陕西靖边县靖边中学2025-2026学年普通高等学校招生全国统一考试高三数学冲刺押题卷(四)

参考答案·数学（四） 1.C由①-D(2-D=3i=一3-i,得复数1-D2-卫的共轭复数为-3+i,它的虚部为1.故选C 1 2.D由题知 -3，解得a=日.放选D a 3.A由题知a☒b=17+m+4=21+m=2,解得m=-19.故选A. 2xh=4π， r=1 4.B设圆柱的底面半径为r,高为h,则 解得 所以圆锥SO的母线长为√5，其侧面积为π× r2h=2π， h=2, 1X5=√5元.故选B. 5.B取x=0,得ao=1:取x=1,得ao十a1+a2++a十a8=0,所以a1十a2十…十ag十ag=-1.故选B. 6.C由题知，圆C的圆心(？，1)在直线y=2x一1上，则1=m-1,解得m=2,所以圆C的标准方程为 (x-1)°+(y-1D2=1,圆心为G1,1),半径为1.又圆C的标准方程为(x+2+(+号)）=”+7，圆心 为C(-2,-号，半径为√气+7.因为圆G与C外切，所以CC=√9+（受+1）-√气+7+1，解 得=6.故选C 7B由02=4，得☐=4，解得ma=3,所以sm(2z+子)-号（如2a十cos20-号× sin a-2cos a 2aom。g-号×2auaa-号×2X+￥=放选R sina+cos a 2 tana+1 2 32+1 8.D因为定义域为R的偶函数f(x)在（一∞，0）上单调递减，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.因为 13g2-号og8<号og0-=9←<9,9=oe512<3bg:10=l6g10<1og1024=10.5=西>1，所 以515>3log210>13log2.又a=f(-13log32)=f(13log32),所以b>c>a.故选D. 9.ABD由4个球队角球数为5，知该组数据的众数为5，A正确；极差为17-5=12，B正确：平均数为× (6×4+6+7+8×2+9×2+10+14+17)=9,C错误：因为13×40%=5.2，所以该组数据的第40百分位 数是第6个数据，即7，D正确.故选ABD. 10.0由2a1+2ae十…+2a-1+2a,=4-1,得(2a十2a++2a1+2a,)=2,则a十 号+…+会=+兴当=1时，2=3，解得a=子当≥2时，产-号，所以 【CC·数学（四）参考答案第1页（共6页）】 6C a.=41+2≥2》.又a=是符合a=4=1+7,所以数列a}的通项公式为a,=41+2,所以a, 1=4-号，所以数列a-1)不是等比数列，A错误：81X+号-+分，B正确：因为 14 1os（a,-2》=log=n所以g,4a,-2dg(4aw1-万=nD=7-,所以数列 1 iog4a,-20g(4a1-万}的前18项和为(1-号)+（号号）十+（侣）-18，C正确：易知 1 数列{an}为递增数列，不妨设p<q<r,假设ap,ag,a,成等差数列，则2a,=ap十a,即2-1=22p-2+22一2， 即2gD+1=1十22一m.又22)+1,2X一m为偶数，显然229p)+1=1+22一p无解，D错误.故选BC 11.ACD将(t,2)代人抛物线C的方程，得4t=4,解得t=1,A正确：由题知直线PQ的斜率存在且不为0，设 y2=4x, P(x1,y),Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=k(x+1),联立方程 消去x后整理得ky2一4y+ y=k(x+1), 所以合-竖又如头号是有同理气 4 kpm+kan= 4+4=4(y+2+4)=4(+2十4) 4(4十2+4)_4（少+2+4） y+2y2+2(y+2)(2+2)y12+2(y+2)+42(y+2)+82(y+y2+4) =2,B 错误：易知AL轴，故等=引=升==出-验者-号-胎 SMoFx2-12-1 x2+1 正确：易知直线AB的方程为y=十1，设过点P且与抛物线C相切的直线方程为y一=Xx一斗)，联立 y2=4x, 方程 y=（红-） 消去x后整理得入y2-4y十4y1一入=0，由△=16一4(4y1一λy)=0,得A= 2,所以所求切线方程为y=子x十兰，联立方程 y=2,+丛 y11 ’解得=号，同理可得点N的横坐标为 y=x+1, 兰，所以点M,N的横坐标之积为=4=1，D正确.故选ACD 12.3方程x3-2x2+x=0可化为x(x一1)2=0，解得x=0或1，则A={0,1},故集合A的真子集的个数为 22-1=3. 13.25 3 由余弦定理，得a2=6+e-26cosA=+c2-bc=&.又B+C>≥2bc(当且仅当b=c时取等 号).所以k<9,所以5c=之cXmA=x≤×号-2正，所以△ABC面积的最大值 8 为2店5 3 14.4 由题知g)=子，令士=1，得x=1,将x=1代人=，得y=1,所以直线y=x与函数g的图象 6C 【CC·数学（四）参考答案第2页（共6页）】 的切点为(1,1)，所以b=1.设直线y=x与函数f(x)的图象的切.点为(m,m),又f(x)=(x+a+1)e,所以 (m十a+1)em=1.由(m+a)em=m,知e"+m=1,因为函数h(x)=e+x单调递增，且h(0)=1,所以m= 0,a=0,所以2+3b=20+3=4. 15.解：(1)因为f八x)的图象相邻两对称轴间的距离为受，所以T=2红=元，解得=2. …4分 (2)由(1)知fx)=3sin(2x-), 6分 将函数f()的图象向左平移交个单位长度，得)y=3sin[2(x+平）-否]=3sim(2x+), 所以g()=sin(2x+号)月 ……8分 gx）一m<1在[-哥，吾]上恒成立，可化为m-1<gx)<m十1在[一哥，音]上恒成立.…9分 当x[-子吾]时.-吾<2x+晋<，-5≤m(2x+号)<1 …10分 则 解得0<<1- 2 m+1>1, 故实数m的取值范围为(0,1一号 …13分 16.(1)证明：如图，连接BC1,… …2分 因为CF=FB,四边形BCCB为矩形，所以CF=BF,…3分 因为AE=EC,所以EF∥AB,…5分 因为ABC平面ABC,EF吐平面ABC,所以EF∥平面ABC.… 6分 (2)解：因为CA,CB,CC两两垂直，故以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线 B 分别为x,y,之轴建立如图所示空间直角坐标系，… …7分 则C0,0,0),A1,0,0),B0,1,0),C(00,2),E(3,0,1),F(0,2,1), i=(3,0,10.C=(0,2,1DAC=(-10,2. 8分 设平面CEF的一个法向量为m=(x,y,), i.m=2x十=0， 则 取x=2,得y=2,2=一1，则m=(2,2,一1)，…13分 本.m=y+=0, 所以|cos(AC,m|= =45 15 放直线AG与平面CBF所成角的正玻值为 15分 【CC·数学（四）参考答案第3页（共6页）】 6C 17.(1)解：抛掷这两颗骰子一次，共有36个基本事件， 2分 这两颗骰子朝上一面的数字之和是3的倍数包括的基本事件为(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)， (4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12个基本事件，…6分 故这两颗骰子朝上一面的数字之和是3的倍数的概率为 363 …7分 (2)证明：记每次操作，这两颗骰子朝上一面的数字都是奇数、都是偶数、一个奇数一个偶数分别记为事件 A,B,C, 则P(A)= 36 4 8分 P(B)=CC] 36 …9分 P(C)=2CIC=1 36 2 10分 因为X~B(n,4),Y~B(m,4),ZB(,), 12分 所以EX)=X号=￥，B)=mX号=子，B2=nX号=号， 所以E(X+EY=+=，5所以B(X+B=EZ.. 15分 三1 1a2=4, a 62 18.解：(1)由题知 解得子=3， e a 2 c2=1. a2=62+c2, 故椭圆C的标准方程为号+号-1 3分 (2)(1)由(1)知二=4，设P(4,),M(m,y),N(,2), 切线PM的方程为兴+学=1，切线PN的方程为兴+学=1， 4 4分 3 0+9=1, 3 代入点P的坐标得 故直线MN的方程为x十兰=1， 6 分 3 +-1 直线OP的方程为y=冬x 因为点D不可能是原点，将1=代人x十兰-1，整理得3x2-3十4y2=0,…8分 所以点D的轨迹方程为3.x2一3.x十4y2=0(x≠0). ac 【CC·数学（四）参考答案第4页（共6页）】 设Dm,m)(m≠0)，则3nm-3m+4r2=0,t= 4 由2m-子㎡≥0，得0<m≤1， …9分 所以1D那-√(m-)+i-√(m-》+子m-子m-21-2中， Ds=√(m-)+f=√(m-￥）+m-￥m=2m3到-320， 4 4 所以DF+|DF2=21+32m=1. 4 12分 (1)圆(x-号）广+(y2》广-1的圆.心坐标为G(分2)，半径为1， 故1GD=√(m-）+(-=√-m+-言+ 37 3n2+n2 61 37 144 r-g+磊-√(+)+ 15分 当n=一 时，GD1的最大值为 由圆的性质可知，DE的最大值为否+1. ……… 17分 19.(1)解：由题知f(x)=lnx-a.x十a. 令g(x)=lhx-ax+a,则g'(x0=-a=-a延 又函数f(x)的定义域为(0，十o∞).… 1分 ①当a0时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，又g(1)=0, 所以当0<x<1时g(x)<0:当x>1时g(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以x=1是函数f(x)的极小值点，不合题意.… …2分 ②当a=1时，令g'(x)>0,得0<x<1,g(x)在(0,1)上单调递增：令g'(x)<0,得x>1,g(x)在(1，十∞)上 单调递减，所以g(x)≤g(1)=0,所以函数f(x)单调递减，所以x=1不是函数f(x)的极大值点，不合题意. …3分 ③当0<a<1时，令g(>0,得0<<gx)在(o,)上单调递增：令g()<0,得>，g)在 (日，+∞)上单调递减，由。>1及g1)=0,知当0<<1时g()<0:当1<<时g(x)>0,所以函 数f八)在(0,1)上单调递减，在(1，口)上单调递增，所以x=1是函数()的极小值点，不是极大值点，不 合题意。……4分 【CC·数学（四）参考答案第5页（共6页）】 6C ④当。>1时，令g()>0,得0<x<,g(在(0，)上单调递增：令g()<0,得x> a'8(x)在 (日，十∞)上单调递减，由0<<1及g1)=0,知当>1时g()<0:当日<<1时g(x)>0,所以函 数f(x)在1，十∞)上单调递减，在（日，1）上单调递增，所以x=1是函数(x)的极大值点，满足题意。 综上所述，若x=1是函数f(x)的极大值点，则实数a的取值范围为(1，十∞).…5分 (2)(1)解：①当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 又f)=号<0，当x~十o时，)→十∞：当x0时，x)1,所以函数f)有且仅有两个零点。 …6分 ②当a=0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，又f(1)=号=0，所以f(x)≥0，函数 f(x)仅有一个零点x=0.… …7分 ③当a=1时，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)最多只有一个零点.… …8分 ④当0<a<1时，由(1)知，存在x=(h1>1)是函数f(x)的极大值点，所以函数f(x)在(0,1)，(，+o∞)上 单调递减，在(1，)上单调递增，又f1)=号>0，所以函数f代)最多只有一个零点.…9分 ⑤当a>1时，由(1)知，存在x=t2(0<t2<1)是函数f(x)的极小值点，所以函数f(x)在(0，t2),(1,+∞)上 单调递减，在(，l)上单调递增，当0<x<1时，f(x)=x-x十1+号x(2-x)>nx-x+1= x(nx-1+)=x(上-h-1)>0(利用不等式x>≥1nx十1D,所以fx)最多只有-个零点。 10分 综上所述，若函数f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为（一o∞，0）.…11分 (iⅱ)证明：由(1)知0<x1<1<x2, 由f(2)=2ln2-1=ln4-1>0,得1<x2<2.…12分 又f2-)-fx)=f2-)-f()=[2-m)1n(2-）-号(2-)P+(a-1)(2-)+1]- [n-号+(a-1)+1]=(2-)n(2-x)-xlnm+2-2.…15分 令h(x)=(2-x)ln(2-x)-xnx+2x-2(x≥1)，有h'(x)=-ln(2-x)-lnx=-ln[1-(x-1)2]≥ 一1n1=0,所以函数h(x)单调递增，又h(1)=0,所以h(x)≥0（当且仅当x=1时取等号）.…16分 因为1<x2<2,所以h(x2)>0,即f(2-x2)-f(x)>0,所以f(2-x2)>f(x1). 因为0<x1<1,0<2-2<1,f(x)在(0,1)上单调递减，所以2-x2<0,即x0十>2.…17分 C 【CC·数学（四）参考答案第6页（共6页）】2026年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷（四） 数学 注意事项： 1,本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.复数1一)(2一D的共轭复数的虚部为 A.-3 B.-1 C.1 D.3 2.已知双曲线C,若。千=1a>0)的一条渐近线方程为y=一3，则a= a A.8 B c号 3.已知向量a=(1,一4)，b=(m,-1),定义a⑧b=a2十a·b,若a8b=2,则m A.-19 B.-10 C.-8 D.-5 4.如图，圆柱SO的侧面积为4π，体积为2π，则以圆柱SO的底面为底面的圆锥SO的侧面积为 A.4π B.√5π C.2π D.3π 5.已知(x-1)8=a0十a1x十a2x2十…十a2x2十a8x8,则a1十a2十…十a7十ag= A-2 B.-1 C.1 D.2 6.已知直线y=2x一1平分圆C1:x2+y2-mx-2y十1=0的面积，圆C1与圆C2:x2+y2+ 4x十ny一3=0外切，则n= A.-4 B.-2 C.6 D.7 【2026年冲刺押题卷（四）·数学第1页（共4页）】 7.已知ma+osg=4,则sin(2a+晋） 码本，裙命鞋 sin a-2cos a A.⑤ c n号 8.已知定义域为R的偶函数f(x)在（一c∞，0）上单调递减，若a=f(一13log2),b=f(5.5),c= f(31og210),则 A.c>a>b B.c>b>a C.bac D.b>c>a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.截至到2025年7月7日，江苏省城市足球联赛中13个球队角球排名如下：5,5,5,5,6,7,8， 8,9,9,10,14,17,则 A.该组数据的众数为5 B.该组数据的极差为12 C该组数据的平均数为曾 D.该组数据的第40百分位数为7 10.已知前n项和为Sn的数列{an}满足2"a1十2-a2十…十2a-1+2an=4"-1,则 A.数列{an一1}是等比数列 B.S=421+” 3 2 1 C.数列 1og(4an-2)1og(4am1-2)} 的前18项和为}8 D.存在互不相等的正整数p,q,r,使得ap,a,a,成等差数列 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点B(一1,0)的直线与抛物线C交于P,Q两点，异于 P,Q两点的点A(t,2)在抛物线C上，则 A.t=1 B.直线PA与AQ的斜率之和为4 C△APF与△AQF的面积之比为别 D.过点P,Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M,N两点，则点M,N的横坐标之积 为1 【2026年冲刺押题卷（四）·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.集合A={x|x3一2x2十x=0}的真子集的个数为 13.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,bc,若a=22,osA=},则△ABC面积 的最大值为 14.已知直线y=x是函数f(x)=(x+a)e和函数g(x)=lnx十b图象的公切线，则2a+3b= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=3sin(ax一否)(w>0)图象的相邻两对称轴之间的距离为受 (1)求w: (2)将函数f(x)的图象向左平移牙个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原 来的}（横坐标不变），得到函数g(x)的图象，若g()一m<1在[一受，若]上恒成立， 求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B,C中，AC⊥BC,AC=BC=1,AA1=2,AE=EC,CF=FB. (1)证明：EF∥平面ABC; (2)求直线AC,与平面CEF所成角的正弦值. 【2026年冲刺押题卷（四）·数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，每颗骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6. (1)若抛掷一次，求这两颗骰子朝上一面的数字之和是3的倍数的概率； (2)若重复抛掷n(n∈N·)次，记这两颗骰子朝上一面的数字都是奇数、都是偶数、一个奇数 一个偶数的次数分别为X,Y,Z.证明：E(X)十E(Y)=E(Z). 18.(本小题满分17分)》 设椭圆C:后+芳=1(a>6>0)的离心率为2，点（停6，-号）在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (②)若点T%)是椭圆C上任意一点，则椭圆C在点T处的切线方程为+岁-1.已 知点P为直线x=(其中c=√a2一仔)上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切 点分别为M,N,O为坐标原点，直线OP与直线MN交于点D. (i)若F(,o）,F(,O),求DF+DF,的值： (1)若E是圆(x-2)'+(一)°=1上的动点，求DE的最大值。 19.(本小题满分17分)》 已知函数f(x)=znx-受r2+(a-1)x+1, (1)若x=1是函数f(x)的极大值点，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)有且仅有两个零点x,x2. (i)求实数a的取值范围； (i)证明：x1十x2>2. 【2026年冲刺押题卷（四）·数学第4页（共4页）】