精品解析：吉林省长春市榆树市第五中学等校2026年中考考前预测数学试题

2026年中考第三次模拟考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 把写成省略加号和括号的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，化简时括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“”号时，将括号连同它前边的“”去掉，括号内各项都要变号. 【详解】解： 故选：D. 2. 如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的对应线段，掌握先找对应点，然后确定对应线段是解题关键．根据图形得出与重合，点M与重合，点与点N对应，即可得出结果． 【详解】解：∵沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒后， ∴与重合，点M与重合， ∴点与点N对应， ∴与线段重合． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整式的基本运算，运用幂的运算法则和完全平方公式，逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：对于选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∵，，∴A错误； 对于选项B，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∵，与等式右边相等，∴B正确； 对于选项C，根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积， ∵，，∴C错误； 对于选项D，根据完全平方公式∵，，∴D错误． 4. 如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出、的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　） A. 20cm B. 40cm C. 15cm D. 10cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质解答即可． 【详解】∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE＝CE， ∵▱ABCD的周长为20cm， ∴AD+DC＝10cm， ∴△CDE的周长＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm， 故选：D． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE． 6. 如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用．注意数形结合思想的应用． 7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（ ） A. （2，2） B. （2，3） C. （3， 2） D. （4，） 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6， 则函数的解析式是：y=， ∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切， ∴⊙B的半径是1， 则⊙A是2， 把y=2代入y=得：x=3， 则A的坐标是（3，2）． 故选C． 考点：1．切线的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 苹果的单价为元/千克，香蕉的单价为元/千克，小明买2千克苹果和3千克香蕉共需_____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，根据题意，由单价购买数量即可得到相应花费，列代数表示即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得小明买2千克苹果和3千克香蕉共需元， 故答案为：． 11. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象，根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， 得到的函数解析式为． 故答案为：． 12. 一个三角板含、角和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且，点F在直尺的另一边上，那么的大小为_____°. 【答案】15° 【解析】 【分析】如图，根据等腰直角三角形的性质，可知∠CED=45°，因此可求得∠CAF=45°，然后由∠BAF=∠CAB-∠CAF即可求得答案. 【详解】∵CD=CE，∴∠CED=45°， ∵DE//AF， ∴∠FAE=∠CED=45°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAF=∠CAB-∠CAF=60°-45°=15°. 故答案为：15°. 13. 如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．若，则阴影部分图形的周长为____（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】由正五边形外接圆的性质，则，由弧长公式计算出弧长，进而求出阴影部分周长. 【详解】解：∵五边形为正五边形，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了正多边形、弧长公式；根据正五边形的每个内角的度数利用弧长公式求出和的长度是解题关键． 14. 如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形：连接交于点E．给出下列结论：①；②；③；④的面积为．上述结论中正确的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】可得，由是等边三角形可得，则，那么，故①正确；证明，则，故②正确；过点作于点，则为等腰直角三角形，设，则，，则，由得，解得：，则，故③错误；过点P作，垂足为点，，那么，在中，，则，最后由即可求解判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 同理， 而， ∴， ∴，故②正确； 过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，设 由勾股定理得，， ∵， ∴在中， 由得：， 解得：， ∴，故③错误； 过点P作，垂足为点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式对中括号内的式子进行化简，再进行除法运算，最后将给定的、值代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色不同外其他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色．用画树状图或列表的方法，求小刚同学摸出的小球为一次红色、一次黄色的概率． 【答案】 【解析】 【详解】解：画树状图如图， 共有种等可能结果，其中小刚同学摸出的小球为一次红色、一次黄色的结果有2种， 所以一红一黄的概率． 17. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品． 【答案】甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品 【解析】 【分析】设甲工厂每天能加工x件产品，表示8出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可． 【详解】解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品， 根据题意得，， 解得x=40． 经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意． 1.5x=1.5×40=60． 答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用题，读懂题意列出方程时解决此题的关键． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积． 【答案】（1） 证明：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB， 在△AED和△CFB中 ∴△AED≌△CFB（AAS）， ∴DE＝BF， ∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）S四边形AFCE＝132． 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于点O，证明△AED≌△CFB（AAS），根据全等三角形的性质可得DE＝BF，进而可得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质可得AE＝CF＝12cm，根据勾股定理求得BE，BF，进而求得EF，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF＝12cm， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm， ∴EF＝BE﹣BF＝11cm， ∴S四边形AFCE＝11×12＝132， 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】（1） 如图①，，，，即为所求； （2） 如图②，，，，即为所求； （3） 如图③，，，，即为所求； 【解析】 【分析】（1）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （2）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （3）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题作图——应用与设计作图，无理数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 20. 某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的假期生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：A节目演出后各个评委所给分数如下： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为： 方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为： 回答下列问题： （1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你______（填“同意”或“不同意”）小乐的说法．理由是____________． （2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且）． 如当时，则． 该节目的得分为 Ⅰ．当按照“方案三”中评分时，求A节目的得分； Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有______． ①当时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同． ②当时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性． ③当时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高． 【答案】（1）同意 平均数易受极端值影响，故方案二更合理 （2）Ⅰ：A节目的得分为7.86；Ⅱ． ②③ 【解析】 【分析】对于问题（1）：因为方案二去掉了极端分数，避免极端值对平均数的影响，同意小乐的说法． 对于问题（2）Ⅰ：因为已知​​、​​和，且​，先计算​，再代入加权平均数公式计算得分． Ⅱ：对于①，因为要对比方案三（）和方案一的结果，所以分别计算两种方案的得分，再进行比较． 对于②，因为​是专业评委权重，，所以当时，判断​与的大小关系，进而分析是否更注重专业性． 对于③，因为要对比方案三（）与方案一、方案二的结果，所以先计算方案三的得分，再和已知的方案一、方案二得分比较． 【小问1详解】 解：同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能降低极端数据对平均数的影响，使评分更具公平性． 【小问2详解】 解：Ⅰ．∵，，， ∴， ∴， 答：A节目的得分为分． Ⅱ．答案：解析：逐个判断： ①：时，得分， 方案一得分为，结果不同，①错误； ②：原方案中专业评委共4人， 自然权重为， 若，说明专业评委权重高于默认权重，更突出专业性，②正确； ③：时，得分， 方案一得，方案二得， ， 确实比两个方案得分都高，③正确． 综上所述，正确的说法是②③． 21. 甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时． （2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求货车出发多长时间两车相距90千米． 【答案】（1）； （2） （3）货车出发小时或小时后两车相距千米． 【解析】 【分析】（1）观察函数图象可知货车的速度是千米/小时，进而求出轿车的速度即可； （2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）设货车出发小时后两车相距千米，然后根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知货车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由题意可知：，，， 设直线的解析式为， ， 当时，， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ， ； 【小问3详解】 解：设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得： 或， 解得或． 答：货车出发小时或小时后两车相距千米． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 22. 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点． 求证：． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若＝，则线段的长为________； （2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________． 【答案】 [问题原型]证明：∵点为边的中点， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴ ∴ ∴ [结论应用]（1）；（2） 【解析】 【分析】[问题原型]根据平行线分线段成比例即可得证； [结论应用]（1）根据平行线分线段成比例得出，，进而得到是的中位线，即可求解； （2）根据（1）的结论得出是是的中位线，当为中点时得出的周长的最小值为，进而勾股定理即可求解． 【详解】[问题原型]略 [结论应用]（1）根据题意可得 ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示， 作点关于的对称点，连接， ∴， 当在上时，取得最小值， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴是的中点，则 即当顶点是 中点时，三角形的面积取得最小值， ∵根据（1）的结论得出是是的中位线，＝，且周长的最小值为， ∴的周长为， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，轴对称的性质求线段的最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，是的直径，，点是的中点，连接、．是的半径（点不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接、、． （1）的长为______．（结果保留） （2）当点与点重合，且点在上时，求所在的扇形的面积．（结果保留π） （3）当点在直线右侧，且与的某条直角边平行时，求的长． （4）当时，直接写出的长． 【答案】（1）π （2） （3）2或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，点是的中点，可直接得到的长度； （2）先求出对应的圆心角，即可求出长度； （3）分别根据和两种情况开展讨论，当时, 证明是等边三角形，即可求出的长，当时，是等边三角形，即可求出的长； （4）分别根据当点D在点C右侧和左侧两种情况展开讨论，当点D在点C右侧时，可得到，根据勾股定理即可求出的长，当点D在点C左侧时，证明是等边三角形，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵是的直径，点是的中点， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图下图所示， 当点与点重合时，则平分， ∵点是的中点，是直径， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时, 如下图所示， 则， 由翻折，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴, ∴当时，如下图所示，延长交于点，连接． 由翻折，得． ∵， ∴，且为中点, ∴, ∴ ∴是等边三角形, ∴, ∴, ∴， ∴∴， ∴, ∴或; 【小问4详解】 解：当点D在点C右侧时，如下图所示， ∵， ∴， ∴， ∴点D和点B重合， ∴， 当点D在点C左侧时，如下图所示，连接,设交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴，, ∴， ∴或． 【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是熟练掌握弧的周长、扇形的面积以及等边三角形等相关知识． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）当时，求矩形的周长． （3）当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． （4）当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）15 （3），， （4），， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当时，求得、，利用待定系数法求得直线的解析式为，从而求得，再求得，，即可计算出结果； （3）根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，进行分类计算即可； （4）由（3）知，，则，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴，解得． ∴； 【小问2详解】 解：当时，，，， ∴，， 设直线的解析式为：， 把、代入得，，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当时，， ∴， ∴，， ∴矩形的周长为； 【小问3详解】 解：当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， 由（2）可知，直线的解析式为：， ∴， ∵，， ①当时，， ∴， 解得：，（舍去）， ②当时，， ∴， 解得，（舍去）； 【小问4详解】 解：由（3）知，， ， ①当在抛物线上，，如图： ， 解得或（舍去）， 由图可知此时满足，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小； ②当在抛物线上，，如图： 在中，令得， ，而， ， 解得（舍去）或， 而与重合时：， 解得或， 又， 结合图形可得，或时，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小． 综上所述，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小，的范围是或或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、二次函数，解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第三次模拟考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 把写成省略加号和括号的形式为（ ） A. B. C. D. 2. 如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 5. 在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　） A. 20cm B. 40cm C. 15cm D. 10cm 6. 如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（ ） A. （2，2） B. （2，3） C. （3， 2） D. （4，） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：____________． 10. 苹果的单价为元/千克，香蕉的单价为元/千克，小明买2千克苹果和3千克香蕉共需_____元． 11. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式为___________． 12. 一个三角板含、角和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且，点F在直尺的另一边上，那么的大小为_____°. 13. 如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．若，则阴影部分图形的周长为____（结果保留π）． 14. 如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形：连接交于点E．给出下列结论：①；②；③；④的面积为．上述结论中正确的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色不同外其他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色．用画树状图或列表的方法，求小刚同学摸出的小球为一次红色、一次黄色的概率． 17. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 20. 某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的假期生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：A节目演出后各个评委所给分数如下： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为： 方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为： 回答下列问题： （1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你______（填“同意”或“不同意”）小乐的说法．理由是____________． （2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且）． 如当时，则． 该节目的得分为 Ⅰ．当按照“方案三”中评分时，求A节目的得分； Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有______． ①当时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同． ②当时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性． ③当时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高． 21. 甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时． （2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求货车出发多长时间两车相距90千米． 22. 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点． 求证：． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若＝，则线段的长为________； （2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________． 23. 如图，是的直径，，点是的中点，连接、．是的半径（点不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接、、． （1）的长为______．（结果保留） （2）当点与点重合，且点在上时，求所在的扇形的面积．（结果保留π） （3）当点在直线右侧，且与的某条直角边平行时，求的长． （4）当时，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）当时，求矩形的周长． （3）当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． （4）当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $