专题 4.4 平行四边形的判定定理（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.4 平行四边形的判定定理（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点一：平行四边形的判定——定义法 1 ★【题型 1】利用平行四边形定义判定平行四边形 1 知识点二：平行四边形的判定定理一 3 ★【题型 2】利用两组对别相等平行判定平行四边形 4 知识点三：平行四边形的判定定理二 6 ★【题型 3】利用两组对角相等平行判定平行四边形 7 知识点四：平行四边形的判定定理三 8 ★【题型 4】通过一组对边平行且相等判定平行四边形 9 知识点五：平行四边形的判定定理四 13 ★【题型 5】通过对角线互相平分判定平行四边形 13 知识点六：平行四边形的性质与判定综合 17 ★★【题型 6】平行四边形性质与判定综合求值 17 ★★【题型 7】平行四边形性质与判定综合求值证明 20 二.中考真题 25 （一）单选题（6题） 25 （二）填空题（6题） 31 （三）解答题（4题） 37 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】平行四边形的判定——定义法 平行四边形的判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形. ★【题型 1】利用平行四边形定义判定平行四边形 【例题1】（25-26九年级上·江西九江·期中）矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识．由矩形的性质可得，，推出，结合角平分线的定义得到，推出，即可得证． 解：证明：矩形中，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 由， 四边形为平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 解：由题意已知， 四边形为平行四边形， 故答案为：是． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 根据角相等得到平行关系，再根据三角形内角和定理得到角相等，进而得证． 解：证明：， ． 又，且， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【知识点二】平行四边形的判定定理一 平行四边形的判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 符号语言：四边形ABCD是平行四边形 ★【题型 2】利用两组对别相等平行判定平行四边形 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见分析 【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 解：，，，， ， 即， 解得， ∴，，， ，， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键； 根据垂直得到角相等，在直角三角形中根据HL判定全等，进而得到对边相等，从而证明四边形ABCD是平行四边形． 解：证明：，， ． 在和中， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，分别以的三边为边在的同侧作三个等边三角形，，．当点，，不共线时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见分析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握利用等边三角形的边、角性质寻找全等条件，进而推导出四边形对边相等是解题的关键． 要判断四边形的形状，可通过证明两组对边分别相等来判定平行四边形，利用等边三角形的性质，找到全等三角形的条件，从而推导出对边相等． 解：四边形是平行四边形．理由如下： ，都是等边三角形， ，，． ，， ． 在和中， ， ． 是等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形为平行四边形． 【知识点三】平行四边形的判定定理二 平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 符号语言：四边形ABCD是平行四边形 ★【题型 3】利用两组对角相等平行判定平行四边形 【例题1】（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形中，已知，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平行四边形的判定．解二元一次方程组求得，进一步计算得到，，根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形是平行四边形． 解：由， 得， ∵， ∴． ∴，． ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． （1）求的度数． （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）利用的内角和为，结合已知的，计算出的度数； （2）先求出的度数，再利用四边形内角和为算出的度数，通过两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明结论． 解：（1）解：， ． （2）证明：，，， ， ， 四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查了三角形内角和、四边形内角和与平行四边形的判定，掌握三角形内角和为、四边形内角和为，及两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 解：证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的对边平行性质，及利用等角的补角相等推出对角相等，进而判定平行四边形是解题的关键． 【知识点四】平行四边形的判定定理三 平行四边形的判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形 ★【题型 4】通过一组对边平行且相等判定平行四边形 【例题4】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析 （2）四边形是平行四边形，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定知识点，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先由推出，再用证明，从而得到， （2）由推出，结合，证明四边形是平行四边形． 解：（1）证明：， ， 即． 在与中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形．理由： ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【变式1】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、图形旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理和等边三角形的性质是解题的关键． 先利用等边三角形的性质得到 及相关角度，再结合旋转性质得到 ，从而推出 ；接着证明 为等边三角形，得到 ，进而推出 ；最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明． 解：证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵将绕点旋转得到， ∴． ∴，是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． （1）求证：． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析 （2）四边形是平行四边形．理由见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和平行四边形的判定，熟练掌握两种图形的判定方法是解题的关键； （1）利用等边三角形的性质推导边和角的关系，再通过SAS证明三角形全等； （2）根据（1）的结论推导边平行且相等，依据平行四边形判定定理判定形状． 解：（1）证明：是等边三角形， ，． ， 是等边三角形， ，， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， ． 在与中， ． （2）解：四边形是平行四边形． 理由：由（1）知和都为等边三角形， ， ． ， 四边形为平行四边形． 【变式3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． （1）证明：； （2）证明：四边形为平行四边形． 【答案】（1）见分析 （2）见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 解：（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 【知识点五】平行四边形的判定定理四 平行四边形的判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形 ★【题型 5】通过对角线互相平分判定平行四边形 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． （1）求证：； （2）添加，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 解：（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线、交于点，点、在上，点、在上，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 解：证明：四边形是平行四边形， ，， 又，， ，， 即，， 四边形是平行四边形． 【变式2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两点，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，可证，，因为，可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； （2）根据四边形是平行四边形，可知，，由（1）可知，可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论成立． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如下图所示，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线，交于点，交于点．若，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见分析 【分析】要证明四边形是平行四边形，所以可考虑证明一组对边平行且相等，或对角线互相平分，或两组对边分别相等/平行；已知，可考虑构造全等三角形，结合条件，可通过在直线上取点、，使，，进而得到；若能证明，再结合及对顶角相等，可证明，得到，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明． 解：证明：如图，在直线上取点、，使，，连接、． ， ， ，， ， ，， 由作图，知、都是等腰三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， 即 ， ∴ 在和中 ∴， 同理可证， ， ∴四边形为平行四边形． 【知识点六】平行四边形的性质与判定综合 ★★【题型 6】平行四边形性质与判定综合求值 【例题6】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键． （1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等从而证平行． （2）利用平行线同旁内角互补求出，结合折叠的角平分线性质求出，再由垂直关系计算． 解：（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ． 由折叠知， ， ． （2）解：， ， ． 由折叠知， ． ， ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为____． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，与关于点成中心对称． （1）连接，证明四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是关键． （1）根据中心对称的特点得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）由勾股定理，平行四边形的性质得到，由此即可求解． 解：（1）证明：如图所示， ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ★★【题型 7】平行四边形性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可． （2）根据平行四边形的性质求解即可． 解：（1）证明：，， ． ， ， ． 平分， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：平分， ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到 解：由题意可知： 四边形为平行四边形， 故选：C． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形. 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【变式3】（25-26八年级下·湖北荆州·月考）如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 【答案】（1）见分析；（2）， 【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证； （2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解． 解：（1）证明：连接交于． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵，， ∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 2．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 解：A．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；     B． ∵，∴，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；         C．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；         D．∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形， 故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 4．（2023·湖南常德·中考真题）下列命题正确的是（   ） A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可． 解：A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误； D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误． 故选：A． 【点拨】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质． 5．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意的作图可得平分，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形是平行四边形，得到．根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答． 解：根据题意的作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点拨】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键． 6．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 【答案】B 【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可． 解：如图，连接，取与格线的交点，则，    而， ∴四边形不是平行四边形， ∴，不平行，故A不符合题意； 如图，取格点，连接，    由勾股定理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，故B符合题意； 如图，取格点，    根据网格图的特点可得：， 根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意； 故选B 【点拨】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键． （2） 填空题（6题） 7．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 8．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 解：∵菱形的边长为2，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．    【答案】 【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【点拨】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角形为直角三角形． 根据平行四边形对角线互相平分可知，，，又，根据勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，面积为，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的部分，由此可求出平行四边形的面积． 解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，三点在同一条直线上时，的长度为 ______； （2）若点落在线段上时，的长度为 ______． 【答案】 或 【分析】（）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，求出，在中由勾股定理可求解；（）过点作于，过点作于，证明四边形是矩形，所以，，，由“”可证，可得，可证四边形是平行四边形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，当与点重合时，，则，即可求解． 解：（）如图， ∵，， ∴，， ∵以为轴将进行翻折，得到， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， 故答案为：； （）如图，过点作于，过点作于， ∵以为轴将进行翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图，当与点重合时， 同理可得：四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． （3） 解答题（4题） 13．（2024·新疆·二模）如图，已知平行四边形． （1）若E，F是上两点，且，求证； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，再根据证明三角形全等即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形即可． 解：（1）证明：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴ ； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 14．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是正方形，得出且．结合，得出．结合，即可证明四边形是平行四边形． （2）过点作于点．根据四边形是正方形，，得出．结合，证出四边形是矩形．得出．结合，得出．在中，由勾股定理求出． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴且． 又， ． ． 又． ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点． ∵四边形是正方形，， ． 又， ∴四边形是矩形． ． 又， ． 在中，由勾股定理得． 15．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 【答案】（1）见详解；（2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 解：（1）∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 16．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 【答案】（1）见分析；（2）四边形的周长为24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， . 四边形的周长为24. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.4 平行四边形的判定定理（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点一：平行四边形的判定——定义法 1 ★【题型 1】利用平行四边形定义判定平行四边形 1 知识点二：平行四边形的判定定理一 2 ★【题型 2】利用两组对别相等平行判定平行四边形 3 知识点三：平行四边形的判定定理二 3 ★【题型 3】利用两组对角相等平行判定平行四边形 4 知识点四：平行四边形的判定定理三 4 ★【题型 4】通过一组对边平行且相等判定平行四边形 4 知识点五：平行四边形的判定定理四 6 ★【题型 5】通过对角线互相平分判定平行四边形 6 知识点六：平行四边形的性质与判定综合 7 ★★【题型 6】平行四边形性质与判定综合求值 7 ★★【题型 7】平行四边形性质与判定综合求值证明 8 二.中考模拟真题 9 （一）单选题（6题） 9 （二）填空题（6题） 11 （三）解答题（4题） 12 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】平行四边形的判定——定义法 平行四边形的判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形. ★【题型 1】利用平行四边形定义判定平行四边形 【例题1】（25-26九年级上·江西九江·期中）矩形中，平分交于，平分交于．求证：四边形为平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 【知识点二】平行四边形的判定定理一 平行四边形的判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 符号语言：四边形ABCD是平行四边形 ★【题型 2】利用两组对别相等平行判定平行四边形 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，分别以的三边为边在的同侧作三个等边三角形，，．当点，，不共线时，判断四边形的形状，并说明理由． 【知识点三】平行四边形的判定定理二 平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 符号语言：四边形ABCD是平行四边形 ★【题型 3】利用两组对角相等平行判定平行四边形 【例题1】（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形中，已知，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． （1）求的度数． （2）求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【知识点四】平行四边形的判定定理三 平行四边形的判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形 ★【题型 4】通过一组对边平行且相等判定平行四边形 【例题4】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． （1）求证：． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． （1）证明：； （2）证明：四边形为平行四边形． 【知识点五】平行四边形的判定定理四 平行四边形的判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形 ★【题型 5】通过对角线互相平分判定平行四边形 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． （1）求证：； （2）添加，求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线、交于点，点、在上，点、在上，且，．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两点，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线，交于点，交于点．若，且，求证：四边形为平行四边形． 【知识点六】平行四边形的性质与判定综合 ★★【题型 6】平行四边形性质与判定综合求值 【例题6】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为____． 【变式3】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，与关于点成中心对称． （1）连接，证明四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． ★★【题型 7】平行四边形性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【变式3】（25-26八年级下·湖北荆州·月考）如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 4．（2023·湖南常德·中考真题）下列命题正确的是（   ） A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 5．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 6．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 （2） 填空题（6题） 7．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 8．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为___________． 9．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．    10．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，三点在同一条直线上时，的长度为 ______； （2）若点落在线段上时，的长度为 ______． 12．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． （3） 解答题（4题） 13．（2024·新疆·二模）如图，已知平行四边形． （1）若E，F是上两点，且，求证； （2）若，求证：四边形是矩形． 14．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 15．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 16．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $