2025--2026学年浙教版数学七年级下册期末复习专题九：分式

2026年浙教版七年级第二学期期末复习专题九：分式 1.若商品的进价为a，售价为b，则毛利率，把这个公式变形成已知p，a，求b的公式，应为（　　） A． B．b＝pb+a C． D． 2.若5a•3b＝2025，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 3.已知am＝b，bn＝a﹣1，4m+n＝8，下列计算结果正确的是（　　） ①②③④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4.设甲种糖果的单价为每千克m元，乙种糖果的单价为每千克18元，则3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（　　）元． A． B． C． D． 5.已知分式：（a）（■）的某一项被污染，但化简的结果等于a+2，被污染的项应为（　　） A．0 B．1 C． D． 6.已知，则代数式的值为 　 ． 7.已知m+n＝2，mn＝﹣1，则　 　 ． 8.已知x+y＝3xy，则分式的值为　 　 ． 9.在公式中，将这个公式变形为已知S，h，a，求b的公式：b＝　 ． 10.某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时m1天；乙工程队每天完成b米，共完成了2s米，用时m2天．若m1+m2＝30，则s＝　 　 ．（用含a、b的最简分式表示） 11.当x分别取值，0，1，2，…，2022，2023，2024，2025时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 　 ． 12.先化简，再求值：，其中a＝3． 13.先化简，再从﹣4，3，4中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 14.（1）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 15.先化简，再求值：，其中x从0，1，2中选取一个合适的值代入． 16.先化简再求值：，其中x＝0． 17.规定一种新的运算“Δ（xα）”，其中x≠0，α为正整数．其运算规则如下： ①Δ（xα）＝αxα﹣1；②c•Δ（xα）＝c•αxα﹣1（其中c为常数）． （1）计算：Δ（x8）＝　 ，k•Δ（x）＝ （其中k为常数）； （2）m•Δ（x3）+n•Δ（x2）（其中p，q均不为0）． ①求a，m，n的值； ②化简并计算：． 18.计算： （1）； （2）． 19.一个代数式只含有字母x，y，把x替换成y，把y替换成x，得到一个新的代数式．若不论x，y如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当x＝2，y＝1时，代数式值为，新代数式值为﹣1，两者不相等，所以不是对称式． （1）请判断x2y+xy2和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； （2）关于字母x，y的代数式（m为常数）是对称式，求m的值． 20.下面是圆圆同学进行分式化简的过程： 化简： 原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）指出圆圆同学的错误步骤，并写出正确的化简过程． （2）请在﹣1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 21.小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知ab＝1． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管a2+b2的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（a﹣b）2+2，由（a﹣b）2≥0知，当a＝b时，a2+b2存在最小值2． （1）试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． （2）在ab＝1的条件下，下列代数式：①；②；③；④（n≥3，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：　 　 （填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 　 　 ． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 22.一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算； B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算； D．无法比较哪种加油方式更划算． （2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 23.商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，且a≠b．则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（元/千克）．把质量相同的A种糖和B种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为W甲）；把总价相同的A种糖和B种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为W乙）．请解决以下问题： （1）分别求出W甲，W乙（可用含有a，b的代数式表示）； （2）你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 24.定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的字母（x）与另一个字母（y）互换，所得代数式和原代数式的值相等，则称这样的代数式为“对称式”．如m+n，mn，等． （1）代数式①m﹣n，②m2+n2，③，④（m﹣n）2中，是对称式的有 　 　 ． （2）若关于m，n的代数式（k是常数，m≠n）是对称式，求常数k的值． （3）在（2）的条件下，若，当mn＝﹣1时，求（m﹣n）2的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙教版七年级第二学期期末复习专题九：分式 1.若商品的进价为a，售价为b，则毛利率，把这个公式变形成已知p，a，求b的公式，应为（　　） A． B．b＝pb+a C． D． 【解答】解：由条件可得p•b＝b﹣a， p•b﹣b＝﹣a， b（p﹣1）＝﹣a， ∴， 故选：C． 2.若5a•3b＝2025，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵5a•3b＝2025＝452＝52×34， ∴a＝2，b＝4， ∴． 故选：A． 3.已知am＝b，bn＝a﹣1，4m+n＝8，下列计算结果正确的是（　　） ①②③④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：∵am＝b，bn＝a﹣1， ∴amn＝a﹣1， ∴mn＝﹣1， ∵4m+n＝8， ∴22m+2n＝23， ∴2m+2n＝3， ∴m+n， ①，正确； ②，正确； ③由②可知，正确； ④∵， ∴或， m2﹣n2＝4或m2﹣n24.错误． 正确的①②③． 故选：A． 4.设甲种糖果的单价为每千克m元，乙种糖果的单价为每千克18元，则3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（　　）元． A． B． C． D． 【解答】解：3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克元， 故选：D． 5.已知分式：（a）（■）的某一项被污染，但化简的结果等于a+2，被污染的项应为（　　） A．0 B．1 C． D． 【解答】解：设被污染的项应为A， 原式 ， ∵化简的结果等于a+2， ∴Aa﹣2A﹣1＝a﹣3， ∴A＝1． 故选：B． 6.已知，则代数式的值为 　 ． 【解答】解：∵2， ∴x＝2y， ∴12． 故答案为：12． 7.已知m+n＝2，mn＝﹣1，则　 　 ． 【解答】解：当m+n＝2，mn＝﹣1时， ＝﹣8． 故答案为：﹣8． 8.已知x+y＝3xy，则分式的值为　　 ． 【解答】解：∵x+y＝3xy， ∴原式 ， 故答案为：． 9.在公式中，将这个公式变形为已知S，h，a，求b的公式：b＝　　 ． 【解答】解：S（a+b）h， 则2S＝（a+b）h， ∴2S＝ah+bh， ∴bh＝2S﹣ah， ∴b， 故答案为：． 10.某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时m1天；乙工程队每天完成b米，共完成了2s米，用时m2天．若m1+m2＝30，则s＝　 　 ．（用含a、b的最简分式表示） 【解答】解：由题知， 因为甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时m1天， 所以； 同理可得，． 因为m1+m2＝30， 所以， 整理得，s． 故答案为：． 11.当x分别取值，0，1，2，…，2022，2023，2024，2025时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 　　 ． 【解答】解：当x＝0时，原式， 当x＝1时，原式0， 当x＝2时，原式， 当x＝3时，原式， 当x时，原式， 当x时，原式， 那么当x取互为倒数的两个数时，它们的和为0， 因此所得结果相加可得0， 故答案为：． 12.先化简，再求值：，其中a＝3． 【解答】解： • ， 当a＝3时，原式． 13.先化简，再从﹣4，3，4中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【解答】解：原式 ， 当x＝4或x＝﹣3或x＝3时，分式无意义， 故当x＝﹣4时， 则原式． 14.（1）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 【答案】（1）原式＝x•• ＝x•• ＝x•• ， 当x＝﹣1时，原式2． 15.先化简，再求值：，其中x从0，1，2中选取一个合适的值代入． 【解答】解：原式• ， ∵x﹣1≠0且（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x≠1且x≠±2， 则x＝0， ∴原式＝﹣2． 16.先化简再求值：，其中x＝0． 【解答】解：原式• • ， 当x＝0时，原式． 17.规定一种新的运算“Δ（xα）”，其中x≠0，α为正整数．其运算规则如下： ①Δ（xα）＝αxα﹣1；②c•Δ（xα）＝c•αxα﹣1（其中c为常数）． （1）计算：Δ（x8）＝　8x7 ，k•Δ（x）＝k （其中k为常数）； （2）m•Δ（x3）+n•Δ（x2）（其中p，q均不为0）． ①求a，m，n的值； ②化简并计算：． 【解答】（1）解：Δ（x8）＝8x8﹣1＝8x7， k•Δ（x）＝k•1x1﹣1＝k•1•x0＝k•1•1＝k， 故答案为：8x7，k； （2）解：①∵m•Δ（x3）＝m•3x3﹣1＝3mx2， n•Δ（x2）＝n•2nx2﹣1＝2nx， Δ（x）•1x1﹣1， ∴3mx2+2nxax3+（n﹣1）x2+（2m+6）x+1， ∴ ∴a＝0，m＝1，n＝4； ②由①知，1， ∴1， ∴p+q＝pq， ∴3． 18.计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式• • ＝2x+4． 19.一个代数式只含有字母x，y，把x替换成y，把y替换成x，得到一个新的代数式．若不论x，y如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当x＝2，y＝1时，代数式值为，新代数式值为﹣1，两者不相等，所以不是对称式． （1）请判断x2y+xy2和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； （2）关于字母x，y的代数式（m为常数）是对称式，求m的值． 【解答】解：（1）x2y+xy2是对称式，不是对称式，理由如下： ∵x2y+xy2交换x和y后为y2x+yx2＝x2y+xy2， ∴x2y+xy2是对称式； ， 交换x和y后为：， ∵， ∴不是对称式； （2）∵关于字母x，y的代数式（m为常数）是对称式， ∴， ， ∴2x+（m﹣1）y＝2y+（m﹣1）x， ∴m﹣1＝2， m＝3． 20.下面是圆圆同学进行分式化简的过程： 化简： 原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）指出圆圆同学的错误步骤，并写出正确的化简过程． （2）请在﹣1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 【解答】解：（1）由解题过程可知，第二步出现错误， 正确解题：原式 • • ＝x+1； （2）∵x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0， ∴x≠0，﹣1，1， ∴当x＝2时，原式＝2+1＝3． 21.小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知ab＝1． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管a2+b2的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（a﹣b）2+2，由（a﹣b）2≥0知，当a＝b时，a2+b2存在最小值2． （1）试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． （2）在ab＝1的条件下，下列代数式：①；②；③；④（n≥3，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：　①②④　 （填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 　　 ． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【解答】解：（1）小滨的说法正确，理由如下： ∵ab＝1， ∴ ＝1， ∴小滨的说法正确； （2）（i）①∵ab＝1， ∴ ＝1； ② ＝1； ③当a＝b＝1时，， 当a＝3，b时，， ∴的值不是定值； ④ ＝1； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为， 证明如下： ＝2； 故答案为：①②④；； （ii） ， a2+4b2+5 ， ∵， ∴当时，a2+4b2+5有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵a2+4b2+5无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 22.一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 B ． A．按方式①加油更划算； B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算； D．无法比较哪种加油方式更划算． （2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【解答】解：（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（a≠b）， 记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元， 则①中平均单价为m（元）， ②中平均单价为n（元）， ∵当a≠b时，（a+b）2＞4ab，且a，b均为正数， ∴， 即n＜m， ∴方式②平均油价更低． 故选：B． （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得：25m+15n＝250， 整理得：m＝10n， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： ①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆； ②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； ③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 23.商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，且a≠b．则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（元/千克）．把质量相同的A种糖和B种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为W甲）；把总价相同的A种糖和B种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为W乙）．请解决以下问题： （1）分别求出W甲，W乙（可用含有a，b的代数式表示）； （2）你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【解答】解：（1）设甲什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合，设质量各为n千克， 则售价为：（元/千克）， 乙什锦糖由总价相同的A、B两种糖果混合，设总价各为w元， 则售价为：（元/千克）， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元/千克，元/千克． （2）购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ∵a＞0，b＞0，a≠b， ∴0． ∴甲的售价高于乙的售价， ∴购买乙种什锦糖较便宜． 24.定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的字母（x）与另一个字母（y）互换，所得代数式和原代数式的值相等，则称这样的代数式为“对称式”．如m+n，mn，等． （1）代数式①m﹣n，②m2+n2，③，④（m﹣n）2中，是对称式的有 　②③④　 ． （2）若关于m，n的代数式（k是常数，m≠n）是对称式，求常数k的值． （3）在（2）的条件下，若，当mn＝﹣1时，求（m﹣n）2的值． 【解答】解：（1）对于①，将m，n互换后，得到n﹣m≠m﹣n，不符合题意； 对于②，将m，n互换后，得到n2+m2＝m2+n2符合题意； 对于③，将m，n互换后，得到，符合题意； 对于④，将m，n互换后，得到（n﹣m）2＝（m﹣n）2，符合题意； 故答案为：②③④； （2）∵是对称式， ∴， ∴， ∴km﹣n＝kn﹣m， ∴k（m﹣n）＝n﹣m， ∵m≠n， ∴k＝﹣1； （3）由k＝﹣1得：， ∴， ∴n2﹣n+m2﹣m＝（m+n）2， ∴n2﹣n+m2﹣m＝m2+2mn+n2， ∴m+n＝﹣2mn＝﹣2×（﹣1）＝2， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4﹣4×（﹣1）＝8． 1 学科网（北京）股份有限公司 $