河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期期中模拟数学试题

**基本信息** 融合数学史（高斯倒序相加）、现实应用（购车贷款方案）与科技前沿（牛顿迭代法），梯度设计考查数学思维（推理、运算）与创新意识，适配高二期中核心知识检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|导数、等比数列、统计|第2题以等比数列考查充要条件，体现逻辑推理| |多选题|3/18|回归分析、数列性质|第9题结合异常点分析回归直线，强化数据观念| |填空题|3/15|等比数列求和、等差数列|第14题递推数列求最值，考查抽象能力| |解答题|5/77|切线方程、数列求和、统计案例、牛顿迭代|19题融合数学史与迭代思想，发展创新意识|

2026年春期高二年级期中模拟考试 数学学科 考试范围：选择性必修一第七章——选择性必修二第二章第四节 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的导数（    ） A． B． C． D． 2．设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中正确的是（   ） A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量没有关系 B．在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C．在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和 5．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是（ ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 7．高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他是这样算的:，共有50组，所以，这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称，为数列的前项和，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 8．已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法中正确的是（    ） A．回归直线恒过样本点的中心． B．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1． C．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点． D．在22列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍（，其中）． 10．下列命题正确的是（   ） A．已知函数满足：，且，则 B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．已知，则 D．直线上的点到曲线距离的最小值为 11．等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（    ） A．是数列中的最大项 B．是数列中的最大项 C． D．满足的的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知等比数列的前项和为，若，则______. 13．已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是______． 14．数列满足，，若成立，则正整数的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知（为自然对数的底数），，若直线是与的公切线，求的方程； 16．（15分）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 17．（15分）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18．（17分）已知满足，且 (1)求和； (2)求的前项的和； (3)若，求. 19．（17分）曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决实际问题： (1)对于函数，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”. ①设函数，记的“切线轴数列”为； ②设函数，记的“切线轴数列”为， 则，求的通项公式. (2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明：.（注：当时，恒成立，无需证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案 1.【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】B 【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，，，不符题意；所以，解得， 所以．所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即，求得，故，所以． 4.【答案】D 对D，由，，且，若线性回归方程为， 则，即，的值分别是和，故D正确. 5. 【答案】B 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得，所以前项的和为，解得. 6.【答案】D 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为，则，，则，， 则，同理得，，……，，所以数列是以为公比的递增等比数列，则有，得，所以每月还款的本息和为，所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元），故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 7.【答案】C 【详解】对于A，因为函数的图象关于点对称，所以，令， 所以，故A正确； 对于B，因为所以 因为，所以即，故B正确； 对于C，由题可知，当时，，当时，，取时，，满足此式，故的通项公式为.所以， 而，所以.故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 因为，所以，即，故D正确. 8.【答案】B 【详解】对A、B：由，则，故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确、B错误； 对C：，则，故C正确； 对D：，则，故D正确. 9.【答案】ABC 【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，正确； 对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近，正确； 对于C，回归直线方程为，当时，，所以，即，去除一个异常点后，，可得新的均值为， 即新的回归直线必过点，所以C正确； 对于D，若每一个数据均变为原来的3倍，则 所以选项D错误. 10．【答案】ABC 【详解】对于A，由于，两边求导，得，令，分别得，，由，可得，所以，故选项A正确； 对于B，函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数，在处的切线为，该切线与函数的图象还有一个公共点，故选项B正确； 对于C，，故， 所以， ，故选项C正确； 对于D，由函数 得，令，解得，则，， 所以函数在处的切线方程为，即，又由直线与之间的距离为，即直线上的点到曲线距离的最小值为，所以D错误. 11．【答案】ACD 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴，， 对于A，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列中的最大项，故选项A正确； 对于B，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确； 对于D，∵，∴，解得，. 12． 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足，又因为，所以. 13【答案】 【详解】根据等差数列的前项和满足恒成立，可知且， 所以且，解得． 14．【答案】10 【详解】由，则，即， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，故； 则， 则， 令，解得，故正整数的最大值为. 15．【答案】（1） (2)或. （1）（1），则， 时，，，所求切线方程为，即； （2）解：设与的切点 又 切线方程为：，即① 设与切点为 切线方程为：，即② 由题知，①，②都是的方程，则有 ， 消去得，即，解得或 当时切线方程为 当时切线方程为 综上，直线的方程为或. 16．【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，当时，则； 当时，则， 可得；综上所述：. （2）因为，当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ；综上所述：. 17．【答案】(1)更适合，(2)不能 【详解】（1）由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 由，得到，因为，则， 则，所以，则. （2）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联. 18．【答案】(1),(2)(3) 【详解】（1）当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，， 于是：，，故，即， 数列是首项为，公比为2的等比数列，所以. . （2） 奇数项的和：， 偶数项的和：， 所以. （3）， ，，则. ，， 两式相减可得， . 所以. 19．(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题意则. 设切点为 则过切点的切线为 令，整理得， 所以. 由题意则. 设切点为则过切点的切线为. 令整理得 所以. 对于当是正奇数时；当是正偶数时即 . 所以 两式相减，得 所以. （2） 因为二次函数有两个不等实根, （3） 所以不妨设， 则， 因为所以 所以在横坐标为的点处的切线方程为 令则 即， 因为 所以. 因为所以 所以. 令则，又 所以，数列是公比为2的等比数列. . 由因为所以即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $