陕西靖边县靖边中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试数学考前自测试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷（六） 数 学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x|2x+5<11},B={x∈Nx≤4}，则A∩B A.{1,2}》 B.(-∞，3) C.{0,1,2 D.{0,1,2,3} 2.已知复数z满足2x十z=9十4i,则之·的值为 A.4 B.5 C.16 D.25 3已知椭圆℃元+，千2=1则m=6是C的离心率为号的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4已知等比数列a.的前n项和为5，且a,4a,l6am成等差数列.则受 A是 R音 5.已知单位向量a,b满足(2a十b)⊥b,若向量c=a一3b,则向量a与c的夹角的余弦值为 B.5v13 7 D.5 v13 26 C⑦ 14 39 6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线x2=2y上不同于O的一点，直线OA与抛物 线的准线交于点B,过点B且平行于y轴的直线交抛物线于点C,且AC=2,则点A到x 轴的距离为 A司 B是 c 【2026年冲刺押题卷（六）·数学第1页（共4页）】 62。-2的大小顺序为 7.已知a=2, A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<<c 8.已知正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，点P为棱DD1的中点，则平面ACP截该正方体 外接球所得截面的面积为 A弩 B号 c. n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.有一组样本数据1，x2,x3,x4,x,6,x,x8,g,其中是最小值，是最大值，则 A.x2,x3,x4,T5,x6,x7,x8的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9的极差 B.x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8的60%分位数等于x1,x2,3,x4,5,x6,x7,x8,x9的60%分位数 C.x2,xg,x4,x5,x6,x8的众数等于x1,2,x,x4,x5,x6,x,xg,xg的众数 D.x2,T3,x4,x5,x6,x7,x8的方差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,xg的方差 10.已知函数f(x)=一ln(√x2+I-x)+2x,g(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)在 (一○，0]上单调递增，则下列说法正确的是 A.∫(x)·g(x)是奇函数 B.f(g(x))是偶函数 C.f(g(2025))<f(g(-2026)) D.g(f(2025))>g(f(-2026)) 1.在数列a中a=3,-,斜记数列n1g的前a项和为T则下列说法正确 的是 A.a3=9 B.{an}是递增数列 C若对任意n∈N”,都有(-1Dxa,<a1则入的取值范围是[-号，2] D.3n∈N·,使得Tn≥ln(n+1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆C:(x一1)2+y2=1与圆C2:x2十(y一3)2=16相交于A,B两点，则直线AB的方 程为 13.某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小 张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必需选 “围棋"”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有 种.（用数字作答） 14.在△ABC中，sin(B-C)=,sinA,AC=2,则△ABC的面积的最大值为 【2026年冲刺押题卷（六）·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 已知函数f(x)=3cosx-一√3sinx. 1若a∈（←吾，），且fa)=29求sima的值： (2)将函数∫(x)的图象向右平移个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变 为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的 值域. 16.(本小题满分15分) 已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，2个蓝球，这些球除了颜色外完全 相同. (1)现从甲盒中任取2个球放入乙盒中，再从乙盒中任取2个球，求从乙盒中取出的是2个 红球的概率； (2)从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为X,求X的分布列和数 学期望. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC=60°，△PAD为等 边三角形，平面PAD⊥平面ABCD,点E是棱PC上的一点. (1)求证：△PBC为直角三角形； (2)若直线AE与平面PAB所成角的正弦值为，求线段AE 的长 【2026年冲刺押题卷（六）·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知双曲线C:号-芳=1(a>0,b>0)上的一点到两条渐近线的距离之积为是，离心率 为2. (1)求C的方程； (2)记C的左、右焦点分别为F1,F2,点P是C上的一点，直线PF1与C交于另一点M,直 线PF2与C交于另一点N,设PF=λFM,PF2=μF2N,试判断λ十μ是否为定值？若 是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线y=2x十m与C交于A,B两点，点G在C上，且O元=2OA+tOB,其中O为坐标 原点，求t的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数fx)=2-x-asin(0<a<1). (1)求证：f(x)有且仅有一个极小值点； (2)记是x)的唯一极小值点，求证：）<- (3)若a=1,直线1与曲线y=2x2-(x)相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的 直线l的方程. 【2026年冲刺押题卷（六）·数学第4页（共4页）】参考答案·数学（六） 1.C心由题意可得A={x2.r+5<11冫={.r<3,B={r∈Nx≤1=0.1.2,3,1}，则A∩B={0,1.2}. 故选C 2.I)设x=d十bi(a.b∈R),所以2x+乏=2(a+i)+a-i=3a1bi=9+4i,所以a=3.b=1.:·= (3十4i)(3-4i)=25.故选D. A若C的离心率为号当C的焦点在r轴上则2m>m+2>0,解科m>2,可得√密-号解得 21 三6：当C的焦点在v轴上则m+2>2n0,解得0<m<2.可得”。=令解得mL综上 1+2 n的取值范围为(61.所以m=6”是“℃的离心率为号的充分不必要条件.故选八 4.C设等比数列的公比为g,又a4,4a,164o成等差数列，所以2×4a:·4=a1·g+16a·g,整理得 4(1-g) 1网-对+1=0保得=受。已五1+付=号做法心 】一g 5.B因为单位向量a,b满足(2a+b)1b所以(2ab)·b=2a·b+6=0,所以a·b=-合.所以a·c= a:(a-3h)=-3ab=号.c=Va-3b=√a-6a…b-96=3.所以osa,c)=T日6 a·c 5 5厘，即向量a与c的夹角的余弦值为5,3，故选B /13×126 26 6.A令A(,号)且a≠0，则AB:y=号，又抛物线的准线为y=一，所以B(-合，一专）.故0=六，即 c(）所以A=V(a+)+() @+4a+6a+4a+百_Q+2a十1=2.解得 Aa' 2a 。2=1,所以点A到r轴的距离为号.故选八 7.C设)=血.则了()=1血.当>e时.则1n>1,可得<0，可知f()在(e,+o0)上单调 递减闪为a-是--fe),62-=4)c-2g3-19,且9=子>e>4,则19)< 9 f(e2)</(4),即(<<b.故选C &.B记正方体的外接球的球心为O,则O为正方体中心，半径R=DA+DC于DD-B,连接AC,BD,相 2 交于点E,点E为AC.BD的中点，连接PE.BP.可得PE∥B).因为PC平面APC,B)E平面APC,所 以B),∥平面APC,()在B1)1上，则()到平血AP'的距离等于点B到半面AP的距离，设为d.Sux 号×2X2=2.5Sw=号×1XPE=×32XF2=/厅.由PD1平面ABC.Viw=nr得d 【((·数学（六冫急来答案第1行】 型 多=后侧藏面翻半径=R一（一子所以截面的面积、=心=孕战连以 9.AB不妨设≤，≤≤1，≤r≤，≤≤g≤m,则1·r2··t1r,6·15·w·的极差为4一· 又，，·r的极差为一，所以.71·：，的极差不人于1，，，r ,,%·)的极差，故A正确；不妨设1≤r≤T≤4≤r:≤1≤y≤≤·又9×60%=5.4，所以· 2r,r6,7·的60%分位数为6，又7X60%=1.2.所以.231··6·17s的60%分位 数为x·故B正确；设一组数据为1.2.2,2.2.3,3.3,3的众数为2和3，而2,2,2,2,3.3,3的众数为2.故C 错误：组数据是常数时，去掉两个值（可以理解为最大，最小值），数据的波动性不变：当数据不是常数时，去 掉最大、最小值，数据的波动性一定变小，也就是方差变小.所以·，r··x,·的方差不大于n· ·t,产·t5,T,,g,r9的方差，故D错误.故选AB 10.AD由题意知(r)=一n(P+-+2r=n,有 -+2x=ln(/2+1+x)+2x.当x≥0 时，易得函数f(.x)在[0，+o∞)上单调递增，又f(-r)十f(r)=n(+I一r)一2，+ 1n(√r+1+x)+2.x=ln1=0,所以f(x)为奇函数，所以∫(x)在R上单调递增.因为f(-x)· g(一x)=一f(x)·g(x),所以f(x)·g(r)是奇函数.故A正确：因为f(g(一x))=∫(g(x)),所以 ∫(g(x))是偶函数.故B正确；因为g(x)是定义在R上的偶函数，且g(.r)在（一©，0]上单调递增，所以 g(2025)=g(-2025)>g(-2026).所以f(g(2025))>f(g(-2026)).故C错误：因为0=/(0) <f(2025)<f(2026).所以g(f(2025))>g(f(2026))=g(-f(2026)=g(f(-2026),故D正 确.故选ABD. 1.AC树为a=8.=所以=3，所以a是以3为青项3为公比的等比数列.所以 以n u.=3·3-1=3,所以a,= -子=号=9故A正确：角于公-骨=+1.放a>因此 a,是递增数列，故B正确：由（一1）a,a可得（一1以<。=3n升=3(）.当n为偶数 an 时.则3(1-)恒成立，由于fn)=1-单调递增，故X≤3(1-2)=2：当n为奇数时，则 3(1-)恒成立，由于f)=1一单调递增，故-≤3(1-十)=多.故对任意n∈N,都 有(-a,a则-<A≤2，放C正确：因为n一n)京m日n市所以T =1_1 =（1-专)+（合一3）++（元n）=1-令八）=+n-1.所以f()=子+ =习，当0<1时了()<0，当>1时.了(r)>0,所以f(r在(0.1)上单调递减，在(1.+)上 单调递增，义n+1≥2.所以/aD=ncm十1)-1>0)=0.即n(m+1)>1-故D错 误.故选AB 12.2r-6y一7=0将圆C:(x一1)2+2一1与圆C:2十(y-3)2=16两式相减，得直线AB的方程为2.r- 6v-7-0. 2 【(··数学（六冫参共×冷》6）】 13.36当小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时：当相同的兴趣课为“围棋”时，有A=12种，当 相同的兴趣课不是“围棋”时，有CC=12种，所以小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时，共 有24种.当小胡和小张两位同学所选的兴趣课没有相同时，有CC号=12，所以两位同学不同的选课方案有 24+12=36. 、, 14.专记内角A,B.C的对边分别为a,6c,因为s(B-C)=号nA,所以sin BeosC--sin Coos B=-合smA. 由正弦定理得omsC-(eos B合，由余弦定理可得6，十分-子a+c,正+云.所以+a 2ba 2ac 2=a2+a2+-,所以28=a2+2e2.又b=2.所以a2+22=8,又cosB=a+c-B- 2ac +e-g(a+2) 2ac 是，所以mBV(景)√所以S=cB=c√ 2ac 162 =8/6-a0=令/64-w0=日√9(a2-号)+g,所以当=号，即a=49时。 3 Sg取得最大值，且(Sac)am=日×号-号 15.解：1)由题意知f(x)=3cosx-/3sinx=23cos(x+), …2分 fa)=25os(e+）-25,所以os(。+晋）=令又aE(-吾，受），所以a+晋∈(o,), 所以m+)-√-os(a+骨)-2. …4分 所以如&=n(。+吾-晋）=如(a+吾)ms吾-oms(。+号)m吾-2号x9号x号-26 6 …7分 (2)将函数(x)的图象向右平移个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍 (纵坐标不变)，得到g(x)=25cos(2x一晋)， 10分 当x∈[0，时，2一晋∈[-晋，号] 所以cos(分x-晋)∈[71]，23cos(号x-晋)∈[3.25]，即g(x)的值域为[5.25]. …13分 16.解：(1)记事件A:为“从甲盒中取出2个红球”，事件A2为“从甲盒中取出1个红球1个蓝球”，事件A,为 “从甲盒中取出2个蓝球”，事件B为“从乙盒中取出的是2个红球”， 所以P(A)是=品，PA)g=号，P(A,)是-0P(BA,)-得-员PcB吲A)-8 是PcBA)晨-高 P(B)=P(A:)P(BA)+P(A2)P(BA2)+P(A3)P(BA3) =品×+号×品+品×是器 【C℃·数学（六）参考答案第3贞（共6负）】 BC 即从乙盒中取出的是2个红球的概率为器 …6分 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4， …7分 所以PX=0g×PX=1-×得+g×=，PX=2)是x是+× 所以X的分布列为： X 0 1 3 4 P 67 22 56 5 156 7 25 12分 所以EX)=0X品+1×号+2×0+3×器+4×完-器 …15分 17.(1)证明：取AD的中点O,连接PO,OC,如图所示，因为△PAD为等边 三角形，O为线段AD的中点，所以PO⊥AD,又平面PAD⊥平面 ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD,所以PO⊥平 面ABCD,…3分 又BCC平面ABCD,所以POLBC.…4分 ￥二 在△OCD中，OD=1,CD=2,∠ADC=60°，由余弦定理可得OC= √/DO+DC-2DO·DCcos∠ODC=√3， 因为OC+OD=CD,所以CO⊥AD,又AD∥BC,所以BC⊥OC,又 CO∩PO=O,CO,POC平面POC,所以BC⊥平面POC,… …6分 又PCC平面POC,所以BC⊥PC,故△PBC为直角三角形. 7分 (2)解：由(1)得OP.OC,OD两两垂直，以O为坐标原点，OC,OD,OP所在的直线分别为x,y,之轴，建立空 间直角坐标系，如图所示，则A(0,-1.0),P(0,0√3)，B(3,-2,0),C(3,0,0) Ai=(3,-1,0),P元=(3.0，-3)，A2=(0,1,w3), 设P市=λP元(0≤A≤1)，则A正=AP+P克=(3A,1,3-3x). n·AB=/3.x-y=0, 设平面PAB的一个法向量n=(x,y,z),则 令y=5,解得x=1,z=一1， n·Ap=y+3x=0, 所以平面PAB的一个法向量n=（1√3，一1). …10分 闲为直线AE与平面PAB所成角的正弦值为否。 所以cos(n,A花1=n·A 25入 10 12分 |n||AE/5X√6x2-6+4 10 解得入=号或入=-子（舍）， 14分 所以正-（停1,2）1-√（号）+1+(2）-2，即线段AE的长为25 3 …15分 【C℃·数学（六）参考答案第4贞（共6贞）】 18.解：(1)C的渐近线方程为bx士ay=0.设双曲线上一点D(o%), bzoayol.lbrotavol 1bao-ayolloro+avo63 …2分 √a2+ √a2+ 义D)在C上.所以号奈=1.即6-号=a,代人可得强=是 241 …3分 又e=名=2.产=d2+.代入可得=82=1，所以C的方程为x2-兰-1， …4分 (2)易得F(-2,0),F2(2,0),设P(xP,yp),M(M,M),N(xNw),又PF=AFM, -2=p十M 1十入 所以（一2-xP,-yr)=A(xM十2，yM)=(AxM十2入，AyM),所以 0=迎十Aw 1十λ 又-普=1，成一普=1，所以-城-（停）=1， 即P+A)CPM2-p+Aw)CP二AM2=1. (1+λ)(1-λ) 3(1+λ)(1-λ) 所以一2.二M2=1,所以p-XxM=-1与2， 1一λ 21 又+xw=-21+以).所以2p=-2A-受. 6分 2=印十4cw 因为PF=F2衣，所以(2-P,一P)=u(xw-2,w)=（N-24,w),所以 1十4 0=p十 1+4 又-普=1成-管=1，所以-绿-（停-）=12. 即十)CP二w）-t)P》=1,所以2.二2=1，所以xp-v=1, (1+)(1一4) 3(1十μ)(1-μ) 1一 2 又xp十w=2(1+),所以2.p=2+之， 3 5 …8分 所以2xp=一 3 3 解得X十=一号，即X十为定值一号 …10分 y=2x十m, (3)设A(x1,y),B(x2,y2),G(xG,%),由 得x2十4mx十m2十3=0， 3x2-y2=3 所以△=16n2-4(m2十3)>0，解得m2>1,…11分 所以x十Tg=一4m,x1x2=n2十3.…12分 因为0元-=2O成+：0成，所以=2+'因为点G在C上，所以2十)-2上-1， %=2y1+ty2, 3 即4（行-普）+(-等)+-专y=1, 所以4-号为++3=4-号2十m)(2:+m)++3=-号4(m+3》-8g(-4m） 4 3 【C℃·数学（六）参考答案第5负（共6贞）】 GC 号m2+f+3=-4+3+8m1=0。…14分 当t=0时，等式左边=3，右边=0，因为左边≠右边，所以不满足题意；…15分 当>0时，2一41十3=一8m2<一81，解得一3<t<-1,所以不满足题意；…16分 当t0时，2一41+3=-8mm2>一8t,解得t<-3或t>-1,所以t<-3或-1<t<0. 综上，1的取值范闱为（一0∞，一3）U(-1,0).…17分 19.(1)证明：由题意知f(x)=x-1一acos .r,… …1分 令t(x)=x一1一acos x,则t(x)=1十asin x≥1-a≥0，所以t(x)即f(x)在R上单调递增，…2分 义f1)=-acos1<0,f(受）=受-1>0，则存在x∈(1,2)，使得(o)=0,…3分 且当x∈(-∞，x0)时，∫(x)<0,当x∈(x0,+∞)时，f(x)>0,所以f(x)在（一∞，x)上单调递减，在 (（x0,十co)上单调递增，所以x0为f(x)的唯一极小值点.……4分 (2)解：由(1)知，∫(x0)=0,即=ac0sxn+1,x∈(1,5 …6分 所以f2_2-0一ann。】」 1 w-1-a5n,要证2<-名，即证号-1-m4< .To 号，即证号-<分，即证号（a0so+1)-a<2,即证号c0s<2 ，…8分 To 0 又1<m<受，60sw>0,从而只需证号c0sw<n,因为1amxw>an1>an晋=1>平，所以0> cos ao 2 景，所以2ms<如，所以2<一 …10分 To 2 (3)解：依题意，设gr)=号r-fx)=z+sinx,所以g（()=1+cosx, 则函数g(x)在点(x1,g(x1))处的切线1的方程为y=(1十cos)x十sinx1一x1cos.…11分 若直线l恰好与曲线y=g(x)相切且有无穷多个切点，任取两个不同的切点A(k,g(k),B(b,g(b), 11十cosk=1+cosb, 则在此两点处的切线为同一直线，即 …12分 sin k-kcos k=sin b-bcos b, 于是有cosk=cosb,则sink=sinb或sink=一sinb, …13分 若sink=sinb,从而得(k一b)cosk=0,显然k一b≠0，则cosk=0;若sink=-sinb,取异于A,B外的另一 个切点C(c,g(c),则有cosk=cosb=cosc,sink-kcosk=sinb一bcos b=sinc-ccos c,如果sink=sinc, 则有cosk=0,如果sink=一sinc,则sinb=sinc,因此cosb=cosc=cosk=0,从而恒有cosk=0,即sink =士1，于是得直线1的方程为x一y十1=0或x一y一1=0.…14分 当切线方程为1一)叶1=0时，切点为(2m+受.2m+受十1)，m∈乙，…15分 当切线方程为x一y一1=0时，切点为(2mm一受，2mx一受-1)n∈乙， …16分 所以直线1的方程为x一y十1=0或xy一1=0.…17分 BC 【C℃·数学（六）参考答案第6贞（共6贞）】