专题8.4因式分解（高效培优讲义，6知识&8题型12类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题8.4因式分解 教学目标 1.理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.掌握因式分解的两种基本方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。 3.能准确找出多项式中各项的公因式，并熟练运用提公因式法分解因式。 4.能识别平方差、完全平方公式的结构特征，正确运用公式法分解因式。 5.会进行综合分解：先提公因式，再用公式，做到分解到不能再分解为止。 6.能判断一个变形是否为因式分解，能检验分解结果是否正确。 教学重难点 教学重点 1. 1.理解因式分解的概念。 2. 2.掌握提公因式法分解因式。 3. 3.掌握平方差公式和完全平方公式分解因式。 4. 4.因式分解的基本原则：分解要彻底。 教学难点 1. 1.正确理解因式分解与整式乘法的互逆关系，建立逆向思维。 2. 2.准确确定公因式，尤其是系数、字母、最低次幂的综合判断。 3. 3.提取公因式时符号与括号内各项变号问题。 4. 4.识别公式的结构特征，对变形形式（如整体平方）灵活运用公式。 5. 5.综合分解：先提公因式再用公式，防止分解不彻底。 6. 6.完全平方公式中 “乘积两倍项” 的识别与符号判断。 知识点01 因式分解 1. 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式 . 2. 整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法是积化和差，因式分解是和差化积，它们是互逆的变形 . (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是因式分解，则A选项不符合题意， B、，公因式未提尽，因式分解不彻底，则B选项不符合题意， C、符合因式分解的定义，则C选项符合题意， D、中等号右边不是积的形式，则D选项不符合题意， 故选：C． 知识点02 公因式 1. 公因式的定义：多项式的每一项都含有的相同因式，叫作各项的公因式 . 2. 公因式的确定 (1)确定公因式的系数，若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数． (2)确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的 . (3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式 . 如3x( x－y) +x²( x－y)的公因式是 x( x－y) . 【即学即练】（23-24七年级下·安徽安庆·月考）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，多项式的公因式是：． 故选C． 知识点03 用提公因式法分解因式 1. 定义：一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法 . 用字母表示： ma+mb+mc=m(a+b+c) . 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 (1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式 . (2)确定另一个因式：另一个因式即多项式提取公因式后剩下的部分 . (3)写成积的形式 . 【即学即练】（23-24七年级下·安徽六安·期末）因式分解：________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 知识点04 用平方差公式分解因式 1. 平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 . 即： a²－b²=(a+b)( a－b) . 2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差 . 3. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 . 二定： 确定公式中的 “a” 和“b” ，除 “a” 和“b” 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体 . 三套： 套用平方差公式进行分解 . 四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简 . 【即学即练】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 知识点05 用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式：形如 a²±2ab+b² 的式子叫作完全平方式 . 完全平方式的条件： (1)是二次三项式 . (2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的 2 倍，符号可以是 “+”，也可以是“－” . 2. 完全平方公式法 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 . 即： a²±2ab+b²=(a±b)². 3. 完全平方公式的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是两个数的和(或差)的平方 . 4. 公式法：运用公式(完全平方公式和平方差公式 )进行因式分解的方法叫作公式法 . 5. 因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式； (2)当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 . 注意： 当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，将其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 . 【即学即练】因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 知识点06 用分组分解法分解因式 分组分解法：当一个多项式项数较多，且各项既没有公因式，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项式适当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，各组之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这种方法叫做分组分解法 . 理解: (1)分组只是一个步骤，分组的目的是用提公因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式 . (2)需要运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四项以上 . 如果是四项式，一般有两种分组方法：①分为“2+2” 的形式；②分为“1+3”的形式 . 【即学即练】因式分解： 【答案】 【详解】 ． 题型01 分解因式的基本方法 【例1-1】直接提公因式法分解因式 因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【例1-2】提公因式后用公式法分解因式 （24-25七年级下·安徽阜阳·期末）分解因式：． 【答案】 【详解】解： ． 【例1-3】分组分解法分解因式 （23-24七年级下·安徽安庆·期中）分解因式： 【答案】 【详解】 ； 【例1-4】整体思想在分解因式中的应用 （23-24七年级下·安徽安庆·期中）分解因式： 【答案】 【详解】 ． 【变式1-1】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1-3】分解因式： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式1-4】（2024七年级下·安徽·专题练习）把下列多项式因式分解： (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1-5】（2024七年级下·安徽·专题练习）将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型02 利用因式分解进行简便计算 【例2-1】利用提公因式法进行简便计算 （23-24七年级下·安徽安庆·月考）运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【答案】A 【详解】解： ． 故选：A． 【例2-2】利用公式法进行简便计算 利用因式分解计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2-1】利用因式分解计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】简便运算： (1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型03 根据完全平方式的定义求字母的值 【例3】已知关于x、y的多项式是完全平方式，则________． 【答案】 【详解】解：因为是完全平方式， 所以， 所以， 即， 所以， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若二次三项式是完全平方式，则的值是______． 【答案】或 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， 解得：或． 故答案为：或． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若是完全平方式，则_______； （2）的最小值是________． 【答案】 【详解】（1）∵是完全平方式，是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∴当，时，有最小值，最小值是， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ， ， ， 的最小值为2； （3）解：∵ ， ， ， ， ， 的最小值为4． 题型04 利用因式分解法解决整除问题 【例4】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 【答案】B 【详解】解： ， ∴的值总能被3整除． 故选：B． 【变式4-1】试说明（是整数）能被32整除． 【详解】解： ， ∵n为整数， ∴为整数， ∴能被32整除， ∴ 能被32整除． 【变式4-2】在小学我们学习过：对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除 (1)请你判断112233______（填能或不能）被3整除； (2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1326”试着进行推理： ∵“”能被3整除， ∴当“”能被3整除，原数就能被3整除． 现在，设是四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是，，，，请你借鉴小明的思路，证明：若“”能被3整除，则能被3整除； (3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位，例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加．请证明，若的奇位和与偶位和的差能被11整除，则能被11整除． 【详解】（1）解： ∴各个数位上的数字和可以被3整除， 即112233能被3整除； 故答案为：能． （2）证明： ， ∵能被3整除， ∴若“”能被3整除，则能被3整除； （3）证明： ， ∵能被11整除， ∴若“”能被11整除， 即若的奇位和与偶位和的差能被11整除，则能被11整除． 题型05 因式分解与三角形知识综合 【例5】已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【详解】解：， ， ， ， 或， ，，是的三边， ， 为等腰三角形． 【变式5-1】常用的分解因式的方法有提取公因式法、运用公式法．有些多项式分解因式时，需要先分组，然后再提取公因式或运用公式．如分解因式：这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决以下问题：三边满足，判断的形状． 【详解】解：由，得， ∴，， ∴，或者，即，或者， ∴是等腰三角形． 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：． 即：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式和平方差公式，非负数的性质．读懂材料，理解配方法是解题关键． （1）根据材料利用配方法结合完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （2）原等式可变形为，结合非负数的性质可求出，再求出三角形的周长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴三角形的周长为． 题型06 有关因式分解的规律探究题 【例6】（23-24七年级下·安徽宿州·期中）已知下列等式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请仔细观察，写出第6个式子； (2)根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立． 【详解】（1）第6个式子是：； （2）第n个式子为 证明：∵左边， ∴． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方”的问题． (1)指导教师引导学生从特殊情形出发进行列式计算，得到部分信息如下： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： ……． 按以上规律，完成下列问题： （Ⅰ）______=______； （Ⅱ）______=______；（用含的式子表示） (2)受上述过程启发，小明同学做了如下的推理： 设，、是连续的正整数， ；，____________． 一定是正数的平方数． 阅读上述过程，并在横线上补全缺的内容． 【详解】（1）解：（Ⅰ） （Ⅱ） （2）设，、是连续的正整数， ； ， ． 一定是正数的平方数． 故答案为：；． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 【详解】解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 题型07 因式分解中的数学思想 【例7-1】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ． 【例7-2】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：令， 则 ． 故答案为：； （2）因为，令，， 则，， 所以． 【变式7-1】（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，有型、型、型三种不同类型的纸板，其中型是边长为的正方形，型是长为宽为的长方形，型是边长为的正方形． (1)若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为，则需要型纸板 张，型纸板 张，型纸板 张； (2)画一个长方形示意图（要求标注长方形的长、宽），使它的面积为，再利用所画图形把多项式分解因式． 【详解】（1）解：∵， 故型纸板2张，型纸板3张，型纸板1张； （2）解：如图， 所以． 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解、如：，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下： =……分组 =……组内分解因式 =……整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，且，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解： ． （2）． 理由：因为， 所以， 所以， 所以， 所以或． 因为，所以． 【变式7-3】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)若，求的值； (3)求证，若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【详解】（1）解：令， ∴原式， ∴原式； 故答案为：； （2）解：令，， ∴，， ∴； ∴； （3）证明： ； 令， 则原式， ∴原式， ∵n为正整数， ∴式子的值一定是某一个整数的平方． 题型08 有关因式分解的新定义与阅读理解 【例8-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【详解】（1）解： （2）解：． 【例8-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 【详解】（1）解：在等式中， 分别令，，得 ， 解得； （2）解：把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 分别令，，得 ， 解得， 所以． 【例8-3】（23-24七年级下·安徽六安·月考）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 【例8-4】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴是“方和数”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：∴，且，2都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； ∵，且，3都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； （3）解：∴， 根据“方和数”的意义得：， 解得：， ∴的值为13． 【变式8-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求的最小值． 解：当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知：，求的最小值； (3)已知：，求的平方根． 【详解】（1）解;原式; （2）解： 当时，取得最小值． （3）解： 即 又 ， 的平方根为． 【变式8-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 【变式8-3】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的a的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式进行因式分解． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式； 故答案为：D； （2）解：没分解到最后； 原式 （3）解：设， 原式 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列各式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．结果不是积的形式，不符合题意； C．是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D．，符合定义，是因式分解，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解：A．：第一项为，第三项为，中间项应为，但实际中间项为，不符合完全平方公式； B．：仅有两项且均为负号，无法构成完全平方式的三项结构； C．：此为平方差形式，可用平方差公式分解，但不符合完全平方公式； D．：第一项为，第三项为，中间项为，与题目中的中间项一致，符号相同．因此可分解为，符合完全平方公式； 故选D． 4．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【详解】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 5．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：， 若二次三项式可分解为， 则， 解得：， 故选：A． 6．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）将两个正方形，如图摆放，点E在上，点G在上，若两个正方形面积之和为58，，则图中阴影部分面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【详解】解：设，， 由题得，， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵． 故选：C． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，因式分解．根据已知条件，结合各选项中的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，即，本选项不符合题意； B、当时，，代入得，即，整理为，本选项不符合题意； C、由得， ∵， ∴，即， ∵， ∴，本选项不符合题意； D、若，由得，解得或，本选项不符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级下·安徽六安·期末）无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 【答案】B 【详解】解： ∵， ∴原式大于或等于，即最小为7 故选：B． 二、填空题 9．（24-25七年级下·安徽六安·期末）因式分解： ___________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．利用提公因式法分解，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 10．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若是一个完全平方式，则k的值是________． 【答案】 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知均为正整数，且满足：，则________． 【答案】2031 【详解】解： 2027是质数，均为正整数， 即， 当时，，此时， 故， 当时，，此时， 故， 综上，． 故答案为：2031． 三、解答题 13．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）因式分解： 【答案】 【详解】解： 14．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）化简求值：，其中x是最大的负整数． 【答案】， 【详解】 ； 是最大的负整数， ， ． 15．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量． 【答案】108J 【详解】解：由题意得， 答：电流流经电阻所产生的热量为 16．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）请同学们将下列多项式①，②按要求进行计算：①－②，运算结果若能进行因式分解的，请将运算结果进行因式分解． 【答案】 【详解】解： ． 17．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第5个等式：______________； (2)写出你猜想的第个等式：______________；（用含的式子表示），并证明其正确性． 【详解】（1）解：第1个等式：；即； 第2个等式：；即； 第3个等式：；即 第4个等式：；即 ∴第5个等式：；即 即； （2）解：由（1）知，第n个式子为： 证明：． 18．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程． 【详解】（1）解：根据题意，上述分解因式的方法是：提公因式法 共应用了2次提公因式 （2）原式＝ ＝ ＝ …… ＝ 需要应用上述方法2024次． 19．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如：． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）在某次拼图游戏中，欣欣发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，如图2可以解释完全平方公式． (1)图3可以解释的等式为_________________； (2)现有如图1所示的边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形3张，宽为长为的长方形纸片（为正整数）张，这些纸片可以正好拼出一些长方形，请通过图形、式子或者文字列出所有可能性并说明的最大值． 【详解】（1）解：从总体的看，长方形的长为，宽为，面积为， 从部分看边长为的正方形纸片1张，边长为的正方形2张，宽为长为的长方形纸片3张，面积为， ∴图3可以解释的等式为， 故答案为：； （2）解：由题意得，面积为， 可得到，此时； 也可得到，此时； ∴的最大值为7． 21．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入，就可以开始把多项式进行因式分解． (1)求式子中m、n的值： (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解：当时，， 是根， ． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：原式， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 23．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）阅读以下文字并解决问题： 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式“”变成含有完全平方式的形式“”的方法，叫做配方法． (1)利用“配方法”因式分解：； (2)若，求a，b的值； (3)求代数式的最小值，并写出相应的x的值． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4因式分解 教学目标 1.理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.掌握因式分解的两种基本方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。 3.能准确找出多项式中各项的公因式，并熟练运用提公因式法分解因式。 4.能识别平方差、完全平方公式的结构特征，正确运用公式法分解因式。 5.会进行综合分解：先提公因式，再用公式，做到分解到不能再分解为止。 6.能判断一个变形是否为因式分解，能检验分解结果是否正确。 教学重难点 教学重点 1. 1.理解因式分解的概念。 2. 2.掌握提公因式法分解因式。 3. 3.掌握平方差公式和完全平方公式分解因式。 4. 4.因式分解的基本原则：分解要彻底。 教学难点 1. 1.正确理解因式分解与整式乘法的互逆关系，建立逆向思维。 2. 2.准确确定公因式，尤其是系数、字母、最低次幂的综合判断。 3. 3.提取公因式时符号与括号内各项变号问题。 4. 4.识别公式的结构特征，对变形形式（如整体平方）灵活运用公式。 5. 5.综合分解：先提公因式再用公式，防止分解不彻底。 6. 6.完全平方公式中 “乘积两倍项” 的识别与符号判断。 知识点01 因式分解 1. 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式 . 2. 整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法是积化和差，因式分解是和差化积，它们是互逆的变形 . (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 公因式 1. 公因式的定义：多项式的每一项都含有的相同因式，叫作各项的公因式 . 2. 公因式的确定 (1)确定公因式的系数，若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数． (2)确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的 . (3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式 . 如3x( x－y) +x²( x－y)的公因式是 x( x－y) . 【即学即练】（23-24七年级下·安徽安庆·月考）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 知识点03 用提公因式法分解因式 1. 定义：一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法 . 用字母表示： ma+mb+mc=m(a+b+c) . 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 (1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式 . (2)确定另一个因式：另一个因式即多项式提取公因式后剩下的部分 . (3)写成积的形式 . 【即学即练】（23-24七年级下·安徽六安·期末）因式分解：________． 知识点04 用平方差公式分解因式 1. 平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 . 即： a²－b²=(a+b)( a－b) . 2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差 . 3. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 . 二定： 确定公式中的 “a” 和“b” ，除 “a” 和“b” 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体 . 三套： 套用平方差公式进行分解 . 四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简 . 【即学即练】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）分解因式：______． 知识点05 用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式：形如 a²±2ab+b² 的式子叫作完全平方式 . 完全平方式的条件： (1)是二次三项式 . (2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的 2 倍，符号可以是 “+”，也可以是“－” . 2. 完全平方公式法 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 . 即： a²±2ab+b²=(a±b)². 3. 完全平方公式的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是两个数的和(或差)的平方 . 4. 公式法：运用公式(完全平方公式和平方差公式 )进行因式分解的方法叫作公式法 . 5. 因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式； (2)当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 . 注意： 当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，将其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 . 【即学即练】因式分解：_________． 知识点06 用分组分解法分解因式 分组分解法：当一个多项式项数较多，且各项既没有公因式，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项式适当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，各组之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这种方法叫做分组分解法 . 理解: (1)分组只是一个步骤，分组的目的是用提公因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式 . (2)需要运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四项以上 . 如果是四项式，一般有两种分组方法：①分为“2+2” 的形式；②分为“1+3”的形式 . 【即学即练】因式分解： 题型01 分解因式的基本方法 【例1-1】直接提公因式法分解因式 因式分解：． 【例1-2】提公因式后用公式法分解因式 （24-25七年级下·安徽阜阳·期末）分解因式：． 【例1-3】分组分解法分解因式 （23-24七年级下·安徽安庆·期中）分解因式： 【例1-4】整体思想在分解因式中的应用 （23-24七年级下·安徽安庆·期中）分解因式： 【变式1-1】分解因式： (1) (2) 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）分解因式： (1)； (2)． 【变式1-3】分解因式： (1)； (2)． 【变式1-4】（2024七年级下·安徽·专题练习）把下列多项式因式分解： (1) (2) 【变式1-5】（2024七年级下·安徽·专题练习）将下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型02 利用因式分解进行简便计算 【例2-1】利用提公因式法进行简便计算 （23-24七年级下·安徽安庆·月考）运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【例2-2】利用公式法进行简便计算 利用因式分解计算：． 【变式2-1】利用因式分解计算： (1)； (2)． 【变式2-2】简便运算： (1) (2) 题型03 根据完全平方式的定义求字母的值 【例3】已知关于x、y的多项式是完全平方式，则________． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若二次三项式是完全平方式，则的值是______． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若是完全平方式，则_______； （2）的最小值是________． 【变式3-3】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 题型04 利用因式分解法解决整除问题 【例4】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 【变式4-1】试说明（是整数）能被32整除． 【变式4-2】在小学我们学习过：对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除 (1)请你判断112233______（填能或不能）被3整除； (2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1326”试着进行推理： ∵“”能被3整除， ∴当“”能被3整除，原数就能被3整除． 现在，设是四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是，，，，请你借鉴小明的思路，证明：若“”能被3整除，则能被3整除； (3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位，例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加．请证明，若的奇位和与偶位和的差能被11整除，则能被11整除． 题型05 因式分解与三角形知识综合 【例5】已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【变式5-1】常用的分解因式的方法有提取公因式法、运用公式法．有些多项式分解因式时，需要先分组，然后再提取公因式或运用公式．如分解因式：这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决以下问题：三边满足，判断的形状． 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：． 即：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)已知是三角形的三边长，且满足，求三角形的周长． 题型06 有关因式分解的规律探究题 【例6】（23-24七年级下·安徽宿州·期中）已知下列等式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请仔细观察，写出第6个式子； (2)根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方”的问题． (1)指导教师引导学生从特殊情形出发进行列式计算，得到部分信息如下： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： ……． 按以上规律，完成下列问题： （Ⅰ）______=______； （Ⅱ）______=______；（用含的式子表示） (2)受上述过程启发，小明同学做了如下的推理： 设，、是连续的正整数， ；，____________． 一定是正数的平方数． 阅读上述过程，并在横线上补全缺的内容． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 题型07 因式分解中的数学思想 【例7-1】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【例7-2】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，求的值． 【变式7-1】（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，有型、型、型三种不同类型的纸板，其中型是边长为的正方形，型是长为宽为的长方形，型是边长为的正方形． (1)若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为，则需要型纸板 张，型纸板 张，型纸板 张； (2)画一个长方形示意图（要求标注长方形的长、宽），使它的面积为，再利用所画图形把多项式分解因式． 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解、如：，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下： =……分组 =……组内分解因式 =……整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，且，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【变式7-3】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)若，求的值； (3)求证，若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 题型08 有关因式分解的新定义与阅读理解 【例8-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【例8-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 【例8-3】（23-24七年级下·安徽六安·月考）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【例8-4】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 【变式8-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求的最小值． 解：当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知：，求的最小值； (3)已知：，求的平方根． 【变式8-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【变式8-3】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的a的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式进行因式分解． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列各式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 5．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 6．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）将两个正方形，如图摆放，点E在上，点G在上，若两个正方形面积之和为58，，则图中阴影部分面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25七年级下·安徽六安·期末）无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 二、填空题 9．（24-25七年级下·安徽六安·期末）因式分解： ___________． 10．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）因式分解：______． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若是一个完全平方式，则k的值是________． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知均为正整数，且满足：，则________． 三、解答题 13．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）因式分解： 14．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）化简求值：，其中x是最大的负整数． 15．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量． 16．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）请同学们将下列多项式①，②按要求进行计算：①－②，运算结果若能进行因式分解的，请将运算结果进行因式分解． 17．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第5个等式：______________； (2)写出你猜想的第个等式：______________；（用含的式子表示），并证明其正确性． 18．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程． 19．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如：． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）在某次拼图游戏中，欣欣发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，如图2可以解释完全平方公式． (1)图3可以解释的等式为_________________； (2)现有如图1所示的边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形3张，宽为长为的长方形纸片（为正整数）张，这些纸片可以正好拼出一些长方形，请通过图形、式子或者文字列出所有可能性并说明的最大值． 21．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入，就可以开始把多项式进行因式分解． (1)求式子中m、n的值： (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 23．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）阅读以下文字并解决问题： 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式“”变成含有完全平方式的形式“”的方法，叫做配方法． (1)利用“配方法”因式分解：； (2)若，求a，b的值； (3)求代数式的最小值，并写出相应的x的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $