重难点07 B卷填空压轴-2026年成都中考专项练习

B卷填空压轴 一、【一次函数规律探寻】 1．如图，在平面直角坐标系中，，，，都是等边三角形，点B的坐标为，点，，，都在直线上，点，，，，都在x轴上，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】作轴，交轴于点，设，易求，从而，根据等边三角形和外角的性质，可得，进而，，求出，同理可求，，，，观察得出规律，即可求解． 【详解】解：作轴，交轴于点， B的坐标为 ， 点在直线上， 设， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，，， ， 点的坐标为． 2．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 首先根据是边长为2的等边三角形，求出和的坐标．然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； ……， 由此可知，的横坐标为， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，…则依此规律，的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的规律问题．由得到，进而找出规律，可知，，求出的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 同理可得，，，…， ， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 4．如图，直线，点坐标为．过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点，再过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理以及点的坐标规律，根据点的坐标的变化找出坐标的变化规律是解题的关键． 由点的坐标可得出点的坐标，利用勾股定理可得出点的坐标，同理可得出点，，，，，的坐标，根据点的坐标的变化可找出规律：点的坐标为，依此规律即可得出结论． 【详解】解：点的坐标为，轴，且点在直线， 点的坐标为， ， 以长为半径画弧交轴负半轴于点， 点的坐标为， 同理：，， 点的坐标为，即点的坐标为， 当时，点的坐标为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第三象限， 又∵第三象限的点，点，…… 设点的下标为n， ∴可得横坐标为：，纵坐标为， ∴点． 故答案为：． 二、【反比例函数规律探寻】 6．如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 【答案】 【分析】由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形，设点坐标，代入中计算求解，然后求出，，，的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形， 联立，得，解得：， ∴， ∴， 设，则有 解得或（舍去） ∴ 设，则有 解得或（舍去） ∴ 同理可得 ∴ ∴ 当时，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，反比例函数与几何综合．解题的关键与难点在于求解的坐标，推导一般性规律． 7．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________． 【答案】 【分析】先分析第一个等腰直角三角形，设直角顶点坐标，利用中点坐标公式得到斜边中点坐标，代入反比例函数求出第一个中点的纵坐标； 用相同方法求出第二个、第三个中点的纵坐标，观察并归纳出第个中点纵坐标的表达式；将代入表达式，计算最终结果． 【详解】解： 设的直角顶点的坐标为，则的坐标为， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，即，解得， ． 的坐标为，设的直角顶点的坐标为， 是等腰直角三角形， ，则的坐标为， 是斜边的中点， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，解得， ． 同理，可求得第三个中点的纵坐标， 由此归纳得出第个中点的纵坐标为：． 当时，． 8．如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交x轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交x轴于点，得到第三个等边；以此类推，…，则点的坐标为______． 【答案】 (2,0) 【分析】作轴于点C，设，则，可表示点，即可求出，进而得出点的坐标，仿照上述过程求出点的坐标,然后根据此规律可得答案． 【详解】解：如图所示，作轴于点C，设，则， ∴． ∵点在双曲线上， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴点的坐标为． 作轴于点D，设，则，． ∵点在双曲线上， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴点的坐标为, 同理可得的坐标为, 的坐标为, 的坐标为． 9．如图，已知是轴上的点，且，分别过点，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，过点作于点，过点作于点记的面积为的面积为的面积为，则等于___________． 【答案】 【分析】由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底高，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． ∴． 10．如图，都是等腰直角三角形，直角顶点都在函数的图像上．若三角形依次排列下去，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，掌握等腰直角三角形的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 过点作轴，可知点坐标为，点坐标为，求出直线的解析式为，根据，求得直线的解析式为，联立直线与反比例函数的解析式，求得点坐标为，点坐标为，同理可求得点坐标为，点坐标为，依此类推，可知点的坐标是． 【详解】解：如图，过点作轴， 由图可知点坐标为，且点为的中点， 点坐标为， 可知点坐标为， 直线的解析式为， ， 的解析式与的解析式一次项系数相等， 设的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为， 联立直线与反比例函数的解析式，得， 化简得， 解得或（不合题意，舍去）， 点坐标为， 点坐标为， 同理可求得点坐标为，点坐标为， 依此类推，点的坐标是． 故答案为：． 三、【新定义下数与式计算】 11．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，且满足，则称为“比合数”．例如：5431，因为5431各个数位上的数字互不相等，且，所以5431是“比合数”．最小的“比合数”为___________；将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新数，记，若是一个自然数的平方，则满足条件的最大的数为___________． 【答案】 1024 5248 【分析】设是最小的“比合数”，则，要尽量小，得出，，进而求出满足题意的的最小值，即可求出最小的“比合数”； 由题意得，，，则，再根据是一个自然数的平方，得出或，再结合是最大的数，分别求出满足题意的的值，即可得出答案． 【详解】解：设是最小的“比合数”， 则，要尽量小， ∴，， ∵， ∴， ∵互不相等， ∴最小可取2， ∴， ∴最小的“比合数”是1024； 由题意得，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且不相等， ∴（当时最大只能取8）， ∴， ∵是一个自然数的平方， ∴或， ∴或， ∵是最大的数， ∴， 当时，，则，不存在满足题意的； 当时，，则，当，时，有最大值5248， ∴满足条件的最大的数为5248． 12．我们规定：如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数为“和九数”，并把数分解成的过程，称为“和九分解”．例如：因为，33和36的十位数字相同，个位数字之和为9，所以1188是“和九数”，1188分解成的过程就是“和九分解”．按照这个规定，最大的“和九数”是____________．把一个“和九数”进行“和九分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的自然数的最大值为____________． 【答案】 【分析】先确定最大的十位数字，再结合二次函数性质和A个位不为0的条件求解；求满足被3整除的最大A时，先根据定义推导的表达式，再从最大的十位数字开始逐一验证，得到符合条件的最大值即可． 【详解】解：设与的十位数字为，的个位数字为，其中，，均为整数，根据定义可得的个位数字为，因此，， 要使最大，需取最大值，即， 则， 当或时，取得最大值，此时的个位数字为，不符合要求， 当或时，，个位不为，符合要求，因此最大的“和九数”为； ∵，， ∴， ∵能被整除，与互质， ∴为整数， 要使最大，从最大的开始验证： 当时，，为质数，不存在使为整数，不符合； 当时，，为质数，不存在使为整数，不符合； 当时，，此时，要使该式为整数，则或， 若，得或，此时，个位为，不符合要求， 若，得或，此时，个位不为，符合要求． 13．若一个四位自然数的千位数字与个位数字的差的2倍等于百位数字与十位数字的和，则称这个数为“和二数”．例如：四位数是“和二数”．按照这个规定，最大的“和二数”是___________；一个“和二数”的千位数字和百位数字组成的两位数为，个位数字和十位数字组成的两位数为，若满足为整数，且能被9整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为___________． 【答案】 【分析】根据“和二数”的定义，最大“和二数”需满足千位数字最大，且满足条件，经计算为9990；根据“和二数”的定义得出，则可化简为，结合整数的定义可得出为偶数，根据能被9整除，赋予a、d在对应取值范围内的数值，代入逐一验算得出，；，；，，然后求出符合题意的M的最大值和最小值，即可求解． 【详解】解：设四位自然数，，，， 要找到最大的“和二数”，则需千位数字a尽可能大， 故取， 由于， 当取最小值时，最大，即最大 ∴取，则， ∴， ∴最大的“和二数”是； ， ∵， ∴上式， ∵为整数，c是自然数， ∴b为偶数， ∵能被9整除， ∴在，中取值，验算发现： 当，时，，能被9整除； 当，时，，能被9整除； 当，时，，能被9整除； ∴要使M最大，则，， ∴， 又b是偶数， 当时，，此时M最大为； 要使M最小，则， 当时， ∴， 又b是偶数， 当时，，此时M最小为； 当时， ∴，不符合题意，舍去 ∴满足条件的M的最大值和最小值的差为． 14．一个四位自然数（其中均为整数，且），若满足，则称为“亲和数”，如：四位数是“亲和数”： （1）已知某个“亲和数”的个位数字等于十位数字的2倍，百位数字比千位数字大4，则这个“亲和数”为_____． （2）一个“亲和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，被11整除，被13除余2，则满足条件的的值为_____． 【答案】 5948 4769 【分析】（1）设“亲和数”，根据题意得到，，结合“亲和数”定义，列方程求解各数位数字即可得到结果； （2）先用数位表示法写出和调换后的，计算得到，代入 ，根据被整除的条件得到，再结合“亲和数”定义得到，，代入，根据被除余的条件得到为整数，结合的取值范围分情况讨论，求出符合条件的各数位数字即可得到． 【详解】解：（1）设“亲和数”， 根据题意，得，， 为“亲和数”， ， 代入得， 解得，， ∴，， 这个“亲和数”为． （2），调换千位数字与个位数字得到新数， ，， ， ，即， ， 被整除，是的倍数， 被整除，整理得 ，是的倍数，因此被整除， ，，且为整数， ，即 ， ，， ，， ， 被除余， 被整除， 整理得，因此为整数， 结合且为整数，分类讨论： 当时，解得，不符合题意，舍去； 当时，解得，符合题意，此时，，，得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 当时，解得，不符合题意，舍去； 综上，满足条件的的值为． 15．我们规定：一个四位正整数，各位上的数字均不为0，若满足千位数字比百位数字多2，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“平凡数”，例如：四位数3121，因为，，所以3121是“平凡数”．按照这个规定，最大的“平凡数”是_____；若“平凡数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 【分析】由题意可得千位上的数字最大为，从而可得百位上的数字为，进而得出十位上的数字最大为，则个位上的数字为，从而得出最大的“平凡数”是；由“平凡数”的定义可得，，表示出，得出，结合题意可得为整数，求出，，且，分情况代入求出符合条件的的值，找出最大值与最小值并求和即可． 【详解】解：∵一个四位正整数，各位上的数字均不为0， ∴千位上的数字最大为， ∵千位数字比百位数字多2， ∴百位上的数字为， ∵十位数字是个位数字的2倍， ∴十位上的数字最大为，则个位上的数字为， 故最大的“平凡数”是； 由“平凡数”的定义可得，， ∴ ， ∴为整数， ∴为整数， ∵，，且、为正整数， ∴，， ∵， ∴， 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为， 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 综上所述，满足条件的的最大值为，最小值为， 故满足条件的的最大值与最小值的和为． 四、【二次函数中含参问题】 16．已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则m的取值范围是________． 【答案】或 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，即可得当时，，即得到或，求出m的取值范围，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∵，都不存在的情形， ∴或， 解得或， ， 解得， ∴m的取值范围是或． 17．在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和，当，时，都有成立，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】推导出抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得，需满足且，得到不等式组，求出，即可解答． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得， 当时，记函数值为，当时，记函数值为，当时，记函数值为， ∵点的纵坐标恒大于区间上任意点的纵坐标， ∴需满足且， ∵， ， ， ∴， 由①，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）； 由②，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴的解集为． ∵当时，，不在区间内，符合题意． 综上所述，a的取值范围是． 18．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】先由抛物线开口向下得离对称轴越近函数值越大，再由得离对称轴更近，进而得，中点在对称轴左侧，或，在对称轴左侧，结合中点取值范围列不等式求的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵当，时，都有， ∴点离对称轴更近，点离对称轴更远， 当，位于对称轴两侧时，，的中点在对称轴左侧，即​， ∵，， ∴， ∴要使恒成立，则， 解得； 当，位于对称轴同侧时， ∵，， ∴， ∴，在对称轴左侧， ∴， 解得：． 综上，得． 19．已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则的取值范围是______． 【答案】或且 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，即可得当时，，即得到或，求出的取值范围，再根据和即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，都不存在的情形， ∴或， 解得或， ∵， ∴， 又∵， ∴的取值范围是或且， 故答案为：或且． 20．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．当，时，____；若对于，都有，则a的取值范围为_________ 【答案】 0 或 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 由求出，，再根据得到，代入计算即可；的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论，即可解答． 【详解】解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； ∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴， 解得， 此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：0；或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ B卷填空压轴 一、【一次函数规律探寻】 1．如图，在平面直角坐标系中，，，，都是等边三角形，点B的坐标为，点，，，都在直线上，点，，，，都在x轴上，则点的坐标为_____． 2．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，…则依此规律，的值为_____________． 4．如图，直线，点坐标为．过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点，再过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为_____． 二、【反比例函数规律探寻】 6．如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 7．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________． 8．如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交x轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交x轴于点，得到第三个等边；以此类推，…，则点的坐标为______． 9．如图，已知是轴上的点，且，分别过点，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，过点作于点，过点作于点记的面积为的面积为的面积为，则等于___________． 10．如图，都是等腰直角三角形，直角顶点都在函数的图像上．若三角形依次排列下去，则点的坐标是___________． 三、【新定义下数与式计算】 11．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，且满足，则称为“比合数”．例如：5431，因为5431各个数位上的数字互不相等，且，所以5431是“比合数”．最小的“比合数”为___________；将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新数，记，若是一个自然数的平方，则满足条件的最大的数为___________． 12．我们规定：如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数为“和九数”，并把数分解成的过程，称为“和九分解”．例如：因为，33和36的十位数字相同，个位数字之和为9，所以1188是“和九数”，1188分解成的过程就是“和九分解”．按照这个规定，最大的“和九数”是____________．把一个“和九数”进行“和九分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的自然数的最大值为____________． 13．若一个四位自然数的千位数字与个位数字的差的2倍等于百位数字与十位数字的和，则称这个数为“和二数”．例如：四位数是“和二数”．按照这个规定，最大的“和二数”是___________；一个“和二数”的千位数字和百位数字组成的两位数为，个位数字和十位数字组成的两位数为，若满足为整数，且能被9整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为___________． 14．一个四位自然数（其中均为整数，且），若满足，则称为“亲和数”，如：四位数是“亲和数”： （1）已知某个“亲和数”的个位数字等于十位数字的2倍，百位数字比千位数字大4，则这个“亲和数”为_____． （2）一个“亲和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，被11整除，被13除余2，则满足条件的的值为_____． 15．我们规定：一个四位正整数，各位上的数字均不为0，若满足千位数字比百位数字多2，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“平凡数”，例如：四位数3121，因为，，所以3121是“平凡数”．按照这个规定，最大的“平凡数”是_____；若“平凡数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为_____． 四、【二次函数中含参问题】 16．已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则m的取值范围是________． 17．在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和，当，时，都有成立，则a的取值范围是_________． 18．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围为_____________． 19．已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则的取值范围是______． 20．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．当，时，____；若对于，都有，则a的取值范围为_________ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $