2026年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷(二) 数学

参考答案·数学（二） 1B南1-=(：-得=已云1，所以=号放选B 2A因为M={a2片>0=z-2<x<1.N=2-2x-3<0)=-1<x<3,所以MnN= {x一1<x<1}.故选A 3.D因为y=1ogx在(0，十∞)上单调递增，f(x)=log2(ax一x2)在区间(0,1)上单调递增，所以y=x(a一x) 在区间(0,1)上单调递增，所以号≥1，a≥2.故选D. 4A由C的方程知6号，又=厅，所以4=2.由C的方程知e=。平，所以a=1.放选A a 5.C因为a+b=(2+A,1-3),a+b=(2+14-3),(a+b)⊥(a+b),所以(2+A)(2+1)+(1-3A)(-3) =0,所以=101+54-1，所以（只-10）(-5）=110必+50=49，a-5)(4-10)=4-10x 入2 5+50=-1+50=49.故选C. 6.C由圆锥S0的底面半径为1，母线长为3，得高为22，设圆柱00，的底面半径为高为九，则<1，一= 2E_h,=221-r）,圆柱00，的侧面积S=2xh=42x1-),所以r=号时，Ss=E元故选C 2√2 7.B函数=a+2n一2在x∈[日e]内有两个零点，即a=2-21nx∈[，e]小有两解，令fx)= 2-2h,则f()2D,当r[,1)时，f)<0,当xe1,d时f>0,故当x=1时./x) 取最小值1，由f()=是+2，f(e)=e-2,故当x=e时，f(x)取最大值e-2,故a∈(1，是+2.故 选B. 8D由正孩定瑶：品合岩所以血B=雪血A又而血及-5血A=1,所以血A=, mB=正，因为a<b,所以A是锐角，sA=平，当B是镜角时，0osB=5,sinC=sin(A+B) 4 sin Acos B+-cos Asin B=-l,与条件不合，所以B是饨角，cosB=-⑤ ￥，sinC=sin(A+B)=sin Acos B+ cos Asin B子，所以S-inC-F故选D 9.ACD不妨设≤x2≤x≤x4≤≤x6≤x7≤x8,则x1=2,x8=6,因为2，x,x4,x5,x6,x7与x1,2,·, 的中位数都是士，所以m=,A正确；当=1=2，=，=6时，1=4，所以B结误；由条件 知(x1一4)2+(x2-4)2++(x8-4)2=8s号，因为(x1-4)2=(8-4)2=4,所以(2-4)2+(x3-4)2+…+ (,-4)=8时-8，所以余下6个数据的方差子=85.8“。，所以3=4树-4K4,C正确 6 【CC·数学（二）参考答案第1页（共6页）】 6C (x1一4)2+(2一4)2+…+(8一4)2_4+(2一4)2+…+(x一4)2+4 8 =1+-4)2+一4)2++(-42≥1，D正确.故选ACD 8 10.AC由条件知=2,6-=1，两式联立，得6=一8k,或6=-警；当6=一8时=，所以 √+I ”+I k=F68,或k=吾，6=8压，当b=警时，发=号，所以=96=89，或= 一396-89，所以，6有4组值，A正确：当直线y=c与圆C相切时，6：=市所以=号时，直线 7 y=kx与圆C不相切，B错误；由b>2知直线y=b与圆O和圆C都没有公共点，C正确；由圆O和圆C的 圆心都在x轴上，且两圆上距离最小的点为(2,0)，(3,0)，所以与两圆都相切的圆中，最小的半径为2，面积 最小为，所以D错误.故选AC 1.ACD老师不排在两端的概为青=号，A正确：先排甲，乙、丙之外的3人，有A=6种，形成了4个空。 在这4个空中排甲，乙，丙，方法有A=24种，所以甲、乙，丙互不相邻的排法有14种，概率为是=号，B 错误；甲、乙、丙连排在一起有A=6种，把甲、乙、丙看作一个整体，再和其他三人一起排，有A=24种，所 以学生印，乙.丙连排在一起的概常为X得=号.正确：从学生甲，乙、丙中任选出2人看作一个“整休” 方法有A=6种，先排教师和余下的两人，有A=6种，形成了4个空，将整体和另一个人插在4个空之间， 有A=12种，所以满足条件的排法有6×6×12=432种，若老师排在两端，有AA=4种，形成了3个空， 将整体和另一个人插在3个空中，有A=6种，满足此条件的排法有6×4×6=144种，所以满足条件的排 法有32-14=288种，概*为爱-号.D正散迹ACD. 12号2025=+253×2，由f(x-2)=fx)知1)的周期为2，又f(x)是偶函数，所以f(2025) ()=(-4)=()-√2-子=号 13. 设{an}的公差为d,则a+3d=10,5a1+10d=30,所以a1=-2,d=4,所以an=4n一6，Sn=22-4n, 25,+2a.+11=r-1=(2m-1D2m+1),25.+2a.+m-2r-2n+d=号(2-2），T.= (1-号+号-吉++3）=(1-3)<号<，的最小值为宁 14.4由抛物线C=2px(p>0)的准线方程为x=一2知p=1,y=2x.设点A,B的坐标分别为（受，m), (贷)，有得-盖-1，得m=-4,当m十a0时，直线AB的方程为y一m子（：一受).可得 y。十代人0m=-4可得y=产（一2》.可得点P的坐标为2,0，有成=函 又6=-1，所以+6=i2_4十+2=4，当m十=0时，易得十 4k5 (1+k)(1+) 好+蝇+2 d=4. dc 【CC·数学（二）参考答案第2页（共6页）】 15.解：(1)用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6,7,8，已知高一学生人数为600，所以高二、 高三学生人数分别为700,800，… …2分 133 综合体育活动时间五天内不低于10小时的人数，高一高二高三占比分别为之，号，8，…4分 由6001-2)=30,701-号)=40,8001-g)=500,知 估计高一、高二、高三学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300,400,500. ……6分 (2)平均每天的体育活动时间达到通知要求的，高三有3人，另5人没有达到要求， 所以X的可能取值为0,1,2,3， …7分 C C856 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 15 15 1 2 6 所以EX)=0+1×员+2×+3X品=号 13分 16解：因为g)=号m2z的最小正周期是音，热= 3 tan 号=1， 所以f(x)的最小正周期为，且f(石)=1， …2分 所以经=x,2sn（(告o十0）=1， …3分 又0<交，所以w=2,0=- 6 4分 所以f()=2sin(2x-否)， 5分 由2kx-受≤2红-≤2十受，k∈Z,得kx-≤≤km+，k∈，… 6分 所以f(x)的单调递增区间为[km一吾，k+吾]，k∈乙 7分 (2)设{a}的公比为g,则a4=a1d,即于g=2x,所以q=2,… 8分 所以a=2'x 4 9分 a1==a=元，>4时a=2…2x,… 10分 aa)=,ac:)=受afa)=-x显然T,T,I都大于5-00》≤，1分 所以≥4时，.=afa)+afa)+aa)+…+afa,)-+号-2x--2x=2+ 4 -x(2°+2十+25)=(2+B)-(2-8-10元， 13分 4 【CC·数学（二）参考答案第3页（共6页）】 6C 由T.<5-10)匹得20>106， 14分 因为2”随增大而增大，26=64,22=128，所以n的最小值为7.…15分 17.(1)证明：因为在梯形ABCD中，BC⊥AB,BC⊥CD,AB=2BC=2CD=2,点E是AB的中点， 所以四边形BCDE是正方形，所以DE⊥AB,… 1分 所以将△ADE沿DE折起到△PDE的位置时，DE⊥PE,DE⊥BE, 2分 又PE∩BE=E,PE,BEC平面PBE,所以DE⊥平面PBE. 3分 (2)解：由(1)知∠PEB是二面角P-DE-C的平面角，∠PEB=匹， 39 4分 在△PEB中，PE=BE=1,PB=√PE+BE-2PE·BEcos∠PEB=√5， 在△PED和△DEB中，PE=BE=DE=1,DE⊥PE,DE⊥BE, 所以PD=BD-反，所以△PBD的面积为厘， 在平面PBE中，作PF⊥BE,与BE的延长线交于点F, 则PFL平面BCDE.由PE=1知EF=,PF=, 7分 △BCD的面积为2， 设点C到平面PBD的师离为d,由三棱雏P-BCD的体积得了S△md=子Sam·PF, 所以点C到平面PBD的距离d= 5 8分 (3)解：以ED,EB为x轴，y轴，过E与PF平行的直线为之轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 则E00,0,D10.0,B0.1,0.C11,0.P(0,-,号） 所以P心=(1，是，)P成=(o,是，)，Pi=(1,,). …9分 设n=(x,y,z)为平面PBC的一个法向量，则 n…Pt=0, 2=0, 即 取y=1,则n=(0,1W3), 12分 In.PB=0, 3 - =0. 同理可求出平面PCD的一个法向量m=(5,0,2), 所以cos〈m,n》=m·n 1m·n -21 7 14分 所以二面角B-PC-D的正弦值为√1-(4)=29 ……15分 18.解：(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=2ae2+2a(2x-1)e2-2x=2x(2ae2-1),…1分 因为直线y=2是曲线y=f(x)的一条切线，设切点为(xo,%),所以f(x0)=2xn(2ae2o一1)=0，且=2， 所以w=0或ae20=号，且f()）=2,…2分 C 【CC·数学（二）参考答案第4页（共6页）】 当xo=0时，f(x0)=1-a=2,a=-1, 当ae2=含时)2021-8+1=是-(w-含》<2， 2 3分 所以a=-1.……4分 (2)f'(x)=2ae2r+2a(2x-1)ex-2x=2x(2ae2r-1),当a≤0时，2ae2x-1<0,所以x>0时，f(x)<0: x<0时，f(x>0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递减，在（一∞，0）上单调递增.…5分 当u>0时，由了()=0得=0或=2n云 1 当a=2时2=0，(x)>0,所以fx)在R上单调递增；…6分 当0<a<分时，2n>0,且x<0或x>合1n云时.了(x)>0:0<x<2n高了()<0jx)在 （一o,0)和（宁h云十o∞）上单洞递增，在0,21n公上单调递减…8分 当a>含时，2n品<0，且x<n六或x>0时，f(x)>0:受na<<0,了(x)<0,j)在 (-,n云)和(0，十o)上单调递增，在（宁n方，0）上单调递减。…… …9分 综上.当a<0时，)在0，+o∞)上单调递减，在(-，0上单调递增：当0<a<分时，在(-o0)和 (合h方十∞)上单调递增，在(0，血云)上单涧递减：当a=合时，)在R上单调递增：当a>号时， fx)在(-0，n品)和0，十∞)止单调递增，在（号n云，0）上单满递减 …10分 (3)由x>0时，f(x)>0得，f(1)=ae>0,所以a>0,… …11分 所以由f(x>0得<(2x-1Dc, 所以当>1时<，当0长1时>巴=》e x2-11 13分 a 令)-2e则-e-221DE2ex-2-D (.x2-1)2 (x2-1)2 …14分 由>0,2r-2x-1>0得心1+E 2 当0<<1或1<x<1时g)<0当>1时g(>0. 所以gx在(0.10和(1，）上都单调递减，在(，十)上单调递增，…15分 所以当0<x<1时，g()<g(0)=1,则。1，① 当x>1时，g(x)≥g(古3）=2e中，则日2e+,② 16分 由①®得实数a的取值范围足(2,1] 17分 2a=25, 1a2=3, 19.解：(1)由题意得 2 解得 2分 62=1, 【CC·数学（二） 参考答案第5页（共6页）】 所以C的标准方程为写十=1.… 3分 y=kx+m, (2)(1)由 消去y,得(3k2+1)x2+6km.x+3m2-3=0, 5分 1x2+3y=3 x1十x2= -6km 3k2+1' △=12(3k2-m2+1)>0, 6分 西·-3m3 3k+1 1MN刘=+1a-=25·/1+.33m+五 3k2+1 8分 又点O到直线MN的距离d=m √+I 所以Saw=号·MN1d=子·25.十E,五.m 3k2+1 2+ī2· 所以(m2_3,+中1)}=0，㎡=3+1， 2 2 所以x月+x=(x1十x2)2一2x12=(（ -6km12 3k2+1 +-1器-器胃-8…16分 3k2+1(3k2+1)2 (i)由(i)知y2=(kx1十m)(kx2+m)=k2x1x2十mk(x+x2)+m2 k2(3m2-3）62k2 3k2+1 3k2+1 +m=3k 3k+1, 由业=m2-3k2 3k2+1-3k2 2 x12 3m2-3 3(3+D-3 3 ……11分 设直线OM的斜率为t,则PQ:y=t(x十5)，ON:y=一 y=(x十3)， 联立 消去y,得(3+1)x2+652x+9-3=0. x2+3y2=3 xp·tQ= 92-3 312+ixp=-3, 所以xQ= 3(1-3)=231 3P+1,0=3+1 又P(-3,0),所以P=(23.23L)】 3+1'302+1, 13分 -352 y= 由 31, IR- 312+1 得 所以R(3312,3L 3+1312+1 …… 14分 y=t(x+3) 3 yR 3t2+1 15分 所以P=2P求， 16分 所以保-2 17分 dc 【CC·数学（二）参考答案第6页（共6页）】2026年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷（二） 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3,非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数z满足(1一i)z=(之一i)i,则乏 A号+号： B3- C+ 2已知集合M={z2+0N=zr-2x-3<0,则MnN A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-1<x<3} D.{x-2<x<3 3.设函数f(x)=log2(ax一x)在区间(0,1)上单调递增，则a的取值范围是 A(-∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞》 么设双曲线C号-号=1a>0).C:号-了=1的离心率分别为白6，若e1=5,则a= A.1 B.√2 C.√3 D.2 5.已知向量a=(2,1),b=(1,-3),若(a十b)⊥(a十b),则 A(侵-10)（分-5）=-49 &(侵-10（分-5）=-50 C.(入-5)（μ-10）=49 D.(入-5)(4-10)=50 6.已知圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，圆柱OO,的下底面在圆锥SO的底面上，上底面 圆O,的圆周在圆锥SO的侧面上，则圆柱OO1的侧面积的最大值为 A.π B☑ C.√2π D.√3π 【2026年冲刺押题卷（二）·数学第1页（共4页）】 7若函数y=a+2hx一2在[e]内有两个零点e=2718…是自然对数的底数，则实数a 的取值范围是 A.(1,e2-2] B（1,+2 c(+2e2-2] D.(3,e2-2] 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=√3，b=√5，√10sinB-√6sinA=1, 且sinC<1,则△ABC的面积为 A.5 4 B.15 5 C.v15 6 D①5 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.有一组样本数据，x2,…,x8,其平均数为4，方差为s,中位数为m.在这组数中，去掉一个最大 的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n,方差为s2,极差为t,则 A.m=n B.t<4 C.3s2<4s D.s≥1 10.已知直线1：y=kx十b与圆O:x2+y2=4和圆C:(x一4)2十y2=1都相切，则 A.(k,b)的值有4组 B.直线y=kx与圆C相切 C.直线y=b与圆O和圆C都没有公共点 D.与圆O和圆C都相切的圆中，半径最小的圆的面积为π 11.甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则 A老师不排在两端的概率为号 B学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为4 C学生甲，乙、丙连排在一起的概率为 D,.老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率 25 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x一2)=f(x),当1≤x≤2时，f(x)=√2一x, 则(225)= 1 13.已知等差数列{a,的前n项和为S.,且a,=10.S,=30,数列{2S,十2a.十}的前n项和为 Tn,若Tn<t,则t的最小值为 【2026年冲刺押题卷（二）·数学第2页（共4页）】 14.已知抛物线C:y=2z(p>0)的准线方程为x=一2，O为坐标原点，A,B是C上的两点， 记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=一1，直线AB与x轴的交点为P,点P到直 线OA,OB的距离分别为d1,d2,则d诣+d的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动 时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）.接通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个 年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下 表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求， 高一年级 1012.589.5911 高二年级 7.588.5109.51112 高三年级 74.5657.510.51112.5 (1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间 没有达到“通知”要求； (2)从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中每天综合体育活动时间达 到通知要求的人数为X,求X的分布列和数学期望。 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2sin(r+0)(w>0,0l<5)的图象与函数g(x)=, tan2x的图象的一 个交点为（否），且函数f(x)的最小正周期是函数g(π)最小正周期的2倍. (1)求函数(x)的单调递增区间； (2)若在等比数列{a,}中，a1=平，a4=2r,数列{a,f(a,)》的前n项和为T,求满足T.< 3-100)的n的最小值. 4 【2026年冲刺押题卷（二）·数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 如图，已知梯形ABCD中，BC⊥AB,BC⊥CD,AB=2BC=2CD=2,点E是AB的中点，将 △ADE沿DE折起到△PDE的位置，使二面角P-DE-C的大小为？ (1)证明：DE⊥平面PBE; (2)求点C到平面PBD的距离； (3)求二面角B-PC-D的正弦值， 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=a(2x一1)e2一x2+l,a∈R,e是自然对数的底数. (1)若直线y=2是曲线y=f(x)的一条切线，求实数a的值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若x>0时，f(x)>0,求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C后+芳=1(a>6>0).C上一点（厄，受）到其两焦点的距离之和为25. (1)求C的标准方程； (2)设直线y=kx十m与C的两个交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),M,N都不是C的顶 点，O是坐标原点，△MON的面积为号，P为C的左顶点。 (i)求x十x号的值： (1)过P作PQ/OM,交C于另-点Q,交直线ON于点R,求 【2026年冲刺押题卷（二）·数学第4页（共4页）】