专题9.1分式及其基本性质（高效培优讲义，5知识&5题型9类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题9.1分式及其基本性质 教学目标 1.理解分式的概念，能准确区分分式与整式，掌握有理式的分类。 2.掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，能据此确定字母的取值范围。 3.理解分式的基本性质，能运用性质进行分式变形、约分，掌握最简分式的概念。 教学重难点 教学重点 1. 1.分式的概念（分母含字母是分式的核心特征）。 2. 2.分式有意义、值为零的条件。 3. 3.分式的基本性质及简单应用。 教学难点 1. 1.分式值为零的条件（需同时满足分子为零且分母不为零，易忽略分母限制）。 2. 2.分式基本性质的灵活应用（尤其是分子、分母为多项式时的约分，需先分解因式）。 3. 3.复杂分式有意义的条件判断（如分母为多项式时，需解不等式避免分母为零）。 知识点01 分式的概念 1.分式：一般地，如果 A， B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式，其中 A叫作分式的分子， B 叫作分式的分母 . 分式的“三要素”：(1)形如的式子；(2) A， B为整式；(3)分母B中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 (1)分式中分母含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. (2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母. 3.有理式：整式和分式统称为有理式。 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 分式有意义和无意义的条件 1. 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义. 2. 分式无意义的条件 分式的分母为0，即当B=0 时，分式无意义. 【即学即练1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若要使分式有意义，则x的取值范围是________ ． 【即学即练2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）当______时，分式没有意义． 知识点03 分式的值为0的条件 1. 分式的值为0 的条件：当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0. 即对于分式，当A=0 且B≠ 0 时，=0. 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则或 (2)若的值为负数，则 或 (3)若的值为1，则A= B ，且B ≠ 0. (4)若的值为－ 1，则A =-B ，且B ≠ 0. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽六安·期末）已知分式的值是零，那么的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 知识点04 分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变， 即 ，(A，B， M是整式 ，且M=0).分式的基本性质是分式变形的理论依据. 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示为 (1) (2) 【即学即练】（23-24七年级下·安徽池州·月考）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小一半 D．缩小 知识点05 分式的约分 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫作分式的约分. 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 题型01 分式有意义、无意义的条件 【例1-1】分式有意义的条件 （24-25七年级下·安徽合肥·期末）要使分式有意义，则x应满足条件______． 【例1-2】分式无意义的条件 （24-25七年级下·安徽淮南·期末）当时，分式无意义，求的值为___________． 【变式1-1】当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【变式1-2】已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 题型02 分式值的讨论 【例2-1】分式值为0的讨论 （24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B．2 C．2或 D． 【例2-3】分式值为正数、整数的讨论 （24-25七年级下·安徽滁州·月考）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）当时，下列分式中，值为的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）当时，下列分式中，值为0的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】能使分式的值为整数的整数的值有_____个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-4】（22-23七年级上·安徽宣城·期中）当​为何整数时， (1)​分式​的值为正整数； (2)​分式​的值是整数． 题型03 分式基本性质的应用 【例3-1】判断分式变形是否正确 （24-25七年级下·安徽六安·期末）下列各式从左边到右边变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】分式变号法则 不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【例3-3】将分式的系数化为整数 不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 【变式3-3】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）下面的约分，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【变式】【变式3-5】（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 题型04 约分 【例4】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】约分： （）； （）； （）； （）． 【变式4-2】约分 (1) (2) (3) (4) 【变式4-3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 分式的特殊求值技巧 【例5】若，则________． 【变式5-1】设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【变式5-2】（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）已知非零实数a，b满足，则的值等于________． 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若，，则的值等于_______． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 3．若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A．为任意实数 B． C． D． 4．下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 7．下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 9．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 二、填空题 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 13．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 14．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 15．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______． 三、解答题 16．约分： (1)； (2)． 17．（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 18．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 19．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 20．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1分式及其基本性质 教学目标 1.理解分式的概念，能准确区分分式与整式，掌握有理式的分类。 2.掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，能据此确定字母的取值范围。 3.理解分式的基本性质，能运用性质进行分式变形、约分，掌握最简分式的概念。 教学重难点 教学重点 1. 1.分式的概念（分母含字母是分式的核心特征）。 2. 2.分式有意义、值为零的条件。 3. 3.分式的基本性质及简单应用。 教学难点 1. 1.分式值为零的条件（需同时满足分子为零且分母不为零，易忽略分母限制）。 2. 2.分式基本性质的灵活应用（尤其是分子、分母为多项式时的约分，需先分解因式）。 3. 3.复杂分式有意义的条件判断（如分母为多项式时，需解不等式避免分母为零）。 知识点01 分式的概念 1.分式：一般地，如果 A， B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式，其中 A叫作分式的分子， B 叫作分式的分母 . 分式的“三要素”：(1)形如的式子；(2) A， B为整式；(3)分母B中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 (1)分式中分母含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. (2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母. 3.有理式：整式和分式统称为有理式。 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是分式；、、是整式； 故选：C． 知识点02 分式有意义和无意义的条件 1. 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义. 2. 分式无意义的条件 分式的分母为0，即当B=0 时，分式无意义. 【即学即练1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若要使分式有意义，则x的取值范围是________ ． 【答案】 【详解】解：若要使分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 【即学即练2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）当______时，分式没有意义． 【答案】 【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点03 分式的值为0的条件 1. 分式的值为0 的条件：当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0. 即对于分式，当A=0 且B≠ 0 时，=0. 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则或 (2)若的值为负数，则 或 (3)若的值为1，则A= B ，且B ≠ 0. (4)若的值为－ 1，则A =-B ，且B ≠ 0. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽六安·期末）已知分式的值是零，那么的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：已知分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：C． 知识点04 分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变， 即 ，(A，B， M是整式 ，且M=0).分式的基本性质是分式变形的理论依据. 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示为 (1) (2) 【即学即练】（23-24七年级下·安徽池州·月考）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小一半 D．缩小 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 将x和y都扩大2倍后，代入分式计算并化简，得到新分式是原分式的一半，因此分式的值缩小一半． 【详解】解：x和y都扩大2倍， 则扩大后的分式为 ，而原分式为， 因此扩大后的分式是原分式的，即分式的值缩小一半， 故选：C． 知识点05 分式的约分 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫作分式的约分. 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、，为最简分式，本选项符合题意； 故选：D． 题型01 分式有意义、无意义的条件 【例1-1】分式有意义的条件 （24-25七年级下·安徽合肥·期末）要使分式有意义，则x应满足条件______． 【答案】 【详解】解：由题可知，， 解得． 故答案为：． 【例1-2】分式无意义的条件 （24-25七年级下·安徽淮南·期末）当时，分式无意义，求的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，分母，即， 所以． 故答案为：． 【变式1-1】当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 【变式1-2】已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，分式无意义，则， ∴，故B正确，不符合题意； 当时，分式值为0，则， ∴，故A正确，不符合题意； 所以该分式为， 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，，故D错误，符合题意 故选：D． 题型02 分式值的讨论 【例2-1】分式值为0的讨论 （24-25七年级下·安徽合肥·期末）若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B．2 C．2或 D． 【答案】D 【详解】∵分式的值为0， ∴， ∴ 或 ． ∵分母为0，分式无意义， ∴，即 ∴． 故选：D． 【例2-3】分式值为正数、整数的讨论 （24-25七年级下·安徽滁州·月考）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）当时，下列分式中，值为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.当时，分式无意义，不符合题意； B.当时，，不符合题意； C.当时，，不符合题意； D.当时，，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）当时，下列分式中，值为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； B.当时，，结论正确，符合题意； C.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； D.当时，，结论正确，符合题意； 故选：B． 【变式2-3】能使分式的值为整数的整数的值有_____个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：整理得： （）. 设 （ 为整数）， 则 ， ∵ 为整数，∴ 为整数，故 为整数， ∴ 为 2 的约数，即 . 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，. 所有 均满足 ， ∴ 整数 的值有 4 个. 【变式2-4】（22-23七年级上·安徽宣城·期中）当​为何整数时， (1)​分式​的值为正整数； (2)​分式​的值是整数． 【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则​能够被​整除， ​可以为​，​，​， ​，​，​， ​为整数， ​； （2）解：​， ​的值为整数，且​为整数； ​为​的约数， ​的值为​或​或​或​； ​的值为​或​或​或​． 题型03 分式基本性质的应用 【例3-1】判断分式变形是否正确 （24-25七年级下·安徽六安·期末）下列各式从左边到右边变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变， A选项中分子分母都乘以，分式的值不变，原变形正确，符合题意， B选项中分子分母除以整式不一致，原变形不正确，不符合题意， C选项分子分母同时加2不符合分式基本性质，原变形不正确，不符合题意， D选项分子分母同时乘以整式不一致，原变形不正确，不符合题意． 故选：A． 【例3-2】分式变号法则 不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例3-3】将分式的系数化为整数 不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：通分得左边为，右边为，显然不相等，故A不成立； 选项B：拆分分式得左边为，与右边不符，故B不成立； 选项C：左边平方后等于右边，但原式仅在或且不为0时成立，故C不恒成立； 选项D：分子因式分解为，约分后为（当时分式有意义），故D在分式有意义时恒成立； 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【详解】解：∵代数式中的a与b都扩大2倍， ∴， ∴这个代数式的值扩大2倍． 故选：B． 【变式3-3】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）下面的约分，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，故该选项正确； B．，故该选项错误； C．，故该选项错误； D．，故该选项错误． 故选A． 【变式3-4】不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式】【变式3-5】（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 题型04 约分 【例4】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-1】约分： （）； （）； （）； （）． 【详解】解：（）原式； （）原式； （）原式； （）原式． 【变式4-2】约分 (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式4-3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 题型05 分式的特殊求值技巧 【例5】若，则________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，且， 将代入得： ． 【变式5-1】设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】解：由，得，，． ∴原式． ∵， ∴原式； 故选B． 【变式5-2】（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）已知非零实数a，b满足，则的值等于________． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故答案为：3 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若，，则的值等于_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 由，可得：， 把代入②，可得：， 又∵， ∴ ． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故选D． 2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【详解】解：把分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 将分式中的x和y都分别换为与， 得， 所以分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 3．若代数式有意义，则的取值范围是（   ） A．为任意实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式有意义时分母不为0的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 要使分式有意义，需满足分母不等于0， ∴ ， ∴ 解得． 4．下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，原选项约分错误； B．，原选项约分错误； C. ，原选项约分正确； D．，原选项约分错误． 5．下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：，，，只有是最简分式， ∴其中最简分式有1个． 6．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】当时，分式无意义， ， 解得， 当时，分式的值为0， ， 解得， ． 故选：D． 7．下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵ ，∴A正确，符合题意； B、∵ ，∴B错误，不符合题意； C、∵ 的分子分母同乘以得，∴C错误，不符合题意； D、∵ ，∴D错误，不符合题意． 故选：A． 8．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 9．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 10．下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【答案】A 【详解】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式， ∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意； B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； C．若分式有意义，则，得， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； D．， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 解得，． 12．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 13．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 14．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 15．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______． 【答案】 【详解】解：对于，分母，则第一个单位分数的分母为，第二个单位分数的分母为 ，故 ． 对于任意正整数，设分母 ，则第一个单位分数的分母为 ，第二个单位分数的分母为，故 ． 故答案为：，． 三、解答题 16．约分： (1)； (2)． 【详解】（1）解：． （2）解：． 17．（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 【详解】解：（1）原式 ． ， ， 原式． （2）， ． 18．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 20．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $