精品解析：江苏苏州市振华中学校2025—2026学年下学期八年级期中测试数学试卷

江苏苏州市振华中学校2025—2026学年下学期八年级期中测试数学试卷 2026．4 一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. “随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件． 2. 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，从中随机摸出一个球，是红球的概率是：； 故选A． 3. 某校从750名学生中随机抽取100名学生进行百米测试，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 每名学生的百米测试成绩是个体 C. 样本容量是100名学生 D. 100名学生的百米测试成绩是总体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查相关概念，需根据普查、个体、样本容量、总体的定义逐一判断选项. 【详解】解：∵普查是对所有考察对象进行全面调查，本题从750名学生中随机抽取100名学生，属于抽样调查，∴A选项错误； ∵个体是总体中每一个被考察的对象，本题中每名学生的百米测试成绩是个体，∴B选项正确； ∵样本容量是样本中个体的数量，是一个不带单位的数字，∴C选项错误； ∵总体是考察对象的全体，本题中总体是750名学生的百米测试成绩，100名学生的测试成绩是样本，∴D选项错误； 故选：B. 4. 为了解某校七年级名学生参加社团的情况，小郑随机抽取部分学生进行调查统计，并绘制如图所示的扇形统计图，那么下列说法不正确的是（ ） A. 参加编程的学生有人 B. 参加摄影所在扇形的圆心角度数为 C. 参加编程的人数是参加合唱人数的2倍 D. 参加其他社团的人数占总人数的10% 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键． 根据扇形统计图中各部分所占比例，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：A．已知编程社团占比，总人数为，那么参加编程的学生人数为，该选项正确，不符合题意； B．摄影社团占比，整个圆的圆心角是，所以参加摄影所在扇形的圆心角度数为，该选项错误，符合题意； C．编程社团占比，合唱社团占比，，所以参加编程的人数是参加合唱人数的倍，该选项正确，不符合题意； D．把总人数看作单位“”，参加其他社团的人数占总人数的比例为，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 5. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查配方法解一元二次方程，配方法就是通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．此题中，将常数项移到右边，并同时加上一次项系数一半的平方，即，即得到，最后配成完全平方形式即完成求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的每一条对角线平分一组对角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线相等、互相垂直且平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一判断，即可找出错误说法． 【详解】∵A选项，平行四边形的基本性质是对角线互相平分， ∴A说法正确； ∵B选项，菱形的性质包含每一条对角线平分一组对角， ∴B说法正确； ∵C选项，矩形的对角线性质是相等且互相平分，不互相垂直， ∴C说法错误； ∵D选项，正方形同时具备矩形和菱形的对角线性质，即对角线相等、互相垂直且平分， ∴D说法正确． 8. 如图，，，，，，连接，分别取的中点M，N，连接，则线段的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 9. 元元抛一枚质地均匀的硬币2次，2次都是正面向上，则元元抛第3次时正面向上的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛一枚质地均匀的硬币，每次抛掷为独立事件．前两次抛掷的结果不影响第三次抛掷的结果，硬币只有正面向上和反面向上两种等可能结果，据此求解． 【详解】解：抛一枚质地均匀的硬币，有正面向上和反面向上两种等可能的结果，且每次抛掷的结果互不影响， 抛第次时正面向上的概率是． 10. 某班50名学生的数学成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据各组频数之和等于数据总数，先求出第5组的频数，再根据频率的计算公式计算第5组的频率． 【详解】解：由题意可知，数据总数为， 第组的频数为． ∴第组的频率为． 11. 方程x（1-x）=0的解为______． 【答案】x1=0，x2=1 【解析】 【详解】试题分析：原方程可化为两个一元一次方程，然后分别求解即可得到方程的解. 试题解析：∵x（1-x）=0 ∴x=0，1-x=0 解得：x1=0，x2=1 考点：解一元二次方程----因式分解法. 12. 若是方程的一个解，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将方程的解代入方程得到，再将原代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴ ∴， ∴． 13. 如图，在中，，，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质与勾股定理的综合应用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将已知线段长度转化为直角三角形的直角边，再两次运用勾股定理求解线段长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 在中，， 在中，． 故答案为：． 14. 如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 【答案】 79 【解析】 【分析】先根据矩形的性质结合三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质求出，最后由即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ； ， ； ， ， ． 15. 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，求出，，进而利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】以为边在右侧作等边三角形，连接并延长交y轴于点M，过点O作于点H，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点E在过定点G且与垂直的直线上运动，即点E在直线上运动，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边在右侧作等边三角形， ∴， 连接并延长交y轴于点M，过点O作于点H， 在矩形中， ∵， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E在过定点G且与垂直的直线上运动，即点E在直线上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点E与H不重合时，， 当点E与H重合时，， 综上所述：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确理解图形的运动特点并正确画出图形辅助解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18. 已知关于的一元二次方程的常数项为． （1）求的值； （2）求此时一元二次方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，根据方程的常数项为，可得，解方程即可求出的值； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程的常数项为， 可得：， 由，可得：， 解方程， 分解因式可得：， 解得：，， ； 【小问2详解】 解：当时， 可得方程为， 分解因式得：， 解得：，． 19. 如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， （1）在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； （2）在图2中，在边上确定一点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平移思想，确定格点即可； （2）找到的中点即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 如图2，点即为所求； 20. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】（1）该方程是“联合方程”，见解析 （2）的值为，的值为6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【小问1详解】 解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； 【小问2详解】 解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 21. 某校随机选取部分同学开展“学生喜爱的体育活动”问卷调查（每人限填一项）．将学生喜爱的体育活动分为以下五类，相关数据整理为如下不完整的扇形统计图和条形统计图． A类：击剑、滑板等新兴潮流体育活动 B类：篮球、足球等球类竞技体育活动 C类：跳绳、趣味接力等校园趣味体育活动 D类：户外徒步、越野等校外拓展体育活动 E类：瑜伽、羽毛球等个人休闲体育活动 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次抽取学生共__________人．在扇形统计图中，D类所对应的圆心角是__________度； （2）补全条形统计图； （3）若该校学生总数为2400人，请估计该校喜爱类体育活动的学生人数． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用B类的人数除以占比即可求出总人数，再用360度乘以D类的占比即可求出对应的圆心角； （2）求出C类的人数即可补全条形统计图； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意得，抽取的总人数（人） 【小问2详解】 C类：（人）； 如下图所示： 【小问3详解】 由题意得，该校喜爱E类体育活动的学生人数为（人） 答：估计该校喜爱E类体育活动的学生有200人． 22. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 【答案】（1）不可能事件； （2）盒中黑球个数为7； （3）往盒中再加入4个红球． 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，随机事件的概率等知识点，熟知：概率所求情况数与总情况数之比，是解本题的关键． （1）根据“一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件”，据此解答即可； （2）设盒中黑球的个数为，列出方程并求解即可； （3）设往盒中再加入个红球，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：∵盒子中没有黄球， ∴不可能摸到黄球， ∴摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能事件； 【小问2详解】 设盒中黑球的个数为，则 解得． 答：盒中黑球个数为7； 【小问3详解】 设往盒中再加入个红球，则 解得． 答：往盒中再加入4个红球． 23. 如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形，得，结合，得四边形是平行四边形，结合，则，故四边形是菱形，即可作答． （2）根据菱形的性质，得，因为四边形是平行四边形，则，，运用勾股定理得，则，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 24. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 25. 如图，在四边形中，轴，，点的坐标是，连接，动点从点出发，沿折线方向向终点匀速运动，另一动点从点出发，沿射线方向匀速运动．点的运动速度为个单位秒，点的运动速度是个单位／秒，，两点同时出发，设运动时间为秒． （1）直接写出点的坐标：__________． （2）当点在折线上运动，点在线段上运动时，求出使的面积等于时的值． （3）当为何值时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）如图1，过作于，根据，可知为等腰直角三角形，求出和的长为，再由点的坐标得出，所以得出； （2）有两种情况：①在上时，如图，作的高线，根据速度和时间表示动点的路程：，，根据图求出，所以是等腰直角三角形，表示出高线的长，代入面积公式列等量关系式可求得结论；②在上时，同理可求得的值； （3）分点在线段上和线段的延长线上两种情况，依据平行四边形的性质得出，从而得出的长，据此可得的值． 【小问1详解】 解：如图1，过作于， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过作于， 如图2，由（1）得：，， ， 当时，由题意得：，， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， 解得：负值舍去； 如图3，当时，过作于，过作于， 由题意得：，，， ， ∵， ∴， ， ， ∴ ， 即， 解得：(舍去) ， 综上所述，或， 【小问3详解】 解：如图4，当点在线段上时， 四边形是平行四边形， ， 则， ； 如图，当点在延长线上时， 四边形是平行四边形， ， 则， ； 综上，当或时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形． 26. 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】（1）等边三角形，证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，从而得到是等边三角形即可求解； （2）根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，垂直平分，，根据余角的性质证明，证明，得出，即可证明； （3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分， ∴， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：，垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：当点Q在点F的下方时，如图所示： ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏苏州市振华中学校2025—2026学年下学期八年级期中测试数学试卷 2026．4 一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. “随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 2. 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 某校从750名学生中随机抽取100名学生进行百米测试，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 每名学生的百米测试成绩是个体 C. 样本容量是100名学生 D. 100名学生的百米测试成绩是总体 4. 为了解某校七年级名学生参加社团的情况，小郑随机抽取部分学生进行调查统计，并绘制如图所示的扇形统计图，那么下列说法不正确的是（ ） A. 参加编程的学生有人 B. 参加摄影所在扇形的圆心角度数为 C. 参加编程的人数是参加合唱人数的2倍 D. 参加其他社团的人数占总人数的10% 5. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的每一条对角线平分一组对角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线相等、互相垂直且平分 8. 如图，，，，，，连接，分别取的中点M，N，连接，则线段的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 9. 元元抛一枚质地均匀的硬币2次，2次都是正面向上，则元元抛第3次时正面向上的概率为__________． 10. 某班50名学生的数学成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是________． 11. 方程x（1-x）=0的解为______． 12. 若是方程的一个解，则的值是___________． 13. 如图，在中，，，，则___． 14. 如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 15. 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______. 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 解下列方程： （1）． （2）． 18. 已知关于的一元二次方程的常数项为． （1）求的值； （2）求此时一元二次方程的根． 19. 如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， （1）在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； （2）在图2中，在边上确定一点，使得． 20. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 21. 某校随机选取部分同学开展“学生喜爱的体育活动”问卷调查（每人限填一项）．将学生喜爱的体育活动分为以下五类，相关数据整理为如下不完整的扇形统计图和条形统计图． A类：击剑、滑板等新兴潮流体育活动 B类：篮球、足球等球类竞技体育活动 C类：跳绳、趣味接力等校园趣味体育活动 D类：户外徒步、越野等校外拓展体育活动 E类：瑜伽、羽毛球等个人休闲体育活动 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次抽取学生共__________人．在扇形统计图中，D类所对应的圆心角是__________度； （2）补全条形统计图； （3）若该校学生总数为2400人，请估计该校喜爱类体育活动的学生人数． 22. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 23. 如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 24. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 25. 如图，在四边形中，轴，，点的坐标是，连接，动点从点出发，沿折线方向向终点匀速运动，另一动点从点出发，沿射线方向匀速运动．点的运动速度为个单位秒，点的运动速度是个单位／秒，，两点同时出发，设运动时间为秒． （1）直接写出点的坐标：__________． （2）当点在折线上运动，点在线段上运动时，求出使的面积等于时的值． （3）当为何值时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？ 26. 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $