专题 4.15 图形的旋转与几何模型（模型梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.15 图形的旋转与几何模型（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理与题型精析 1 【模型一】旋转——60度旋转模型 1 【题型 1】遇到等边三角形旋转60度构造等边三角形 1 【模型二】旋转——90度旋转模型 7 【题型 2】遇到正方形或等腰直角三角形旋转90度构造等腰直角三角形 7 【模型三】旋转——半角模型 15 【题型 3】旋转——45度半角模型求值证明 16 【题型 4】旋转——60度半角模型求值证明 22 【模型四】旋转——对角互补+邻边相等模型 28 【题型 5】旋转——对角互补+邻边相等模型求值证明 28 【模型五】旋转——手拉手模型 37 【题型 6】旋转——手拉手模型求值证明 37 二.同步检测 45 （一）单选题（6题） 45 （二）填空题（6题） 51 （三）解答题（6题） 58 一.模型梳理与题型精析 【模型一】旋转——60度旋转模型 条件 图形 结论 点是内一点，将绕点A按逆时针方向旋转 是一个等边三角形 【题型 1】遇到等边三角形旋转60度构造等边三角形 【例题1】（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出． 解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数___． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等、对应角相等，以及等边三角形和直角三角形的判定方法是解题的关键．连接 ，先利用旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，再结合等边三角形的判定与性质，最后通过勾股定理逆定理判断 的形状，得到的度数，进而求出的度数． 解：连接 ，如图， ∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，，，， ∴ ，，，， 又∵ 是等边三角形， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∵ 且 ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，； 在 中，，，， ∵ ，即 ， ∴ 是直角三角形，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，作等边三角形，连接，作交的延长线于点N，证明得证明是直角三角形，得由勾股定理求出即可． 解：作等边三角形，连接，作交的延长线于点N， ∵为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴, ∴是直角三角形，且 ∴ 在中， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∵ 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）（问题提出）如图，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， 求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． （尝试解决）（1）将绕点 逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ，，， 为______三角形 的度数为______． （探究）（2）如图，在等边三角形外部有一点 ，若，求证：． （拓展）（3）如图，在中，，，点 在直线 上方且，，求 的长． 【答案】（1）直角；；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得为等边三角形，由勾股定理逆定理得出，即为直角三角形，即可得解； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接．则是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可知，得出，，求出，得出，即可得解； （3）将绕点顺时针选中，得到如图所示的，由旋转的性质得，，，得出是等腰直角三角形，，求出点，，三点共线，得出是的中点，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 解：（1）如图1： ， 将绕点 逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ，，， 为直角三角形 的度数为； （2）证明：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）如图，将绕点顺时针选中，得到如图所示的， ， ∵，， ∴与点重合， 由旋转的性质得，，， 是等腰直角三角形，， 点，，三点共线， ∵，， ∴是的中点， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得（负值舍去）， 在等腰直角三角形中，由勾股定理可得． 【模型二】旋转——90度旋转模型 条件 图形 结论 在正方形中，点是正方形内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。 为等腰直角三角形. 【题型 2】遇到正方形或等腰直角三角形旋转90度构造等腰直角三角形 【例题2】（24-25九年级上·全国·期末）解答下列问题． （1）【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． （2）【类比探究】 如图，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据所给的思路画出图形，利用旋转的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）将绕点逆时针旋转 ，得到 ，连接，由旋转的性质可得出，，，进而得出由勾股定理得出，再利用勾股逆定理得出 是直角三角形，且 ，再根据角的和差关系即可得出答案． 解：（1）解：思路一：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 思路二：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （2）解：将绕点逆时针旋转 ，得到 ，连接． ， ，，， 在 中，， ，根据勾股定理得，， ， ， ， ， 是直角三角形，且 ， ． 【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为________．    【答案】 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值． 解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，    ， ， 在与中， ， ， ， 正方形中，，是边的中点， ， ， ， ， ， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质． 【变式2】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，连接由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可证明，即可求解． 解：连接如图： 是正方形， ， ，， ， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， 得，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）（1）如图，在等边三角形中，点在内，且，猜想，，三条线段之间有何数量关系，并说明理由． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 想法一：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三条线段之间的数量关系； 想法二：将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三条线段之间的数量关系． 请参考小明同学的想法，补充图形，并完成该问题的解答过程．一种方法即可 （2）如图，点是正方形内一点，若，，，三条线段之间又有何数量关系？请说明理由． （3）如图，点是正方形外一点，若，，三条线段满足（2）中的数量关系，请直接写出的度数．    【答案】（1），想法一与想法二的理由见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）想法一：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，，利用旋转的性质可得为等边三角形，再结合勾股定理、等边三角形的性质进行证明，即可解题； 想法二：解题方法与想法一类似； （2）将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，利用正方形性质和旋转的性质得到为等腰直角三角形，结合勾股定理得到，最后利用等腰直角三角形性质和勾股定理，即可解题； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，结合勾股定理及勾股定理逆定理得到，再利用等腰三角形性质求解，即可解题． 解：（1）解： 想法一：，理由如下： 将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，，    根据旋转的性质可知，，，， 为等边三角形， ，， ， ， ． 想法二：，理由如下： 在等边三角形中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，    根据旋转的性质可知，，，，， 为等边三角形， ，， ， ， ． 解：（2），理由如下： 将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接， ，    根据旋转的性质可知，，，，， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，    根据旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理（及其逆定理），正方形的性质，图形旋转的性质，等腰直角三角形性质，解题的关键是学会利用旋转法构造辅助线． 【模型三】旋转——半角模型 条件 图形 结论 如图：, 【题型 3】旋转——45度半角模型求值证明 【例题3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 如图，在正方形中，，，E、F分别是边上的点，连接、且．将绕点B按逆时针方向旋转至，则点M在的延长线上，． （1）证明 （2）判断是否成立； 【答案】（1）证明见分析；（2）成立，详见分析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据旋转的性质得出，，，然后证明即可； （2）根据全等三角形的性质，进行判断即可． 解：（1）证明：∵将绕点B按逆时针方向旋转至， ∴， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：成立，理由如下， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴成立． 【变式1】（24-25八年级上·山东东营·月考）如图，点，分别在正方形的边，上，，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，已知，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了旋转变换，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转与轴对称规律是解本题的关键．将旋转绕点A顺时针旋转，与重合，在延长线上截取，连接，得到，利用正方形的性质及，利用确定出，利用全等三角形对应边相等得到，再由求出长，即为长． 解：如图所示，将旋转绕点A顺时针旋转，与重合，在延长线上截取，连接，    可得， ，，， 四边形为正方形，， ， ， ， ， ． 故选：C 【变式2】（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，已知四边形是正方形，且线段，，，则___． 【答案】15 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，解一元二次方程，将顺时针旋转度得，进而证明，得出，，设正方形的边长为，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 解：将顺时针旋转度得， ∴，,， ∴ ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ， 设正方形的边长为，则， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·吉林·期末）【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． （1）【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： ，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ，即点，，共线， ， ，， 又，__________（__________________）（写依据） ． （2）【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由． （3）【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度． 【答案】（1）；；（2）成立，理由见详解；（3） 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定求解即可； （2）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，由旋转可知，，，判定，即可求解； （3）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，由旋转可知，，，，判定，根据勾股定理，即可求解． 解：（1）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ， ， 即点，，共线， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：；； （2）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， 则，又， , 即，，，三点共线， ，， ， 由旋转可知，，， ， 即， ， ， ， ， ，， ； （3）解：， ∴将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接， 由旋转可知，，，， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， ． 【题型 4】旋转——60度半角模型求值证明 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）有这样一道题：如图①，点在等边三角形的边上，将绕点逆时针旋转，使得旋转后点的对应点为C．小明是这样做的：过等边三角形的顶点作的平行线，在上截取，连接，则即为绕点逆时针旋转后的图形． （1）根据小明的思路，的度数为 ． （2）如图②，为等边三角形的边下方一点，连接，，．若，，求面积的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，以及最值问题的求解，掌握利用旋转构造全等三角形和等边三角形，结合三点共线与垂线段最短求边长最小值是解题的关键． （1）根据旋转的性质，旋转角为，且，故等于旋转角； （2）将绕点顺时针旋转构造等边，利用推出三点共线，再根据垂线段最短求的最小值，进而计算面积最小值． 解：（1）解：∵ 绕点逆时针旋转得到， ∴ 旋转角为， ∴． （2）解：是等边三角形， ，． 如图，将绕点顺时针旋转，使点与点重合，点的对应点为，过点作于点． 由旋转性质可知，， ，，， ． ， ， ， ， ，，三点共线， 是等边三角形． 要使的面积最小，则应使的边长最短． 当时，即点位于时，有最小值． ，， ， ， 面积的最小值． 【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D为△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，E、F分别为边AB、AC上的动点（不与A、B、C重合），∠EDF＝60°，将△DBE绕点D顺时针旋转120°后，下列结论错误的是（） A．E的对应点C、G和点A在同一直线上； B．∠FDG＝∠FDE＝60°； C．FE＝FG； D．∠DCG＝∠DEB 【答案】D 【分析】由旋转的性质和全等三角形的性质依次判断可求解． 解：∵将△DBE绕点D顺时针旋转120°， ∴△BDE≌△CDG，∠EDG=120°， ∴DE=DG，BD=DC，∠DBE=∠DCG， ∵∠BAC=60°，∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠DCA=180°， ∴∠DCG+∠ACD=180°， ∴B、E的对应点C、G和点A在同一直线上，故选项A不合题意； ∵∠BDC=∠EDG=120°，∠EDF=60° ∴∠EDF=∠FDG=60°，故选项B不合题意； 在△EDF和△GDF中， ， ∴△EDF≌△GDF（SAS）， ∴EF=FG，故选项C不合题意， 故选：D． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，．   （1）如图1，已知，①______； ②连接，在图1中画出将绕点B顺时针旋转后的图形； ③已知，求四边形的面积． （2）如图2，已知，连接，探究三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②见详解；③；（2），理由见详解． 【分析】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形、全等三角形、等边三角形解决问题． （1）①根据四边形的内角和为求解可得； ②将绕点B顺时针旋转至的上方，得； ③先证点D、A、E三点共线，再证是等边三角形，的面积即为四边形的面积． （2）连接．以为边向下作等边，由等边三角形的性质得出，，证出，证明，得出，，证出，再由勾股定理即可得出结论； 解：（1）解：①，且， ， 故答案为：； ②将绕点B顺时针旋转至的上方，得，如下图：    ③如图1，将绕点B顺时针旋转得， 则， ， ， 点D、A、E三点共线， ， ，即， 是等边三角形， ， ， 如图1，作于F，    ， ， ， ． （2）如图2所示，三者之间的等量关系为：． 理由如下：    连接，以为边向下作等边三角形， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，． 【模型四】旋转——对角互补+邻边相等模型 条件 图形 结论 平分。 【题型 5】旋转——对角互补+邻边相等模型求值证明 【例题5】（25-26八年级上·全国·期末）如图1，在四边形中，，，点，分别在四边形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． （1）思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点，，三点共线，易证，故，，之间的数量关系为 ； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到四边形的边，延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】（1）将绕点逆时针旋转至，使与重合，首先证明，，三点共线，求出，然后证明，根据全等三角形的性质解答； （2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，首先证明，，三点共线，求出，然后证明，根据全等三角形的性质解答； 解：（1）解：将绕点逆时针旋转至，使与重合， ∵， ∴，即点，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）； 证明将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，则， ∴，，，， ∵，， ∴，即，，三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 【点拨】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在四边形中，的两边，分别交直线，于点，，已知，且，． （1）如图1，当全部位于四边形的内部时，试探究与，之间的数量关系．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示：证明：如图2，将绕点旋转到处． ，，，， ， ， ，，三点共线． … 请你将上述证明过程补充完整，并写出结论； （2）如图3，当旋转到如图所示的位置时，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；如若不成立，请写出正确的结论，并证明． 【答案】（1）过程见分析，结论为；（2）不成立，正确的为，见分析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）利用旋转的性质，推理得出，进而利用线段的和差关系得到与，之间的数量关系为． （2）同样利用旋转的性质，推理得出，进而利用线段的和差关系得到与，之间的数量关系为． 解：（1）解：证明：如图2，将绕点旋转到处． ，，，， ， ， ，，三点共线． ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， 即与，之间的数量关系为． （2）当旋转到如图3所示的位置时，（1）中的结论不成立． 正确的结论为：． 证明：如图3，将绕点旋转到处． ，，，， ， ， ， ，，三点共线． ， ， 即， ， ． 在和中， ， ， ， 即与，之间的数量关系为． 【变式2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． 【思路点拨】 （1）如图①，四边形为对角互补四边形，，．求证：平分． 小东同学是这么做的：延长至点，使得，连接，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证出平分． ①还可以知道，，的数量关系为：___________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到：___________． 【变式拓展】 （2）如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小东的做法，求证： ①平分； ②． 【答案】①；②绕点逆时针旋转90°得到；（2）①见分析；②见分析 【分析】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键． （1）①由题意可得，，，即可得； ②根据旋转的定义可得出答案； （2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明； ②由①直接可证明； 解：（1）解：①， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：； ②∵， ∴绕点A逆时针旋转得到． 故答案为：绕点逆时针旋转90°得到； （2）证明：①如图，延长至点，使，连接. 因为四边形为对角互补四边形，所以 因为，所以 在和中，，，，所以 所以，， 因为， 所以 又因为， 所以是等边三角形 所以 因为， 所以 所以，即平分 ②证明：因为是等边三角形， 所以 因为， 所以， 所以. 【变式3】（24-25九年级上·江西宜春·月考）（1）操作发现： 如图①，在五边形中，，，，试猜想、、之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证 ，故、、之间的数量关系是 ； （2）类比探究： 如图②，在四边形中，，，点E、F分别在边、的延长线上， ，连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸： 如图③，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】（1），；（2），证明见分析；（3） 【分析】（1）根据小明的解题思路即可得出答案； （2）在上取一点使得，连接，先证明得到，，进而证出，再利用全等三角形的性质以及等量代换即可得出结论； （3）将绕点A逆时针旋转至，连接，根据旋转的性质得到，，，，推出，在中利用勾股定理求出的长，再通过证明，得到，即可求解． 解：（1）∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点D、E、F三点共线， ∵，，， ∴， ∴， ∴、、之间的数量关系是． 故答案为：，； （2），证明如下： 如图，在上取一点使得，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，将绕点A逆时针旋转至，连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质得，，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边对等角、勾股定理，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【模型五】旋转——手拉手模型 条件 图形 结论 如图：,, ,连接、相交于点. （1） （2） 【题型 6】旋转——手拉手模型求值证明 【例题6】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】（1）见分析；（2），，理由见分析；（3）24 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定与性质，三角板中角度计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，则证明，即可作答． （2）与（1）同理证明，所以，；延长与交于点，所以，整理得，即； （3）过作交延长线于，过作交于，得出，结合，故，证明，因为点A到直线的距离为7，所以，，结合，得出，，故． 解：（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ∴，，， ∴， ∴； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，； 延长与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过作交延长线于，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中） 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③的周长等于16；④是等边三角形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】通过旋转可知，，，得，，所以，故①正确，由，，可知是等边三角形，故④正确，因为的周长等于，所以的周长等于16，故③正确，点是边上的一点，位置不确定，所以，角度不确定，故②不正确． 解：∵在等边三角形中， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∴，故①正确， 又∵，， ∴是等边三角形，故④正确， ∴，， ∴的周长等于， ∴的周长等于16，故③正确， ∵， ∴， ∵点是边上的一点，位置不确定， ∴，角度不确定，故②不正确， 综上：①③④正确． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，，且，，边和边相交于点P，边和边相交于Q，当为等腰三角形时，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的性质，三角形内角和定理，角度和差关系及等腰三角形的判定与性质．利用旋转性质，确定全等与角的关系，再推导出，进而推导出的度数，此时分类讨论为等腰三角形的情况即可得到的值． 解：过点B作于点D，过点B作于点E， 由旋转可得，，则， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴， 此时分三种情况讨论： ①如图，当时，， ∵， ∴，解得； ②如图，当时，， 即，解得； ③当时，， 又∵， ∴，不符合题意， 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）【阅读材料】两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，且当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等三角形，则把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，在“手拉手”图形中，若，，，则≌．    （1）【材料理解】在图1中证明． （2）【问题解决】如图2，和都是等腰三角形，，，，线段与线段交于点F，延长交于点，求证：．下面是小明的部分证明过程： 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 请你补全余下的证明过程． （3）【结论应用】如图3，是等腰三角形，，、分别为边、上的点，且满足，连接，将以点为旋转中心按逆时针方向旋转，旋转角为，当线段与的腰有交点，且直线垂直于的腰时，直接写出的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）或 【分析】（1）根据得，再结合全等三角形的判定条件证明即可； （2）根据三角形内角和定理，证明，结合，即可证明； （3）根据直线垂直于的腰和时的图，结合三角内角和定理分别求出和的度数，再结合逆时针旋转方向求出旋转角即可． 解：（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴≌， （2）：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）旋转至垂直时，如图4所示， ,    ∵，， ∴， ∵以点为旋转中心按逆时针方向旋转至， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴旋转至垂直时，以点为旋转中心按逆时针方向旋转角度为； 旋转至垂直时，如图5所示，    ∵以点为旋转中心按逆时针方向旋转至， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴旋转至垂直时，以点为旋转中心按逆时针方向旋转角度为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和和图形的旋转，熟练掌握各个性质定理是解题的关键． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（25-26七年级上·上海·月考）已知如图，点是线段上一点，都是等边三角形，下列说法正确的有（    ） （1）可由旋转得到；（2）绕点顺时针旋转可得；（3）是等边三角形；（4）；（5）如果，则；（6）如果，则； A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质与判定依次证明每个说法即可解答． 解：（1）都是等边三角形， ， ， 可由旋转得到， 故说法正确； （2）由（1）同理可得， ， ， 都是等边三角形， ， ， 绕点顺时针旋转可得， 故说法正确； （3）， ， 都是等边三角形， ， ， 是等边三角形， 故说法正确； （4）， ， 故说法正确； （5），， ， 是等边三角形， ， ， 故说法正确； （6），， ， ，， ， ， 故说法正确； 综上，说法正确的有6个． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，其中错误的结论是（   ） A． B． C．的周长等于18 D．是等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，证明，得到，得到，根据平行线的性质可对A选项进行判断；根据等边三角形的判定方法可对D选项进行判断；由于，则可计算出的周长，于是可对C选项进行判断；先由是等边三角形得，再利用三角形外角性质可得，然后根据三角形边角关系得，所以，于是可对B选项进行判断． 解：∵等边三角形， ∴，， ∵旋转， ∴，， ∴是等边三角形，故D选项正确； ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故A选项正确； ∵， ∴的周长；故C选项正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故B选项错误； 故选B． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，边长相等的两个正方形和，若将正方形绕点按逆时针方向旋转，两个正方形的重叠部分四边形的面积（   ）． A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，旋转的性质，关键是求出，即得面积等于的面积．根据正方形性质得出，求出，根据证，推出两个正方形的重叠部分四边形的面积等于，即可得出选项． 解：∵四边形、四边形是两个边长相等正方形， ∴， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴两个正方形的重叠部分四边形的面积是， 即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于，重叠部分四边形的面积不变， 故选：A． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图，E为正方形的边上一点，，将绕点A顺时针旋转，使得与重合，此时点E旋转至点，连接，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，求得和是解题的关键． 由旋转可知为等腰直角三角形，得到，再根据，得到即可求解． 解：由旋转可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则线段的长度为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 解：过点作于， ∵将边绕点逆时针旋转至点， ， ∵， ∴， ∵在正方形中，，， ， ， ∴，， ， 在和中， ， ， ∴， ∵在中，，， ∴， ． 故选：D 【点拨】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键． 6．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，点是正方形内一点，将绕点沿顺时针方向旋转后与重合，若，那么（ ）    A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出，，则为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 解：根据旋转的性质可知，，， 为等腰直角三角形， 由勾股定理，得． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． （2） 填空题（6题） 7．（2025·贵州黔东南·二模）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且，，，则这个等边三角形ABC的边长为________． 【答案】 【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案． 解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH⊥直线AP于H，如图所示， 由旋转知，△BDP为等边三角形，AD=PC=， ∴BP=PD=BD=，∠BPD=60°， ∵PA=， ∴， ∴∠APD=90°， ∴∠BPH=30°， ∴BH=，PH=， 由勾股定理得：AB=， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点是等边三角形内部一点，连接、、，且，现将绕点顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的是__________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】由题意知旋转角，，，可得是等边三角形；，，可知是直角三角形，有；由知，可得与不全等；，，可得；进而可得正确答案． 解：由题意知旋转角，， ∴是等边三角形 ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∴与不全等 故②错误； ∵ ∴ ∴是直角三角形 ∴ 故③正确； ∵， ∴ ∴ ∴ 故④正确； 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆应用，三角形的内角和定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 9．（2025·贵州铜仁·三模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为________．    【答案】 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值． 解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，    ， ， 在与中， ， ， ， 正方形中，，是边的中点， ， ， ， ， ， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质． 10．（2020·山东滨州·中考真题）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为______． 【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．由旋转的性质可知，，进而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理得到，再由直角三角形斜边上的中线得到，最后根据勾股定理求解即可． 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于． 由旋转的性质可知，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，共线， ， ， ， ， ， 正方形的面积为． 故答案为． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确构造旋转图形是解题的关键． 11．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，P为正方形内一点，，，，则_______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理与勾股定理逆定理，将绕B顺时针旋转到，得，，，再求得，进而得，即可得，从而，解题关键是勾股定理的应用． 解：如图：将绕B顺时针旋转到， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则__________°． 【答案】135 【分析】本题考查旋转的基本性质和全等三角形基本性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握基本性质是解题关键； 连接，先通过旋转性质是等腰直角三角形．再通过勾股定理得到，进而通过勾股定理逆定理得到是直角三角形，进而可求出． 解：连接． ∵绕点顺时针旋转到， ， 是直角三角形． ∵由旋转性质可知，与全等， ，． ． ∵，，， ， 是直角三角形， ， ． 故答案为：135． （3） 解答题（6题） 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF． （1）思路梳理：将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证AFG≌AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ； （2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 ，并给出证明； （3）联想拓展：如图3，等腰RtABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 ． 【答案】（1）BE+FD=EF；（2）DF=EF+BE；（3） 【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案； （3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 解：（1）如图1所示： ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线， ∴∠DAG=∠BAE，AE=AG， ∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG． 在△EAF和△GAF中， ， ∴△AFG≌△AFE（SAS）． ∴EF=FG． ∴EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF． 故答案为：BE+FD=EF； （2）DF=EF+BE． 证明：如图2所示． ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∵∠ADC=∠ABE=90°， ∴点C、D、G在一条直线上． ∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD． 又∵∠BAG+∠GAD=90°， ∴∠EAG=∠BAD=90°． ∵∠EAF=45°， ∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°． ∴∠EAF=∠GAF． 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）． ∴EF=FG． ∵FD=FG+DG， ∴DF=EF+BE， 故答案为：DF=EF+BE； （3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE． ∵∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠CAE=45°， 又∵∠FAB=∠CAE， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 则在△ADF和△ADE中， ， ∴△ADF≌△ADE（SAS）． ∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°． ∴∠BDF=90°． ∴△BDF是直角三角形． ∴BD2+BF2=DF2． ∴BD2+CE2=DE2． ∴DE=， ∴BE=BD+DE=， 故答案为：． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 14．（2025八年级上·河北·专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见分析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知是等腰直角三角形，，． （1）如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：； （2）如图，点M在外，，，，求． （3）如图，在中，，，，点P是三角形内一点，连，，，则的最小值是 ． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）设、交于，根据等腰直角三角形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到； （2）作，且，连接，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到 ，过作于，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到； （3）如图3中，将绕点逆时针旋转得到，得到，，，推出是等边三角形，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 解：（1）证明：设、交于， ，都是等腰直角三角形，，， ， ，即， ， ， 又， ， ； （2）解：作，且，连接，， 为等腰直角三角形， ， ∵是等腰直角三角形，，． ∴，即， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ，， ∴ ， ； （3）解：如图3中， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，， 在中，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·河南周口·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动，如图，和是共直角顶点的等腰直角三角形，且，，将绕点A顺时针旋转，直线、交于点P． 【操作发现】 （1）如图①，勤奋小组在旋转的过程中发现，当点D落在线段上时，，请你证明他们的发现； 【拓展延伸】 （2）创新小组将旋转至如图②所示的位置，即点D落在线段上，此时，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理解答即可； 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 解：（1）∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，     ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，     （2）解：∵， ∴， ∴， 同（1）可证：，，     ∴， 又∵， ∴，     ∴． 17．（24-25九年级上·四川绵阳·月考）问题：如图，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 赵明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图②），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得 ，所以 ，还可根据的三边长度得到是直角三角形，进而求出等边三角形的边长为 ，问题得到解决． 解决下列问题： （1）根据赵明同学的思路填空： ， ，等边三角形的边长为 ． （2）类比探究，如图③，在正方形内有一点，且，，．求：①的度数；②正方形的边长． 【答案】（1），，；（2）①；②正方形的边长为 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，推出，进而得到是等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，即可得出，过点作，交的延长线于，则，求出，，，最后由勾股定理进行计算即可； （2）①由旋转的性质可得，，，，推出，由勾股定理逆定理得出，即可得出；②过点作，交的延长线于，则，求出，得到，最后由勾股定理进行计算即可． 解：（1）解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 如图，过点作，交的延长线于， ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①如图，将绕点逆时针旋转得到， 四边形是正方形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； ②过点作，交的延长线于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、正方形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 18．（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）（问题提出）如图，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， 求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． （尝试解决）（1）将绕点 逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ，，， 为______三角形 的度数为______． （探究）（2）如图，在等边三角形外部有一点 ，若，求证：． （拓展）（3）如图，在中，，，点 在直线 上方且，，求 的长． 【答案】（1）直角；；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得为等边三角形，由勾股定理逆定理得出，即为直角三角形，即可得解； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接．则是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可知，得出，，求出，得出，即可得解； （3）将绕点顺时针选中，得到如图所示的，由旋转的性质得，，，得出是等腰直角三角形，，求出点，，三点共线，得出是的中点，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 解：（1）如图1： ， 将绕点 逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ，，， 为直角三角形 的度数为； （2）证明：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）如图，将绕点顺时针选中，得到如图所示的， ， ∵，， ∴与点重合， 由旋转的性质得，，， 是等腰直角三角形，， 点，，三点共线， ∵，， ∴是的中点， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得（负值舍去）， 在等腰直角三角形中，由勾股定理可得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.15 图形的旋转与几何模型（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理与题型精析 1 【模型一】旋转——60度旋转模型 1 【题型 1】遇到等边三角形旋转60度构造等边三角形 1 【模型二】旋转——90度旋转模型 3 【题型 2】遇到正方形或等腰直角三角形旋转90度构造等腰直角三角形 3 【模型三】旋转——半角模型 5 【题型 3】旋转——45度半角模型求值证明 5 【题型 4】旋转——60度半角模型求值证明 7 【模型四】旋转——对角互补+邻边相等模型 8 【题型 5】旋转——对角互补+邻边相等模型求值证明 8 【模型五】旋转——手拉手模型 11 【题型 6】旋转——手拉手模型求值证明 11 二.同步检测 13 （一）单选题（6题） 13 （二）填空题（6题） 15 （三）解答题（6题） 16 一.模型梳理与题型精析 【模型一】旋转——60度旋转模型 条件 图形 结论 点是内一点，将绕点A按逆时针方向旋转 是一个等边三角形 【题型 1】遇到等边三角形旋转60度构造等边三角形 【例题1】（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数___． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则______． 【变式3】（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）（问题提出）如图，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， 求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． （尝试解决）（1）将绕点 逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ，，， 为______三角形 的度数为______． （探究）（2）如图，在等边三角形外部有一点 ，若，求证：． （拓展）（3）如图，在中，，，点 在直线 上方且，，求 的长． 【模型二】旋转——90度旋转模型 条件 图形 结论 在正方形中，点是正方形内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。 为等腰直角三角形. 【题型 2】遇到正方形或等腰直角三角形旋转90度构造等腰直角三角形 【例题2】（24-25九年级上·全国·期末）解答下列问题． （1）【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． （2）【类比探究】 如图，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为________．    【变式2】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）（1）如图，在等边三角形中，点在内，且，猜想，，三条线段之间有何数量关系，并说明理由． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 想法一：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三条线段之间的数量关系； 想法二：将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三条线段之间的数量关系． 请参考小明同学的想法，补充图形，并完成该问题的解答过程．一种方法即可 （2）如图，点是正方形内一点，若，，，三条线段之间又有何数量关系？请说明理由． （3）如图，点是正方形外一点，若，，三条线段满足（2）中的数量关系，请直接写出的度数．    【模型三】旋转——半角模型 条件 图形 结论 如图：, 【题型 3】旋转——45度半角模型求值证明 【例题3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 如图，在正方形中，，，E、F分别是边上的点，连接、且．将绕点B按逆时针方向旋转至，则点M在的延长线上，． （1）证明 （2）判断是否成立； 【变式1】（24-25八年级上·山东东营·月考）如图，点，分别在正方形的边，上，，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，已知，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，已知四边形是正方形，且线段，，，则___． 【变式3】（24-25九年级上·吉林·期末）【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． （1）【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： ，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ，即点，，共线， ， ，， 又，__________（__________________）（写依据） ． （2）【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由． （3）【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度． 【题型 4】旋转——60度半角模型求值证明 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）有这样一道题：如图①，点在等边三角形的边上，将绕点逆时针旋转，使得旋转后点的对应点为C．小明是这样做的：过等边三角形的顶点作的平行线，在上截取，连接，则即为绕点逆时针旋转后的图形． （1）根据小明的思路，的度数为 ． （2）如图②，为等边三角形的边下方一点，连接，，．若，，求面积的最小值． 【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D为△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，E、F分别为边AB、AC上的动点（不与A、B、C重合），∠EDF＝60°，将△DBE绕点D顺时针旋转120°后，下列结论错误的是（） A．E的对应点C、G和点A在同一直线上； B．∠FDG＝∠FDE＝60°； C．FE＝FG； D．∠DCG＝∠DEB 【变式2】（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，． （1）如图1，已知，①______； ②连接，在图1中画出将绕点B顺时针旋转后的图形； ③已知，求四边形的面积． （2）如图2，已知，连接，探究三者之间的数量关系，并说明理由． 【模型四】旋转——对角互补+邻边相等模型 条件 图形 结论 平分。 【题型 5】旋转——对角互补+邻边相等模型求值证明 【例题5】（25-26八年级上·全国·期末）如图1，在四边形中，，，点，分别在四边形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． （1）思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点，，三点共线，易证，故，，之间的数量关系为 ； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到四边形的边，延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在四边形中，的两边，分别交直线，于点，，已知，且，． （1）如图1，当全部位于四边形的内部时，试探究与，之间的数量关系．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示：证明：如图2，将绕点旋转到处． ，，，， ， ， ，，三点共线． … 请你将上述证明过程补充完整，并写出结论； （2）如图3，当旋转到如图所示的位置时，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；如若不成立，请写出正确的结论，并证明． 【变式2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． 【思路点拨】 （1）如图①，四边形为对角互补四边形，，．求证：平分． 小东同学是这么做的：延长至点，使得，连接，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证出平分． ①还可以知道，，的数量关系为：___________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到：___________． 【变式拓展】 （2）如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小东的做法，求证： ①平分； ②． 【变式3】（24-25九年级上·江西宜春·月考）（1）操作发现： 如图①，在五边形中，，，，试猜想、、之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证 ，故、、之间的数量关系是 ； （2）类比探究： 如图②，在四边形中，，，点E、F分别在边、的延长线上， ，连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸： 如图③，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，则的长为 ． 【模型五】旋转——手拉手模型 条件 图形 结论 如图：,, ,连接、相交于点. （1） （2） 【题型 6】旋转——手拉手模型求值证明 【例题6】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中） 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③的周长等于16；④是等边三角形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，，且，，边和边相交于点P，边和边相交于Q，当为等腰三角形时，则_____． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）【阅读材料】两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，且当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等三角形，则把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，在“手拉手”图形中，若，，，则≌．    （1）【材料理解】在图1中证明． （2）【问题解决】如图2，和都是等腰三角形，，，，线段与线段交于点F，延长交于点，求证：．下面是小明的部分证明过程： 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 请你补全余下的证明过程． （3）【结论应用】如图3，是等腰三角形，，、分别为边、上的点，且满足，连接，将以点为旋转中心按逆时针方向旋转，旋转角为，当线段与的腰有交点，且直线垂直于的腰时，直接写出的值． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（25-26七年级上·上海·月考）已知如图，点是线段上一点，都是等边三角形，下列说法正确的有（    ） （1）可由旋转得到；（2）绕点顺时针旋转可得；（3）是等边三角形；（4）；（5）如果，则；（6）如果，则； A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，其中错误的结论是（   ） A． B． C．的周长等于18 D．是等边三角形 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，边长相等的两个正方形和，若将正方形绕点按逆时针方向旋转，两个正方形的重叠部分四边形的面积（   ）． A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大 4．（2024·安徽·模拟预测）如图，E为正方形的边上一点，，将绕点A顺时针旋转，使得与重合，此时点E旋转至点，连接，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则线段的长度为（    ） A．6 B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，点是正方形内一点，将绕点沿顺时针方向旋转后与重合，若，那么（ ）    A． B． C．6 D． （2） 填空题（6题） 7．（2025·贵州黔东南·二模）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且，，，则这个等边三角形ABC的边长为________． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点是等边三角形内部一点，连接、、，且，现将绕点顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的是__________（填序号）． 9．（2025·贵州铜仁·三模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为________．    10．（2020·山东滨州·中考真题）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为______． 11．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，P为正方形内一点，，，，则_______． 12．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则__________°． （3） 解答题（6题） 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF． （1）思路梳理：将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证AFG≌AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ； （2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 ，并给出证明； （3）联想拓展：如图3，等腰RtABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 ． 14．（2025八年级上·河北·专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知是等腰直角三角形，，． （1）如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：； （2）如图，点M在外，，，，求． （3）如图，在中，，，，点P是三角形内一点，连，，，则的最小值是 ． 16．（25-26九年级上·河南周口·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动，如图，和是共直角顶点的等腰直角三角形，且，，将绕点A顺时针旋转，直线、交于点P． 【操作发现】 （1）如图①，勤奋小组在旋转的过程中发现，当点D落在线段上时，，请你证明他们的发现； 【拓展延伸】 （2）创新小组将旋转至如图②所示的位置，即点D落在线段上，此时，求的长． 17．（24-25九年级上·四川绵阳·月考）问题：如图，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 赵明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图②），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得 ，所以 ，还可根据的三边长度得到是直角三角形，进而求出等边三角形的边长为 ，问题得到解决． 解决下列问题： （1）根据赵明同学的思路填空： ， ，等边三角形的边长为 ． （2）类比探究，如图③，在正方形内有一点，且，，．求：①的度数；②正方形的边长． 18．（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）（问题提出）如图，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， 求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． （尝试解决）（1）将绕点 逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ，，， 为______三角形 的度数为______． （探究）（2）如图，在等边三角形外部有一点 ，若，求证：． （拓展）（3）如图，在中，，，点 在直线 上方且，，求 的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $