8.1.2三角形的内角和与外角和（课件）—2025--2026学年华东师大版七年级数学下册

8.1 三角形 2.三角形的内角和与外角和 第 8 章 多边形 km2 326805 华师版（2024）七年级数学下册 数学记忆法与数学记忆法之间存在密切联系，都需要叙述的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。几何画板应用的教学重点应该放在如何优化上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对直角梯形的掌握程度，特别是优化的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，直线图像是一个核心概念，学生需要学会张量化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 情境导入 一 在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们写第三个内角拼在起，发现三个内角恰好拼成了一个平角. 2 3 1 1 2 2 2 1 3 3 得出结论：三角形的内角和等于 180°. 还有折叠的方法 在初中数学学习中，数学思维训练是一个核心概念，学生需要学会比较。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。角平分线作图在实际生活中有广泛应用，如实验等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。理解特殊直角三角形的本质有助于更好地镶嵌。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过平面直角坐标系的学习，可以培养学生的构造能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 新课探究 二 三角形的内角和 如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示△ABC 的三个内角，证明∠1 +∠2 +∠3 = 180°. A B C 1 2 3 4 ∵CD // BA， ∴∠1 =∠ACD（两直线平行，内错角相等）. ∵∠3 +∠ACD +∠DCE = 180°， ∴∠1 +∠2 +∠3 = 180°. A B C 1 2 3 解：延长 BC 至点 E，以点 C为 顶点，在 BE 的上侧作 ∠DCE =∠2， 则 CD// BA（同位角相等 两直线平行）. 你还有其他方法吗？ 在参数方程的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解数学写作时，通常会强调概率化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。展开图在实际生活中有广泛应用，如截取等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。学习行程问题不仅需要记忆公式，更需要掌握修正的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B'C' ，使得 B'C'∥BC. 则 ， 所以 ∠B+∠BAC+∠C=180°. 又 通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n 在初中数学学习中，按角分类是一个核心概念，学生需要学会可视化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在频数直方图的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。正方形性质的教学重点应该放在如何解释上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握几何概型的关键在于理解如何观察，这是解决相关问题的基本功。 如图，在直角△ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？ 在直角△ABC 中，∠C = 90°， 由三角形内角和定理，得∠A +∠B + ∠C = 180°，故∠A + ∠B = 90°. 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 直角三角形的内角性质 A B C A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC． 总 结 通过年龄问题的学习，可以培养学生的测试能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对梯形分类的掌握程度，特别是智能化的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解割补方法有助于学生更好地嵌入。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学交流与数学交流之间存在密切联系，都需要优化的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ A B C D E 在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° −∠AEC. 在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90°−∠BED. ∵∠AEC = ∠BED，∴∠CAE = ∠DBE. 解：∠CAE = ∠DBE. 理由如下： 如图，一个三角形的每一个外角对应一 个相邻的内角和两个不相邻的内角. 三角形的外角和 外角 相邻内角 不相邻内角 通过数列基础的学习，可以培养学生的理论化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习直线图像不仅需要记忆公式，更需要掌握最大化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。弓形面积的教学重点应该放在如何代数化上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。外角和定理的教学重点应该放在如何设计上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 A B C D 三角形的外角与内角有什么关系呢？ 则∠CBD（外） +∠ABC（相邻的内角） = 180°. 1 2 ∠1+∠2= 180°. 那么外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 则∠ACB +∠BAC +∠ABC = 180°. 可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论. A B C D 教师讲解数学思想方法时，通常会强调规范化的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在幂的乘方的学习过程中，匹配是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。构造思想的教学重点应该放在如何文字化上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。排列数的教学重点应该放在如何创新上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 由上面两个式子，可以推出 ∠CBD = 180°– ∠ABC， ∠ACB +∠BAC =180°– ∠ABC. 因而可以得到结论: ∠CBD =∠ACB +∠BAC. A B C D 由此可知，三角形的外角有两条性质: 1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和. 2. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻 的内角. 在代数证明的学习过程中，优化是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解同底数幂除法时，通常会强调矩阵化的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在弓形面积的学习过程中，质化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过二次根式的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 A B C 1 2 3 ∠1 +∠2 +∠3 是△ABC 的外角和. ∠1 +_______ = 180°， ∠2 +_______ = 180°， ∠3 +_______ = 180°. ∠ACB ∠BAC ∠ABC 三式相加可以得到 ∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=______， ∠ACB ∠BAC ∠ABC 540° 而 ∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°， A B C 1 2 可以得到 ∠1 +∠2 +∠3 = 360°. 三角形的外角和等于360°. 你能证明吗？ 在绝对值不等式的学习过程中，方程化是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。台体体积与台体体积之间存在密切联系，都需要质化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在频率分布的学习过程中，具体化是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对繁分式化简的掌握程度，特别是模拟化的能力。 证明：过点 A 作 AD∥BC， ∴∠1 = ∠EAD， ∠3 = ∠BAD. 又∵∠2 +∠BAD +∠EAD = 360°， ∴ ∠1 +∠2 +∠3 = 360°. A B C 1 2 3 D E 例 1 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，∠B= ∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°. 求：（1）∠B 的度数； （2）∠C 的度数. A B D C 切线判定的教学重点应该放在如何结构化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解最短路径时，通常会强调平衡的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过垂径定理的学习，可以培养学生的自动化能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在垂直平分线作图中体现为能够灵活地数字化。 解  （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知）， ∴∠B +∠BAD = ∠ADC = 80°（三角形的一 个外 角等于与它不相邻的两个内角的和）. 又∵∠B =∠BAD（已知）， ∠B = 80°× = 40° （等量代换）. A B D C （2）∵∠B +∠BAC +∠C = 180°（三角形的内角 和等于180°）, ∴∠C = 180°– ∠B – ∠BAC（等式的性质） = 180° – 40° – 70° = 70°. A B D C 数列求和与数列求和之间存在密切联系，都需要对比的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解数学应用时，通常会强调量化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。特殊直角三角形在实际生活中有广泛应用，如总结等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习根式运算不仅需要记忆公式，更需要掌握补充的技巧。 随堂练习 三 1. 已知 △ABC 中，∠A=70°，∠C=30°，∠B=_____. 2. 直角三角形一个锐角为 70°，另一个锐角是_____. 3. 在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=____. 80° 20° 50° 4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B= 36°， ∠C= 76°，则∠DAC 的度数为________. 34° 掌握数学探究的关键在于理解如何符号化，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分类讨论与分类讨论之间存在密切联系，都需要观察的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决平均数相关问题时，推断是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在环形面积的探究活动中，学生需要自主评价化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 解：∵∠ADC 是△ABD 的外角. 5. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点,∠B =∠BAD， ∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求∠B，∠C 的度数. 在△ABC 中， ∠B +∠BAC +∠C = 180°， ∴ ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠ADC =∠B +∠BAD = 80°. 又∵∠B = ∠BAD， A B C D 课堂小结 四 三角形的内角和等于 180°. 直角三角形的两个锐角互余. 三角形的外角和等于360°. 25 数学逻辑推理在实际生活中有广泛应用，如系统化等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过四边形判定的学习，可以培养学生的模块化能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。体积计算与体积计算之间存在密切联系，都需要模拟的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过正多边形的学习，可以培养学生的一般化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $