少？ 【答案】(1)h=2+16(2)20(3)甲种纸箱30个、乙种纸箱40个，170元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题（一次函数的实际应用）、其他问 题（一次函数的实际应用） 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，根据变量的变化规律写出 与的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键， (1)根据变量的变化规律解答即可： (2)根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集即可： (3)设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱(70-x)个，根据题意列关于x的一元一次不等 式并求其解集，设包装费用为y元，写出y关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和 x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可， 【详解】解：(1)h=18+2(n-1)=2n+16, ∴.h与n的表达式为h=2n+16. 故答案为：h=2n+16. (2)根据题意，得2n+16+2×2≤60， 解得n≤20， ∴.每个甲种纸箱最多能装下20个塑料花盆， (3)设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱(70-x)个. 根据题意，得20x+15(70-x)≥1200， 解得x≥30 设包装费用为y元，则y=3x+2(70-x)=x+140, 1>0, ·y随x的增大而增大， x≥30， .当x=30时y值最小，y最小=30+140=170， 70 70-30=40(个). 答：选用甲种纸箱30个、乙种纸箱40个使得支出的包装费用最少，最少是170元. 11.己知当地的商业用电收费规则为：月用电量不超过210度的部分，按0.6元/度计费：月 用电量超过210度但不超过400度的部分.按0.65元/度计费：月用电量超过400度的部分.按 0.9元/度计费.设该餐厅月用电量为x度，应缴电费为y元. (1)求出y与x之间的函数关系式： (2)若该餐厅上月缴纳电费230元，则该餐厅上月用电多少度？ 0.6x(0≤x≤210) 【答案】(1)y={0.65x-10.5(210<x≤400) 0.9x-110.5(x>400) (2)370度 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值，正确理解题意列出对应的函数关系 式是解题的关键。 （1)根据所给收费标准列出对应的函数关系式即可； (2)可推出210<x<400,则把y=230代入y=0.65x-10.5中求出x的值即可得到答案。 【详解】(1)解：当0≤x≤210时，y=0.6x; 当210<x≤400时，y=210×0.6+0.65(x-210)=0.65x-10.5: 当x>400时，y=210×0.6+0.65×(400-210)+0.9(x-400)=0.9x-110.5: 0.6x(0≤x≤210) 综上所述，y=0.65x-10.5(210<x≤400)； 0.9x-110.5(x>400) (2)解：，210×0.6=126<230<210×0.6+(400-210)×0.65=249.5， .210<x<400, .0.65x-10.5=230, 解得x=370, 答：该餐厅上月用电370度 12.阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元： 第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05 71 元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元. (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式： (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量， 【答案】(1)该交183元电费 「0.6x,x≤240 (2y= 0.65x-12,240<x≤400 0.9x-112,x>400 (3)该居民家10月份的用电量为360度 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意. (1)根据题意可直接列式进行求解： (2)根据题意可分当x≤240时，当240<x≤400时和当x>400时，然后分类求解即可： (3)先判断出该居民家10月份的电费为第二档，再根据(2)中函数关系式可进行求解。 【详解】(1)解：由题意得： 240×0.6+(300-240)×0.65=183(元)： 答：该交183元电费； (2)解：设电费为y元， ①当x≤240时，y=0.6x; ②当240<x≤400时，y=240×0.6+0.65(x-240)=0.65x-12: ③当x>400时，y=240×0.6+0.65×(400-240)+0.9(x-400)=0.9x-112: 0.6x,x≤240 综上所述，y关于x的函数表达式为y={0.65x-12,240<x≤400； 0.9x-112,x>400 (3)解：当x=240时，y=0.6×240=144: 当x=400时，y=0.65×400-12=248: 144<222<248, .该居民家10月份的电费为第二档， 当y=222时，则0.65x-12=222, 解得x=360: 72 答：该居民家10月份用电360度. 13.为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费.具体情况 如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为x立方米，每月所需的水费为y元.请写出超过15立方米不超 过30立方米部分、超出30立方米部分y与x的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，y=3.4x-15;超出30立方米部分， y=7.2x-129 (2)小丽家用水25立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意： (1)根据题意可直接进行求解： (2)根据(1)可把y=70代入y=3.4x-15进行求解即可. 【详解】(1)解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：y=2.4×15+3.4(x-15)=3.4x-15; 超出30立方米部分：y=2.4×15+3.4×15+7.2×(x-30)=7.2x-129; (2)解：由(1)可知： 把y=70代入y=34x-15得：3.4x-15=70, 解得：x=25; 答：小丽家用水25立方米. 73