专题09平行四边形及其性质同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题09平行四边形及其性质同步讲义 【题型01 利用平行四边形性质求解】................................3 【题型02 利用平行四边形性质证明】................................5 【题型03 平行四边形性质的其他应用】..............................8 【题型04 数图形中平行四边形个数】...............................11 【题型05 四边形的不稳定性】.....................................13 【题型06 求平行线间的距离】.....................................15 【题型07 利用平行线距离解决问题】...............................17 【解答题5题 】..................................................19 ★知识梳理★ 知识点01:定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作：□ABCD 知识点02:平行四边形的性质（必考） 1.边 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2.角 两组对角分别相等 邻角互补（和为 180∘） 3.对角线 对角线互相平分 注意：不一定相等，不一定垂直 已知：四边形 ABCD 是平行四边形（ABCD 为 □ABCD） 1.边的性质 AB∥CD，AD∥BC AB=CD，AD=BC 2.角的性质 ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC ∠BAD+∠ABC=180∘，∠ABC+∠BCD=180∘，∠BCD+∠ADC=180∘，∠ADC+∠BAD=180∘ 3.对角线的性质 AO=CO，BO=DO（对角线互相平分） 知识点03:常用结论 1.平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 2.对角线把平行四边形分成面积相等的四部分。 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点 已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD 交于点 O。 结论：平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是点 O。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC∩BD=O,∴平行四边形ABC关于点O中心对称. 对角线把平行四边形分成面积相等的四部分 已知：四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 交于点 O。 结论：对角线 AC、BD 把平行四边形 ABCD 分成的四个三角形 △AOB、△BOC、△COD、△DOA 面积相等。 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC∩BD=O,∴S△AOB=S△BOC=S△COD=S△DOA​. 3.周长：C=2(a+b) 4.面积：S= 底 × 高 【题型1.利用平行四边形性质求解】 【典例】如图，在中，若，则_____°． 【答案】 【详解】解：根据平行四边形对角相等可得 【跟踪专练1】物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力．如图，设两个共点力的合力为，现保持两个力的夹角不变，若其中一个力减小，另一个力不变，则合力（    ） A．一定增大 B．保持不变 C．可能增大，也可能减小 D．一定减小 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】解：已知两边及其夹角，可以确定一个平行四边形，即其对角线也确定， 而两边夹角不变，某一边不变，另一边减少时，平行四边形的对角线也在减少， 两力的夹角不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则合力F一定减小． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点在上，点在上，四边形的周长为，且平分的面积，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接、，与交于点，通过证明，得出，根据四边形的周长为，得出，即可得答案． 【详解】解：如图，连接、，与交于点， ∵平分的面积， ∴过与的交点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∵，， ∴． 【点睛】由平分的面积得出过与的交点是解本题关键． 【跟踪专练3】如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确运用性质求解是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，，计算即可得解； 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长． 故选：． 【题型2.利用平行四边形性质证明】 【典例】如图，在平行四边形中，与交于点，则下列结论中不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质分别判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 而对角线不一定相等，故不成立， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的性质是：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，是上一点，交延长线于点，，，则______．    【答案】/90度 【分析】根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知直线，，，，都垂直于，垂足分别为，．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 根据题目描述和图形利用平行四边形和平行线的性质来判断选项的正确性． 【详解】解：A、由题可知：，，∴四边形ABCD是平行四边形，∴，一定成立，符合题意； B、题目所给信息无法证明；不符合题意； C、题目所给信息无法证明；不符合题意； D、题目所给信息无法比较四边形ABCD与四边形DEGF的；面积大小，不符合题意； 故选：A ． 【跟踪专练3】如图，EF过对角线的交点O，交于点E，交于点F．则①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤．其中正确结论的有_________（填序号）．    【答案】①②③⑤ 【分析】根据平行四边形的性质得到，故①正确；根据平行四边形的性质得到AO=3,根据三角形三边关系得到，故②正确；根据平行四边形的性质得到O为中点，，即可得到，故③正确；由已知条件得到6组全等三角形，故④错误；根据，得到，故⑤正确即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵O为中点， ∴， ∴，故③正确； 由已知条件得，图中全等的三角形有，，故④不正确； ∵， ∴, ∴，故⑤正确． 故答案为①②③⑤． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形等知识点，熟知平行四边形性质是解题关键． 【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＞BD D．∠B+∠C＝180° 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质即可完成． 【详解】A、平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，故错误； B、平行四边形的对边相等，但邻边不一定相等，故错误； C、平行四边形的对角线AC不一定大于对角线BD，故错误； D、平行四边形的邻角互补，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟悉平行四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 【答案】2 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO=CO，OP=OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC=45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AO=AC=×8=4， ∴OP′= AO=2， ∴PQ的最小值=2OP′=4， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 【跟踪专练3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【题型4.数图形中平行四边形个数】 【典例】如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 【跟踪专练2】下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】B 【分析】观察图形的变化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有10个平行四边形， 第②个图形中一共有14个平行四边形， 第③个图形中一共有19个平行四边形， 第④个图形中一共有25个平行四边形， 第⑤个图形中一共有32个平行四边形， 则第⑥个图形中平行四边形的个数为40． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 【跟踪专练3】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 【题型5.四边形的不稳定性】 【典例】如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性． 【跟踪专练1】新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的________ 【答案】不稳定性 【分析】利用四边形的不稳定性进行解答． 【详解】解：铁闸门做成四边形的形状，是利用四边形的不稳定性，易变形的特性． 故答案为：不稳定性． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，四边形的不稳定性运用比较广泛，铁闸门的制作运用了四边形的不稳定性． 【跟踪专练2】四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 【跟踪专练3】如图，已知线段a，b和． (1)以线段为一组邻边作一个平行四边形．这样的平行四边形能作几个？ (2)以线段为一组邻边，它们的夹角为，作一个平行四边形．这样的平行四边形能作几个？ 【答案】(1)无数个 (2)1个 【分析】（1）利用平行四边形的不稳定性求解可得； （2）当邻边及其夹角确定后，与两边围成三角形的那条对角线即确定，可知此平行四边形是唯一的． 【详解】（1）解：以线段为一组邻边作一个平行四边形．这样的平行四边形能作无数个； （2）解：以线段为一组邻边，它们的夹角为，根据边角边可得唯一的三角形，根据平行四边是中心对称图形， 故作一个平行四边形．这样的平行四边形只能作1个； 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 【题型6.求平行线间的距离】 【典例】如图，直线，则直线之间的距离是（    ） A．线段 B．线段的长度 C．线段 D．线段的长度 【答案】D 【分析】根据两平行线之间的距离的概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两平行线的距离，进行判断即可． 【详解】解：直线，， 线段的长度是直线之间的距离， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线间的距离，熟练掌握平行线间的距离的概念是解答此题的关键． 【跟踪专练1】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线，之间的距离是________． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线的距离，熟连掌握平行线间的距离是解题的关键． 根据平行线的距离理解解答即可． 【详解】解：∵直线向下平移个单位可与重合， ∴与的距离为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示，直线，点A在直线上，点B，C在直线上，若，则直线，间的距离可以是（   ） A．6 B．3 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离，垂线段最短，先分析题意，得出，间的距离（垂线段最短），即可作答． 【详解】解：过点A作 ∵直线，点A在直线上，点B，C在直线上，且， ∴，间的距离（垂线段最短）， 观察四个选项，唯有B选项符合题意， 故选：B 【跟踪专练3】如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 【题型7.利用平行线距离解决问题】 【典例】如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 【详解】解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可知三角形和梯形的高相等，据此分别表示出两个图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设两平行线间的距离为h， ∴三角形面积为，梯形面积为， ∴①的面积是②的面积的2倍， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 【答案】，，， 【分析】根据“平行线之间的距离处处相等”以及“同底等高的两个三角形面积相等”即可解答． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴满足的点为，，，． 【跟踪专练3】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线间的距离等知识，正确找出两个全等三角形的性质是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再求出点到地面的高度，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵处距地面， ∴处距地面， ∴点距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点到地面的高度等于点到地面的高度， ∴爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：B． 【解答题】 1．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 2．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算公式，以及同底等高的平行四边形与三角形之间的面积的数量关系，掌握以上知识是解题的关键．由得到，，由此可得，再根据，可得，最后将，，代入上式，可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 3．请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      【答案】见解析 【分析】方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分，据此即可画图． 【详解】解：方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分； 据此即可画图， 如图所示：   【点睛】此题主要考查图形的划分，关键是明确有关于平行四边形的特征和它的对角线的性质． 4．如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果； （2）过作于，根据，即可求解． 【详解】（1） ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离 ∵，， 是直角三角形 ∵ ∴ ∴直线与的距离 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 5．如图，已知，垂足为E，的面积是1．求的长． 【答案】4 【分析】本题重点考查平行线的判定和性质，平行线间距离等知识，关键在于理解平行线间距离处处相等是解题的关键．通过角度关系确定与、与分别为平行线间的距离，从而得到相等线段，再利用三角形面积公式求出，最后根据线段的和求出． 【详解】解： ， ， 又， ， ， ，即， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09平行四边形及其性质同步讲义 【题型01 利用平行四边形性质求解】................................3 【题型02 利用平行四边形性质证明】................................3 【题型03 平行四边形性质的其他应用】..............................5 【题型04 数图形中平行四边形个数】................................5 【题型05 四边形的不稳定性】......................................6 【题型06 求平行线间的距离】......................................7 【题型07 利用平行线距离解决问题】................................8 【解答题5题 】...................................................9 ★知识梳理★ 知识点01:定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作：□ABCD 知识点02:平行四边形的性质（必考） 1.边 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2.角 两组对角分别相等 邻角互补（和为 180∘） 3.对角线 对角线互相平分 注意：不一定相等，不一定垂直 已知：四边形 ABCD 是平行四边形（ABCD 为 □ABCD） 1.边的性质 AB∥CD，AD∥BC AB=CD，AD=BC 2.角的性质 ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC ∠BAD+∠ABC=180∘，∠ABC+∠BCD=180∘，∠BCD+∠ADC=180∘，∠ADC+∠BAD=180∘ 3.对角线的性质 AO=CO，BO=DO（对角线互相平分） 知识点03:常用结论 1.平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 2.对角线把平行四边形分成面积相等的四部分。 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点 已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD 交于点 O。 结论：平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是点 O。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC∩BD=O,∴平行四边形ABC关于点O中心对称. 对角线把平行四边形分成面积相等的四部分 已知：四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 交于点 O。 结论：对角线 AC、BD 把平行四边形 ABCD 分成的四个三角形 △AOB、△BOC、△COD、△DOA 面积相等。 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC∩BD=O,∴S△AOB=S△BOC=S△COD=S△DOA​. 3.周长：C=2(a+b) 4.面积：S= 底 × 高 【题型1.利用平行四边形性质求解】 【典例】如图，在中，若，则_____°． 【跟踪专练1】物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力．如图，设两个共点力的合力为，现保持两个力的夹角不变，若其中一个力减小，另一个力不变，则合力（    ） A．一定增大 B．保持不变 C．可能增大，也可能减小 D．一定减小 【跟踪专练2】如图，在中，，，点在上，点在上，四边形的周长为，且平分的面积，则的长为_______． 【跟踪专练3】如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【题型2.利用平行四边形性质证明】 【典例】如图，在平行四边形中，与交于点，则下列结论中不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，是上一点，交延长线于点，，，则______．    【跟踪专练2】如图，已知直线，，，，都垂直于，垂足分别为，．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，EF过对角线的交点O，交于点E，交于点F．则①；②若，，则；③；④图中共有4对全等三角形；⑤．其中正确结论的有_________（填序号）．    【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＞BD D．∠B+∠C＝180° 【跟踪专练1】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【题型4.数图形中平行四边形个数】 【典例】如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 【跟踪专练1】如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【跟踪专练2】下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A．39 B．40 C．41 D．42 【跟踪专练3】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【题型5.四边形的不稳定性】 【典例】如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【跟踪专练1】新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的________ 【跟踪专练2】四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【跟踪专练3】如图，已知线段a，b和． (1)以线段为一组邻边作一个平行四边形．这样的平行四边形能作几个？ (2)以线段为一组邻边，它们的夹角为，作一个平行四边形．这样的平行四边形能作几个？ 【题型6.求平行线间的距离】 【典例】如图，直线，则直线之间的距离是（    ） A．线段 B．线段的长度 C．线段 D．线段的长度 【跟踪专练1】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线，之间的距离是________． 【跟踪专练2】如图所示，直线，点A在直线上，点B，C在直线上，若，则直线，间的距离可以是（   ） A．6 B．3 C．7 D．8 【跟踪专练3】如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【题型7.利用平行线距离解决问题】 【典例】如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【跟踪专练1】如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【跟踪专练2】如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 【跟踪专练3】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 2．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 3．请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      4．如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 5．如图，已知，垂足为E，的面积是1．求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $