专题 4.13 平行四边形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.13 平行四边形全章复习讲义（知识储备+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】多边形 1 【知识点二】平行四边形及其性质 2 【知识点三】旋转及其性质 2 【知识点四】平行四边形的判定 2 【知识点五】三角形的中位线 3 【知识点六】反证法 3 二.题型精析——基础篇 3 【题型 1】利用多边形的内角和与外角和求值 3 【题型 2】利用平行四边形性质求边长、角度 4 【题型 3】识别旋转中心、旋转方向、旋转角 5 【题型 4】按要求画出图形旋转后的图形 6 【题型 5】利用旋转的性质求线段长度、角度 7 【题型 6】利用平行四边形边、角、对角线条件，判断是否为平行四边形 8 【题型 7】选择合适的判定定理，补充条件使四边形成为平行四边形 9 【题型 8】平行四边形性质与判定综合 10 【题型 9】利用三角形中位线定理求值证明 11 【题型 10】写出命题的反设或用反证法证明 12 三.题型精析——综合压轴篇 13 【题型 11】多边形截角问题、已知部分内角，求未知内角 13 【题型 12】利用平行四边形性质综合证明与求值 14 【题型 13】旋转性质与平行四边形性质综合求值证明 15 【题型 14】中位线与平行四边形判定、性质结合的综合证明题 16 【题型 15】平行四边形与存在性问题 17 【题型 16】平行四边形与折叠问题综合 18 【题型 17】平行四边形与最值问题综合 20 四.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 25 一.知识储备 【知识点一】多边形 1、 多边形的定义：由条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，称为边形（）； 2、 多边形的内角和：边形内角和且（，且为整数）； 3、 从一个顶点引对角线，将边形分成（−2）个三角形； 4、 多边形的外角和：任意多边形的外角和恒为360∘，与边数无关。 【知识点二】平行四边形及其性质 性质定理 文字语言 符号语言 图示 平行四边形的性质定理1 平行四边形对边相等 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC，AB=CD 平行四边形对角相等 四边形ABCD是平行四边形 ， 平行四边形的性质定理2 平行四边形对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 对称性 是中心对称图形，对角线交点是对称中心 AC与BD的交点O是ABCD的对称中心 【知识点三】旋转及其性质 定义：一般地，在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。这个固定的点叫作旋转中心。旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转对应点。 性质：图形经过旋转所得的图形和原图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 【知识点四】平行四边形的判定 平行四边形的判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【知识点五】三角形的中位线 1、 三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 如右图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，DE是△ABC一条中位线。 2、 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：如右图，DE是△ABC的中位线， 且 【知识点六】反证法 在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 二.题型精析——基础篇 【题型 1】利用多边形的内角和与外角和求值 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）证明：四边形的外角和为（要求：结合图形，写出已知，求证，并证明）． 【变式1】（河南郑州市九校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学试题）一个正多边形的一个内角是它相邻的外角的2倍，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式2】（25-26八年级下·天津河西·月考）已知多边形的内角和比它的外角和大，则多边形的边数为______． 【变式3】（24-25八年级上·河北邢台·月考）旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． （1）求该硬币内正多边形的内角和； （2）若其一边长为，求该正多边形的周长； （3）该正多边形共有___________条对角线． 【题型 2】利用平行四边形性质求边长、角度 【例题2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在平行四边形中，于点，于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在中，，则∠B的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·天津红桥·月考）如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【题型 3】识别旋转中心、旋转方向、旋转角 【例题3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． （1）旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； （2）若求 的度数； 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． （1）可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； （2）请你求出的度数． 【题型 4】按要求画出图形旋转后的图形 【例题4】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，方格纸中，有一个和一点，的顶点和点均与小正方形的顶点重合． （1）在方格纸中，已知与关于点成中心对称，请画出； （2）在方格纸中，将绕点C顺时针旋转得到请画出． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 【变式3】（24-25八年级上·重庆·周测）在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出将绕点O顺时针旋转后的，并写出的坐标． 【题型 5】利用旋转的性质求线段长度、角度 【例题5】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． （1）旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； （2）若求 的度数； 【变式1】（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，在直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点，若旋转角为，则的大小是_____． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． （1）判断的形状为__________； （2）若，求的度数． 【题型 6】利用平行四边形边、角、对角线条件，判断是否为平行四边形 【例题6】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求之间的距离． 【变式1】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）下列说法正确的是（   ） A．一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③．从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是_____（只填写序号）． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，为对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 【题型 7】选择合适的判定定理，补充条件使四边形成为平行四边形 【例题7】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． （1）添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； （2）在（1）添加的条件下，写出证明过程． 【变式1】（25-26八年级下·湖北·期中）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 【变式3】（2025·湖南岳阳·三模）已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形． （1）你添加的条件是：______；（填序号） （2）添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【题型 8】平行四边形性质与判定综合 【例题8】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，四边形周长为32，求的长度． 【变式1】（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，在中，，E，M，F分别是上的点，并且，，则四边形的周长是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别在边、上，且，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连结，若平分，，，，求的长． 【题型 9】利用三角形中位线定理求值证明 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，四边形中，，，，点E，F，G分别是，，的中点，则的长为______． 【变式3】（24-25九年级上·安徽·月考）如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【题型 10】写出命题的反设或用反证法证明 【例题10】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）对于同一平面上的直线、、，如果与平行，与相交，那么与的位置关系是相交还是平行？并给出证明（用反证法）． 证明：与的位置关系是______，反证法证明如下： 假设______， 因为与平行，所以______（______）． 这与______矛盾． 故假设不成立，所以原来的结论是正确的． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·月考）用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【变式3】（24-25八年级下·广东揭阳·月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 三.题型精析——综合压轴篇 【题型 11】多边形截角问题、已知部分内角，求未知内角 【例题11】（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： （1）内角和是，小明为什么说不可能？ （2）小芳求的是几边形的内角和？ 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式2】（24-25九年级下·广东佛山·月考）如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 【变式3】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， （1）求这个多边形的边数及对角线的条数； （2）当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【题型 12】利用平行四边形性质综合证明与求值 【例题12】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，直线过对角线的中点O，分别交，于点E，F，且． （1）已知，求的度数． （2）猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【变式1】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，若的周长是12，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．32 D．44 【变式2】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在面积为的中，连接，过点A作于点M，在的延长线上取一点P，使得，此时，则________． 【变式3】（25-26九年级下·江西九江·期中）在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）求证： 【题型 13】旋转性质与平行四边形性质综合求值证明 【例题13】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是________． 【变式3】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． （1）求证：； （2）若，当四边形是平行四边形时，求的长． 【题型 14】中位线与平行四边形判定、性质结合的综合证明题 【例题14】（25-26八年级下·江苏·期中）综合证明： （1）如图1，四边形是平行四边形，G、H是对角线的三等分点．求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，四边形中，G、H是对角线的三等分点，延长、，分别与、交于E、F，若E、F分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，平行四边形 的对角线相交于点O，M为边上一点，且，N为的中点，连接，若平分，则平行四边形的周长为（   ） A．18 B．24 C．20 D．22 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 _____． 【变式3】（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 【题型 15】平行四边形与存在性问题 【例题15】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点，． （1）求直线的解析式； （2）若分别是直线和轴上的动点，是否存在点，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·江西萍乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点分别是的中点，的外角平分线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）是否存在这样的值，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，且面积为5． （1）求直线的解析式； （2）若为轴上一个动点，在直线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 16】平行四边形与折叠问题综合 【例题16】（24-25八年级下·广东佛山·期末）综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【变式2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·月考）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情境： 已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．        （1）操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________． （2）迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． （3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________． 【题型 17】平行四边形与最值问题综合 【例题17】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， （1）求度数． （2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【变式1】（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在等腰直角三角形中，，边绕点逆时针旋转至线段的位置，点分别为直线上的动点． （1）的最小值为______； （2）的最小值为______． 【变式3】（2024·陕西榆林·三模）问题提出 （1）将线段平移至线段，则线段与线段的数量关系是______，位置关系是______． 问题研究 （2）如图1，正方形的边长为4，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为多少？ 问题解决 （3）如图2，有一块三角形余料，，．工人师傅想利用余料裁一个，要求，D在上，且，请问能否裁出一个周长最小的？如果能，请求出周长的最小值，并说明理由． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）下面四幅图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在▱中，相交于点交于点，则的周长为（   ） A．25 B．15 C．30 D．50 4．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在四边形中，由下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，为的中位线，点在上，且．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 7．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·陕西西安·月考）“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，是边长为4的等边三角形，点在边的延长线上且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南洛阳·一模）如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·辽宁本溪·一模）若一个六边形的每个内角都相等，则该六边形的外角度数为______． 12．（25-26八年级下·上海虹口·期中）已知点、、，平行四边形的顶点的坐标为__________． 13．（25-26九年级下·吉林长春·月考）如图，和都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么旋转的度数是______度． 14．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，如果，，如果，那么的取值范围是_____． 15．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 16．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 17．（河南新乡市十七中等校2025-2026学年第二学期八年级联考期中考试数学试卷）如图，在中，，，于点，，若，分别为的中点，则的长是_______． 18．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知边长为6的等边，点P是线段上一个动点，连接，把绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到，连接，则点P在从B到C的过程中，线段的最小值是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·山西朔州·模拟预测）如图，E为的边上一点，，的延长线和的延长线相交于点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接． （2）求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·安徽池州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______； （2）在图中画出关于点O成中心对称的图形． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边，已知，，垂足为，连接． （1）求证：； （2）四边形是平行四边形吗？请说明理由． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． （1）任选其中一个图形证明是等边三角形． （2）若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·江苏盐城·月考）【提出问题】 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和． 【特例感知】 小红在探究该问题时从特殊的矩形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题： （1）如图①，如图①，在矩形中，，，则 （用含a、b的式子表示）； 【类比探究】 （2）如图②，已知平行四边形．求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在中，、、的长分别为6、10、5，是边上的中线，则 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.13 平行四边形全章复习讲义（知识储备+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】多边形 1 【知识点二】平行四边形及其性质 2 【知识点三】旋转及其性质 2 【知识点四】平行四边形的判定 2 【知识点五】三角形的中位线 3 【知识点六】反证法 3 二.题型精析——基础篇 3 【题型 1】利用多边形的内角和与外角和求值 3 【题型 2】利用平行四边形性质求边长、角度 5 【题型 3】识别旋转中心、旋转方向、旋转角 7 【题型 4】按要求画出图形旋转后的图形 10 【题型 5】利用旋转的性质求线段长度、角度 13 【题型 6】利用平行四边形边、角、对角线条件，判断是否为平行四边形 16 【题型 7】选择合适的判定定理，补充条件使四边形成为平行四边形 19 【题型 8】平行四边形性质与判定综合 22 【题型 9】利用三角形中位线定理求值证明 26 【题型 10】写出命题的反设或用反证法证明 29 三.题型精析——综合压轴篇 31 【题型 11】多边形截角问题、已知部分内角，求未知内角 31 【题型 12】利用平行四边形性质综合证明与求值 34 【题型 13】旋转性质与平行四边形性质综合求值证明 37 【题型 14】中位线与平行四边形判定、性质结合的综合证明题 41 【题型 15】平行四边形与存在性问题 46 【题型 16】平行四边形与折叠问题综合 54 【题型 17】平行四边形与最值问题综合 62 四.同步检测 70 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 70 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 77 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 83 一.知识储备 【知识点一】多边形 1、 多边形的定义：由条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，称为边形（）； 2、 多边形的内角和：边形内角和且（，且为整数）； 3、 从一个顶点引对角线，将边形分成（−2）个三角形； 4、 多边形的外角和：任意多边形的外角和恒为360∘，与边数无关。 【知识点二】平行四边形及其性质 性质定理 文字语言 符号语言 图示 平行四边形的性质定理1 平行四边形对边相等 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC，AB=CD 平行四边形对角相等 四边形ABCD是平行四边形 ， 平行四边形的性质定理2 平行四边形对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 对称性 是中心对称图形，对角线交点是对称中心 AC与BD的交点O是ABCD的对称中心 【知识点三】旋转及其性质 定义：一般地，在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。这个固定的点叫作旋转中心。旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转对应点。 性质：图形经过旋转所得的图形和原图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 【知识点四】平行四边形的判定 平行四边形的判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【知识点五】三角形的中位线 1、 三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 如右图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，DE是△ABC一条中位线。 2、 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：如右图，DE是△ABC的中位线， 且 【知识点六】反证法 在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 二.题型精析——基础篇 【题型 1】利用多边形的内角和与外角和求值 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）证明：四边形的外角和为（要求：结合图形，写出已知，求证，并证明）． 【答案】见分析 【分析】根据题意写出已知，求证，并根据四边形内角和定理即可证明； 解：已知：四边形中，，，，是四边形的四个外角； 求证：． 证明：如图， ，，，， ， 四边形的内角和为， ． 【变式1】（河南郑州市九校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学试题）一个正多边形的一个内角是它相邻的外角的2倍，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】利用正多边形内角与相邻外角互补的关系，设未知数求出一个外角的度数，再根据任意多边形外角和为，即可计算得到正多边形的边数． 解：设正多边形的一个外角等于，则相邻的内角为， 根据题意，得， 解得， ∴这个正多边形的一个外角为， 边数为． 【变式2】（25-26八年级下·天津河西·月考）已知多边形的内角和比它的外角和大，则多边形的边数为______． 【答案】8 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和公式与任意多边形外角和为，结合题目条件列方程即可求解． 解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 【变式3】（24-25八年级上·河北邢台·月考）旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． （1）求该硬币内正多边形的内角和； （2）若其一边长为，求该正多边形的周长； （3）该正多边形共有___________条对角线． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 解：（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 【题型 2】利用平行四边形性质求边长、角度 【例题2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在平行四边形中，于点，于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：四边形的内角和等于． （1）根据四边形内角和为，求得的度数； （2）根据平行四边形的面积公式即可求解． 解：（1）解：因为，四边形内角和为， 所以． （2）解：平行四边形面积， ∵， 则， 解得：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在中，，则∠B的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形对边平行，邻角互补即可计算出的度数． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·天津红桥·月考）如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【答案】 【分析】先求出，，再利用勾股定理求出的长即可． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算公式，以及同底等高的平行四边形与三角形之间的面积的数量关系，掌握以上知识是解题的关键．由得到，，由此可得，再根据，可得，最后将，，代入上式，可得． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【题型 3】识别旋转中心、旋转方向、旋转角 【例题3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． （1）旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； （2）若求 的度数； 【答案】（1）B点；顺时针；；（2） 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定， 对于（1），根据旋转的定义可得答案； 对于（2），先根据旋转的性质得，即可说明是等边三角形，进而得出，再结合已知条件根据得出答案． 解：（1）解：∵是等边三角形， ∴． 将绕点B顺时针旋转得到． 所以旋转中心是B点，旋转方向是顺时针，旋转角为； 故答案为：B点，顺时针，； （2）解：由旋转的性质可知：， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 解：∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． （1）可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； （2）请你求出的度数． 【答案】（1），顺，；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可； （1）由图即可求解； （2）设与交于点，证即可； 解：（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 【题型 4】按要求画出图形旋转后的图形 【例题4】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，方格纸中，有一个和一点，的顶点和点均与小正方形的顶点重合． （1）在方格纸中，已知与关于点成中心对称，请画出； （2）在方格纸中，将绕点C顺时针旋转得到请画出． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据中心对称图形的画法画图即可； （2）根据题意，画出图形即可． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图旋转变换，根据旋转的性质作图，即可得出点的坐标． 解：如图，可得， 故选：C． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转作图，先画出旋转的，连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，两直线交于一点即为点P，并写出坐标． 解：如图所示． 点P的坐标是． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·重庆·周测）在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出将绕点O顺时针旋转后的，并写出的坐标． 【答案】（1）作图见分析，；（2）作图见分析， 【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再连接即可； （2）首先确定A、B、C三点关于原点的对称点位置，再连接即可． 解：（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求，． 【题型 5】利用旋转的性质求线段长度、角度 【例题5】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． （1）旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； （2）若求 的度数； 【答案】（1）B点；顺时针；；（2） 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定， 对于（1），根据旋转的定义可得答案； 对于（2），先根据旋转的性质得，即可说明是等边三角形，进而得出，再结合已知条件根据得出答案． 解：（1）解：∵是等边三角形， ∴． 将绕点B顺时针旋转得到． 所以旋转中心是B点，旋转方向是顺时针，旋转角为； 故答案为：B点，顺时针，； （2）解：由旋转的性质可知：， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，在直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点，若旋转角为，则的大小是_____． 【答案】 【分析】由旋转得，再根据可得答案． 解：将绕点B顺时针旋转得到，旋转角为， ， ． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． （1）判断的形状为__________； （2）若，求的度数． 【答案】（1）等腰三角形（2）的度数为 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质可推出结论； （2）根据旋转的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出结果． 解：（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的形状为等腰三角形； （2）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【题型 6】利用平行四边形边、角、对角线条件，判断是否为平行四边形 【例题6】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求之间的距离． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． 【变式1】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）下列说法正确的是（   ） A．一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 解：A、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； B、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③．从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是_____（只填写序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据菱形及平行四边形的判定即可判断添加③，不可添加①②． 解：需添加条件③，理由： ∵点是的中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵，是的中点， ∴． ∴平行四边形为菱形． 添加①②无法判定四边形为菱形， 故答案为：③． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，为对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】方法一：证明与全等，即可得，，由此可证明． 方法二：根据四边形是平行四边形，可得对角线互相平分，再由边的相等关系证明即可． 解：方法一： 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 在与中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 方法二： 证明：连接，与相交于点， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 【题型 7】选择合适的判定定理，补充条件使四边形成为平行四边形 【例题7】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． （1）添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； （2）在（1）添加的条件下，写出证明过程． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键． （1）添加一个条件使四边形是平行四边形即可． （2）由平行四边形的性质得，再由，即可得出结论． 解：（1）解：添加条件：．使四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一） （2）证明∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·湖北·期中）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，根据“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，根据“两组对边分别平行”可判定平行四边形，根据同旁内角互补可推出另一组对边平行，而一组对边平行另一组对边相等可能是等腰梯形． 解：, 若添加，则（同旁内角互补，两直线平行）， 四边形是平行四边形，选项A正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项C正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项D正确， 若添加，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，选项B错误． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度． 解：∵已知 ，即对角线被点平分． ∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即 ∵，且 ∴ 当时，四边形是平行四边形． 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南岳阳·三模）已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形． （1）你添加的条件是：______；（填序号） （2）添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【答案】（1）①；（2）见分析． 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； （2）证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可． 解：（1）解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． （2）证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 【题型 8】平行四边形性质与判定综合 【例题8】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，四边形周长为32，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）证明可得结论； （2）证明，可得结论． 本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 解：（1）证明：， ， ， ， ，     四边形是平行四边形； （2）解：平行四边形的周长为32， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，在中，，E，M，F分别是上的点，并且，，则四边形的周长是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长； 故选：D． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 【答案】①④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； ②∵，不能判定， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③添加不能判定四边形是平行四边形； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①④． 【变式3】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别在边、上，且，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连结，若平分，，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合四边形是平行四边形，得，，又因为，故，即可证明四边形是平行四边形； （2）由（1）得四边形是平行四边形，结合平分，得，则，把数值代入进行计算，即可作答． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， 设， ， ， ， ， ． 【题型 9】利用三角形中位线定理求值证明 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 【答案】10 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到． 解：∵点D，E分别是边，的中点，， ∴． ∵在中，，点F是边的中点， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理计算即可解题． 解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，四边形中，，，，点E，F，G分别是，，的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理可得，由题意可得是的中位线，，即可求解． 解：连接，如下图： ∵，，， ∴， 又∵点E，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴. 【变式3】（24-25九年级上·安徽·月考）如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 解：证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 【题型 10】写出命题的反设或用反证法证明 【例题10】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）对于同一平面上的直线、、，如果与平行，与相交，那么与的位置关系是相交还是平行？并给出证明（用反证法）． 证明：与的位置关系是______，反证法证明如下： 假设______， 因为与平行，所以______（______）． 这与______矛盾． 故假设不成立，所以原来的结论是正确的． 【答案】相交；c与b平行；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；c与a相交 【分析】根据反证法的一般步骤，进行解答即可． 解：证明：与的位置关系是相交，反证法证明如下： 假设c与b平行， 因为与平行， 所以（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 这与c与a相交矛盾， 故假设不成立，所以原来的结论是正确的． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·月考）用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据反证法的步骤，第一步需假设命题结论不成立，找到结论的反面即可求解． 解：用反证法证明命题时，需假设原结论不成立， ∵原命题结论为，它的反面是， ∴第一步应该假设，即选项A符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 【变式3】（24-25八年级下·广东揭阳·月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可． 解：证明：假设， ， ， ， ，这和“平角的定义”矛盾， 假设不成立，即， 故答案为：，，，，． 三.题型精析——综合压轴篇 【题型 11】多边形截角问题、已知部分内角，求未知内角 【例题11】（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： （1）内角和是，小明为什么说不可能？ （2）小芳求的是几边形的内角和？ 【答案】（1）见分析；（2）十三边形 【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和是的倍数这一性质，以及通过不等式求正整数边数的方法是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式，判断是否满足这一特征． （2）根据内角和小于列不等式，求解正整数得到多边形的边数． 解：（1）解：边形的内角和是， ∴内角和一定是的倍数． ， ∴内角和不可能是． （2）解：依题意，得， 解得， ∴这个多边形的边数是，即小芳求的是十三边形的内角和． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 解：设多输入的内角为（），由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·广东佛山·月考）如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的内角，分类讨论的思想，如图，一条直线将该五边形分割成两个多边形（含三角形）的情况有5种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断． 解：图①中，； 图②中，； 图③中，； 图④中，； 图⑤中，． 由上述分析可知，的最大值为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， （1）求这个多边形的边数及对角线的条数； （2）当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【答案】（1）边数是12，对角线的条数是54；（2）或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 解：（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； 对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54； （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况： 当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， 内角和； 当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12， 内角和； 当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和； 综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为． 故答案为：或或． 【题型 12】利用平行四边形性质综合证明与求值 【例题12】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，直线过对角线的中点O，分别交，于点E，F，且． （1）已知，求的度数． （2）猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再根据即可得到答案； （2）在中，，证明，得到，即可得到结论． 解：（1）解：在中，， ， ； （2）解：． 在中，， ， ， ， ， ，即． 【变式1】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，若的周长是12，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．32 D．44 【答案】B 【分析】由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形的周长公式和线段的和差关系可推出，再由平行四边形的性质可得答案． 解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长是12， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长． 【变式2】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在面积为的中，连接，过点A作于点M，在的延长线上取一点P，使得，此时，则________． 【答案】6 【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的面积公式，代入已知面积和求得的长，即可求出的长． 解：， ， 在中，， ∴， ∵， ， 解得：（负值舍去）， 四边形是平行四边形， 平行四边形的面积， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级下·江西九江·期中）在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出，再利用已知条件得到，得到，进而得到，由此得到结论平分； （2）根据平行四边形的对边平行的性质推出，，结合，证明，得到，由（1）知，得到，由此，即可得到 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 【题型 13】旋转性质与平行四边形性质综合求值证明 【例题13】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得，，再由平行四边形的性质可得，得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握旋转的性质及平行四边形的性质是解此题的关键． 解：将绕点逆时针旋转得到，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，中线平分三角形面积的性质等知识，证明两个三角形全等及中线的性质是解题的关键．连接，结合平行四边形的性质可证明，则有；由题意易得，由此可求得结果． 解：如图，连接： 四边形是平行四边形， ， ，， 又点O为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，，再证明得到，过点A作，交于点H，则，可得，再证明，则． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是平行四边形的对称中心， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式3】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． （1）求证：； （2）若，当四边形是平行四边形时，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明△△则，进而证明△△，得出，即可证明△△； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，由勾股定理，可求得．根据△△，即可求解． 解：（1）证明：连接． 将绕点沿顺时针旋转得到， ，，， ， 又， ， ． ． ，， ． ． 在和中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． 由勾股定理，可求得． ， ． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型 14】中位线与平行四边形判定、性质结合的综合证明题 【例题14】（25-26八年级下·江苏·期中）综合证明： （1）如图1，四边形是平行四边形，G、H是对角线的三等分点．求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，四边形中，G、H是对角线的三等分点，延长、，分别与、交于E、F，若E、F分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得，，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接交于点O，连接，，先证明是的中位线，得，同理，再证明四边形是平行四边形，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 解：（1）证明：如图1，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵G、H是对角线的三等分点， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，连接交于点O，连接，， ∵G、H是对角线的三等分点， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，平行四边形 的对角线相交于点O，M为边上一点，且，N为的中点，连接，若平分，则平行四边形的周长为（   ） A．18 B．24 C．20 D．22 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、平行四边形的性质、等角对等边等知识，根据平行线性质得到，，证明是的中位线，则,由得到，，证明，则即可得到答案. 解：∵平行四边形 的对角线相交于点O， ∴， ∵N为的中点， ∴是的中位线， ∴, ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴平行四边形的周长为， 故选：C 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 _____． 【答案】2 【分析】延长BF交CD的延长线于H，可证EF是△BCH的中位线，由中垂线的性质可得BC＝CH＝8，可求DH＝3，由“ASA”可证△ABF≌△GFH，可得AB＝GH＝5，可求解． 解：如图，延长BF交CD的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5，AB∥CD， ∴∠H＝∠ABF， ∵EF∥AB， ∴EF∥CD， ∵E是边BC的中点， ∴EF是△BCH的中位线， ∴BF＝FH， ∵∠BFC＝90°， ∴CF⊥BF， ∴CF是BH的中垂线， ∴BC＝CH＝8， ∴DH＝CH﹣CD＝3， 在△ABF和△GHF中， ， ∴△ABF≌△GFH（ASA）， ∴AB＝GH＝5， ∴DG＝GH﹣DH＝2， 故答案为：2． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 【答案】（1）见分析；（2）且 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，,再由，可得，即． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：且． 【题型 15】平行四边形与存在性问题 【例题15】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、以及平行四边形的性质，关键是利用平行四边形对角线互相平分求点的坐标；分别以为对角线这三种情况，求出点的坐标． 解：对于直线，当时，， ∴， 解方程组得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∴，，． 设， 若使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论： ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点，． （1）求直线的解析式； （2）若分别是直线和轴上的动点，是否存在点，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 解：（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，． ∴，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：存在． ∵与x轴交于点B， ∴． 设，， ①当、为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得， ∴； ②当、为平行四边形的对角线时， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点D的坐标为或． 【变式2】（24-25八年级下·江西萍乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点分别是的中点，的外角平分线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）是否存在这样的值，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）9；（3）存在， 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由勾股定理得，再由三角形中位线定理得，然后证，即可得出结论； （3）由平行四边形的性质得，则，得，再由勾股定理得，则，设平行四边形对角线的交点为M，过M作于H，则，然后证是等边三角形，得，则，进而由勾股定理得，即可解决问题． 解：（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵C，D分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 设平行四边形对角线的交点为M，过M作于H，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平行四边形对角线的交点坐标为． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，且面积为5． （1）求直线的解析式； （2）若为轴上一个动点，在直线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题，平行四边形的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，设点，结合题意确定，再由待定系数法求解即可； （2）设点，利用平行四边形的性质分三种情况分析：当以为对角线时，当以为一条边时，点A与点E相对，当以为一条边时，点A与点F相对，分别求解即可． 解：（1）解：∵直线：与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴， 设点， ∴， ∵点，且面积为5． ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）存在， 设点， 由（1）得， ∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴分情况如下： 当以为对角线时， ，， 解得：， ∴ ∴； 当以为一条边时，点A与点E相对， ∴，， 解得：， ∴ ∴； 当以为一条边时，点A与点F相对， ∴，， 解得：， ∴ ∴； 综上可得：点的坐标为或 ． 【题型 16】平行四边形与折叠问题综合 【例题16】（24-25八年级下·广东佛山·期末）综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见分析；（2），见分析；（3），见分析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 解：（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识．分二种情况画出图形，利用平行四边形的性质和等角对等边进行解答即可． 解：如图1， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图2， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 综上可知，的长为2或4， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 解：如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·月考）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情境： 已知中∠A为锐角，，点E、F分别是、边的中点，点G、H分别是、边上的点．分别沿和折叠，点A、C的对应点分别为点、．        （1）操作判断：如图（1），折叠后点与点B重合，点与点D重合． ①四边形________平行四边形（填“是”或“不是”）． ②当满足某个条件时，四边形能成为矩形．这个条件可以是________． （2）迁移探究：如图（2），若点，落在内部（含边界），连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图（2）进行证明；若不是，请说明理由． （3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为________． 【答案】（1）①是；②∠A=45°（答案不唯一）；（2）四边形是平行四边形，证明见分析；（3） 【分析】（1）①是；由折叠知，,，可证，可证，从而，命题得证；②∠A=45°（答案不唯一）；若，可证，得证四边形是矩形． （2）四边形是平行四边形．如图，连接GH．求证，得．结合折叠证得，，从而，于是，结论得证． （3）如图，，则点落在上，，可证为等边三角形，于是，中，根据勾股定理，，于是． 解：（1）解：①是； 由折叠知，, ∵中, ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． ②∠A=45°（答案不唯一） 若，则 而四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形．    （2）证明：四边形是平行四边形． 如图，连接GH．    ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵点E、F分别是、的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由折叠可知，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，，则点落在上，， 由折叠知，． ∴为等边三角形， ∴． 在中，根据勾股定理，． ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；运用全等三角形判定线段相等、角相等是解题的关键． 【题型 17】平行四边形与最值问题综合 【例题17】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， （1）求度数． （2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 解：（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式1】（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【点拨】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在等腰直角三角形中，，边绕点逆时针旋转至线段的位置，点分别为直线上的动点． （1）的最小值为______； （2）的最小值为______． 【答案】 1 【分析】（1）根据垂线段最短，当时的长最小，进而利用勾股定理求解即可； （2）作点A关于的对称点，连接，，，，则，当、M、D共线时取等号，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求得即可． 解：（1）根据根据垂线段最短，当时最小，此时，， 由旋转性质得，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 故的最小值为1， 故答案为：1； （2）如图，作点A关于的对称点，连接，，，，则，当、M、D共线时取等号， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， 设与交点为P，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 故的最小值为， 故答案为： 【点拨】本题考查最短路径问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短、垂线段最短、平行线的判定与性质等知识，综合性较强，解答的关键是明确垂线段最短和利用轴对称性质确定最短路径． 【变式3】（2024·陕西榆林·三模）问题提出 （1）将线段平移至线段，则线段与线段的数量关系是______，位置关系是______． 问题研究 （2）如图1，正方形的边长为4，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为多少？ 问题解决 （3）如图2，有一块三角形余料，，．工人师傅想利用余料裁一个，要求，D在上，且，请问能否裁出一个周长最小的？如果能，请求出周长的最小值，并说明理由． 【答案】（1）相等；平行；（2）的最小值为6；（3）能，周长的最小值是，理由见分析 【分析】（1）由平移的性质可得答案； （2）如图1，过点A作，且使，连接交于点F，则此时的值最小，连接，证明四边形是平行四边形，再进一步解答即可； （3）如图2，作点B关于的对称点，连接 ，，，作，且，可得四边形是平行四边形，由的周长，可得要求的周长最小，即求最小，再进一步解答即可． 解：（1）∵线段平移至线段， ∴，， （2）如图1，过点A作，且使， 连接交于点F，则此时的值最小， 连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴，在中， ， ∴的最小值为6； （3）能， 理由：如图2，作点B关于的对称点，连接 ，，， 作，且， ∴四边形是平行四边形， 由对称得，， ，， ∴，为等边三角形， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵的周长， ∴要求的周长最小，即求最小， ∵， ∴如图3，当点B，C，共线时，的值最小，即求的长， 在中， ∴周长的最小值是． 【点拨】本题考查的是平移的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）下面四幅图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的性质与多边形内角和定理，掌握过多边形一个顶点的对角线分割三角形的规律，即可计算求解． 解：∵过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形， 题目中分成了个三角形， ∴这个多边形的内角和等于这个三角形的内角和， ∵每个三角形内角和为， ∴这个多边形的内角和为 ． 3．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在▱中，相交于点交于点，则的周长为（   ） A．25 B．15 C．30 D．50 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得是的中点，结合可知是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到，再对的周长进行转化计算即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴为的中点， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定和性质．延长交于点，作于点，证明四边形是矩形，得到，再利用证明，得到，，据此求解即可． 解：延长交于点，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在四边形中，由下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项是否满足判定条件即可． 解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也可满足此条件，故此选项不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，直角梯形也可满足此条件，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 6．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，为的中位线，点在上，且．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据三角形的中位线定理求出的长，问题即可解答． 解：，为的中位线， D为 斜边的中点， ， 为的中位线， ， ． 7．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，结合已知，选择适当判断方法求解即可． 解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴     ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选项B不符合要求． ∵，无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 8．（25-26八年级下·陕西西安·月考）“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 【答案】C 【分析】本题考查反证法的应用，结合等腰三角形性质推导假设对应的结论，再判断该结论和哪个定理矛盾即可． 解：∵ ∴ 假设 ，则 ∴ 又∵ ∴ 该结论与三角形内角和定理矛盾，因此选C． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，是边长为4的等边三角形，点在边的延长线上且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用勾股定理求出，，根据旋转的性质推出是等边三角形，即可求解． 解：如图，过点作于点， 是边长为4的等边三角形， ， ， ， ， ， 将线段绕点D顺时针旋转得到线段， 是等边三角形， ． 10．（2026·河南洛阳·一模）如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·辽宁本溪·一模）若一个六边形的每个内角都相等，则该六边形的外角度数为______． 【答案】/60度 【分析】由六边形每个内角都相等可推出每个外角都相等，根据任意多边形的外角和为，将外角和除以边数即可得到每个外角度数.． 解： 该六边形的每个内角都相等， 该六边形的每个外角都相等， 任意多边形的外角和为，该多边形为六边形，边数为， 每个外角度数为 ． 12．（25-26八年级下·上海虹口·期中）已知点、、，平行四边形的顶点的坐标为__________． 【答案】 【分析】设顶点的坐标为，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同列式求解即可． 解：设点的坐标为， ∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 13．（25-26九年级下·吉林长春·月考）如图，和都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么旋转的度数是______度． 【答案】45 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 ，根据旋转的性质确定对边 与 ，从而确定旋转角为 ，结合点 在 上即可求解． 解：∵是等腰直角三角形， ∴ ， ∵经顺时针旋转后能与 重合 ， ∴ 斜边的对应边是， 旋转角为 ， ∵ 点 C 在 上 ， ∴． 14．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，如果，，如果，那么的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】利用平行四边形的性质得到，，再结合三角形三边关系求解，即可解题． 解：平行四边形中，对角线，相交于点，，， ，， ， ， ， ， ． 15．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（或或或） 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 16．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【答案】 【分析】证明，，推出，再证明是等腰直角三角形可得结论． 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 17．（河南新乡市十七中等校2025-2026学年第二学期八年级联考期中考试数学试卷）如图，在中，，，于点，，若，分别为的中点，则的长是_______． 【答案】/ 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，再证明是等腰直角三角形，结合勾股定理得到，然后由三角形的中位线的性质解答即可． 解：∵，，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， ∵，分别为的中点， ∴． 18．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知边长为6的等边，点P是线段上一个动点，连接，把绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到，连接，则点P在从B到C的过程中，线段的最小值是______． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，当时，取得最小值，即线段也取得最小值，再利用勾股定理求解即可． 解：由旋转的性质得 ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，取得最小值，即线段也取得最小值， ∵边长为6的等边， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段的最小值是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·山西朔州·模拟预测）如图，E为的边上一点，，的延长线和的延长线相交于点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接． （2）求证：． 【答案】（1）①见分析；②见分析；（2）见分析 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是掌握作图方法解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）通过平行四边形的性质，以及垂直平分线的性质进行倒角，利用证明三角形全等即可． 解：（1）解：①如图所示，即为所求． ②如图所示，连接，． （2）证明：如图，是的垂直平分线， ． ． 四边形是平行四边形， ． ，． ， ． ，即． ，， ． ． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·安徽池州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______； （2）在图中画出关于点O成中心对称的图形． 【答案】（1）见分析，点的坐标为；（2）见分析 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． 解：（1）解：如图所示，点的坐标为． ； （2）解：如图所示． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； （2）首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 解：（1）证明：是的中点， ， 又， 是的中位线， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由（1）知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边，已知，，垂足为，连接． （1）求证：； （2）四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）四边形是平行四边形，理由见分析 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，，则，由即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，，再证，然后由全等三角形的性质得，则，即可得出结论． 解：（1）证明：∵在中，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明是解题的关键． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． （1）任选其中一个图形证明是等边三角形． （2）若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见分析（2）存在，或14 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的判定可得结论； （2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 解：（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：存在， ①当时， 根据解析（1）可知：是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，此时只能， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②当时，根据旋转可知：， ∴， ∴此时可能是直角三角形； ③时，点D与点B重合， ∴此时D、B、E不能构成三角形； ④ 当时，由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴中只能是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述：当或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·江苏盐城·月考）【提出问题】 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和． 【特例感知】 小红在探究该问题时从特殊的矩形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题： （1）如图①，如图①，在矩形中，，，则 （用含a、b的式子表示）； 【类比探究】 （2）如图②，已知平行四边形．求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在中，、、的长分别为6、10、5，是边上的中线，则 ． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】（1）利用矩形的性质，根据勾股定理解答即可； （2）作于M，作于N，根据平行四边形的性质证得，推出，利用勾股定理计算进而得到结论； （3）延长至E，使，连接，证得，推出四边形是平行四边形，根据，得到，即可求出． 解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）作于M，作于N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ； （3）如图，延长至E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴, 解得（负值舍去）， 故答案为：． 【点拨】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，正确构造直角三角形运用勾股定理计算是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $