专题12一次函数与方程(组)不等式及实际应用复习讲义(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题12一次函数与方程(组)不等式及实际应用 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的数形结合关系，明确图象交点、位置与方程解、不等式解集的对应关系 2.熟记一次函数解决实际问题的核心步骤，掌握建模关键（列函数解析式、确定自变量取值范围） 3.理解一次函数最值问题的本质 1.能借助一次函数图象，快速求解方程组的解、确定不等式的解集，实现 “以形助数” 2. 能从实际问题中提取等量关系，建立一次函数模型，规范列解析式并确定自变量取值范围 3. 能结合一次函数增减性，解决实际问题中的最值、方案选择问题，提升建模与应用能力 1.秒解一次函数与方程组 / 不等式的综合基础题，做到数形转化准确、计算无误 2.能规范解答一次函数实际应用题，步骤完整（建模→分析→求解→作答） 3.轻松突破方案选择、最值类中档题，掌握根据增减性判断最值的解题技巧 题型01.直线与坐标轴交点求方程的解 题型02.方程解判断直线与x轴交点 题型03.图象法解一元一次方程 题型04.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型05.两直线交点求不等式解集 题型06.两直线交点与二元一次方程组的解 题型07.图象法解二元一次方程组 题型08.直线围成图形的面积计算 题型09.分配方案问题 题型10.最大利润问题 题型11.行程问题 题型12.梯度计价问题 题型13.其他实际问题 题型14.一次函数与几何综合 解答题6题 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 知识点04:一次函数应用解题四步法（通用） 1.审：找变量，确定自变量 x、函数 y 2.设：设 y=kx+b 3.列：代入两组值，列方程组求 k、b 4.解：写解析式→求函数值 / 自变量→写实际取值范围 知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度时间 一次函数模型： 匀速行驶：s=vt（正比例） 已有路程 + 匀速：s=vt+s0（一次函数） 2. 计费问题（话费、水费、电费、打车） 核心公式：总费用=基础费+超额部分费用 一次函数模型：y=kx+b b：基础费 / 固定费用 k：单价 / 费率 3. 销售利润问题 核心公式： 一次函数模型：y=(p−a)x y：总利润 p：售价，a：进价，x：销量 4. 工程问题 核心公式：工作量=工作效率工作时间 一次函数模型：W=vt+W0​ W0：已完成工作量 5. 几何图形问题 周长类（一次函数）： 面积类（一般不是一次函数）： 核心易错点（避坑关键，记牢不丢分） 1.数形结合类：混淆 “函数图象上下位置” 与 “不等式不等号方向”，漏看图象与坐标轴的交点； 2.方程组结合类：忽略两直线平行 / 重合的情况，误判方程组解的个数； 3.实际建模类：① 列解析式时等量关系找错，单位不统一；② 遗漏自变量的实际取值范围（如只写x>0，未考虑正整数约束）； 4.最值 / 方案类：① 未根据k的符号判断增减性，盲目取端点；② 方案选择时分界点分析不全面，漏看某一区间的最优解； 5.作答类：实际问题解答未结合题意写具体结论（如只求出自变量值，未说明选择哪种方案、最值是多少）。 题型01.直线与坐标轴交点求方程的解 【典例】一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的解为直线与x轴交点横坐标，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当，， ∴方程的解为． 【跟踪专练1】已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为函数图象与轴交点的横坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，该点是函数图象与轴的交点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是， 故选：C． 题型02.由方程解判断直线与x轴交点 【典例】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 【跟踪专练1】如果直线经过点，那么不等式的解集为_________． 【答案】． 【分析】先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围． 【详解】当时，， ∴函数图象还经过点． 如图， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、两条直线相交或平行问题、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点的坐标，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式，设点，利用三角形面积关系建立方程求出值，继而得到点的坐标． 【详解】解：在中，当时，， ， ∵ ∴， 由图象得：， ， 由条件可知：， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， 解得或， 或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数，连接，利用折叠的性质和勾股定理求得，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系，求得的坐标，利用勾股定理即可解答，利用数形结合的思想，用建系法解题是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，，正方形纸片的边长为9， ， , 折叠正方形纸片，使得点落在边上的点， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 则可得， 解得， ，， 如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 则可得， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为, 把代入可得，解得， 直线的解析式为, 联立方程， 解得， ， 则， ， ， 故选：A． 题型03.图象法解一元一次方程 【典例】如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案． 【详解】由条件可知当时，， 方程的解是． 【跟踪专练1】函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点与一元一次方程解的关系，方程的解为两个一次函数图象交点的横坐标，结合已知交点坐标即可求解． 【详解】解：∵函数和图象交点的横坐标，就是方程的解． ∴由题意得，方程的解为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 题型04.直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】若一次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A． B．图象与轴的交点为 C．随的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，关键是根据图象上的点坐标求出函数解析式，再结合一次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，一次函数经过点和． 将代入，得，故A正确． 将和代入，得，解得， ∴函数解析式为． 当时，，解得， ∴图象与轴的交点为，故B正确． ∵， ∴随的增大而增大，故C正确． 当时，则，故D错误． 故选：D． 【跟踪专练1】一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数的图象，找到当时对应的的取值范围即可得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，x的取值范围是． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象过点，且，即可确定不等式的解集． 【详解】解：根据函数图象可知，不等式的解集是：． 题型05.两直线交点求不等式解集 【典例】已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用图象法求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴根据图象得：关于的不等式的解集为． 【跟踪专练2】一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据一次函数与不等式的关系分别判断各选项即可． 【详解】选项①： 从图象可得，一次函数与轴的交点在的左侧，当小于该交点横坐标时，，因此不是所有都满足，结论①错误； 选项②： 一次函数与轴的交点在原点右侧（横坐标大于0），随增大而减小，因此对所有小于交点横坐标，都有， 因为，0小于交点横坐标， 所以时，，结论②正确； 选项③： 两个函数的交点横坐标为，当时，的图象在的图象上方， 因此，结论③正确； 综上，正确的结论有2个． 题型06.两直线交点与二元一次方程组的解 【典例】如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴点的坐标同时满足两个直线的解析式， ∴方程组的解是． 【跟踪专练1】利用如图所示的一次函数的图象，可知二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系， 二元一次方程组的解即为对应的两个一次函数图象的交点坐标，观察图象找出交点坐标即可求解． 【详解】解：由图象可知，直线与直线相交于点， 因为二元一次方程组的解就是这两个一次函数图象交点的坐标， 所以方程组的解为． 【跟踪专练2】已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【分析】两个一次函数图象交点的横纵坐标就是对应二元一次方程组的解，根据交点横坐标求出纵坐标即可得到方程组的解． 【详解】解：已知交点横坐标为， 将代入，得， 两条直线的交点坐标为， 二元一次方程组的解为． 【跟踪专练3】已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①方程组的解为的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据坐标点求出面积；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意． 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， . 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 题型07.图象法解二元一次方程组 【典例】已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 【答案】 【分析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得． 【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【跟踪专练2】已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为________． 【答案】①②④ 【分析】把代入一次函数的解析式可判断①，根据一次函数的增减性可判断②，根据不等式的性质可判断③，画出函数，的简易图象可判断④，从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴直线必经过点；故①符合题意； ∵点，在直线上，且， ∴；故②符合题意； ∵， ∴， ∵，则， ∴，故③不符合题意； ∵（其中），经过点； ∴函数图象如图示，    画的简易图象如图示， 结合图象可得：直线与函数的图象最少有1个交点．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，画函数图象，不等式的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 题型08.直线围成图形的面积计算 【典例】如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．的面积为___； 【答案】8 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数解析式求得，即可得到结论； 【详解】解：令，则有，即，令，则有， ∴， ∴， ∴的面积； 故答案为：8； 【跟踪专练1】已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 【跟踪专练2】已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 【答案】 24 【分析】先将点的坐标代入两个一次函数解析式，求出的值，再得到两个函数与轴交点的坐标，最后利用三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解： 一次函数和的图象都经过点 将代入两个解析式得 ， 解得：， 两个函数解析式分别为， 轴上点的横坐标为，分别令 得， 即 得， 即 都在轴上，因此 点到轴的距离为，即中边上的高为 ． 题型09.分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 【跟踪专练1】某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 【答案】见解析 【分析】先设定印刷份数为变量，分别写出甲、乙两厂的费用函数；再分三种情况(费用相等、甲费用更低、乙费用更低)列方程或不等式，求解对应的印刷份数范围；最后根据求解结果给出不同情况下的选择方案． 【详解】解：设要印刷的说明书份数为份，甲印刷厂的总费用为元，乙印刷厂的总费用为元． 根据题意，甲印刷厂收取每份1元印刷费和元制版费， ∴； 乙印刷厂仅收取每份元印刷费，无制版费， ∴． 当时，即，解得． 此时甲、乙两印刷厂的费用相同． 当时，即， 解得． 此时选择甲印刷厂的总费用更低，更节省费用． 当时，即， 解得． 此时选择乙印刷厂的总费用更低，更节省费用． 答：当印刷说明书份数为份时，选择甲、乙印刷厂费用相同；当印刷份数大于份时，选择甲印刷厂更节省费用；当印刷份数小于份时，选择乙印刷厂更节省费用． 【跟踪专练2】某校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自制，除租用刻录机需120元外，每张还需成本费4元（包括空白光盘费）． (1)分别写出电脑公司刻录费用、学校自刻费用与刻录的光盘张数的关系式； (2)什么情况下到电脑公司刻录费用省？ (3)什么情况下学校自己刻录费用省？什么情况下两种费用相同？ 【答案】(1)电脑公司刻录费用关系式为（，且x为整数）；学校自刻费用关系式为（，且x为整数） (2)当刻录光盘张数少于30张时，到电脑公司刻录费用省 (3)当刻录光盘张数多于30张时，学校自己刻录费用省；当刻录30张时，两种费用相同 【分析】（1）根据题意列出两种刻录方式的费用表达式； （2）根据题意列出不等式求解即可； （3）根据题意分别列出不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设刻录张光盘， 根据题意得，电脑公司刻录费用关系式为（，且x为整数）；学校自刻费用关系式为（，且x为整数）； （2）解：根据题意得， ∴ 解得 ∴当刻录光盘张数少于30张时，到电脑公司刻录费用省； （3）解：当学校自己刻录费用省时， 解得 ∴当刻录光盘张数多于30张时，学校自己刻录费用省； 当两种费用相同时， 解得 ∴当刻录30张时，两种费用相同． 题型10.最大利润问题 【典例】炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 【答案】780 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 【跟踪专练1】年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)元；元 (2)A种购买千克，B种购买千克；元 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 【跟踪专练2】A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） A型号 35 a B型号 42 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 【答案】(1) (2)564 【分析】（1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据“且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根据总利润种型号吉祥物利润种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到的最大值． 【详解】（1）解：由题知，， 解得； （2）解：购买种型号吉祥物的数量个， 则购买种型号吉祥物的数量个， 且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的， ， 解得，（为整数，则取最小值52） 种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍． ， 解得， 即， 由题知，， 整理得， 随的增大而减小， 当时，的最大值为（元）． 题型11.行程问题 【典例】如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用问题，解题的关键是看懂函数图象并掌握待定系数法求一次函数解析式的方法， 先求出第一次相遇的时间，再求出直线的解析式，联立直线的解析式即可得出第二次相遇的时间． 【详解】解：根据甲15-33分钟运动了2千米， 所以可得甲这段时间的速度为：/分， 故从5千米运动至6千米需要9分钟， 即6千米对应的时间为24分钟， 可得：第一次相遇的时间是第24分钟， 故乙的速度为：/分 的解析式为 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 即直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式可得：， 解得：， 即第二次相遇的时间是第38分钟， 所以乙领先甲时的x的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答问题： 信息读取： (1)甲、乙两地之间的距离为______； (2)请解释图中点B，点C和点D的实际意义； 图象理解： (3)求慢车和快车的速度； (4)直接写出线段所表示的y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)900 (2)点B表示两车相遇，点表示快车到达乙地，点表示慢车到达甲地 (3)慢车速度为，快车速度为 (4)， 【分析】（1）由图象可知，当时，，即甲、乙两地之间的距离． （2）点处表示两车相遇，点处斜率变化表示快车到达终点，点处表示慢车到达终点． （3）利用慢车走完全程求慢车速度，利用两车小时相遇求快车速度． （4）先求出点坐标，再用待定系数法求线段的函数解析式． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，， 甲、乙两地之间的距离为． （2）解：点：两车相遇，即两车行驶后相遇， 点：快车到达乙地，即快车行驶后到达乙地， 点：慢车到达甲地，即慢车行驶后到达甲地． （3）解：慢车速度， 设快车速度为， 两车相遇， ， 解得， 慢车速度为，快车速度为． （4）解：快车到达乙地所需时间h， 此时慢车行驶路程， 点坐标为， 设线段的函数解析式为， 将，代入： ， 解得， ，． 【跟踪专练2】甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米小时，结果与甲车同时到达地甲、乙两车距地的路程（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出的值，并求甲车的速度； (2)当时，请直接写出乙车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数关系式； (3)乙车出发多少小时与甲车相距千米？ 【答案】(1)，千米小时 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】（1）观察图象计算a的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可； （2）设乙车在段的速度为v千米/小时，则在段的速度为千米/小时，将D、E的坐标用含v的代数式表示出来，根据路程速度时间列关于v的一元一次方程并求解，从而求出D、E的坐标及乙车在段和段的速度，再按照x的取值范围，分别写出对应的y与x之间的函数关系式并最终写成分段函数的形式即可； （3）求出点C的坐标，从而写出甲车距A地的路程y与乙车行驶时间x之间的函数关系式，按照x的取值范围，当两车相距15千米时，分别列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：小时， ， 千米小时， 甲车的速度是千米小时； （2）解：设乙车在段的速度为千米小时，则在段的速度为千米小时， 则，， 根据图象，得， 解得， 千米小时， ，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，乙车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数关系式为； （3）解：千米， ， 则甲车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数关系式为， 当时，当两车相距千米时，得，解得或， 当时，当两车相距千米时，得，解得舍去， 当时，当两车相距千米时，得，解得． 答：乙车出发小时或小时或小时与甲车相距千米． 【点睛】学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化． 题型12.梯度计价问题 【典例】某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 由于月用电量，电费计算分为两部分：前按元计费，超过部分按元计费即可． 【详解】解：根据题意可得，前的电费为元； 超过部分的电费为元， ∴总电费 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 【跟踪专练2】为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 题型13.其他实际问题 【典例】某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 【答案】1125 【分析】求出函数解析式，把代入求解即可； 【详解】当时，设函数解析式为， 把点代入可得：， 解得：， ； 当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：， 解得：， ， 与的函数关系式为， 当时，． 【跟踪专练1】清明文化节在开封清明上河园开幕．春和景明，游人如织，一旁的非遗市集上，“大宋切糕”“东京汴绣”“吹糖人”“宋室风筝”等传统技艺齐聚登场，让游客沉浸式感受传统文化节日的氛围和魅力．活动举办期间，为缓解交通压力，某共享单车公司为市民提供了普通支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额（元）与骑行时间（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)求普通支付金额（元）与骑行时间（小时）的函数关系式； (2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑车时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 【答案】(1) (2)当骑行小于2小时，用普通支付比较合算；当骑行2小时，两种支付方式一样；当骑行大于2小时，会员卡支付比较合算 【分析】（1）当时，设，根据待定系数法求函数解析式，即可； （2）设会员卡支付金额（元）与骑行时间（小时）的函数关系式为，求出正比例函数解析式，再求出两个函数图象的交点坐标，进而即可求解 【详解】（1）解：当时，， 当时，设， 根据题意，得解得， ， 故普通支付金额（元）与骑行时间（小时）的函数关系式为； （2）解：设会员卡支付金额（元）与骑行时间（小时）的函数关系式为． 由题意得，， ． ． 令，解得． 当骑行小于2小时，用普通支付比较合算；当骑行2小时，两种支付方式一样；当骑行大于2小时，会员卡支付比较合算． 【跟踪专练2】刘大伯开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵5元，用375元在市场上购买的A种菜苗捆数和用300元在菜苗基地购买的捆数一样多． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，菜苗基地为支持刘大伯，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．刘大伯本次购买最少花费多少元？ 【答案】(1)20元 (2)2250元 【分析】（1）设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据用375元在市场上购买的种菜苗和用300元在菜苗基地购买的一样多，列分式方程求解即可； （2）设购买种菜苗捆，根据种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，得，设本次购买花费元，列出一次函数关系式，再由一次函数性质可得本次最少花费多少钱． 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆种菜苗元． 由题意，得，解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为元． （2）解：设在菜苗基地购买捆种菜苗，购买菜苗的花费为元， 则，所以． ∵， ∴． ∵，随的增大而减小． 当时，最小， ∴． 答：本次购买菜苗最少花费元． 【点睛】本题考查分式方程，一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． 题型14.一次函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 【答案】3 【分析】根据题意，可设直线的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到，再根据三角形面积公式计算． 【详解】解：直线直线，则可设直线的解析式为， 又， ，解得， 即直线的解析式为， 又，四边形是长方形， 当时，， ， 又， ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，直线经过点和．另一条直线也经过点A． (1)求k，b，c的值； (2)画出函数与函数的图象； (3)求两直线与x轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用两点法画出函数图象即可； （3）根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴， 解得：， ∵另一条直线也经过点， ∴，解得：； （2）解：由（1）得：两函数解析式分别为和， 对于， 当时，， ∴函数的图象过点， 对于， 当时，， ∴函数的图象过点， 画出函数图象，如图： （3）解：由（2）得： 两直线与x轴围成的三角形的面积为． 【跟踪专练2】已知如图1，点A坐标为，经过点A的直线，交x轴于点B． (1)若直线经过点， ①求k的值； ②求线段的长； ③直接写出点O到直线的最短距离． (2)若，求点的值． (3)如图2，在第一象限有一条线段，其中点，点，从点出发的直线经过x轴反弹后与线段有交点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)①；②；③ (2)或 (3) 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②先求出点的坐标，利用勾股定理即可求解；③设点O到直线的距离为，利用三角形面积公式求出，即为点O到直线的最短距离； （2）设，根据，求出，即可求解； （3）根据直线经过x轴反弹后分别经过点和点为临界，即可解答． 【详解】（1）解：①根据题意得，解得； ②由①知直线的解析式为， 令，解得， ∴， ∴； ③设点O到直线的距离为， 则，即， 解得， ∴点O到直线的最短距离为； （2）解：设，则， ∵， ∴，即 ∴， 当时，则， 将代入直线，得， 解得； 当时，则， 将代入直线，得， 解得； 综上，的值为或； （3）解：设点关于轴对称的点为， 由对称的性质可得，直线经过x轴反弹后所在直线经过点， 当直线经过x轴反弹后所在直线经过点和点时，如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， 则， 将代入直线， 则， 解得； 当直线经过x轴反弹后所在直线经过点和点时，如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， 则， 将代入直线， 则， 解得； ∴从点出发的直线经过x轴反弹后与线段有交点，k的取值范围为． 解答题 1．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)点； (2)当时， (3)； 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴ 点； 令，则， ∴ 点； （2）解：解不等式： 由， 即 解(1)得：； 解(2)得：． ∴ 当时，； （3）解：如图， 由图可知： 方程的解为； 不等式的解集为． 2．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）由题意得，关于的方程的解是； （）由图可得答案． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的一元一次方程的解是， 故答案为：； （2）解：由图可得，一次函数和一次函数图象的交点为， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 3．如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）直接根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数与正比例函数的图象相交于点列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， 即直线的解析式为； （2）解：∵一次函数与正比例函数的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， 即点的坐标为． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）将点、点的坐标代入，解方程组求出、的值，即可求出函数解析式； （2）把代入，求出的值，根据图像即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线过点， ∴， 解得：， ∴由图象可知，当时，． 5．如图，直线：与直线：相交于点，直线，分别与轴交于，两点． (1)求，的值，并结合图象写出关于，的方程组的解； (2)为轴负半轴上的一点，且的面积为9，求点的坐标； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，．若线段的长为4，求出的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为 (3)或 【分析】（1）把代入，可求出a的值，把代入，可求出b的值，再利用图象法可求出方程组的解； （2）求出点．设点，则的长为，利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得点M，N的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：点在直线：上， 把，代入，得， 解得． 点在直线：上， 把，代入，得， 解得． 两直线的交点坐标即为对应方程组的解， 方程组的解为； （2）解：对于直线：， 令，则， 解得， 点． 设点，则的长为， ， 解得， 点的坐标为． （3）解：直线与交于点，与交于点， 线段的长为， 即， 解得或． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积的6倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （3）先求出，再求出，设，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； （2）解：∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 故直线的解析式为； （3）解：令，得， ， ； 设， 令，得， ， ， ∵，则， ， 解得：， 当时，则，即， 当时，则，即， 综上，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一次函数与方程(组)不等式及实际应用 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的数形结合关系，明确图象交点、位置与方程解、不等式解集的对应关系 2.熟记一次函数解决实际问题的核心步骤，掌握建模关键（列函数解析式、确定自变量取值范围） 3.理解一次函数最值问题的本质 1.能借助一次函数图象，快速求解方程组的解、确定不等式的解集，实现 “以形助数” 2. 能从实际问题中提取等量关系，建立一次函数模型，规范列解析式并确定自变量取值范围 3. 能结合一次函数增减性，解决实际问题中的最值、方案选择问题，提升建模与应用能力 1.秒解一次函数与方程组 / 不等式的综合基础题，做到数形转化准确、计算无误 2.能规范解答一次函数实际应用题，步骤完整（建模→分析→求解→作答） 3.轻松突破方案选择、最值类中档题，掌握根据增减性判断最值的解题技巧 题型01.直线与坐标轴交点求方程的解 题型02.方程解判断直线与x轴交点 题型03.图象法解一元一次方程 题型04.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型05.两直线交点求不等式解集 题型06.两直线交点与二元一次方程组的解 题型07.图象法解二元一次方程组 题型08.直线围成图形的面积计算 题型09.分配方案问题 题型10.最大利润问题 题型11.行程问题 题型12.梯度计价问题 题型13.其他实际问题 题型14.一次函数与几何综合 解答题6题 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 知识点04:一次函数应用解题四步法（通用） 1.审：找变量，确定自变量 x、函数 y 2.设：设 y=kx+b 3.列：代入两组值，列方程组求 k、b 4.解：写解析式→求函数值 / 自变量→写实际取值范围 知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度时间 一次函数模型： 匀速行驶：s=vt（正比例） 已有路程 + 匀速：s=vt+s0（一次函数） 2. 计费问题（话费、水费、电费、打车） 核心公式：总费用=基础费+超额部分费用 一次函数模型：y=kx+b b：基础费 / 固定费用 k：单价 / 费率 3. 销售利润问题 核心公式： 一次函数模型：y=(p−a)x y：总利润 p：售价，a：进价，x：销量 4. 工程问题 核心公式：工作量=工作效率工作时间 一次函数模型：W=vt+W0​ W0：已完成工作量 5. 几何图形问题 周长类（一次函数）： 面积类（一般不是一次函数）： 核心易错点（避坑关键，记牢不丢分） 1.数形结合类：混淆 “函数图象上下位置” 与 “不等式不等号方向”，漏看图象与坐标轴的交点； 2.方程组结合类：忽略两直线平行 / 重合的情况，误判方程组解的个数； 3.实际建模类：① 列解析式时等量关系找错，单位不统一；② 遗漏自变量的实际取值范围（如只写x>0，未考虑正整数约束）； 4.最值 / 方案类：① 未根据k的符号判断增减性，盲目取端点；② 方案选择时分界点分析不全面，漏看某一区间的最优解； 5.作答类：实际问题解答未结合题意写具体结论（如只求出自变量值，未说明选择哪种方案、最值是多少）。 题型01.直线与坐标轴交点求方程的解 【典例】一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【跟踪专练2】下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 题型02.由方程解判断直线与x轴交点 【典例】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果直线经过点，那么不等式的解集为_________． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型03.图象法解一元一次方程 【典例】如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【跟踪专练1】函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型04.直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】若一次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A． B．图象与轴的交点为 C．随的增大而增大 D．当时， 【跟踪专练1】一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型05.两直线交点求不等式解集 【典例】已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【跟踪专练2】一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型06.两直线交点与二元一次方程组的解 【典例】如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【跟踪专练1】利用如图所示的一次函数的图象，可知二元一次方程组的解为_____． 【跟踪专练2】已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为___________． 【跟踪专练3】已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07.图象法解二元一次方程组 【典例】已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为________． 题型08.直线围成图形的面积计算 【典例】如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．的面积为___； 【跟踪专练1】已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【跟踪专练2】已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 题型09.分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【跟踪专练1】某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 【跟踪专练2】某校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自制，除租用刻录机需120元外，每张还需成本费4元（包括空白光盘费）． (1)分别写出电脑公司刻录费用、学校自刻费用与刻录的光盘张数的关系式； (2)什么情况下到电脑公司刻录费用省？ (3)什么情况下学校自己刻录费用省？什么情况下两种费用相同？ 题型10.最大利润问题 【典例】炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 【跟踪专练1】年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【跟踪专练2】A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） A型号 35 a B型号 42 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 题型11.行程问题 【典例】如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是__________． 【跟踪专练1】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答问题： 信息读取： (1)甲、乙两地之间的距离为______； (2)请解释图中点B，点C和点D的实际意义； 图象理解： (3)求慢车和快车的速度； (4)直接写出线段所表示的y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围． 【跟踪专练2】甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米小时，结果与甲车同时到达地甲、乙两车距地的路程（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出的值，并求甲车的速度； (2)当时，请直接写出乙车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数关系式； (3)乙车出发多少小时与甲车相距千米？ 题型12.梯度计价问题 【典例】某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 【跟踪专练1】为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【跟踪专练2】为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 题型13.其他实际问题 【典例】某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 【跟踪专练1】清明文化节在开封清明上河园开幕．春和景明，游人如织，一旁的非遗市集上，“大宋切糕”“东京汴绣”“吹糖人”“宋室风筝”等传统技艺齐聚登场，让游客沉浸式感受传统文化节日的氛围和魅力．活动举办期间，为缓解交通压力，某共享单车公司为市民提供了普通支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额（元）与骑行时间（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)求普通支付金额（元）与骑行时间（小时）的函数关系式； (2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑车时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 【跟踪专练2】刘大伯开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵5元，用375元在市场上购买的A种菜苗捆数和用300元在菜苗基地购买的捆数一样多． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，菜苗基地为支持刘大伯，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．刘大伯本次购买最少花费多少元？ 题型14.一次函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，直线经过点和．另一条直线也经过点A． (1)求k，b，c的值； (2)画出函数与函数的图象； (3)求两直线与x轴围成的三角形的面积． 【跟踪专练2】已知如图1，点A坐标为，经过点A的直线，交x轴于点B． (1)若直线经过点， ①求k的值； ②求线段的长； ③直接写出点O到直线的最短距离． (2)若，求点的值． (3)如图2，在第一象限有一条线段，其中点，点，从点出发的直线经过x轴反弹后与线段有交点，请直接写出k的取值范围． 解答题 1．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 2．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 3．如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 5．如图，直线：与直线：相交于点，直线，分别与轴交于，两点． (1)求，的值，并结合图象写出关于，的方程组的解； (2)为轴负半轴上的一点，且的面积为9，求点的坐标； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，．若线段的长为4，求出的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积的6倍，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $