专题9.2 分式的运算（高效培优讲义，5知识&5题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题9.2 分式的运算 教学目标 1.理解并掌握分式的乘、除、乘方运算法则，能熟练进行单项式与多项式分式的乘除运算及简单乘方运算。 2.掌握分式同分母、异分母加减法法则，能准确确定最简公分母并通分，完成异分母分式加减运算。 3.明确分式混合运算顺序，能熟练进行分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算，并将结果化为最简分式或整式。 教学重难点 教学重点 1. 1.分式乘除、加减运算法则的理解与应用。 2. 2.最简公分母的确定方法（单项式、多项式分母）。 3. 3.分式混合运算的顺序及规范计算。 教学难点 1. 1.异分母分式加减中，多项式分母先因式分解再确定最简公分母。 2. 2.分式运算中的符号处理（如分母互为相反数、负号迁移）。 3. 3.分式混合运算中运算顺序、运算律的灵活运用及结果化简。 4. 4.整式与分式加减时的统一形式处理（整式化为分母为 1 的分式）。 知识点01 分式的乘除法 1.分式的乘法法则 ： 两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母 . 用字母表示为： 2. 分式的乘法法则的运用方法 (1)若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分； (2)若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； (3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1 的“分式”参与运算. 3. 分式的除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 . 用字母表示为： 4. 分式的除法法则的运用方法 (1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算； (2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1 的“分式”进行运算. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）__________． 知识点02 分式的乘方 1. 分式的乘方法则：分式乘方等于把分子、分母分别乘方. 用字母表示为 (n 为正整数). 根据负整数次幂的意义，可知( )=( AB). 2. 分式乘方的方法 (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，一定要将分子、分母分别乘方，不能将 错写成 ； (3)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现的错误. 【即学即练】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 知识点03 分式的通分 1. 分式的通分：化异分母分式为同分母分式的过程，叫作分式的通分 . 2. 最简公分母：异分母分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母 . 3. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 . 【即学即练】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 知识点04 分式的加减法 1. 同分母分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 用字母表示为 . 2. 同分母分式相加减的一般步骤 (1)分母不变，把分子相加减； (2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； (3)结果应化成最简分式或整式. 3. 异分母分式的加减法法则 4. 异分母分式相加减的一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分. 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 【即学即练】（23-24七年级下·安徽宣城·期中）若，，则______． 知识点05 分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，最后算加减. 有括号时，先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果必须是最简分式或整式. 【即学即练】计算：． 题型01 利用分式的通分进行计算 【例1】分式、的最简公分母是______，通分为______． 【变式1-1】对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 题型02 分式的化简、求值 【例2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，在，，三个数中选择一个你喜欢的代入求值． 【例2-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简再求值． ，从，0中选一个自己喜欢的数代入求值． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）先化简，再求值：，其中 题型03 分式的运算在实际生活中的应用 【例3-1】（23-24七年级下·安徽池州·期末）甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则x小时相遇；若同向而行，则y小时甲追上乙，那么乙的速度是甲的速度的（    ）倍． A． B． C． D． 【例3-2】一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作小时完成，则乙单独完成需要的时间是（　　） A． B． C． D． 【例3-3】如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（      ） A．“丰收号”水稻单位面积产量高 B．“丰收2号”水稻单位面积产量高 C．两种水稻单位面积产量一样多 D．无法判断 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少________小时． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知u、f，则v＝_____． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 题型04 分式加减运算技巧的运用 【例4-1】计算： (1)． (2)． 【例4-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 【例4-3】计算： (1)． (2)． 【变式4-1】我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； (3)化简：． 【变式4-2】观察下列算式：①，②，③，④，… (1)由以上式子可以推出（5）式为_________________． (2)用含字母（为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________． (3)用以上方法解方程：． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 题型05 阅读理解题 【例5】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【变式5-1】在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽六安·月考）【阅读理解】 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明得到数据如下表： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察可知，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 【应用新知】 （1）当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）； 当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； 【能力提升】 （3） 当时，求代数式值的取值范围． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）分式，，的最简公分母为（ ） A． B． C． D．12ab 2．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·单元测试）若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·安徽池州·月考）若，则代数式的值为（    ） A． B． C．2 D．2 7．（23-24七年级下·安徽六安·月考）化简结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（22-23七年级下·安徽阜阳·月考）已知正整数a，b，c满足． （1）当，时，_______； （2）当时，_______（用含a的代数式表示）． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知(，且)，，则（结果用含x的代数式表示）： （1）______； （2）______． 10．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题： （1）______； （2）若，则_____． 三、解答题 11．（23-24七年级下·安徽六安·期末）先化简再求值：，其中，且x为整数． 12．（2025七年级下·安徽·专题练习）先化简，再求值：，其中． 13．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学 乙同学 第一步 第二步 第三步 第一步 第二步 第三步 (1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______步开始出现错误，乙同学的解答从第_____步开始出现错误； (2)请重新写出此题的正确解答过程． 14．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 15．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 分式的运算 教学目标 1.理解并掌握分式的乘、除、乘方运算法则，能熟练进行单项式与多项式分式的乘除运算及简单乘方运算。 2.掌握分式同分母、异分母加减法法则，能准确确定最简公分母并通分，完成异分母分式加减运算。 3.明确分式混合运算顺序，能熟练进行分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算，并将结果化为最简分式或整式。 教学重难点 教学重点 1. 1.分式乘除、加减运算法则的理解与应用。 2. 2.最简公分母的确定方法（单项式、多项式分母）。 3. 3.分式混合运算的顺序及规范计算。 教学难点 1. 1.异分母分式加减中，多项式分母先因式分解再确定最简公分母。 2. 2.分式运算中的符号处理（如分母互为相反数、负号迁移）。 3. 3.分式混合运算中运算顺序、运算律的灵活运用及结果化简。 4. 4.整式与分式加减时的统一形式处理（整式化为分母为 1 的分式）。 知识点01 分式的乘除法 1.分式的乘法法则 ： 两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母 . 用字母表示为： 2. 分式的乘法法则的运用方法 (1)若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分； (2)若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； (3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1 的“分式”参与运算. 3. 分式的除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 . 用字母表示为： 4. 分式的除法法则的运用方法 (1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算； (2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1 的“分式”进行运算. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）__________． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 知识点02 分式的乘方 1. 分式的乘方法则：分式乘方等于把分子、分母分别乘方. 用字母表示为 (n 为正整数). 根据负整数次幂的意义，可知( )=( AB). 2. 分式乘方的方法 (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，一定要将分子、分母分别乘方，不能将 错写成 ； (3)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现的错误. 【即学即练】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 知识点03 分式的通分 1. 分式的通分：化异分母分式为同分母分式的过程，叫作分式的通分 . 2. 最简公分母：异分母分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母 . 3. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 . 【即学即练】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 知识点04 分式的加减法 1. 同分母分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 用字母表示为 . 2. 同分母分式相加减的一般步骤 (1)分母不变，把分子相加减； (2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； (3)结果应化成最简分式或整式. 3. 异分母分式的加减法法则 4. 异分母分式相加减的一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分. 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 【即学即练】（23-24七年级下·安徽宣城·期中）若，，则______． 【答案】2 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 知识点05 分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，最后算加减. 有括号时，先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果必须是最简分式或整式. 【即学即练】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型01 利用分式的通分进行计算 【例1】分式、的最简公分母是______，通分为______． 【答案】 、 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 【变式1-1】对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 【变式1-2】已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式1-3】通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，，． 题型02 分式的化简、求值 【例2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，在，，三个数中选择一个你喜欢的代入求值． 【详解】解：原式 ； ，， ，， ， 原式． 【例2-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简再求值． ，从，0中选一个自己喜欢的数代入求值． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴当时，原式； 当时，原式． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）先化简，再求值：，其中 【详解】解： ∵ ∴原式． 题型03 分式的运算在实际生活中的应用 【例3-1】（23-24七年级下·安徽池州·期末）甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则x小时相遇；若同向而行，则y小时甲追上乙，那么乙的速度是甲的速度的（    ）倍． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设甲的速度为a，乙的速度为b，两地相距S， 根据题意，得， 解得， 故， 故选A． 【例3-2】一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作小时完成，则乙单独完成需要的时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意设工作总量为1，则甲的工效为，甲乙合作的工效是， 所以乙的工效为：， 乙单独完成需要的时间为： 故选：A 【例3-3】如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（      ） A．“丰收号”水稻单位面积产量高 B．“丰收2号”水稻单位面积产量高 C．两种水稻单位面积产量一样多 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：由图可得， “丰收1号”单位面积的产量为：， “丰收2号”单位面积的产量为：， ∵a＞1， ∴（a+1）（a-1）＞（a-1）（a-1）， ∴， 即“丰收2号”水稻单位面积产量高， 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少________小时． 【答案】 【详解】解：A地到B地的路程：（千米）， 提速后的速度：（千米/小时）， 提速后的时间：（小时）， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：（小时）， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知u、f，则v＝_____． 【答案】 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【详解】解：（1）长方形A的周长为：， 长方形B的周长为：， ， 当时，，此时长方形A的周长大于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长等于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长小于B的周长． （2）， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． （3）∵甲和乙的花费相同， ∴， ∴， 乙购买水果总重量为， ， ∵，，，且， ∴， ∴， ∴乙购买水果的总重量更大． 题型04 分式加减运算技巧的运用 【例4-1】计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：． （2）解：原式 ． 故答案为：． 【例4-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 【详解】（1）解：，，，且， ， 故答案为：8，56； （2），，， 观察可知等式后第一项分式的分母等于等号左侧分式分母，最后一项的分母是等号左侧分式分母和等号右侧第一项分式分母的乘积， ； （3） ． 【例4-3】计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4-1】我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； (3)化简：． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴ 比较分母，得 ， 比较分子，得 ，解得 ， 故答案为：，； （3）解：∵ ， ， 原式 ， ∵ ， ∴原式 ． 【变式4-2】观察下列算式：①，②，③，④，… (1)由以上式子可以推出（5）式为_________________． (2)用含字母（为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________． (3)用以上方法解方程：． 【详解】（1）解：观察已知算式： ①，②，③，④ 可知第式为： 因此第（5）式为：． （2）解：由上述规律可得，一般规律为：． （3）解：∵ ， ∴，整理，得， 即，解得． 检验：当时，原方程中各分母均不为零，故是原分式方程的解． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 题型05 阅读理解题 【例5】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或． 【变式5-1】在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【详解】（1）解： ． （2） ． 因为是正整数， 所以的值为， 所以的值为，4，则的值为． 因为是整数， 所以的值为1． （3）因为 ． 所以， 即， 所以． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 【详解】（1）解：①分式是真分式， 故答案为：真； ② 故答案为：． （2）解：∵ ∵当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于， ∴当时，随着x的增大，的值无限趋近于 （3）解：设这个两位数为，是整数，，根据题意得， ，为整数， ∴ ∴是正数， ∵， ∴ 当时，，为两位数，不合题意， 当时，，则无解， 当时，，则 ∴时，，符合题意， 当时，，而，无解 综上所述，这个两位数为： 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽六安·月考）【阅读理解】 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明得到数据如下表： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察可知，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 【应用新知】 （1）当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）； 当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； 【能力提升】 （3）当时，求代数式值的取值范围． 【详解】解：（1）∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵， ∴随着的增大，的值减小； （2）∵， ∵当，随着的增大时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2； （3）， ∵时，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）分式，，的最简公分母为（ ） A． B． C． D．12ab 【答案】A 【详解】解：分式，，的分母分别是、、，故最简公分母是； 故选：A． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 故选：A． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 可设，()， ； 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·单元测试）若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设“口”中的式子为， 原式 ， 所以当时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 6．（23-24七年级下·安徽池州·月考）若，则代数式的值为（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【详解】解： ， 当时，原式， 故选：A． 7．（23-24七年级下·安徽六安·月考）化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 故选：C 二、填空题 8．（22-23七年级下·安徽阜阳·月考）已知正整数a，b，c满足． （1）当，时，_______； （2）当时，_______（用含a的代数式表示）． 【答案】 6 【详解】解：当，时， ，则， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：6，． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知(，且)，，则（结果用含x的代数式表示）： （1）______； （2）______． 【答案】 【详解】解：（1）∵， ∴， （2）同理可得：， ， ， ， ∴发现：每三个为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（1），（2）． 10．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题： （1）______； （2）若，则_____． 【答案】 【详解】解：（1）； （2） ∴ ∴则． 三、解答题 11．（23-24七年级下·安徽六安·期末）先化简再求值：，其中，且x为整数． 【答案】；2 【详解】解： ， ∵，，， ∴，0， ∴把代入得：原式． 12．（2025七年级下·安徽·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 13．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学 乙同学 第一步 第二步 第三步 第一步 第二步 第三步 (1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______步开始出现错误，乙同学的解答从第_____步开始出现错误； (2)请重新写出此题的正确解答过程． 【详解】（1）解：经过观察，甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误； 故答案为：一；二； （2）解： ． 14．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 故答案为：． （2）解：①； ②； ③； ④； …… ∴第n个式子为：． 证明：∵右边左边， ∴成立． （3）解： ． 15．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $