专题 23.5 一次函数全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.5 一次函数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一次函数的概念 2 【知识点二】一次函数的图像与性质 2 【知识点三】一次函数斜率与截距 2 【知识点四】两点确定斜率 3 【知识点五】一次函数的最值问题 3 【知识点六】一次函数的定点问题 3 【知识点七】一次函数图象的平移问题 3 【知识点八】一次函数图象的对称问题 3 【知识点九】一次函数的交点问题 4 【知识点十】一次函数解析式求解问题 4 【知识点十一】一次函数与面积问题 5 【知识点十二】一次函数与方程、不等式 5 【知识点十三】一次函数与实际应用 6 二.经典题型精析 7 【题型 1】一次函数的概念 7 【题型 2】一次函数的图象 9 【题型 3】一次函数的增减性 11 【题型 4】一次函数解析式 13 【题型 5】一次函数的图象对称性 16 【题型 6】一次函数与坐标轴交点 18 【题型 7】一次函数与面积问题 20 【题型 8】一次函数与平移垂直问题 24 【题型 9】一次函数与定点问题 28 【题型 10】一次函数与最值问题 31 【题型 11】一次函数与方程不等式问题 34 【题型 12】一次函数与实际问题 38 【题型 13】一次函数图象与性质综合 42 【题型 14】一次函数图象与几何综合 46 【题型 15】一次函数图象与规律问题 52 三.同步检测 57 （一）、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 57 （二）、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 64 （三）、解答题（本大题共6小题，共58分） 69 一.知识梳理 【知识点一】一次函数的概念 1、 定义：一般地，形如（、为常数，）的函数，叫作一次函数，其中是自变量。特别地，当时，。形如（、是常数，）的函数，叫作正比例函数，其中叫作比例系数。 【要点提示】（1）一次函数标准形式（、为常数，），我们常常把称为斜率，称为截距；（2）正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 【知识点二】一次函数的图像与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 随的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 随的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【知识点三】一次函数斜率与截距 一次函数中，它的图象是一条直线，与决定图象的位置与性质，由于它们的特征，我们分别称之为斜率与截距，它们具有以下特征： （1）称为斜率，决定走势，上升或上降，，随的增大而增大；，，随的增大而减小， （2）称为截距，决定位置，与交点位置，时，直线交的正半轴；时，直线经过原点；时，直线交的负半轴。 （3）越大，其直线就越陡；对于两条直线：设直线，直线 则有（1）；（2）. 【知识点四】两点确定斜率 已知，，则经过，两点的直线的斜率。 【知识点五】一次函数的最值问题 已知一次函数的取值范围为，求函数的最大值及最小值 情形一：时，由于随的增大而增大，当时，，当时，； 情形二：时，由于随的增大而减小，当时，，当时，. 【知识点六】一次函数的定点问题 思路：含参数的一次函数恒过定点，方法是化为的形式。 例如：一次函数恒过定点，求定点坐标，则化成，这样就得到从而求出定点坐标。 【知识点七】一次函数图象的平移问题 设解析式：， （1）当直线沿轴向上平移个单位：；向下平移个单位：； （2）当直线沿轴向左平移个单位：；向右平移个单位：. 【知识点八】一次函数图象的对称问题 设解析式：， （1）关于坐标轴及原点对称：把坐标轴对称问题转化为点的对称问题进行转化即可。 关于轴对称：，即； 关于轴对称：，即； 关于原点轴对称：即. （2）关于点和直线：把直线对称问题转化为点的对称问题进行转化即可。 关于点对称：； 关于轴对称：； 关于轴对称：. 【知识点九】一次函数的交点问题 交点含义：从数的角度看：两个方程的公共解；从形的角度看：两条直线的交点。 常见题型： （1） 求两个一次函数的交点： 设直线，直线则其联立 （2） 一次函数与坐标轴交点： 设直线，与轴交点，则联立即可；与轴交点，则联立即可. 【知识点十】一次函数解析式求解问题 1、待定系数法求一次函数析式： （1）设（设解析式）：设一次函数解析式为：（为常数，）； （2）代（代入已知点）：把题目给出的两个点的坐标，分别代入解析式，得到关于 的二元一次方程组； （3）解（解方程组）：解方程组，求出和的值； （4）写（写出解析式）：把求出的出、 代回，写出最终的一次函数解析式。 2、图象过一点与特殊位置关系 （1）一次函数图像的平移 设解析式：， （1）当直线沿轴向上平移个单位：；向下平移个单位：； （2）当直线沿轴向左平移个单位：；向右平移个单位：； （2）一次函数图像的垂直 设两条直线：， 则有：. 【知识点十一】一次函数与面积问题 方法1：求出直线与坐标轴交点坐标，直接利用面积公式求值； 方法2：两条直线与坐标轴围成的面积问题，通过求出交点坐标，用割补法求出面积； 方法3：利用三角形面积等于铅直高乘以水平宽的一半求面积。 即：如图，过点作轴交于点，则，即 【知识点十二】一次函数与方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程关系 从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值为0时，自变量的值。 从形的角度：解方程等价于一次函数的图象与轴交点的横坐标。 2.一次函数与一次不等式的关系 从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值大于0（或小于0）时，求自变量的取值范围。 从形的角度：解不等式等价于一次函数的图象在轴上方（下方）时，对应点横坐标的取值范围。 3.一次函数与二元一次方程（组）的关系 （1）一次函数与二元一次方程的对应关系 任意二元一次方程都可变形为的形式，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； 直线上的每一个点坐标，都是对应二元一次方程的解；反之，二元一次方程的每一组解为坐标的点，都在对应的直线上。 （2）一次函数与二元一次方程组的对应关系 二元一次方程组对应两个一次函数和，也对应两条直线。 从数的角度，解方程组，等价于当自变量为何值时，两个函数的函数值相等，以及这个相等的函数值是多少。 从形的角度，解方程组，等价于确定两条直线交点的坐标（交点的横、纵坐标即为方程组的解）。 【知识点十三】一次函数与实际应用 一次函数解决实际问题的一般解题步骤 审题建模：分析题目中的变量关系，确定自变量和因变量；根据实际场景，建立一次函数模型（注意分段场景需分区间列解析式）；明确自变量的实际取值范围（如非负整数、区间限制）。 求解分析：若为求特定值：将已知条件代入解析式，解方程求解；若为方案选择：列两函数解析式，解方程求临界点，再分区间解不等式比较大小；若为最值优化：根据约束条件列不等式，确定自变量的整数取值，再利用一次函数的单调性求最值。 作答检验：结合实际意义检验结果是否合理（如人数、次数、费用不能为负数，需取整数）； 完整回答题目问题，明确写出最终结论。 二.经典题型精析 【题型 1】一次函数的概念 【例题1】（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ (3)若函数的图象经过点和，求m，n的值． 【变式1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25九年级下·广东佛山·期中）若点在直线上，则代数式的值是______． 【变式3】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【题型 2】一次函数的图象 【例题2】（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式3】（23-24八年级上·浙江金华·月考）若一次函数的图形不经过第三象限，则的取值范围是______． 【题型 3】一次函数的增减性 【例题3】（2026·安徽阜阳·一模）已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）函数经过、、，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海徐汇·月考）点，是一次函数图象上的两个点．则______0． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【题型 4】一次函数解析式 【例题4】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求a的值； (2)求k、b的值 【变式1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知、两点的坐标分别为和．将直线向上平移个单位长度得到直线，若直线与线段相交于点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【题型 5】一次函数的图象对称性 【例题5】（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【变式2】（25-26八年级上·广西贺州·期末）将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 【题型 6】一次函数与坐标轴交点 【例题6】（25-26八年级下·河南周口·月考）已知一次函数的图像与y轴交于点， 且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求该函数图像与x轴的交点坐标． 【变式1】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）下列命题中，正确的是（   ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像一定经过第二、四象限 D．一次函数的图像是一条线段 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为10，则________． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）已知关于的一次函数． (1)如果函数图象经过原点，求的值； (2)如果直线与轴交于负半轴，求的取值范围． 【题型 7】一次函数与面积问题 【例题7】（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)若的面积是面积的，请直接写出符合条件的点的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）已知直线与轴、轴分别交于点，，另一直线经过点，且把的面积分为的两部分．则的值为（   ） A． B．2或 C．或 D．2或 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移了2个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【题型 8】一次函数与平移垂直问题 【例题8】（24-25八年级下·江西赣州·月考）阅读理解：我们知道平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况，在坐标平面内有两条直线：；，有下列结论：当时，，反之当时，． (1)实践应用：直线与直线垂直，则_________． (2)深入探索：如图，直线与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当为直角三角形时，求的面积． 【变式1】（2026·陕西汉中·一模）直线向左平移个单位长度，所得图像恰好经过点，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D． 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）若直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的函数表达式是________． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【题型 9】一次函数与定点问题 【例题9】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 【变式1】（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）直线满足（   ） A．随增大而增大 B．一定不过第一象限 C．无论取何值，必过定点 D．与轴交于点 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，无论m取何值时，它的图象恒过定点P，则定点P的坐标为________． 【变式3】（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【题型 10】一次函数与最值问题 【例题10】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【变式1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数在的范围内，y的最大值比最小值大8，则k的值为_______． 【变式3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【题型 11】一次函数与方程不等式问题 【例题11】（25-26八年级下·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 【变式3】（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【题型 12】一次函数与实际问题 【例题12】（2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【变式1】（2026·安徽六安·一模）为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）随着线上经济的快速发展，某商户在线上投资销售、两种商品．两种商品的月利润获取方式不同，种商品的月利润是该商品投资金额（万元）的；种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额（万元）满足函数关系式，已知商品投资金额为万元时，盈利万元． (1)直接写出销售、两种商品的月利润，（万元）与对应商品的投资金额（万元）的函数关系式______；______． (2)若只选择其中一种商品投资销售，投资金额为多少时，投资产品的月利润更高？ (3)若该商户共投资万元同时销售，两种商品，其中投资商品的金额不少于投资商品金额的倍，要获得月利润最大，应该怎样分配投资金额？并求出最大月总利润． 【题型 13】一次函数图象与性质综合 【例题13】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 【变式1】（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期末）已知一次函数． (1)若该函数经过原点，求该函数的表达式； (2)若该函数经过平移能够与函数重合，求该函数的表达式； (3)请在同一坐标系中画出函数及（2）中所求函数的图象，函数的图象分别交轴、轴于点、点，（2）中所求函数的图象分别交轴、轴于点、点，求四边形的面积． 【题型 14】一次函数图象与几何综合 【例题14】（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴正半轴、x轴负半轴相交于点A，B，直线分别与x轴、y轴相交于点、E，与相交于点C，，的周长为． (1)求直线的解析式； (2)若P是射线上一点，且，求点P的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·月考）如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标； (3)如图2，若点P是线段上一动点，过P作于Q，当时，求点P的坐标． 【题型 15】一次函数图象与规律问题 【例题15】（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律，______． 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 三.同步检测 （一）、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京延庆·期中）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 … … 3 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．3 B．2 C． D． 4．（2026·陕西榆林·一模）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 5．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 6．（2026·山东济宁·一模）已知过点的直线不经过第四象限，，则w的最小值为（   ） A．0 B． C．1 D． 7．（2026·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东临沂·模拟预测）若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（   ） A．2024 B．4048 C． D． 9．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 （二）、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·全国·单元测试）把正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到直线___________． 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，是直线上的相异两点，若，则的取值范围是____________． 13．（25-26八年级下·浙江台州·月考）已知，为直线上的两个点，且，则（填“＜”或“＞”） 14．（25-26八年级下·河南新乡·期中）直线与x轴、y轴分别相交于点A、D，直线与x轴、y轴分别相交于点B、E，两直线交点为C，．若D、E两点之间的距离为2，则m的值为______________． 15．（25-26九年级下·江苏连云港·月考）如图，若一次函数和的图像相交于点，则不等式的解集为______． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 17．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 18．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知等腰直角的顶点分别在轴上，，点的坐标是，的坐标是，则直线的函数关系式为_____． （三）、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知函数，若函数是由函数向上平移3个单位长度得到． (1)求m，n 的值； (2)判断点是否在该函数图象上？ 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，时，求函数值的取值范围． 21．（本小题满分10分）（2025八年级下·全国·专题练习）按照下列条件求的取值范围： (1)正比例函数的图象经过一、三象限； (2)正比例函数中，随的增大而增大； (3)已知的图象经过一、三象限． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 23．（本小题满分10分）（2026·河南濮阳·一模）为响应国家“绿色发展”号召，推进黄河流域生态保护与高质量发展，我市计划对某段河道进行综合治理．现拟由甲、乙两个工程队共同完成该项目的污水处理任务．经测算，该段河道需要处理的污水是600立方米，甲队每天能处理的污水量是乙队的倍，且甲队单独完成这项任务比乙队单独完成少用10天． (1)求甲、乙两队每天分别能处理污水多少立方米？ (2)已知甲队施工的费用为1000元/天，乙队施工的费用为700元/天，现要求两队合作完成该任务，且甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数．请设计一种施工方案，使得总费用最低，并求出最低总费用． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，、两点的坐标分别为、、点在轴左侧，将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点，连接，． (1)_________，_________； (2)如图1，当点在轴正半轴时，连接，若，请求出的值； (3)如图2，当点在轴负半轴时，连接交轴于点，若，则点的坐标为_________； (4)若，点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.5 一次函数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一次函数的概念 2 【知识点二】一次函数的图像与性质 2 【知识点三】一次函数斜率与截距 2 【知识点四】两点确定斜率 3 【知识点五】一次函数的最值问题 3 【知识点六】一次函数的定点问题 3 【知识点七】一次函数图象的平移问题 3 【知识点八】一次函数图象的对称问题 3 【知识点九】一次函数的交点问题 4 【知识点十】一次函数解析式求解问题 4 【知识点十一】一次函数与面积问题 5 【知识点十二】一次函数与方程、不等式 5 【知识点十三】一次函数与实际应用 6 二.经典题型精析 7 【题型 1】一次函数的概念 7 【题型 2】一次函数的图象 9 【题型 3】一次函数的增减性 11 【题型 4】一次函数解析式 13 【题型 5】一次函数的图象对称性 16 【题型 6】一次函数与坐标轴交点 18 【题型 7】一次函数与面积问题 20 【题型 8】一次函数与平移垂直问题 24 【题型 9】一次函数与定点问题 28 【题型 10】一次函数与最值问题 31 【题型 11】一次函数与方程不等式问题 34 【题型 12】一次函数与实际问题 38 【题型 13】一次函数图象与性质综合 42 【题型 14】一次函数图象与几何综合 46 【题型 15】一次函数图象与规律问题 52 三.同步检测 57 （一）、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 57 （二）、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 64 （三）、解答题（本大题共6小题，共58分） 69 一.知识梳理 【知识点一】一次函数的概念 1、 定义：一般地，形如（、为常数，）的函数，叫作一次函数，其中是自变量。特别地，当时，。形如（、是常数，）的函数，叫作正比例函数，其中叫作比例系数。 【要点提示】（1）一次函数标准形式（、为常数，），我们常常把称为斜率，称为截距；（2）正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 【知识点二】一次函数的图像与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 随的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 随的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【知识点三】一次函数斜率与截距 一次函数中，它的图象是一条直线，与决定图象的位置与性质，由于它们的特征，我们分别称之为斜率与截距，它们具有以下特征： （1）称为斜率，决定走势，上升或上降，，随的增大而增大；，，随的增大而减小， （2）称为截距，决定位置，与交点位置，时，直线交的正半轴；时，直线经过原点；时，直线交的负半轴。 （3）越大，其直线就越陡；对于两条直线：设直线，直线 则有（1）；（2）. 【知识点四】两点确定斜率 已知，，则经过，两点的直线的斜率。 【知识点五】一次函数的最值问题 已知一次函数的取值范围为，求函数的最大值及最小值 情形一：时，由于随的增大而增大，当时，，当时，； 情形二：时，由于随的增大而减小，当时，，当时，. 【知识点六】一次函数的定点问题 思路：含参数的一次函数恒过定点，方法是化为的形式。 例如：一次函数恒过定点，求定点坐标，则化成，这样就得到从而求出定点坐标。 【知识点七】一次函数图象的平移问题 设解析式：， （1）当直线沿轴向上平移个单位：；向下平移个单位：； （2）当直线沿轴向左平移个单位：；向右平移个单位：. 【知识点八】一次函数图象的对称问题 设解析式：， （1）关于坐标轴及原点对称：把坐标轴对称问题转化为点的对称问题进行转化即可。 关于轴对称：，即； 关于轴对称：，即； 关于原点轴对称：即. （2）关于点和直线：把直线对称问题转化为点的对称问题进行转化即可。 关于点对称：； 关于轴对称：； 关于轴对称：. 【知识点九】一次函数的交点问题 交点含义：从数的角度看：两个方程的公共解；从形的角度看：两条直线的交点。 常见题型： （1） 求两个一次函数的交点： 设直线，直线则其联立 （2） 一次函数与坐标轴交点： 设直线，与轴交点，则联立即可；与轴交点，则联立即可. 【知识点十】一次函数解析式求解问题 1、待定系数法求一次函数析式： （1）设（设解析式）：设一次函数解析式为：（为常数，）； （2）代（代入已知点）：把题目给出的两个点的坐标，分别代入解析式，得到关于 的二元一次方程组； （3）解（解方程组）：解方程组，求出和的值； （4）写（写出解析式）：把求出的出、 代回，写出最终的一次函数解析式。 2、图象过一点与特殊位置关系 （1）一次函数图像的平移 设解析式：， （1）当直线沿轴向上平移个单位：；向下平移个单位：； （2）当直线沿轴向左平移个单位：；向右平移个单位：； （2）一次函数图像的垂直 设两条直线：， 则有：. 【知识点十一】一次函数与面积问题 方法1：求出直线与坐标轴交点坐标，直接利用面积公式求值； 方法2：两条直线与坐标轴围成的面积问题，通过求出交点坐标，用割补法求出面积； 方法3：利用三角形面积等于铅直高乘以水平宽的一半求面积。 即：如图，过点作轴交于点，则，即 【知识点十二】一次函数与方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程关系 从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值为0时，自变量的值。 从形的角度：解方程等价于一次函数的图象与轴交点的横坐标。 2.一次函数与一次不等式的关系 从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值大于0（或小于0）时，求自变量的取值范围。 从形的角度：解不等式等价于一次函数的图象在轴上方（下方）时，对应点横坐标的取值范围。 3.一次函数与二元一次方程（组）的关系 （1）一次函数与二元一次方程的对应关系 任意二元一次方程都可变形为的形式，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； 直线上的每一个点坐标，都是对应二元一次方程的解；反之，二元一次方程的每一组解为坐标的点，都在对应的直线上。 （2）一次函数与二元一次方程组的对应关系 二元一次方程组对应两个一次函数和，也对应两条直线。 从数的角度，解方程组，等价于当自变量为何值时，两个函数的函数值相等，以及这个相等的函数值是多少。 从形的角度，解方程组，等价于确定两条直线交点的坐标（交点的横、纵坐标即为方程组的解）。 【知识点十三】一次函数与实际应用 一次函数解决实际问题的一般解题步骤 审题建模：分析题目中的变量关系，确定自变量和因变量；根据实际场景，建立一次函数模型（注意分段场景需分区间列解析式）；明确自变量的实际取值范围（如非负整数、区间限制）。 求解分析：若为求特定值：将已知条件代入解析式，解方程求解；若为方案选择：列两函数解析式，解方程求临界点，再分区间解不等式比较大小；若为最值优化：根据约束条件列不等式，确定自变量的整数取值，再利用一次函数的单调性求最值。 作答检验：结合实际意义检验结果是否合理（如人数、次数、费用不能为负数，需取整数）； 完整回答题目问题，明确写出最终结论。 二.经典题型精析 【题型 1】一次函数的概念 【例题1】（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ (3)若函数的图象经过点和，求m，n的值． 【答案】(1) (2)，且， (3)的值分别为 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义． （1）根据y是x的一次函数，得到，求解即可； （2）根据y是x的正比例函数，得到，求解即可； （3）将点代入求出的值，再将代入即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得，即时， 函数是一次函数； （2）解：由题意得，且， 即得，且时，函数是正比例函数； （3）解：函数图象经过点 ，即． 又经过点， ， 解得， 故的值分别为． 【变式1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数的定义可得到，，解之代入求值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·广东佛山·期中）若点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 【题型 2】一次函数的图象 【例题2】（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数所经过的象限得出，的取值范围，进而可判断直线的图象所经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过二、三、四象限，如C选项所示． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】解：∵实数a，b满足，， ∴，， ∴， ∴函数的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴下方． 故选：B． 【变式3】（23-24八年级上·浙江金华·月考）若一次函数的图形不经过第三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第三象限列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图形不经过第三象限， ∴且， 解得：． 故答案为：． 【题型 3】一次函数的增减性 【例题3】（2026·安徽阜阳·一模）已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质和轴交点位置求出的取值范围，进而求出整数的值，得到一次函数解析式，再根据的取值范围求解的范围即可． 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴， 解得， ∵函数图象与轴负半轴相交， ∴当时，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴， ∴一次函数， 当时，则， 解得． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）函数经过、、，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由 ，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴ ， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·上海徐汇·月考）点，是一次函数图象上的两个点．则______0． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的增减性，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵点，是一次函数图象上的两个点， ∴①当时，则：， ∴； ②当时，则：， ∴， 综上：； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据增减性和图象与轴的交点，得到且，再根据为整数即可求解； （2）结合（1）的结果，得到函数解析式，即可得到的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小， ∴且，解得：， ∵为整数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴． 【题型 4】一次函数解析式 【例题4】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求a的值； (2)求k、b的值 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将点代入函数求解即可； （2）利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：将点代入函数得：， 即； （2）解：由（1）知，， 将点和点代入函数得： 解得． 【变式1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知、两点的坐标分别为和．将直线向上平移个单位长度得到直线，若直线与线段相交于点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据、两点的坐标确定轴，再根据求出交点P的坐标，最后根据平移规律得到直线的解析式，代入P坐标即可求出． 【详解】解：∵，， ∴线段轴， ∴的长度为． ∵， ∴． 设，则， 解得，即． 直线向上平移个单位，得直线． 将代入，得， 解得． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________． 【答案】 【分析】连接、交于点，平分平行四边形面积的直线必定经过平行四边形的对称中心，利用中点公式求出点的坐标，代入直线解析式求出的值． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即点是的中点， ∵，， ∴点的坐标为， ∵直线平分的面积， ∴直线过点， 将代入，得， ， 解得． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 【题型 5】一次函数的图象对称性 【例题5】（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广西贺州·期末）将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数的性质． 根据“对偶值”的定义，点在函数上，点在函数上，且与关于轴对称，因此它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数．设点的坐标为， 则点的坐标为，代入求出，再求的值即可． 【详解】解：设点的坐标为， 由于点与点关于轴对称，则点的坐标为， 又∵点在函数上， ∴， 即， 解得， 则对偶值为． 故答案为：． 【题型 6】一次函数与坐标轴交点 【例题6】（25-26八年级下·河南周口·月考）已知一次函数的图像与y轴交于点， 且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求该函数图像与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点，代入，然后求解即可； （2）由（1）可知，该一次函数的解析式为，令，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入，可得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）由（1）可知，该一次函数的解析式为， 当时，可得， 解得， ∴该函数图像与x轴的交点坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）下列命题中，正确的是（   ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像一定经过第二、四象限 D．一次函数的图像是一条线段 【答案】D 【分析】根据一次函数的截距、交点、图象性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：∵ ， 令，得， ∴ 该函数在轴上的截距为，A错误，该选项不符合题意； 对选项B：∵ 一次函数与轴相交时，令得， ∴ 交点坐标为，B错误，该选项不符合题意； 对选项C：∵ ，当时，，此时函数图象经过第一、三象限， ∴ 该函数图象不一定经过第二、四象限，C错误，该选项不符合题意； 对选项D：∵ 一次函数的图象是直线， 又∵ 自变量的取值范围是， ∴ 图象是一条线段，D正确，该选项符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为10，则________． 【答案】 【分析】先求直线与两坐标轴的交点，再利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， 直线与轴交于点， 当时，， 直线与轴交于点， 两交点间的距离为， 解得：． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）已知关于的一次函数． (1)如果函数图象经过原点，求的值； (2)如果直线与轴交于负半轴，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，且 【分析】（1）根据一次函数经过原点可得，且，求出答案即可； （2）根据直线经过y轴交于负半轴，可得，且，求出解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过原点， ∴，且， 解得； （2）解：∵该图象与y轴交于负半轴， ∴，且， 解得，且． 【题型 7】一次函数与面积问题 【例题7】（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)若的面积是面积的，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式是； (2)；(3)或或． 【分析】（）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （）利用面积公式即可求解； （）根据面积公式即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标． 本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质及其应用． 【详解】（1）设直线的解析式是，根据题意得： ，解得， ∴直线的解析式是； （2）由（）得直线的解析式是， 当时，， ∴点， ∴， ∴的面积为； （3）设解析式为， ∴，解得， ∴解析式为， 由（）得，直线的解析式是， 当在上时， ∴， 设， ∴，解得， ∴点， 当在上时，设， ∴，解得， ∴点或， 综上可知，或或． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）已知直线与轴、轴分别交于点，，另一直线经过点，且把的面积分为的两部分．则的值为（   ） A． B．2或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式．分两种情况讨论，设与交于点，根据题意得，求得，过点D作交于点，再求得，据此利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设与交于点，分的面积比为， 得，即， ∴， ∴， 如图，过点D作交于点，则， 因为点E在直线上， ∴， 所以， 所以直线经过点、或、， ∴或， 解得或， ∴或． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移了2个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了________． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积的计算，理解平移规律，正确计算是解题的关键．计算原直线与坐标轴围成的三角形面积和平移后直线与坐标轴围成的三角形面积，再求面积之差． 【详解】解：原直线与轴交于点，与轴交于点， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积为； 平移后直线与轴交于点，与轴交于点， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故面积增加． 故答案为：4． 【变式3】（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，绝对值方程．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）将代入得，，即，待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）将代入，求得，即，将代入，求得，即，根据，设，则，由的面积等于的面积的，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将，代入得，，解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：将代入得，，解得，，即， 将代入得，，解得，，即， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得，或， ∴点坐标为或． 【题型 8】一次函数与平移垂直问题 【例题8】（24-25八年级下·江西赣州·月考）阅读理解：我们知道平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况，在坐标平面内有两条直线：；，有下列结论：当时，，反之当时，． (1)实践应用：直线与直线垂直，则_________． (2)深入探索：如图，直线与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当为直角三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为9或 【分析】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键； （1）根据时，直线直线，即可得出答案； （2）当为直角三角形时，存在两种情形，当轴或，分别求出点的坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：直线与直线垂直， ， ， 故答案为：； （2）解：令，则，解得， ， 把代入得，， ， 当为直角三角形时，存在两种情形， 当轴时，， ， 当时， 设的解析式为， 将代入得， ， 直线的解析式为， 点， ， ， 综上：的面积为9或． 【变式1】（2026·陕西汉中·一模）直线向左平移个单位长度，所得图像恰好经过点，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据“左加右减”的平移规则得到平移后直线的解析式，再代入已知点得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵直线向左平移个单位长度， ∴平移后所得直线的解析式为， 又∵平移后的图像经过点， ∴，解得． 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）若直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的函数表达式是________． 【答案】 【分析】设直线l的解析式为，将直线l向左或向右移动使其经过原点，且与直线交于点C，设直线分别与x轴、y轴交于B、D，先求出B、D的坐标，进而证明是等腰直角三角形，过点C作轴于H，求出点C的坐标即可得到答案． 【详解】解：设直线l的解析式为，将直线l向左或向右移动使其经过原点，且与直线交于点C，设直线分别与x轴、y轴交于B、D， ∴， ∴， ∴， ∵直线l与直线垂直， ∴， ∴是等腰直角三角形， 过点C作轴于H，则， ∴点C的坐标为， ∴， ∴直线l的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数图象的平移等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、中点坐标公式、一次函数图象的平移规律以及一元一次方程的解法，熟练掌握待定系数法和一次函数图象平移规律是解题的关键． （1）已知直线上两点坐标，利用待定系数法列方程组，求解直线的斜率和截距，从而得到直线表达式． （2）先根据中点坐标公式求出线段的中点坐标，再根据上加下减的平移规律写出平移后的直线解析式，最后将中点坐标代入解析式，解方程求出的值． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴将两点坐标代入解析式，得 ， ∴解得， ∴直线AB的表达式为； （2）解：∵线段CD的端点为，， ∴线段CD的中点坐标为， ∵直线AB向上平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴将点代入解析式，得， ∴解得． 【题型 9】一次函数与定点问题 【例题9】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数，两条直线的交点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再联立即可求解； （2）先将变形为，满足过定点，则与无关，故即可． 【详解】（1）解：当时，， 当，得， 解得， 当时，， ∴两个函数图象的交点坐标为； （2）解：， 当时，， 此时， ∴不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过定点． 【变式1】（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）直线满足（   ） A．随增大而增大 B．一定不过第一象限 C．无论取何值，必过定点 D．与轴交于点 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵的符号不确定，当时，随增大而减小， ∴A错误，该选项不符合题意； B、当时，直线解析式为，经过第一象限， ∴B错误，该选项不符合题意； C、， ∵当，即时，无论取何值，恒成立， ∴直线必过定点， ∴C正确，该选项符合题意； D、令，代入解析式得， ∴直线与轴交于点，只有当即时，才交于点，由于的值不确定，因此直线不一定与轴交于点， ∴D错误，该选项不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，无论m取何值时，它的图象恒过定点P，则定点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 函数图象恒过定点，即无论m取何值，该点坐标都满足方程，因此将方程整理为关于m的表达式，令m的系数为零，求解x，再代入求y． 【详解】解： ， ∵对于任意实数m，图象都过定点， ∴令，解得． 将代入解析式，得． ∴定点P的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【答案】(1) (2)的取值范围是且 (3)，整数k的值为， 【分析】（1）将函数解析式变形为，可得当时，，不管取任何不为0的值，均成立，即可得到定点的坐标； （2）将，分别代入直线，解得，，即可得到的取值范围是且； （3）先利用待定系数法求出线段所在直线的函数解析式为，再由点是直线和直线的交点，得到，整理得到，进而推出当是正整数时，的值可以是1，5，即可求解整数k的所有值． 【详解】（1）解：∵， 当时，，不管取任何不为0的值，均成立， ∴定点的坐标为； （2）解：当直线经过点时，将代入，得，解得， 当直线经过点时，将代入，得，解得， ∴的取值范围是且； （3）解：设所在直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为， ∵点是直线和直线的交点， ∴， ∴， 当是正整数时，的值可以是1，5， ∴整数k的值为，． 【题型 10】一次函数与最值问题 【例题10】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得一次函数的表达式为，再分和两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：代入点，得， ∴， ∴一次函数的表达式为， ∴当时，；当时，， 当时，y随着的增大而增大， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； 当时，y随着的增大而减小， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； ∴综上，a的值为或． 【变式1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数在的范围内，y的最大值比最小值大8，则k的值为_______． 【答案】2或 【分析】根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，分别求出对应范围内的最大值与最小值，再依据最大值比最小值大8列方程求解的值. 【详解】解：分两种情况讨论： 1. 当时，一次函数中随的增大而增大， 在范围内，当时，取得最大值，最大值为y=2k+1， 当时，取得最小值，最小值为， 根据题意得：， 解得； 2. 当时，一次函数中随的增大而减小， 在范围内，当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为y=2k+1， 根据题意得：， 解得：， 综上，的值为2或． 【变式3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 【题型 11】一次函数与方程不等式问题 【例题11】（25-26八年级下·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，若，则，此时不满足题意，若，则，则可得到，解之即可；同理求出时m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴， ∴； （2）解：当时， ∴， 若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值； 若，即时，则， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴， ∴； 当时， ∴， 若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值； 若，即时，则， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值， ∴， ∴； 综上所述，； 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A. 关于x不等式的解集是，原说法错误； B. 关于x的不等式的解集是，原说法正确； C. 关于x的方程的解是，原说法错误； D. 当时，一次函数值y的取值范围是； 故选B． 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用与轴交于且递减，得图像在轴上方时，解集为； （）根据两直线交点横坐标为，得交点左侧在下 方，解集为； （）解：由交点且递减，得函数值小于时；解：由与轴交于，递增，得；取两者公共部分，不等式组解集为． 【详解】（1）解：不等式，表示的图像在轴上方， ∵与轴交于，且随增大而减小， ∴图像在轴上方时； （2）解：不等式，表示的图像在图像下方， ∵两直线交点的横坐标为，交点左侧满足在下方， ∴解集为； （3）解：∵：表示函数值小于，交点，递减， ∴解集为； ∵：表示函数值大于，与轴交于，递增， ∴解集为； ∴两个解集的公共部分为，即不等式组的解集． 【变式3】（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意，可知当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象，结合图像得到的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴，解得； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为，， ∵要使得当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴即当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得，当时，的图象永远在的上方，那么只要当时，在的上方即可， 结合图象，可知当直线与直线平行时符合题意，此时或者时也符合题意， ∴m的取值范围为． 【题型 12】一次函数与实际问题 【例题12】（2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【答案】(1)每台A款学习机的价格是1000元,每台B款学习机的价格是800元 (2)购买20台A款学习机，30台B款学习机，最省钱 【分析】（1）根据购买两款学习机的两组总价条件，列二元一次方程组，求解两款的单价； （2）先设购买款的数量，用它表示款数量和总费用；再根据款数量不超过 款倍的约束条件，求费用函数的最小值，得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设每台款学习机的价格是元，每台B款学习机的价格是元． 由题意得，解得， ∴每台款学习机的价格是1000元，每台款学习机的价格是800元． （2）解：设购买台款学习机，台款学习机，总费用为元． 由题意可得：， 解得． 由题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时，，． ∴购买20台款学习机，30台款学习机，最省钱． 【变式1】（2026·安徽六安·一模）为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 【变式2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）随着线上经济的快速发展，某商户在线上投资销售、两种商品．两种商品的月利润获取方式不同，种商品的月利润是该商品投资金额（万元）的；种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额（万元）满足函数关系式，已知商品投资金额为万元时，盈利万元． (1)直接写出销售、两种商品的月利润，（万元）与对应商品的投资金额（万元）的函数关系式______；______． (2)若只选择其中一种商品投资销售，投资金额为多少时，投资产品的月利润更高？ (3)若该商户共投资万元同时销售，两种商品，其中投资商品的金额不少于投资商品金额的倍，要获得月利润最大，应该怎样分配投资金额？并求出最大月总利润． 【答案】(1)； (2)投资金额为万元时，投资产品的月利润更高 (3)投资万元销售商品，投资万元销售商品，月利润最大，最大月总利润为万元 【分析】（1）直接表示出，再根据待定系数法表示出； （2）令，解不等式求解即可； （3）设投资万元销售商品，则投资万元销售商品，根据“投资商品的金额不少于投资商品金额的倍”可确定的取值范围，然后表示出总利润为， 根据一次函数的增减性即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：； 商品投资金额为万元时，盈利万元，， ， ， ； （2）解：令，即， 解得， 投资金额， ， 即投资金额为万元时，投资产品的月利润更高； （3）解：设投资万元销售商品，则投资万元销售商品，销售月总利润为， 则：，解得， ， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（万元）， 此时（万元）， 即投资万元销售商品，投资万元销售商品，月利润最大，最大月总利润为万元． 【题型 13】一次函数图象与性质综合 【例题13】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 【答案】(1)见解析 (2)①②③ 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移和轴对称、点的旋转变换等知识，熟练掌握各种变换是解题的关键． （1）求出一次函数与y轴的交点和与x轴的交点，画直线即可得到答案； （2）把函数变换后验证是否过点即可． 【详解】（1）解：当时，，得到直线与y轴的交点为， 当时，，，得到直线与x轴的交点为， 在直角坐标系中描出点和，过这两点画直线，即为的图象，如图所示： ； （2）①向上平移4个单位，平移后解析式：， 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ②沿x轴翻折 翻折后解析式：，即 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ③绕原点按顺时针方向旋转， 设原函数上任意一点旋转后对应点为，旋转的坐标变换为，即， 代入原函数，得，整理得， 代入：， ∴函数图象经过变换后过点． 综上，能使函数图象经过变换后过点是①②③． 故答案为：①②③． 【变式1】（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先得出它的图象与轴交于点，结合，， 随的增大而增大，它的图象经过第一、三、四象限，且结合当时，则，故，即可作答． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴令，则，解得， ∴它的图象与轴交于点， 故A选项不正确，不符合题意； ∵一次函数解析式为，其中， ∴随的增大而增大， 故B选项不正确，不符合题意； ∵， ∴它的图象经过第一、三、四象限， 故D选项正确，符合题意； ∵， ∴当时，则， ∴， 即， 故C选项不正确，不符合题意； 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 【答案】二 【分析】先解不等式组中的两个不等式，根据不等式组无解的条件求出的取值范围，再结合一次函数的性质判断函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． 不等式组无解， ， 解得， ， 即一次函数 中，，， 函数图象经过第一、三、四象限， 一次函数的图象一定不经过第二象限． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期末）已知一次函数． (1)若该函数经过原点，求该函数的表达式； (2)若该函数经过平移能够与函数重合，求该函数的表达式； (3)请在同一坐标系中画出函数及（2）中所求函数的图象，函数的图象分别交轴、轴于点、点，（2）中所求函数的图象分别交轴、轴于点、点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)图象见解析， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点，割补法求不规则图形的面积，掌握相关知识点是解题的关键． （1）将代入解析式，即可求解； （2）根据平移可知两个一次函数的一次项系数相等，即可求解； （3）先画出函数图象，求出点的坐标，根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：将代入解析式，得， 解得或， 根据一次函数一次项系数不等于0，可得， ， 一次函数解析式为． （2）解：该函数经过平移能够与函数重合， ， ， 一次函数解析式为． （3）解：函数图象如下所示， 令，则，故点B坐标为， 则，故点D坐标为， 令，则，解得，故点A坐标为， 则，解得，故点C坐标为， 四边形的面积为． 【题型 14】一次函数图象与几何综合 【例题14】（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴正半轴、x轴负半轴相交于点A，B，直线分别与x轴、y轴相交于点、E，与相交于点C，，的周长为． (1)求直线的解析式； (2)若P是射线上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】（1）在中，设，则，，由的周长可求得a的值，从而得A、B两点的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）由点D的坐标求得直线的解析式，可求得点E的坐标，由求得点P的横坐标，求出点P的纵坐标即可． 【详解】（1）解：在中，设， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 的周长为， ， 解得，   ，， 将，代入直线的解析式中，得 ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：将代入中得， 联立， 解得，即， 令，解得，即， ∵， 解得， 代入得， 点P的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·月考）如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 【答案】 【分析】设点B的坐标为，根据长方形的性质求出长，利用求出的长，进而得出点C的坐标，代入即可求解． 【详解】解：设点B的坐标为，其中， 四边形是长方形，点、在x轴上 ， 轴、轴、轴， ， 点C的纵坐标为 ， ， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 将点代入得：， 解得． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标； (3)如图2，若点P是线段上一动点，过P作于Q，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，分当点P在线段上时，当点P在点B左侧时，当点P在点C右侧，分别进行讨论，利用面积关系列式求解； （3）过点作轴垂线，垂足为点，并且交直线于点，根据直线与轴的夹角可得为等腰直角三角形，进而得到，再利用在直线上，列方程即可解答； 【详解】（1）解：由直线的表达式为：得， 当时，；当时，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 直线的表达式为：； （2）解：设， 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴； 当点P在点B左侧时， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴； 当点P在点C右侧时，不存在； 综上，或； （3）解：如图，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 又，， ， 设，则，， 则有， ， ， ； 【题型 15】一次函数图象与规律问题 【例题15】（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】本题考查规律型：一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．分别过点、、作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点、、作x轴的垂线，垂足分别为点C、D、E， ∵，且为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得 ，， ∴， ， ， …… ∴， 因此． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 【变式2】（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 【答案】 【分析】找到a的下标与层数n的变化规律即可． 【详解】解：设为第1层，为第2层，为第3层，……， 由图知，每一层末尾的点都在直线或直线上， 则第1层：的坐标为，， 第2层：的坐标为，， 第3层：的坐标为，， 第4层：的坐标为，， 第5层：的坐标为，， ……， 第n层：n为奇数时，的坐标为，n为偶数时，的坐标为， ∴即的坐标为，即， ∵， ∴由点的分布规律可知，和都在直线上， ∴的坐标为． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 三.同步检测 （一）、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中y随着x的增大而减小，可得，由，可得，此一次函数的图象过二、三、四象限，即可解答． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象过二、三、四象限，A选项符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级下·北京延庆·期中）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用一次函数的图象性质，根据图象经过的象限判断和的符号即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴． ∵图象还经过第四象限， ∴． 即，． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 … … 3 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4，进而得到时，，进行判断即可． 【详解】解：由表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4， ∴当时，， 故算错的函数值为3． 故选：A． 4．（2026·陕西榆林·一模）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】设，，根据题意，得， 求解即可． 【详解】解：函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，且，， 设，， 根据题意，得， ， 解得， ． 5．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意． 故选：D． 6．（2026·山东济宁·一模）已知过点的直线不经过第四象限，，则w的最小值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先利用直线过已知点得到k与b的关系式，再根据直线不经过第四象限的性质得到k和b的取值范围，将w转化为关于单个变量的一次函数，根据一次函数的增减性求w的最小值． 【详解】解：∵ 直线过点， ∴ 将点代入直线方程得 ，整理得 ， ∵ 直线不经过第四象限，可得 ，， 将代入，得 ，解得 ， 因此的取值范围为 ， ∵ ，将代入得： ， ∵ ， ∴ 随的增大而减小， ∴ 当取最大值时，取得最小值，代入得： ， 即的最小值为． 7．（2026·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在延长线上取点，使得点与点关于直线对称，求出点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点C的坐标． 【详解】解：根据题意得，直线与直线关于直线对称， 在延长线上取点，使得点与点关于直线对称， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴点C的坐标为． 8．（2026·山东临沂·模拟预测）若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数，解题的关键是理解题意；由题意易得当时，则，当时，则，当时，则，然后根据周期函数的性质可知恒成立，进而根据周期函数可进行求解． 【详解】解：∵在时，函数的解析式为， ∴当时，则，当时，则，当时，则， ∵该函数的周期为2， ∴对于任意整数x，恒成立， ∴，， ， ， ∵到2024一共有4049个数， ∴； 故选A． 9．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 10．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 【答案】D 【分析】根据表格数据判断与为一次函数关系，求出函数表达式和停止加热时的通电时间，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数． 设， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴ 当时，，解得， ∵加热到，养生壶自动停止加热， ∴， ∴与的函数表达式为． 对各选项逐一判断： A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误； B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误； C选项：当时，，解得， ∵， ∴水温高于的时间为，故本选项错误； D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水， ∴通电时间为， 当时，， ∵ ∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确． （二）、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·全国·单元测试）把正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到直线___________． 【答案】 【详解】解：原正比例函数解析式为，平移后得，整理得 ． 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，是直线上的相异两点，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先将直线解析式整理为一次函数的一般形式，再根据已知条件判断随的变化趋势，利用一次函数的增减性得到关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：首先整理直线解析式：， ∵，是直线上的相异两点， ∵， ∴当时，，当时，， 即随的增大而增大， 根据一次函数的性质，一次项系数大于，可得， 解得． 13．（25-26八年级下·浙江台州·月考）已知，为直线上的两个点，且，则（填“＜”或“＞”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，先确定一次函数一次项系数的符号，判断函数的增减性，再根据比较与的大小． 【详解】解：∵直线是一次函数，其中一次项系数， 根据一次函数的性质：当一次函数的一次项系数时，随的增大而增大， ∵， ∴． 14．（25-26八年级下·河南新乡·期中）直线与x轴、y轴分别相交于点A、D，直线与x轴、y轴分别相交于点B、E，两直线交点为C，．若D、E两点之间的距离为2，则m的值为______________． 【答案】4或 【分析】由已知条件可得，，，，利用，，，，建立方程组求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别相交于点A、D， ∴当时，，当时，，则， ∴，， ∵直线与x轴、y轴分别相交于点B、E， ∴当时，，当时，，则， ∴，， ∵，，，， ∴，， 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； 综上所述，m的值为4或． 15．（25-26九年级下·江苏连云港·月考）如图，若一次函数和的图像相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】解：对于，当时，， 由函数图象可知，不等式的解集为． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 【答案】1125 【分析】求出函数解析式，把代入求解即可； 【详解】当时，设函数解析式为， 把点代入可得：， 解得：， ； 当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：， 解得：， ， 与的函数关系式为， 当时，． 17．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 18．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知等腰直角的顶点分别在轴上，，点的坐标是，的坐标是，则直线的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】过点A作轴于点D，先利用同角的余角相等证明，结合等腰直角三角形性质，由证明，求出点坐标，再利用待定系数法求解即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标是，的坐标是， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为． （三）、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知函数，若函数是由函数向上平移3个单位长度得到． (1)求m，n 的值； (2)判断点是否在该函数图象上？ 【答案】(1)， (2)点在该函数图象上 【分析】本题主要考查了一次函数的平移，已知自变量的值求函数值，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据一次函数定义可得，求出m，n的值即可； （2）将代入求出函数值与9比较即可． 【详解】（1）解：∵函数是由直线向上平移3个单位长度得到， ∴， 解得 ； （2）解：由（1）得函数的表达式为， ∴当时，， ∴点在该函数图象上． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别表示出和，根据的取值范围结合不等式的性质即可表示出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ，解得， ； （2）解：当时，， 当时，， ， ， ， 即． 21．（本小题满分10分）（2025八年级下·全国·专题练习）按照下列条件求的取值范围： (1)正比例函数的图象经过一、三象限； (2)正比例函数中，随的增大而增大； (3)已知的图象经过一、三象限． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数中，当时，函数图象分布在第一、三象限，随的增大而增大． （1）根据正比例函数图象在一、三象限可知，解不等式即可求解； （2）先根据正比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可； （3）根据正比例函数图象的性质，可得，根据正比例函数的定义可知，进而可得出 的取值范围． 【详解】（1）解：由正比例函数的图象经过第一、三象限， 可得：，则； （2）解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴，解得． （3）解：由正比例函数的图象经过一、三象限， 可得：，且， 解得：． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，点或 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可； （2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． 【点睛】在一次函数与面积的综合问题中，通常要结合图形中点的不同位置全面考虑，分别求解． 23．（本小题满分10分）（2026·河南濮阳·一模）为响应国家“绿色发展”号召，推进黄河流域生态保护与高质量发展，我市计划对某段河道进行综合治理．现拟由甲、乙两个工程队共同完成该项目的污水处理任务．经测算，该段河道需要处理的污水是600立方米，甲队每天能处理的污水量是乙队的倍，且甲队单独完成这项任务比乙队单独完成少用10天． (1)求甲、乙两队每天分别能处理污水多少立方米？ (2)已知甲队施工的费用为1000元/天，乙队施工的费用为700元/天，现要求两队合作完成该任务，且甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数．请设计一种施工方案，使得总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)甲队每天能处理污水30立方米，乙队每天能处理污水20立方米 (2)当甲队施工12天，乙队施工12天时总费用最低，最低总费用为20400元． 【分析】（1）设乙队每天能处理污水立方米，则甲队每天能处理污水立方米，根据甲队单独完成这项任务比乙队单独完成少用10天建立方程求解即可； （2）设甲队施工a天，总费用为W元，列出W关于a的函数关系式，再求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设乙队每天能处理污水立方米，则甲队每天能处理污水立方米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天能处理污水30立方米，乙队每天能处理污水20立方米； （2）解：设甲队施工a天，总费用为W元， 由题意得， ， ∵甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数， ∴， ∴， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最小值，最小值为， 此时， 答：当甲队施工12天，乙队施工12天时总费用最低，最低总费用为20400元． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，、两点的坐标分别为、、点在轴左侧，将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点，连接，． (1)_________，_________； (2)如图1，当点在轴正半轴时，连接，若，请求出的值； (3)如图2，当点在轴负半轴时，连接交轴于点，若，则点的坐标为_________； (4)若，点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)3，1 (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据得出，再根据非负数的性质即可求解． （2）先根据题意得出，，证明，得出，结合点在轴正半轴，即可得． （3）根据题意得，，轴，则，，过点C作轴交轴于点H，证明，则，求出，再根据待定系数法求出直线解析式，令，求出，即可解答． （4）分为：当时，当时，结合题意根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，1． （2）解：∵，、将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点， ∴，， ∵为等腰直角三角形，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴正半轴， ∴． （3）解：根据题意得，，轴， ∴，， 过点C作轴交轴于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， 解得：， ∴． （4）解：当时， ∵点在轴上， ∴或； 当时， 根据图1和图2可得， 则， ∴， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】该题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性 ，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，一次函数解析式求解，平移的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确理解题意． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $