专题 23.6 一次函数与几何综合讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.6 一次函数与几何综合讲义（知识储备+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】一次函数要点 1 【知识点二】平面直角坐标系几何基础 1 【知识点三】直线位置关系 2 【知识点四】一次函数与面积 2 【知识点五】一次函数与特殊图形 2 【知识点六】直线与轴夹角对应的斜率 2 【知识点七】一次函数动点与最值 2 二.题型精析 3 【题型 1】两直线交点与角度计算 3 【题型 2】一次函数与面积综合 4 【题型 3】一次函数与特殊三角形综合 6 【题型 4】一次函数与四边形综合考法 7 【题型 5】将军饮马最值综合 8 【题型 6】一次函数与折叠问题 10 【题型 7】一次函数与特殊角问题 11 【题型 8】一次函数几何动点问题 12 三.同步检测 14 （一） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.知识储备 【知识点一】一次函数要点 1、 一次函函数（、为常数，），决定增减性、为轴上的截距； 2、 待定系数法求一次函数的解析式（设、代、解、写）； 3、 求一次函数与坐标轴交点坐标。 【知识点二】平面直角坐标系几何基础 已知：、，则有如下结论： 1、 两点距离公式：； 2、 水平距离：；竖直距离：； 3、 中点坐标：线段的中点坐标为 【知识点三】直线位置关系 1、两直线平行：； 2、两直线平行：； 2、两直线交点：联立两个一次函数解析式，解二元一次方程组即可。 【知识点四】一次函数与面积 1、规则图形：利用坐标轴分割三角形、梯形，割补法求面积； 2、不规则图形：铅垂法： 【知识点五】一次函数与特殊图形 1、等腰三角形：两腰相等、三线合一，分类讨论三边两两相等； 2、直角三角形：利用垂直值关系、勾股定理逆定理； 3、平行四边形：对边平行且相等，坐标平移法求解。 【知识点六】直线与轴夹角对应的斜率 直线与轴正方向夹角为特殊角对应的斜率关系： 角度 30º 45º 60º 120º 135º 150º 斜率 【知识点七】一次函数动点与最值 1、线段最值：垂线段最短、将军饮马（轴对称+一次函数）； 2、周长最值、线段和差最值； 3、动点坐标表示：用含的代数式表示动点横纵坐标。 二.题型精析 【题型 1】两直线交点与角度计算 考法：联立方程求交点、平行或垂直求参数、夹角计算。 易错点：垂直值关系记错、联立方程组计算错误。 【例题1】（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接． （1）求直线和的函数表达式； （2）当x取何值时，？ （3）求的面积； （4）已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线经过点，且与直线交于点，当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，直线分别与轴，轴交于点，，直线分别与轴，轴交于点，．直线与相交于点，已知，则点的坐标是______． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线分别交轴，轴于点，点，其中，，直线交直线于点，分别交轴，轴于点，点． （1）如图，当时． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，若的面积等于面积的2倍，求点的坐标． （2）若直线与的夹角等于，求的值． 【题型 2】一次函数与面积综合 考法：坐标轴三角形面积、铅垂法求面积、面积相等或面积倍数问题。 易错点：漏看坐标正负、割补法图形分割错误。 【例题2】（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，一次函数图象经过点，，与轴的交点为． （1）求这个一次函数解析式； （2）若在轴上有一点，且的面积等于的面积的，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 【变式2】（24-25八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 【变式3】（25-26八年级上·浙江·月考）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型 3】一次函数与特殊三角形综合 考法：等腰三角形存在性、直角三角形存在性、等边三角形结合直线。 易错点：分类讨论不完整、忽略点在不同象限。 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）材料：点，的中点坐标为．例如，点，的中点坐标为，即．如图，在等腰三角形中，，点的坐标为，． （1）点的坐标为_____________； （2）求直线的表达式． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知直线与x轴交于点与y轴交于点点C在x轴上，且是等腰三角形，则C的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 4】一次函数与四边形综合考法 考法：平行四边形、矩形坐标求解，点的平移构造。 易错点：平行四边形三种顶点组合遗漏。 【例题4】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在轴的正半轴上，直线交轴于点M，边交y轴于点H，连接． （1）求菱形的边长； （2）求直线的解析式； （3）求的面积． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P点坐标为，在平面直角坐标系中存在一点O，使得A，B，P，Q构成平行四边形，则Q点坐标为______． 【变式3】如图1，已知平行四边形，轴，，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是平行四边形边上的一个动点． （1）求直线的解析式． （2）若点为上一点，点关于坐标轴对称的点落在直线上，求点的坐标． 【题型 5】将军饮马最值综合 考法：利用一次函数求对称点、最短路径、最小周长。 易错点：对称点找错、解析式求解失误。 【例题5】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点P是x轴上一动点，若有最小值，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ________________ ． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边，使得点落在第一象限，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·北京·期中）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ______ ． 【题型 6】一次函数与折叠问题 考法：点沿直线折叠，求对称点坐标；折叠求一次函数解析式；利用折叠全等性质，求出关键点坐标；结合勾股定理，求线段、截距长度。 【例题6】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． （1）求直线对应的函数表达式； （2）求的长； （3）P为直线上一点，，求点P的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 _____． 【变式3】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、． （1） ； （2）求点的坐标； （3）若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 7】一次函数与特殊角问题 考法：以一次函数图象为载体，结合 30°、45°、60°、120°、135°、150° 等特殊角进行考查，核心利用特殊角与直线斜率的对应关系、直角三角形边角关系、等角转化、平行线与直角构造等方法，求解直线解析式、点的坐标、线段长度，同时结合几何构图，考查特殊角的构造、角度等量代换以及含特殊角的直角三角形边长计算。 【例题7】（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线OA的表达式是，点A的横坐标是，，OB与x轴所夹锐角是．求： （1）点B的坐标． （2）直线AB的表达式． （3）的面积． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数的图象与x轴正半轴所夹的锐角为，则_____． 【变式2】（2025·湖南永州·二模）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F，连接，取的中点E，在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为（   ） A． B． C．2 D．1 【变式3】（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴交于点A，与y轴交于点B，（直角三角形中的直角边等于斜边的一半），点P在x轴上运动，连接． （1）求a的值； （2）作A关于直线的对称点，若轴，求的面积； （3）将绕点P顺时针旋转得到，直线与直线交点为Q，当为等腰三角形时，求出P点坐标． 【题型 8】一次函数几何动点问题 考法：动点运动时间t，表示坐标、求图形性质。 【例题8】（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点在轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点是线段上一动点，点为轴上一动点，连接，，，当面积为时，求的最小值及点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过作于点，点为直线上一动点，当时，直接写出满足条件的点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）． A．4或 B．4或 C．4或 D．3或 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为____________． 【变式3】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 三.同步检测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026·广东惠州·一模）如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽六安·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，过点A的直线与线段交于点D，过点D作交y轴于点E，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，若点C在y轴上，且满足，则点C的坐标为（    ） A．或 B． C．或 D． 7．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点的坐标为，点为线段的中点，点为线段上一动点，连接，则周长的最小值为（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）如图，已知点，动点在线段上，点按逆时针顺序排列，且，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为（    ） A．4 B．6 C． D． 10．（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形，交直线于点，…顺次这样作下去，第2026个等边三角形的边长为（    ） A． B． C．4050 D．4052 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．则的面积为______． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）若第四象限内的一点P在一次函数的图像上，且点P到y轴的距离等于3，则点P的坐标是_______． 13．（25-26八年级下·北京·期中）一次函数的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则的值是_____． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，且，则点的坐标为______． 15．（2026八年级下·全国·专题练习）若直线与直线互相垂直，则______． 16．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，是轴上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为______． 17．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线，分别交轴于点，．若直线上的一点到直线的距离是1，则点的坐标为________． 18．（2026·山西晋城·一模）在菱形ABCD中，AC为其一条对角线，过点A作边上的垂线，垂足为点，取的中点，连接并延长交于点，则线段的长为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与y轴交于点B，点C是x轴上一点，的面积是5，求点C的坐标． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，是原点，已知点．直线是一次函数的图象． （1）当时，求直线与轴的交点坐标； （2）当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 21．（本小题满分10分）（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． （1）求直线的解析式； （2）若，求点M的坐标． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点B，C． （1）求k，n的值； （2）当函数的值大于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； （3）求的度数． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． （1）求点A的坐标； （2）P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； （3）如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图1，直线：交轴、轴分别于点、，直线：与轴交于点，与直线交于点，， （1）求直线的解析表达式； （2）如图2，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴交与点，与直线交于点，连接，点为直线上一点．若，求点的坐标． （3）如图2．将直线向左平移个单位长度得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.6 一次函数与几何综合讲义（知识储备+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】一次函数要点 1 【知识点二】平面直角坐标系几何基础 1 【知识点三】直线位置关系 2 【知识点四】一次函数与面积 2 【知识点五】一次函数与特殊图形 2 【知识点六】直线与轴夹角对应的斜率 2 【知识点七】一次函数动点与最值 2 二.题型精析 3 【题型 1】两直线交点与角度计算 3 【题型 2】一次函数与面积综合 9 【题型 3】一次函数与特殊三角形综合 14 【题型 4】一次函数与四边形综合考法 20 【题型 5】将军饮马最值综合 25 【题型 6】一次函数与折叠问题 30 【题型 7】一次函数与特殊角问题 36 【题型 8】一次函数几何动点问题 42 三.同步检测 53 （一） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项） 53 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 63 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 71 一.知识储备 【知识点一】一次函数要点 1、 一次函函数（、为常数，），决定增减性、为轴上的截距； 2、 待定系数法求一次函数的解析式（设、代、解、写）； 3、 求一次函数与坐标轴交点坐标。 【知识点二】平面直角坐标系几何基础 已知：、，则有如下结论： 1、 两点距离公式：； 2、 水平距离：；竖直距离：； 3、 中点坐标：线段的中点坐标为 【知识点三】直线位置关系 1、两直线平行：； 2、两直线平行：； 2、两直线交点：联立两个一次函数解析式，解二元一次方程组即可。 【知识点四】一次函数与面积 1、规则图形：利用坐标轴分割三角形、梯形，割补法求面积； 2、不规则图形：铅垂法： 【知识点五】一次函数与特殊图形 1、等腰三角形：两腰相等、三线合一，分类讨论三边两两相等； 2、直角三角形：利用垂直值关系、勾股定理逆定理； 3、平行四边形：对边平行且相等，坐标平移法求解。 【知识点六】直线与轴夹角对应的斜率 直线与轴正方向夹角为特殊角对应的斜率关系： 角度 30º 45º 60º 120º 135º 150º 斜率 【知识点七】一次函数动点与最值 1、线段最值：垂线段最短、将军饮马（轴对称+一次函数）； 2、周长最值、线段和差最值； 3、动点坐标表示：用含的代数式表示动点横纵坐标。 二.题型精析 【题型 1】两直线交点与角度计算 考法：联立方程求交点、平行或垂直求参数、夹角计算。 易错点：垂直值关系记错、联立方程组计算错误。 【例题1】（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接． （1）求直线和的函数表达式； （2）当x取何值时，？ （3）求的面积； （4）已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4）或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）联立（1）中两个函数表达式得到交点坐标 （3）由的面积，即可求解； （4）当点在轴右侧时，由，则，求出点，即可求解；当点在轴左侧时，得到直线的表达式为：，即可求解． 解：（1）解：将点的坐标代入直线的函数表达式得：， 则直线的表达式为：； 将点、的坐标代入直线的函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）联立（1）中两个函数表达式得：， 解得：，则点， 结合图像可知时 ，； （3）解：由直线的表达式知，点，则， 则的面积； （4）解：当点在轴右侧时，令与直线的交点为， ，则， 设点，则， 解得：，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点； 当点在轴左侧时， ，则， 则直线的表达式为：， 则点； 综上，点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线经过点，且与直线交于点，当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键． 根据两函数的交点坐标和函数的图象与轴的交点即可得出的范围． 解：观察图像， 当时，满足， 当时，满足， 当时，满足， 综上，可得当时，满足， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，直线分别与轴，轴交于点，，直线分别与轴，轴交于点，．直线与相交于点，已知，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，根据，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立两个解析式进行求解即可． 解：∵， ∴当时，；当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 联立，解得， ∴点的坐标是． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线分别交轴，轴于点，点，其中，，直线交直线于点，分别交轴，轴于点，点． （1）如图，当时． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，若的面积等于面积的2倍，求点的坐标． （2）若直线与的夹角等于，求的值． 【答案】（1）①；②或；（2）或． 【分析】（1）①先运用待定系数法求得直线的解析式为，当时，直线，即，然后联立即可求得点C的坐标；②先求得，、，易得，则；再求得；设点，则，然后分点P在点C的左侧和右侧两种情况解答即可． （2）联立可得，如图：过B作于D，易得是等腰直角三角形可得，即，然后根据两点间距离公式列方程组求解即可． 解：（1）解：①设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，直线，即， 联立，解得：， ∴． ②∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点，则， 如图：当点P在点C的左侧时，， ∴，解得：， ∴； 如图：当点P在点C的右侧时，， ∴，解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或． （2）解：联立，解得：， ∴， 如图：过B作于D， ∵直线与的夹角等于， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 设，， ∴，， ， ∴， 解得：或． 【题型 2】一次函数与面积综合 考法：坐标轴三角形面积、铅垂法求面积、面积相等或面积倍数问题。 易错点：漏看坐标正负、割补法图形分割错误。 【例题2】（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，一次函数图象经过点，，与轴的交点为． （1）求这个一次函数解析式； （2）若在轴上有一点，且的面积等于的面积的，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，一次函数与坐标轴的交点问题，准确求出一次函数的解析式为解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入，求出C点坐标，求出的面积，设，表示出，利用的面积等于的面积的，列出方程求解即可． 解：（1）解：设一次函数解析式为，把点，分别代入 得， 解得， 一次函数解析式为； （2）将代入， 得， 解得：， 即， ， 设， 的面积等于的面积的， ，即， 解得，或， 点坐标为或． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，先根据两点求直线方程，再向左平移得到新直线，求新直线与坐标轴的交点，计算直角三角形面积． 解：把和代入，得： ，解得， ∴， 将向左平移3个单位长度，得到， ∴当时，；当时，， ∴直线与坐标轴的交点为和， ∴； 故选B． 【变式2】（24-25八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 【答案】 【分析】由题意得到的中点为平行四边形的对角线的交点，求出交点坐标，再根据直线将的面积分成相等的两部分，得到直线经过点，即可求解． 解：如图： ∵四边形为平行四边形， ∴的中点为平行四边形的对角线的交点， ∵， ∴平行四边形的对角线的交点坐标为， ∵直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江·月考）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）12；（3）的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 解：（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，    ， ， 的横坐标为或10（舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 【题型 3】一次函数与特殊三角形综合 考法：等腰三角形存在性、直角三角形存在性、等边三角形结合直线。 易错点：分类讨论不完整、忽略点在不同象限。 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）材料：点，的中点坐标为．例如，点，的中点坐标为，即．如图，在等腰三角形中，，点的坐标为，． （1）点的坐标为_____________； （2）求直线的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由中点坐标公式，即可求解； （2）设交轴于，轴于，连接，根据垂直平分线的性质得出，利用勾股定理求出，可得点坐标，利用待定系数法求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴，即点为中点， ∵，， ∴，即． （2）解：设交轴于，轴于，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知直线与x轴交于点与y轴交于点点C在x轴上，且是等腰三角形，则C的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，分类讨论是解题的关键．由直线解析式求得、的坐标，由点，的坐标可求出的长，分、、三种情况讨论求得即可． 解：直线与轴、轴交于点、， 令，则，解得：， 令，则， 点的坐标为，点的坐标为， ， 分三种情况考虑， 当时， ∵ ∴， 点的坐标为； 当时， ，， 或， 点的坐标为或点的坐标为； 当时，设点为， 故B、C、D选项的答案皆可使是等腰三角形，只有A选项的答案不能使是等腰三角形． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 【答案】 或 【分析】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式； （1）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标； （2）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当时，当时，分别求解． 解：（1）令中，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）将代入，得， ∴， ∴， 当时，点P的横坐标为，即； 当时， 将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点E，    ∴， ∴点P的横坐标为， ∴， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解，即可解题； （2）设点的坐标为，根据等腰三角形定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论计算即可． 解：（1）解：与轴交于点， ， 解得， 直线的表达式为； （2）解：存在，理由： ，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形， 当时， ∵， 点的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当时， 设点的坐标为， 则， 解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 【题型 4】一次函数与四边形综合考法 考法：平行四边形、矩形坐标求解，点的平移构造。 易错点：平行四边形三种顶点组合遗漏。 【例题4】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在轴的正半轴上，直线交轴于点M，边交y轴于点H，连接． （1）求菱形的边长； （2）求直线的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】（1）根据点A的坐标为，利用勾股定理直接解答即可； （2）根据（1）可得，可得点，设直线的解析式为，将和代入解析式，根据待定系数法，即可解答； （3）求出点和点坐标，求得和的长，根据，即可解答． 解：（1）解：∵点A的坐标为， ， 菱形的边长为5； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，即， 设直线的解析式，函数图象过点，则可得， 解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：由，令，可得，则，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ，， ， ． 【点拨】本题考查了菱形的性质，待定系数法求一次函数，勾股定理，利用菱形的性质求得所求线段的长度是解题的关键． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，分别确定点和点的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得的取值范围，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 解：由图可知，， ∴当直线过点时，， 当直线过点时，， ∴， ∴不可能为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P点坐标为，在平面直角坐标系中存在一点O，使得A，B，P，Q构成平行四边形，则Q点坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 先求出，，根据平行四边形的性质以及点的平移规律求解即可． 解： 对于直线， 当，当， 解得：， ∴ 如图： 当平行四边形时， ∴， ∴点向点A的平移方式与点向点的平移方式一样， ∵，， ∴点向左平移6个单位，向下平移2个单位得到点， ∴向左平移6个单位，向下平移2个单位得到点， 同理可得：，， ∴Q点坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式3】如图1，已知平行四边形，轴，，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是平行四边形边上的一个动点． （1）求直线的解析式． （2）若点为上一点，点关于坐标轴对称的点落在直线上，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式． （2）分两种情形①当点在边上时，②当点在边上时，假设点坐标，在每种情况中再分情况讨论，分别求出点关于轴和轴的对称点，代入直线解析式列出方程即可解决问题． 解：（1）解：设直线的解析式为， 将点的坐标为，点的坐标为代入上式， 即，解得：， ∴直线的解析式为． （2）①当点在边上时， ∵，， ∴直线的解析式为， 设，且， ∴点关于轴的对称点为， ∵在直线上， ∴， 解得， 此时． ∵点关于轴的对称点为，且在直线上时， ∴， 解得， 此时； ②当点在边上时，设，且， ∵关于轴的对称点为，且在直线上， ∴， 解得， 此时， ∵点关于轴的对称点为，且在直线上， ∴， 解得， 此时， 综上所述，点的坐标为或或或． 【题型 5】将军饮马最值综合 考法：利用一次函数求对称点、最短路径、最小周长。 易错点：对称点找错、解析式求解失误。 【例题5】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点P是x轴上一动点，若有最小值，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，一次函数的应用，两点之间线段最短，如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点，当P与重合，此时最小，再进一步求解即可. 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点，当P与重合，此时最小， ∵点A坐标为， ∴点， 设为， 根据题意得， 解得， ， 当时，， 解得， ∴点P坐标为． 故选：D 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识．首先建立平面直角坐标系，根据是的平分线，可知点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标是，因为点是的中点，所以点的坐标可以表示为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可知，根据的取值范围可知当时，的长度最大，最大长度是． 解：如下图所示，以点为原点，所在直线为轴 ，建立平面直角坐标系， ，， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 是的平分线， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是的中点， 点的坐标是， ， ， 当时，最大， 最大值． 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边，使得点落在第一象限，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质及轴对称-最短路线问题，根据点的运动先证明点在直线上运动，再根据轴对称最值问题，作点关于直线的对称点，连接，求出的长即可． 解：如图，作，边交直线于点，作直线， 由直线可知，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 轴，即点在直线上运动， 过点作关于直线的对称点，连接，即为所求最小值， 此时，在中，，， ， ． 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·北京·期中）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ______ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型 6】一次函数与折叠问题 考法：点沿直线折叠，求对称点坐标；折叠求一次函数解析式；利用折叠全等性质，求出关键点坐标；结合勾股定理，求线段、截距长度。 【例题6】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． （1）求直线对应的函数表达式； （2）求的长； （3）P为直线上一点，，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用． （1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式； （2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长； （3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标． 解：（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，再由平行线的性质和折叠的性质证明，得到；设点E的坐标为，则，，利用勾股定理建立方程求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设点E的坐标为，则，， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中，得，解得， ∴所在直线的解析式为． 【变式2】（26-27八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 _____． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 解：∵直线与轴、轴分别交于点和点， 当时，， 当时，， ， ， ， ∵将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ， ∵将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则， ， 即， 解得：， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、． （1） ； （2）求点的坐标； （3）若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）；（3）存在，或或 【分析】此题主要考查四边形综合问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的问题利用勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论平行四边形的边及对角线的情况． （1）由可得，，进而根据勾股定理求得，即可求解． （2）由折叠的性质可得，，故，，设，则由题意可得：，，，，在中，由勾股定理得到方程即可求出的值； （3）分①当、为的对角线时；②当、为的对角线时；③当、为的对角线时；种情况进行讨论，分别求出的坐标． 解：（1）解：由可得，． 四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：5， 故答案为：； （2）设,，则由题意可得：，，，． 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得， ∴； （3）存在符合条件的点或或．理由如下： 由（2）知：，， ， 设直线的解析式为， ，， ， ， 直线的解析式为：， 点在轴上，点在直线上， 设，， 又，， 当、为的对角线时，与的中点重合， ， 解得： ； 当、为的对角线时，与的中点重合， ， 解得：， ； 当、为的对角线时，与的中点重合， ， 解得：， ； 或或 【题型 7】一次函数与特殊角问题 考法：以一次函数图象为载体，结合 30°、45°、60°、120°、135°、150° 等特殊角进行考查，核心利用特殊角与直线斜率的对应关系、直角三角形边角关系、等角转化、平行线与直角构造等方法，求解直线解析式、点的坐标、线段长度，同时结合几何构图，考查特殊角的构造、角度等量代换以及含特殊角的直角三角形边长计算。 【例题7】（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线OA的表达式是，点A的横坐标是，，OB与x轴所夹锐角是．求： （1）点B的坐标． （2）直线AB的表达式． （3）的面积． 【答案】（1）点的坐标为；（2）直线的表达式是．；（3） 【分析】（1）根据的长度和与轴夹角，利用三角函数求出点坐标； （2）先求出点坐标，再用待定系数法求直线解析式； （3）通过分割图形，利用三角形面积公式计算的面积． 解：（1）解：如图，过点作轴于点， 与轴所夹的锐角为， 是等腰直角三角形， 设． ， ，解得（负值已舍去），即， 点B的坐标为． （2）解：直线的表达式是， 当时，， 点的坐标为． 设直线的表达式是， 则 解得 直线的表达式是． （3）解：如图，设与轴交于点． 将代入，则， 点的坐标是， ． 【点拨】本题考查一次函数的综合应用，掌握利用三角函数求点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，分割法求三角形面积是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数的图象与x轴正半轴所夹的锐角为，则_____． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，需结合等腰直角三角形的性质，分析直线在不同象限情况下的取值． 解：设正比例函数的图象上异于原点的一点坐标为， 由于直线与轴所夹的锐角为，过该点向轴作垂线，所得直角三角形为等腰直角三角形， 因此该点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，即， ∴． 【变式2】（2025·湖南永州·二模）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F，连接，取的中点E，在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查含度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，综合运用这些性质是解题的关键． 以C为原点，建立坐标系，设，则，利用含度角的直角三角形的性质，求出点E的坐标，得到点E在直线上运动，求出点P分别与A，C重合时点E的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 解：以C为原点，建立坐标系，过点D作于G， 设，则， 点P坐标为， ， ． ， ． ． ． ， ． ，． ，，， ∴四边形为矩形． ． 点F坐标为． ∵E为的中点， 点E坐标为． 令，． ． 点E在直线上运动， 当点P与A重合时，，此时， 当点P与C重合时，，此时． ∴点E所经过的路径长为：． 故选：B． 【变式3】（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴交于点A，与y轴交于点B，（直角三角形中的直角边等于斜边的一半），点P在x轴上运动，连接． （1）求a的值； （2）作A关于直线的对称点，若轴，求的面积； （3）将绕点P顺时针旋转得到，直线与直线交点为Q，当为等腰三角形时，求出P点坐标． 【答案】（1）；（2）的面积的面积为或；（3）点坐标为或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当在轴下方时，由，求出，即可求解；当在轴上方时，同理可解； （3）当时，，由，得到，即可求解；当时，，即可求解；当时，得到，即可求解． 解：（1）解：由直线的表达式知，， ， 则， ， ， 将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：； （2）解：由（1）知，直线的表达式为：， 根据轴对称和题意可得， 设， 当在轴下方时， ∵轴， ， ∵， ， 解得：（舍去）或2， ， ， 当在轴上方时， ∵轴， ， ， ， 解得：或（舍）； ， ， 综上所述：的面积为或； （3）解：当时， ， ∴， ， ， 解得：， ； 当时，，此时点与点重合， ； 当时，过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ； 综上所述：点坐标为或或． 【点拨】本题考查一次函数的图象及性质、等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【题型 8】一次函数几何动点问题 考法：动点运动时间t，表示坐标、求图形性质。 【例题8】（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点在轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点是线段上一动点，点为轴上一动点，连接，，，当面积为时，求的最小值及点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过作于点，点为直线上一动点，当时，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2），；（3）或 【分析】（1）先求点、坐标，进而代入直线解析式求解即可； （2）先根据图形得出，可得点，再根据将军饮马即可求出最小值； （3）先求得点的坐标；导角可得，则，再分类讨论，当点在点上方时，易证，根据勾股定理建立方程，即可得解；当点在点下方时，则与关于点对称，据此求解． 解：（1）解：对于，令，得， ，即， ， ， 当时，， ， 将点、代入中得， ， 解得， 直线的表达式为； （2）对于，令，得， ，， ， ， ， 此时， ， ； 如图，作关于轴对称点， 此时，当且仅当、、三点共线时取等， 此时最小值为， 综上，点坐标为，最小值为； （3）， 又， ， ， ， 当点在点上方时，则， ， 联立 解得： ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 当点在点下方时，此时与关于点对称， ，， ； 综上，点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）． A．4或 B．4或 C．4或 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质以及勾股定理，分及两种情况，求出的长是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，结合勾股定理，可求出的长，由同角的余角相等，可得出，进而可得出共2种情况，分及两种情况，利用全等三角形的性质，可求出的长，再将其代入中，即可求出结论． 解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ． ，， ， 共2种情况． 当时，， ； 当时，， ． 综上所述，的长为4或． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为____________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论求出点的坐标． 解：点是直线上的动点， 设点的坐标为， 则，， 如下图所示， 当，时， ， 可得：或， 由，可得：， 即点的坐标为， 由，可得：， ， 即点的坐标为； 如下图所示， 当，时， 过点作， 则，， ， 整理可得：或（无解，舍去）， 由，可得， ， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或． 【变式3】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①②8（2）（3）或 【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）分在x轴的上方，下方，结合全等模型解答即可． 解：（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点． ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：根据垂线段最短，得到时, 取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 当在x轴的下方时，过点P作于点N， 同理可证， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 综上所述，所有符合条件的点的坐标或． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三.同步检测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项） 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 2．（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先确定，，，根据，求解即可． 解：直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点， 当时，，当时，， 故； 根据题意，得， 解得， 故． 当时，， 解得， 故， ， ． 3．（2026·广东惠州·一模）如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 4．（2026·安徽六安·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，过点A的直线与线段交于点D，过点D作交y轴于点E，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点A、B、C的坐标可推出四边形是矩形，由矩形的性质和可推出，即可利用证明，进而求得的长度，得到点D的坐标，最后由待定系数法可求得k的值． 解：∵，，， ∴轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点、代入直线， 得， 解得． 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线求出点B坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，，设点，则，，得出，代入，求出a的值即可． 解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设点，则，， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴ ∴点D的坐标为． 6．（25-26八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，若点C在y轴上，且满足，则点C的坐标为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形面积的问题，熟练掌握相应知识是解题的关键． 先求出一次函数与坐标轴的交点A，B，再利用三角形的面积即可求出点C的坐标． 解：令，则；令，则， ∴，， 如图，设点C的坐标为，则， ∴， 解得，， ∴点C的坐标为或． 故选：A． 7．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点的坐标为，点为线段的中点，点为线段上一动点，连接，则周长的最小值为（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式． 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，然后根据一次函数解析式求出点、的坐标，再求出点、的坐标，再由对称的性质找出点M的坐标，结合勾股定理得出，即可求解． 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图． 令中，则 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点为线段的中点， 点． ∵点在线段上， ∴， 解得：，即点， ∴， ∴， ∴周长的最小值为： 故选：A． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、一次函数图象的平移、求一次函数的解析式，由等腰直角三角形的性质并结合图形可得，由一次函数图象的平移法则可得直线的解析式为，再将代入直线的解析式，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵在等腰直角三角形中，点， ∴结合图象可得， ∵将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）如图，已知点，动点在线段上，点按逆时针顺序排列，且，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】过作轴，过作轴交于点，过作轴交于点，证明，得到，，求出直线解析式为，则设，即可得到，再求出点从点运动到点时，点变化情况，最后计算运动的路径长． 解：过作轴，过作轴交于点，过作轴交于点，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 点， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ， ∴，， ∴点横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴点在直线上运动， 当在时，，； 当在时，，； ∴当点从点运动到点时，点运动的路径长为． 故答案为：B． 10．（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形，交直线于点，…顺次这样作下去，第2026个等边三角形的边长为（    ） A． B． C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】延长交x轴于D，交x轴于E，根据等边三角形的性质得，，，直线b的解析式为，得，由直线a的解析式得第一个等边三角形边长为1，解得，，把代入求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2026个等边三角形的边长． 解：延长交x轴于D，交x轴于E， ∵，，均为等边三角形， ∴，，， ∵直线b的解析式为：， ∴， 对于直线a，，当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，， ∴，， ∴点B的坐标为， 对于，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴点的坐标为， 对于，当时，， ∴， ∴， 同理得：，……， 以此类推，第n个等边三角形的边长为， ∴第2026个等边三角形的边长为． 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点坐标，根据计算求解即可． 解：直线与直线相交于点， ， ， 直线的解析式为； 在中，当时，， ， ． 故答案为：6． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）若第四象限内的一点P在一次函数的图像上，且点P到y轴的距离等于3，则点P的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解． 本题主要考查了一次函数的性质、点到坐标轴的距离，熟练掌握点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，是解题的关键． 解：∵点P到y轴的距离等于3， ∴， ∵点P在第四象限内， ∴， ∴， ∴点P的坐标是， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·北京·期中）一次函数的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则的值是_____． 【答案】4或 【分析】先求出一次函数与轴的交点，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解即可得到结果. 解：当时，，即一次函数图象与轴交点为， 已知一次函数图象过点，即与轴交点为， 根据三角形面积公式得：， 化简得， 解得或 14．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，且，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】先求出点A和点B的坐标，计算的面积，再根据面积关系得到的面积，结合的长度求出点P的纵坐标，最后代入直线方程求出点P的横坐标，得到点P坐标． 解：当时，代入得，解得， ， ， 当时，代入得， ， ， ， 由，得， 设点的纵坐标为，以为底，对应高为， ， 解得，即或， 点在直线上， 当时，代入得，解得，此时， 当时，代入得，解得，此时， 综上可知，点的坐标为或． 15．（2026八年级下·全国·专题练习）若直线与直线互相垂直，则______． 【答案】 【分析】设两直线的交点为，在直线上取一点，可设； 在直线上取一点，可设，然后由勾股定理得到，据此建立方程求解． 解：设两直线的交点为，如图： 在直线上取一点，令，则， ∴； 在直线上取一点，令，则， ∴， ∵直线与直线互相垂直 ∴， ∴， 解得． 【点拨】本题主要利用转化思想将垂直问题转化为通过勾股定理建立方程求解，当然作为填空题，若使用斜率之积等于求解更加便捷． 16．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，是轴上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，由一次函数性质得，，则，，通过勾股定理求得，然后分为当时或当时或时，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由可得，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴； 如图，当或时， ∴或； 综上可得：点的坐标为或， 故答案为：或． 17．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线，分别交轴于点，．若直线上的一点到直线的距离是1，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】先说明，再分点在边上和点在的延长线上两种情况，分别运用等面积法求解即可． 解：由条件可知，点，， ． 把代入，可得，， 点，， ． 分两种情况： ①如图1，当点在边上，过点作，，垂足分别为，，连接． ， ， ， ． 把代入，可得，解得， 点的坐标为； ②如图2，当点在的延长线上，过点作，，垂足分别为，，连接． ， ， ， ． 把代入，可得，解得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 18．（2026·山西晋城·一模）在菱形ABCD中，AC为其一条对角线，过点A作边上的垂线，垂足为点，取的中点，连接并延长交于点，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】由勾股定理得，设，则，，在中，由勾股定理可列方程，求得，建立平面直角坐标系，得，，,，分别求出直线的解析式，求出点的坐标，运用两点间距离公式可求出的长．. 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则，, 在中，， ∴， 解得， ∴，， 建立平面直角坐标系，如图， ∴，，,， 设直线的解析式为， 把,代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立方程组得， 解得， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与y轴交于点B，点C是x轴上一点，的面积是5，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】（1）根据平行可得，再代入点即可求解； （2）先求出点坐标，得到，再利用，可得，结合点写出点C的坐标即可． 解：（1）解：一次函数的图象与直线平行， ， 又过点， ，解得， 一次函数的解析式； （2）解：时，，则，， 设，如图， ， ，解得， 又， 点的坐标为或． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，是原点，已知点．直线是一次函数的图象． （1）当时，求直线与轴的交点坐标； （2）当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，令则，得直线与轴的交点坐标为，即可作答． （2）先分别把代入得出的值，再结合直线与线段有交点，进行作答即可． 解：（1）解：∵直线是一次函数的图象，且 ∴， 令，则， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为； （2）解：依题意，把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， ∴当直线与线段有交点时，则． 21．（本小题满分10分）（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． （1）求直线的解析式； （2）若，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）将点，代入，然后求解即可； （2）首先确定点坐标，易知，进而可得；设点的坐标为，根据题意可知点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，进而确定点坐标，然后计算的值，即可获得答案． 解：（1）解：将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式； （2）对于直线，当时可得，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， 又∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，点M的坐标为或． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点B，C． （1）求k，n的值； （2）当函数的值大于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； （3）求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）将点代入一次函数，求出，再将代入正比例函数求出； （2）当的值大于的值时，即，即可求解； （3）求出，，根据，，得出是等腰直角三角形，即可得． 解：（1）解：∵点在一次函数上， 将点代入得：， 即， 又∵在正比例函数上， 将代入得：， 解得：； （2）解：当的值大于的值时，即， 解得：； （3）解：对一次函数， 令，得，即， 令，得，即，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． （1）求点A的坐标； （2）P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； （3）如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】（1）把点代入，求出k值，从而得到一次函数解析式，再令，求出x值，即可求得点A坐标； （2）分两种情况：①当点P在点A右侧时，②当点P在点A左侧时，分别求解即可； （3）过点C作于E，证明，得到，，从而求得点，再用待定系数法求得直线解析式为，然后令，求出x的值，即可得点P坐标，分两种情况：a）当为四边形对角线时，有平行四边形；b）当为四边形的边时，i）当点M、N在左侧时，则有平行四边形；ii）当点M、N在右侧时，则有平行四边形；分别求解即可． 解：（1）解：把点代入，得 解得：， ∴ 令，则， 解得：， ∴． （2）解：由得， 由得， 分两种情况：①当点P在点A右侧时，过点A作于D，且，连接与x轴交于点P，过点D作轴于E， 则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令，则 解得：， ∴； 当点P在点A左侧时，过点A作，且，连接，则与x轴交于点P， 同理可得， 同样用待定系数法可求得直线解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 综上，点P的坐标为或． （3）解：过点C作于E，如图， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵AC平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得 即 解得：， ∴， 设直线解析式为：， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为 分两种情况：a）当为四边形对角线时，有平行四边形，如图， ∵ ∴与互相平分， ∵D为的中点， ∴D为的中点， ∴此时，点N是直线与x轴的交点， ∵直线解析式为； 令，则， ∴； b）当为四边形的边时，i）当点M、N在左侧时，则有平行四边形， ∴， ∴点M的纵坐标与点B纵坐标相等，为8， 把代入，解得：， ∴ ∴ ∴， ii）当点M、N在右侧时，则有平行四边形， ∴， 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴此时； 综上，以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图1，直线：交轴、轴分别于点、，直线：与轴交于点，与直线交于点，， （1）求直线的解析表达式； （2）如图2，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴交与点，与直线交于点，连接，点为直线上一点．若，求点的坐标． （3）如图2．将直线向左平移个单位长度得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或． 【分析】（1）先根据直线求出A、B的坐标，进而求出C的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）根据平移规律求出的解析表达式，然后联立和的解析表达式可求出F的坐标，联立和的解析表达式可求出D的坐标，设直线与y轴交于点G，求出点G的坐标，根据，可求出点P的纵坐标，进而求出横坐标，即可求解； （3）分两种情况讨论：当M在直线左侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形，则，根据等角对等边可证明，证明，得出，，则，，联立解方程组，可求出H的坐标，根据待定系数法求出直线解析表达式，联立直线和直线解析表达式可求出点M的坐标；当M在直线左侧时，类似求解即可． 解：（1）解∶对于直线：，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线：与轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析表达式为； （2）解：∵直线向左平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析表达式为， 联立方程组， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， 设直线与y轴交于点G， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，， 解得， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：由（2）知：直线的解析表达式为， 当M在直线左侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， 设直线解析表达式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴M的坐标为； 当M在直线右侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形， 同理可求， 直线解析表达式为， 联立方程组， 解得， ∴M的坐标为， 综上，M的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $